Calcul différentiel. différentielle. [ édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1

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1 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés Calcul différentiel Différentielle Exercice [ 3 ] [Correction] (a) Soit f : M n (R) M n (R) définie par f (M) = M. Justifier que f est différentiable et déterminer la différentielle de f en tout M M n (R). (b) Soit f : M n (R) R définie par f (M) = tr(m 3 ). Justifier que f est différentiable et calculer la différentielle de f en tout M M n (R). Exercice [ 35 ] [Correction] Montrer que l application P P(t) dt définie sur E = R n [X] est différentiable et exprimer sa différentielle. Exercice 3 [ 8 ] [Correction] Justifier que la fonction f : C C définie par f (z) = /z est différentiable et calculer sa différentielle. Exercice 4 [ 3 ] [Correction] (a) Justifier que l application det: M n (R) R est différentiable. (b) Calculer sa différentielle en I n puis en toute matrice M inversible. (c) En introduisant la comatrice de M, exprimer la différentielle de l application det en tout M M n (R). Exercice 5 [ 34 ] [Correction] Déterminer la différentielle en I n puis en M GL n (R) de M M. Exercice 6 [ 9 ] [Correction] Soient E et F deux R-espaces vectoriels de dimension finies et ϕ: E E F une application bilinéaire. Établir que ϕ est différentiable et calculer sa différentielle dϕ. Exercice 7 [ 94 ] [Correction] Si p N, soit f p : (x, y) R \ {(, )} (x + y) p sin x + y (a) Condition nécessaire et suffisante pour que f p se prolonge par continuité en (, )? (b) La condition de a) étant remplie, condition nécessaire et suffisante pour que le prolongement obtenu soit différentiable en (, )? Exercice 8 [ 37 ] [Correction] Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme symétrique de E. (a) Montrer que l application f : x E (u(x) x) est différentiable sur E et calculer sa différentielle en tout point. (b) Montrer que l application ( ) u(x) x F : x E \ { E } (x x) est différentiable sur E \ { E } et que sa différentielle vérifie df(a) = a est vecteur propre de u Exercice 9 [ 36 ] [Correction] Soit f : E F différentiable vérifiant f (λx) = λ f (x) pour tout λ R et tout x E. Montrer que l application f est linéaire. Exercice [ 35 ] [Correction] Soient E = C (R n, R), E le dual de E et D = { d E ( f, g) E, d( f g) = f ()d(g) + g()d( f ) } (a) Montrer que D est un sous-espace vectoriel de E. (b) Montrer que D est non réduit à {}. (c) Soit d D et h une fonction constante. Que vaut d(h)? (d) Soit f E. Montrer x R n, f (x) = f () + Vérifier que l application x n x i (tx) dt i i= i (tx) dt est dans E.

2 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés (e) Soit d D. Établir l existence de (a,..., a n ) R n tel que n f E, d( f ) = a i () i (f) Déterminer la dimension de D. Exercice [ 445 ] [Correction] Soit n N et f : M n (R) R n l application définie par f (M) = ( tr ( M ), tr ( M ),..., tr ( M n) ) (a) Montrer que f est différentiable et calculer sa différentielle en M M n (R). (b) Comparer le rang de d f (M) et le degré du polynôme minimal de M. (c) Montrer que l ensemble des matrices de M n (R) dont le polynôme minimal est de degré n est une partie ouverte de M n (R). Dérivée selon un vecteur Exercice [ 743 ] [Correction] Soit f la fonction définie sur R par y /x si x f (x, y) = si x = (a) Montrer que f admet une dérivée au point (, ) suivant tout vecteur de R. (b) Observer que néanmoins f n est pas continue en (, ). i= (a) f (x, y) = x y (avec x > ) (b) f (x, y) = x + y (c) f (x, y) = x sin(x + y). Exercice 5 [ 745 ] [Correction] Soit f : R R définie par xy x + y si (x, y) (, ) f (x, y) = sinon Justifier que f est continue en (, ). Étudier les dérivées partielles de f en (, ). Exercice 6 [ 3348 ] [Correction] Calculer les dérivées partielles de f (x, y) = min(x, y ) Exercice 7 [ 746 ] [Correction] Soit ϕ: R R dérivable. On pose f : R R R définie par f (x, y) = ϕ(y/x). Montrer que f vérifie la relation : x f (x, y) + y (x, y) = Exercice 3 [ 744 ] [Correction] Soit f : R R définie par x y si (x, y) (, ) f (x, y) = x 4 +y sinon Montrer que f admet une dérivée en (, ) selon tout vecteur sans pour autant y être continue. Calcul de dérivées partielles Exercice 4 [ 74 ] [Correction] Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : Exercice 8 [ 466 ] [Correction] On considère f : (x, y) + n= (a) Déterminer le domaine de définition D de f. (b) Étudier l existence de et sur D. x n + y n Calcul de dérivées partielles d ordre Exercice 9 [ 756 ] [Correction] Calculer les dérivées partielles d ordre des fonctions suivantes :

3 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés 3 (a) f (x, y) = x (x + y) (b) f (x, y) = cos(xy) Exercice 4 [ 93 ] [Correction] Soient (x,..., x n, h,..., h n ) R n, f C (R n, R) et, si t R, Exercice [ 759 ] [Correction] Soit f et ϕ: R R deux applications de classe C et F : R R définie par F(x, y) = f (x + ϕ(y)) Calculer g (t). g(t) = f (x + th,..., x n + th n ) (a) Justifier que F est de classe C. (b) Vérifier l égalité : F F F F = Exercice [ 49 ] [Correction] Soient f : (x, y) f (x, y) de classe C et g: (r, θ) f (r cos θ, r sin θ). Justifier que g est de classe C et exprimer en fonction des dérivées partielles de g. f + f Exercice [ 76 ] [Correction] Soit f : R R une fonction de classe C et g: R R définie par (a) Justifier que g est de classe C. g(u, v) = f (uv, u + v ) (b) Exprimer les dérivées partielles d ordre de g en fonction des dérivées partielles de f. Dérivées partielles de fonctions composées Exercice 3 [ 749 ] [Correction] Soit f : R R différentiable. On pose g: R R définie par g(t) = f (t, + t ). Exprimer g (t) en fonction des dérivées partielles de f. Exercice 5 [ 755 ] [Correction] Soit f : R R une fonction différentiable et g: R R définie par (a) Justifier que g est différentiable. g(u, v) = f (u + v, uv) (b) Exprimer u et v en fonction des dérivées partielles de la fonction f notées et. Exercice 6 [ 48 ] [Correction] Soient f : (x, y) f (x, y) différentiable et g: (r, θ) f (r cos θ, r sin θ). Justifier que g est différentiable et exprimer les dérivées partielles de f en fonction de celles de g. Exercice 7 [ 75 ] [Correction] Soit f : R R une fonction différentiable et g: R R définie par (a) Justifier que g est différentiable. g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) Soit (x, y) R \ {(, )} et (r, θ) R + R tels que x = r cos θ et y = r sin θ. (b) Exprimer les dérivées partielles de g en (r, θ) en fonction de celles de f en (x, y). (c) Exprimer les dérivées partielles de f en (x, y)fonction de celles de g en (r, θ). Exercice 8 [ 43 ] [Correction] Soit f : R R différentiable vérifiant (x, y) R, f (x, y) = f (y, x) Quelle relation existe entre les dérivées partielles de f?

4 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés 4 Exercice 9 [ 75 ] [Correction] Soit f : R R différentiable. (a) On suppose Montrer (b) Étudier la réciproque. Exercice 3 [ 753 ] [Correction] Soit f : R R différentiable telle que Montrer que t R, (x, y) R, f (x + t, y + t) = f (x, y) (x, y) R, (x, y) + (x, y) = t R, (x, y) R, f (tx, ty) = f (x, y) x f (x, y) + y (x, y) = Exercice 3 [ 45 ] [Correction] Soit f : R R une fonction différentiable homogène de degré n N c est-à-dire vérifiant t R, (x, y) R, f (tx, ty) = t n f (x, y) (a) Montrer que x + y = n f (b) On suppose n. Montrer que les dérivées partielles de f sont elles aussi homogènes, préciser leur degré. Exercice 3 [ 46 ] [Correction] Soit f : R R une fonction différentiable. On dit que f est homogène de degré α R si, et seulement si, t >, (x, y) R, f (tx, ty) = t α f (x, y) (a) On suppose f homogène de degré α. Montrer (b) Établir la réciproque. (x, y) R, x f (x, y) + y (x, y) = α f (x, y) Matrice jacobienne Exercice 33 [ 33 ] [Correction] Soit f C (R n, R n ) dont la matrice jacobienne est, en tout point, antisymétrique. Montrer qu il existe b R n et A M n (R) antisymétrique tels que : Classe d une fonction x R n, f (x) = Ax + b Exercice 34 [ 747 ] [Correction] Étudier la continuité, l existence et la continuité des dérivées partielles premières de f : x y ln(x + y ) si (x, y) (, ) (a) f (x, y) =. sinon (x + y ) sin si (x, y) (, ) (b) f (x, y) = x +y sinon Exercice 35 [ 38 ] [Correction] On considère la fonction f : R R définie par sin(xy) x + y si (x, y) (, ) f (x, y) = sinon (a) f est-elle continue? (b) f est-elle de classe C? Exercice 36 [ 758 ] [Correction] On définit une fonction f : R R par xy(x y ) si (x, y) (, ) f (x, y) = x +y sinon (a) Montrer que f est de classe C. (b) La fonction f est-elle de classe C?

5 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés 5 Exercice 37 [ 95 ] [Correction] On pose f (x, y) = xy x y x + y pour x, y réels non tous deux nuls. La fonction f admet-elle un prolongement continue à R? Un prolongement de classe C? de classe C? Exercice 38 [ 757 ] [Correction] Soit f : R R la fonction définie par xy 3 si (x, y) (, ) f (x, y) = x +y sinon (a) Montrer que f est de classe C sur R. (b) Montrer que f (, ) et f (, ) existent et diffèrent. Qu en déduire? Exercice 39 [ 4 ] [Correction] Soit f : R {(, )} R définie par f (x, y) = (x y ) ln(x + y ) (a) Est-il possible de prolonger f par continuité en (, )? (b) Établir que f est de classe C sur R {(, )} et, sans calculs, établir f (x, y) = (y, x) (c) La fonction f est-elle de classe C sur R? Exercice 4 [ 4 ] [Correction] Soient f : R R une fonction de classe C et F : R \ {(, )} R définie par F(x, y) = f (x + y ) f () x + y (a) Déterminer lim (x,y) (,) F(x, y). On prolonge F par continuité en (, ) et on suppose de surcroît f de classe C. (b) Justifier que F est différentiable en (, ) et y préciser sa différentielle. (c) Montrer que F est de classe C. Exercice 4 [ 46 ] [Correction] On pose ϕ(x, y) = cos x cos y x y pour x y (a) Montrer que ϕ admet un prolongement par continuité à R noté encore ϕ. (b) Montrer que ϕ est de classe C puis C. Exercice 4 [ 96 ] [Correction] Soit g: R R de classe C. On pose f (x, y) = g(x) g(y) x y pour x y et f (x, x) = g (x) (a) Exprimer f (x, y) à l aide d une intégrale sur l intervalle [ ; ]. (b) En déduire que f est de classe C. Exercice 43 [ 748 ] [Correction] Soit ϕ: R R continue et f : R R définie par f (x, y) = y x ϕ(t) dt Montrer que f est de classe C et calculer ses dérivées partielles premières. Exercice 44 [ 5 ] [Correction] Soit f : R R une fonction de classe C. On définit F(x) = x 3 x f (x +, t) dt Démontrer que F est dérivable sur R et préciser sa dérivée.

6 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés 6 Exercice 45 [ 97 ] [Correction] Soit, pour n N, u n : (x, y) cos(ny) x n n On note D l ensemble des (x, y) R tels que la série de terme général u n (x, y) converge. On pose f : (x, y) u n (x, y) (a) Déterminer D. (b) Montrer que f D est de classe C. Gradient Exercice 46 [ 3 ] [Correction] Soit E un espace vectoriel euclidien. (a) En quels points l application x x est-elle différentiable? (b) Préciser en ces points le vecteur gradient. n= Recherche d extremum Exercice 49 [ 76 ] [Correction] Déterminer les extrema locaux des fonctions f : R R suivantes : (a) f (x, y) = x + xy + y 3x 6y (b) f (x, y) = x + y xy y + 5 (c) f (x, y) = x 3 + y 3 (d) f (x, y) = (x y) + (x + y) 3 Exercice 5 [ 6 ] [Correction] Trouver les extrema sur R de Exercice 5 [ 9 ] [Correction] Trouver les extrema sur R de f (x, y) = x + xy + y + x y f (x, y) = x 4 + y 4 (x y) Exercice 47 [ 3885 ] [Correction] Soient u un endomorphisme symétrique d un espace euclidien E et x un vecteur de E. On étudie la fonction f : E R définie par f (x) = ( u(x) x ) + (x x) (a) Montrer que f est différentiable et exprimer sa différentielle. (b) Calculer le gradient de f en tout point de E. Exercice 48 [ 33 ] [Correction] (a) Montrer que l application : A det A est différentiable sur M n (R). (b) Calculer sa différentielle en commençant par évaluer ses dérivées partielles. (c) On munit M n (R) du produit scalaire canonique défini par A, B = tr (t AB ). Déterminer le vecteur gradient de en A Exercice 5 [ 463 ] [Correction] Déterminer les extremums de x ln x + y ln y sur ] ; + [. Exercice 53 [ 53 ] [Correction] (a) Étudier les branches infinies, les variations, la convexité et représenter f (t) = t ln t t. (b) Résoudre f (t) =. (c) Trouver les extremums globaux et locaux de Exercice 54 [ 58 ] [Correction] Déterminer les extrema locaux et globaux de g(x, y) = x ln y y ln x f (x, y) = x 3 + y 3 3xy

7 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés 7 Exercice 55 [ 59 ] [Correction] Trouver les extrema sur R de f (x, y) = x 4 + y 4 4xy Exercice 56 [ 68 ] [Correction] Déterminer xy sup (x,y) ];+ [ ( + x)( + y)(x + y) (b) Soit u un vecteur de R n et g: R n R l application définie par g(x) = f (x), x u, x Montrer que g admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur de R n et les expliciter. (c) Montrer que g admet un unique point critique noté z. (d) Montrer que g admet un minimum global en z. Exercice 57 [ 65 ] [Correction] Calculer ( inf x,y> x + ) y + xy Exercice 6 [ 7 ] [Correction] Soient U un ouvert convexe et f : U R une fonction convexe et différentiable. Montrer que tout point critique est un minimum global. Extremum sur compact Exercice 58 [ 7 ] [Correction] Soit a >. Montrer que admet un minimum strict sur (R +) Exercice 59 [ 7 ] [Correction] Soit a >. On pose, pour x > et y >, f : (x, y) x + y + a xy Exercice 6 [ 59 ] [Correction] Déterminer le maximum de la fonction f définie sur le compact K = [ ; ] donnée par f (x, y) = Exercice 63 [ 359 ] [Correction] Déterminer les extrema de f sur D avec x + y ( + x )( + y ) f (x, y) = x 4 + y 4 (x y) avec D = { (x, y) R x + y 4 } f (x, y) = x + y + a xy Montrer que f admet un minimum absolu et calculer ce dernier. Exercice 6 [ 3347 ] [Correction] On considère l espace vectoriel R n muni de son produit scalaire usuel noté.,.. Soit f un endomorphisme symétrique de R n dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. (a) Montrer que x R n \ {}, f (x), x > Exercice 64 [ 63 ] [Correction] Soit f : (x, y) xy( x y) définie sur T = { (x, y) R x, y, x + y } (a) Justifier que f est continue et présente un maximum à l intérieur de T. (b) Déterminer sa valeur. Exercice 65 [ 64 ] [Correction] Soit D l ensemble des couples (x, y) R tels que x, y et x + y.

8 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés 8 (a) Montrer que D est une partie compacte de R. (b) Soient a >, b >, c > et f : D R définie par : Montrer que f est continue sur D. (c) Déterminer f (x, y) = x a y b ( x y) c sup f (x, y) (x,y) D Exercice 66 [ 66 ] [Correction] Déterminer sup [;π/] sin x sin y sin(x + y) Exercice 67 [ 67 ] [Correction] On note C le cercle trigonométrique. Quel est le périmètre maximal d un triangle dont les sommets sont sur C? Exercice 68 [ 9 ] [Correction] Calculer l aire maximale d un triangle inscrit dans un cercle de rayon r. Exercice 69 [ 3349 ] [Correction] Soit (ABC) un vrai triangle du plan. Pour un point M du plan, on pose (a) Étudier la différentiabilité de f. f (M) = MA + MB + MC (b) En considérant le disque fermé de centre A et de rayon AB + AC, établir que f possède un minimum absolu dans le plan. (c) Soit T un point où ce minimum est atteint. On suppose que T n est pas un sommet du triangle. Établir T A T A + T B T B + TC TC = (d) Montrer qu alors le point T voit les sommets du triangle sous un même angle. Exercice 7 [ 465 ] [Correction] Soit un triangle ABC et M parcourant l intérieur de ce triangle. On veut déterminer en quelle position le produit des 3 distances de M à chacun des côtés du triangle est maximal. Indications : ne pas oublier de justifier l existence de ce maximum, la réponse est le centre de gravité du triangle. Exercice 7 [ 446 ] [Correction] Soit f une fonction différentiable au départ de R n et à valeurs dans R. On suppose que d f (x) x pour tout vecteur x R n tel que x. Montrer que f admet un minimum absolu. Équations aux dérivées partielles d ordre Exercice 7 [ 763 ] [Correction] En réalisant le changement de variables { u = x + y v = x + 3y déterminer les fonctions f : R R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles : 3 = Exercice 73 [ 44 ] [Correction] Résoudre sur R l équation aux dérivées partielles { f u = x + y (x, y) 3 (x, y) = via v = 3x + y Exercice 74 [ 765 ] [Correction] Résoudre sur R { u = x + y (x, y) + (x, y) = f (x, y) via v = x y

9 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés 9 Exercice 75 [ 764 ] [Correction] En réalisant le changement de variables { u = x v = y x déterminer les fonctions f : R R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles : + = f Exercice 76 [ 766 ] [Correction] En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R \ {(, )} l équation aux dérivées partielles y x = Exercice 8 [ 46 ] [Correction] Montrer que f : R n R de classe C est homogène de degré p si, et seulement si, (x,..., x n ) R n, n i= Exercice 8 [ 47 ] [Correction] Soit f : R R de classe C telle que x i i (x,..., x n ) = p f (x,..., x n ) (x, y) R, x f (x, y) + y (x, y) = Montrer la constance de l application suivante ϕ: r π f (r cos t, r sin t) dt Exercice 77 [ 8 ] [Correction] En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f : R R + R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles y x = f Exercice 78 [ 76 ] [Correction] En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f : R + R R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles x + y = Exercice 79 [ 768 ] [Correction] En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f : R + R R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles x + y = x + y Exercice 8 [ 3675 ] [Correction] Soient α R et f : R R de classe C tels que Exprimer (x, y) R, x f (x, y) + y (x, y) = α f (x, y) ϕ: r [ ; + [ Exercice 83 [ 3793 ] [Correction] On étudie l équation aux dérivées partielles π f (r cos t, r sin t) dt (E): x f (x, y) + y (x, y) = f (x, y) où la fonction inconnue f est de classe C de R vers R. (a) Montrer l existence de solutions non nulles. (b) Soit g: t f (tx, ty) avec (x, y) un couple de R. Montrer que g est de classe C et exploiter cette fonction pour résoudre l équation (E).

10 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés Exercice 84 [ 9 ] [Correction] (a) Soit α R. Trouver les f C (R R +, R) telles que x + y = α f (b) Trouver toutes les f C (R R +, R) telles que x + y = x x y 3 + y 3 Exercice 85 [ 93 ] [Correction] On note U l ensemble des (x, y) de R tels que x > et E = C (U, R). Soit f : U R et α R ; on dit que f est homogène de degré α si f (tx, ty) = t α f (x, y) pour tous t R +, (x, y) U. On pose : (a) Déterminer ker Φ. f E, (x, y) U, Φ( f )(x, y) = x f (x, y) + y (x, y) (b) Soit f E. Montrer que f est homogène de degré α si, et seulement si, Φ( f ) = α f. (c) Résoudre l équation d inconnue f E, Φ( f ) = h, h étant la fonction qui à (x, y) associe (x + y ) 3/ xy. Équations aux dérivées partielles d ordre Exercice 86 [ 8 ] [Correction] En réalisant le changement de variables { u = x + y v = x y déterminer les fonctions f : R R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles f (x, y) f (x, y) = Exercice 87 [ 769 ] [Correction] Soit c >. En réalisant le changement de variables { u = x + ct v = x ct déterminer les fonctions f : (x, t) f (x, t) de classe C sur R solutions de l équation aux dérivées partielles f = f c t Exercice 88 [ 8 ] [Correction] En réalisant le changement de variables { u = x v = x + y déterminer les fonctions f : R R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles f f + f = Exercice 89 [ 84 ] [Correction] En réalisant le changement de variables { u = xy v = x/y déterminer les fonctions f : R + R + R de classe C solutions de l équation aux dérivées partielles x f y f = Exercice 9 [ 778 ] [Correction] [Fonctions harmoniques] Une fonction de classe C est dite harmonique si, et seulement si, son laplacien f = f + f est nul.

11 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés (a) Montrer que si f est harmonique et de classe C 3 alors, et x + y le sont aussi. On suppose que f : R \ {(, )} est radiale i.e. qu il existe une fonction ϕ: R + R de classe C telle que f (x, y) = ϕ(x + y ). (b) Montrer que f est harmonique si, et seulement si, ϕ est solution d une équation différentielle qu on précisera. (c) En résolvant cette équation, déterminer f. Exercice 9 [ 5 ] [Correction] Soient f C (R, R) telle que et g(r, t) = f (r cos t, r sin t). (a) Trouver une relation liant (b) Montrer que ϕ: r f + f = ( r ) et g r r t π est de classe C C sur R et que (rϕ (r)) = (c) Conclure que ϕ est constante. f (r cos t, r sin t) dt Exercice 9 [ 56 ] [Correction] Soit + n= a n z n une série entière de rayon de convergence R >. Pour (x, y) R tel que x + y < R, on pose Établir f (x, y) = + n= a n (x + iy) n f + f = Exercice 93 [ 37 ] [Correction] Déterminer les fonctions f : R + R de classe C telle que vérifie F : Analyse vectorielle R n \ {} R ( ) (x,... x n ) f x + + x n n F = i= Exercice 94 [ 773 ] [Correction] On appelle laplacien d un champ scalaire F de classe C le champ scalaire défini par ( F ) F = div (a) Montrer (b) Exprimer F r (M) et F θ i F = F + F F F (M) en fonction de (M) et (M) (c) Exprimer F en fonction de F r, F r et F θ. Exercice 95 [ 774 ] [Correction] Soit F un champ scalaire de classe C de l espace. Exprimer F(M) en fonction F ρ F F (M), (M), ϕ z (M) et des vecteurs du repère cylindrique associé au point M. Exercice 96 [ 775 ] [Correction] Soit F le champ de vecteurs du plan défini par F(M) = OM OM. (a) Calculer F(M) (b) Le champ de vecteurs F dérive-t-il d un potentiel?

12 [ édité le 8 décembre 6 Enoncés Exercice 97 [ 776 ] [Correction] Soit F le champ de vecteurs de l espace défini par F(M) = OM. OM 3 (a) Ce champ de vecteur dérive-t-il d un potentiel? (b) Calculer F(M) et Rot F(M). Exercice 98 [ 777 ] [Correction] Soit ω un vecteur de l espace et F le champ de vecteurs de l espace défini par (a) Calculer F(M) et Rot F(M). F(M) = ω OM (b) Le champ de vecteur F dérive-t-il d un potentiel? Exercice 99 [ 3799 ] [Correction] On pose γ (t) = a( t) i + bt j avec t et le champ de vecteurs γ (t) = a cos(s) i + b sin(s) j avec s π/ V = y i + x j (a) Représenter les courbes paramétrées par γ et γ. (b) Le champ de vecteurs V dérive-t-il d un potentiel U(x, y)? (c) Calculer la circulation de V selon γ et γ. Conclure.

13 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 3 Corrections avec l : h h a linéaire et Exercice : [énoncé] (a) L application M M est différentiable car polynomiale. Soient M M n (R) et H M n (R). f (M + H) f (M) = MH + HM + H = ϕ(h) + o( H ) avec ϕ: H MH + HM linéaire. Par suite d f (M): H HM + MH (b) L application M M 3 est différentiable car polynomiale et l application M tr(m) est différentiable car linéaire. Par opérations sur les fonctions différentiable, f est différentiable Soient M M n (R) et H M n (R). f (M + H) f (M) = tr(m H + MHM + HM ) + tr(mh + HMH + H M) + tr(h 3 ) Posons ϕ: H tr(m H + MHM + HM ) = 3 tr(m H). ϕ est une application linéaire telle que : f (M + H) f (M) = ϕ(h) + ψ(h) avec ψ(h) C H donc ψ(h) = o( H ). Par suite d f (M): H 3 tr(m H) Exercice : [énoncé] Posons f (P) = P(t) dt. f (P + H) = f (P) + P(t)H(t) dt + H(t) dt. Posons l(h) = P(t)H(t) dt ce qui définit l forme linéaire sur E. En munissant E de la norme. =., on observe H(t) dt H = o( H ). Ainsi, la relation précédente donne f (P + H) = f (P) + l(h) + o( H ) ce qui assure que f est différentiable en P et d f (P): H P(t)H(t) dt. α(h) = La différentielle de f en a est donc Exercice 4 : [énoncé] h a(a + h) + h a = h a (a + h) = O(h ) = o(h) l : h h a (a) det est différentiable (et même de classe C ) car polynomiale en vertu de l expression générale définissant le déterminant det M = ε(σ) σ S n (b) det(i + H) = + ϕ(h) + o( H ) avec ϕ = d I (det). Pour H = λe i, j, on obtient donc ϕ(e i, j ) = δ i, j puis Soit M inversible. donc (c) En M inversible n i= a σ(i),i det(i n + λe i, j ) = + λδ i, j = + λϕ(e i, j ) + o(λ) ϕ = tr det(m + H) = det M det(i + M H) = det M + det M tr(m H) + o(h) d(det)(m): H det M tr(m H) Exercice 3 : [énoncé] Soient a C et h C. On peut écrire f (a + h) f (a) = h = l(h) + α(h) a(a + h) d(det)(m): H det M tr(m H) = tr( t Com M.H) Les applications M d(det)(m) et M tr( t Com M.) sont continues et coïncident sur la partie dense GL n (R), elles sont donc égales sur M n (R).

14 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 4 Exercice 5 : [énoncé] On a donc d où On a aussi (I n + H)(I n H) = I n H = H O n I n + o(h) (I n + H) = H O n I n H + o(h) d(m M )(I): H H Pour p > : f p (x, y) = (x + y) p f (x, y) La fonction f p est différentiable par produit de fonctions différentiables. Pour p = : Quand h +, h ( f (h, ) f (, )) = sin h diverge. Ainsi f n est pas dérivable en (, ) selon le vecteur (, ), elle ne peut donc y être différentiable. donc (M + H) = (I n + M H) M = H O n M M HM + o(h) d(m M )(M): H M HM Exercice 8 : [énoncé] (a) Pour a, h E, f (a + h) f (a) = (u(a) h) + (u(h) a) + (u(h) h) = l(h) + o( h ) Exercice 6 : [énoncé] On a ϕ(a + h, b + k) = ϕ(a, b) + ϕ(h, b) + ϕ(a, k) + ϕ(h, k) = ϕ(a, b) + ψ(h, k) + o ( (h, k) ) avec ψ: (h, k) ϕ(h, b) + ϕ(a, k) linéaire et ϕ(h, k) = o ( (h, k) ) car ϕ(h, k) M h k. Par suite ϕ est différentiable en (a, b) et dϕ(a, b) = ψ. Exercice 7 : [énoncé] (a) En polaires, x = r cos θ, y = r sin θ, f p (x, y) = (cos θ + sin θ) p r p sin r Si p alors fp (x, y) p r p et on peut prolonger f par continuité en (x,y) (,) (, ). Si p = alors f (x, y) = sin diverge car le sinus diverge en +. x +y (b) On suppose p. Pour p = : f (x, y) = (x + y) sin x + y = O( (x, y) ) ce qui s apparente à un développement limité à l ordre en (, ). La fonction f est donc différentiable en (, ) de différentielle nulle. avec l(h) = (u(a) h) définissant une application linéaire et (u(h) h) = o( h ) car (u(h) h) u h. Ainsi f est différentiable en tout a E et d f (a): h (u(a) h) (b) F est différentiable en tant que rapport défini de fonctions différentiables. La formule ( ) f d = g d f f dg g g donne avec df(a): h (u(a) h) (a a) (u(a) a) (a h) = (v(a) h) (a a) v(a) = u(a) a (u(a) a) a a 4 Si df(a) = alors v(a) = et donc u(a) est colinéaire à a. La réciproque est aussi vraie. Exercice 9 : [énoncé] Remarquons et notons l = d f (). f () = f (.) =. f () =

15 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 5 D une part et d autre part On en déduit f (λx) = f () + l(λx) + o(λ x ) f (λx) = λ f (x) λl(x) + o(λ x ) = λ f (x) En simplifiant par λ et en faisant λ +, on obtient f (x) = l(x). Ainsi, l application f est linéaire. Exercice : [énoncé] (a) immédiat. (b) L application d h : f d h f () fait l affaire pour n importe quel h R n non nul. (c) Si h est constante égale à λ alors pour toute fonction f E on a par linéarité et par définition des éléments de D, d( f h) = λd( f ) d( f h) = f ()d(h) + λd( f ) En employant une fonction f ne s annulant pas en, on peut affirmer d(h) =. (d) Soit x R n, puisque la fonction ϕ: t [ ; ] f (tx) est de classe C, on a ce qui donne ϕ() = ϕ() + f (x) = f () + n i= ϕ (t) dt x i i (tx) dt Soit K un compact de R n. Toutes les dérivées partielles en x de (x, t) i (tx) sont continues sur K [ ; ] donc bornées. Par domination sur tout compact, on peut affirmer que la fonction f i : x i (tx) dt est de classe C. (e) Notons p i : x x i. Par linéarité de d, on a d( f ) = n d(p i f i ) = i= n d(p i ) f i () i= car d( f ()) = et p i () =. En posant a i = d(p i ) et sachant on obtient f i () = f E, d( f ) = () dt = () i i n i= a i i () (f) L application qui à h R n associe d h est donc une surjection de R n sur D. Cette application est linéaire et aussi injective (prendre f : x (h x) pour vérifier d h = = h = ) c est donc un isomorphisme et Exercice : [énoncé] dim D = n (a) Pour k ; n, l application M M k est différentiable par produit de fonctions qui le sont. La trace étant linéaire, l application composée M tr ( M k) est aussi différentiable. Enfin, ses différentes fonctions coordonnées dans la base de R n étant différentiables, l application f est aussi différentiable. Calculons la différentielle de f en M M n (R). Pour H M n (R) de limite la matrice nulle, on peut affirmer par développement (M + H) k = M k + M k H + M k HM + + HM k + o(h) (le terme o(h) regroupe tous les termes contenant au moins deux facteurs H). Par linéarité de la trace et l identité tr(ab) = tr(ba), on obtient tr ( (M + H) k) = tr(m k ) + k tr(m k H) + o(h) Ceci déterminer la différentielle de chacune des fonctions coordonnées de f. Finalement, on peut exprimer l action de la différentielle de f en M : H M n (R), d f (M) H = ( tr(h), tr(mh),..., n tr ( M n H ) ) (b) Soit M M n (R). Pour calculer le rang de l application linéaire d f (M), on détermine son noyau. Soit H M n (R). On a d f (M) H = R n k ; n, tr(m k H) = En introduisant le produit scalaire canonique sur M n (R) défini par (A, B) ( M n (R) ), A, B = tr (t AB )

16 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 6 on peut réinterpréter l appartenance au noyau : H ker ( d f (M) ) H Vect ( I n, t M,..., t (M n ) ) L espace vectoriel engendré par les matrices I n, t M,..., t (M n ) se confond avec l espace des polynômes en la matrice t M. Cet espace a la dimension du degré du polynôme minimal de t M et ce dernier se confond avec le polynôme minimal de M. On en déduit dim ker ( d f (M) ) = dim M n (R) deg π M Par application de la formule de rang, on conclut rg ( d f (M) ) = dim M n (R) ker ( d f (M) ) = deg π M (c) Soit une matrice M M n (R) dont le polynôme minimal est de degré n. Nous allons vérifier qu il existe une boule centrée en M dans laquelle les matrices ont leurs polynômes minimaux tous de degré n. Par l étude qui précède, la différentielle de f en M est de rang n (autrement dit surjective). Si on introduit (e,..., e n ) la base canonique de R n, on peut assurer l existence de matrices H,..., H n M n (R) telles que (e,..., e n ) = ( d f (M ) H,..., d f (M ) H n ) Considérons ensuite l application qui à une matrice M M n (R) associe le déterminant dans la base canonique de la famille de vecteurs de R n : ( d f (M) H,..., d f (M) H n ) Cette application est continue et prend la valeur en M. Il existe alors un voisinage de M sur lequel cette application ne s annule pas. En les matrices de ce voisinage, la différentielle de f est surjective et donc leurs polynômes minimaux sont de degré n. Exercice : [énoncé] (a) Soit h = (α, β) R. Donc t ( f (t.h) f (, )) = ( f (tα, tβ)) = t β /α si α D h f (, ) = si α = si α = β /α sinon (b) donc f n est pas continue en (, ). Exercice 3 : [énoncé] Quand n + f (/n, / n) = f (, ) f ( n, ) f (, ) n donc f n est pas continue en (, ). Soit h = (α, β) R, t α β ( f (tα, tβ) f (, )) = t t 4 α 4 + t β si β = α /β sinon Exercice 4 : [énoncé] (a) (x, y) = yxy et (x, y) = ln x.xy. (b) x (x, y) = (c) x +y et y (x, y) = x +y. (x, y) = sin(x + y) + x cos(x + y) et (x, y) = x cos(x + y). Exercice 5 : [énoncé] donc f (x, y). donc f (x, y) y (, ) = et de même (, ) =. x x + y y ( f (h, ) f (, )) = h Exercice 6 : [énoncé] La courbe Γ d équation y = x est une parabole séparant le plan en deux portions ouvertes U = { (x, y) x < y } et V = { (x, y) x > y } Soit (x, y ) U. Au voisinage de ce couple, f (x, y) = x et donc

17 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 7 et pour t du signe opposé à celui de y, t ( f (x, y + t) f (x, y )) = ( ) (y + t) y = y + t t On en déduit que la deuxième dérivée partielle de f en (x, y ) n est pas définie. Si y = (et alors x = ) alors pour tout t ( t f (, + t) f (, )) = donc la deuxième dérivée partielle de f en (, ) est définie et (, ) = (x, y ) = et (x, y ) = Soit (x, y ) V. Au voisinage de ce couple, f (x, y) = y et donc (x, y ) = et (x, y ) = y Soit (x, y ) Γ (on a donc x = y ). Sous réserve d existence (x, y ) = lim t t ( f (x + t, y ) f (x, y )) Pour t >, t ( f (x + t, y ) f (x, y )) = ( ) y t y = et pour t <, t ( f (x + t, y ) f (x, y )) = t (x + t x ) = On en déduit que la première dérivée partielle de f en (x, y ) n est pas définie. Sous réserve d existence Si y alors pour t du signe de y, (x, y ) = lim t t ( f (x, y + t) f (x, y )) t ( f (x, y + t) f (x, y )) = t (x x ) = Exercice 7 : [énoncé] On a (x, y) = y x ϕ (y/x) et (x, y) = x ϕ (y/x) d où la relation. Exercice 8 : [énoncé] (a) Si y alors la série définissant f (x, y) converge si, et seulement si, x < Si y > alors la série définissant f (x, y) converge si, et seulement si, x < y car x n = ( ) x n. +y n y Finalement D = { (x, y) R x < max(, y ) }. (b) u n (x, y) = xn. Soit a [ ; [ et D +y n a = { (x, y) R x a max(, y ) }. Pour (x, y) D a : u n (x, y) = nx n + y n Si y alors x a et u n (x, y) = nx n + y n nan + y n nan Si y > alors x ay et u n (x, y) = nx n + y n nan y n nan na n + y n y

18 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 8 Dans les deux cas u n (x, y) na n qui est le terme général d une série convergente. u n (x, y) = ny n x n ( + y n ) nxn + y car y n n + y n Si y alors x a et Si y > alors x ay et u n (x, y) nan nan + yn u n (x, y) nan y n nan + yn Dans les deux cas u n (x, y) na n qui est le terme général d une série convergente. Par convergence normale, et existent sur D a et comme ceci vaut pour tout a [ ; [, et existent sur D. Exercice 9 : [énoncé] (a) (x, y) = 3x + xy, (x, y) = x, f (x, y) = 6x + y, f (x, y) = x, f (x, y) =. (b) (x, y) = y sin(xy), (x, y) = x sin(xy), f (x, y) = y cos(xy), f (x, y) = sin xy xy cos(xy) et f (x, y) = x cos(xy). Exercice : [énoncé] (a) Par composition F est C. (b) Par calcul F (x, y) = f (x + ϕ(y)), F (x, y) = ϕ (y) f (x + ϕ(y)), F (x, y) = f (x + ϕ(y)) et F (x, y) = ϕ (y) f (x + ϕ(y)). Par suite l égalité proposée est vérifiée. Exercice : [énoncé] et donc r = cos θ + sin θ, = r sin θ θ + r cos θ g r = cos θ f + cos θ sin θ f + sin θ f r g θ = sin θ f cos θ sin θ f + cos θ f r cos θ r sin θ Exercice : [énoncé] (a) g est C par composition. (b) Les dérivées partielles d ordre sont f + f = g r + r r + g r θ f (u, v) = v u (uv, u + v ) + u (uv, u + v ), f (u, v) = u v (uv, u + v ) + v (uv, u + v ). les dérivées partielles d ordre sont g u (u, v) = v f (uv, u + v ) + 4uv f (uv, u + v ) + 4u f (uv, u + v ) + (uv, u + v ), g u v (u, v) = f uv (uv, u + v ) + (u + v ) f (uv, u + v ) + 4uv f (uv, u + v ) + (uv, u + v ), g v (u, v) = u f (uv, u + v ) + 4uv f (uv, u + v ) + 4v f (uv, u + v ) + (uv, u + v ).

19 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 9 Exercice 3 : [énoncé] Par composition la fonction g est dérivable et Exercice 4 : [énoncé] Par dérivation de fonctions composées Exercice 5 : [énoncé] g (t) = f (t, + t ) + t f (t, + t ) g (t) = n i= h i i (x + th,..., x n + th n ) (a) (u, v) (u + v, uv) est différentiable de R vers R car à composantes polynomiales. Par composition g est différentiable. (b) et f (u, v) = u u (u + v, uv) + v (u + v, uv) f (u, v) = v v (u + v, uv) + u (u + v, uv) Exercice 6 : [énoncé] Par composition de fonctions différentiables, g est différentiable et (r, θ) = cos θ (r cos θ, r sin θ) + sin θ (r cos θ, r sin θ) r (r, θ) = r sin θ (r cos θ, r sin θ) + r cos θ (r cos θ, r sin θ) θ En combinant ces deux relations, on obtient sin θ (x, y) = cos θ (r, θ) r r cos θ (x, y) = sin θ (r, θ) + r r (r, θ) et θ (r, θ) θ Exercice 7 : [énoncé] (a) (r, θ) (r cos θ, r sin θ) est différentiable donc g l est aussi par composition. (b) Par dérivation de la composition g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) (r, θ) = cos θ (x, y) + sin θ (x, y) r (r, θ) = r sin θ (x, y) + r cos θ (x, y) θ (c) En résolvant le système formé par les deux équations précédentes. avec (x, y) = (r cos θ, r sin θ). Exercice 8 : [énoncé] Par dérivation de fonctions composées Exercice 9 : [énoncé] (x, y) = sin θ r (r, θ) + r (x, y) = cos θ r (r, θ) r sin θ (r, θ) θ cos θ (r, θ) θ (x, y) = d dx ( f (x, y)) = d ( f (y, x)) = (y, x) dx (a) On dérive la relation par rapport à t avant d évaluer en t =. (b) Soit (x, y) R. On introduit la fonction ϕ: R R définie par ϕ(t) = f (x + t, y + t). La fonction ϕ est dérivable et ϕ (t) = en vertu de l hypothèse de travail. On en déduit que la fonction ϕ est constante. L identité ϕ(t) = ϕ() produit celle voulue. Exercice 3 : [énoncé] On dérive la relation par rapport à t avant d évaluer en t =. Exercice 3 : [énoncé]

20 [ édité le 8 décembre 6 Corrections (a) En dérivant la relation f (tx, ty) = t n f (x, y) en la variable t En évaluant en t =, on obtient x f (tx, ty) + y (tx, ty) = ntn f (x, y) x f (x, y) + y (x, y) = n f (x, y) (b) En dérivant la relation f (tx, ty) = t n f (x, y) en la variable x donc, pour t, t (tx, ty) = tn (x, y) (tx, ty) = tn (x, y) Cette identité se prolonge aussi en t = grâce à la continuité de On peut conclure que est de homogène de degré n. Idem pour. Exercice 3 : [énoncé] (a) En dérivant la relation f (tx, ty) = t α f (x, y) en la variable t : En évaluant en t =, on obtient x f (tx, ty) + y (tx, ty) = αtα f (x, y) x f (x, y) + y (x, y) = α f (x, y) (b) Supposons que f vérifie l équation proposée. Pour (x, y) R, considérons ϕ: t f (tx, ty) t α f (x, y) définie sur R +. ϕ est dérivable et tϕ (t) = αϕ(t). Après résolution et puisque ϕ() =, on obtient ϕ(t) = et donc f est homogène de degré α. Exercice 33 : [énoncé] Notons f,..., f n les fonctions composantes de f et d,..., d n les opérateurs de dérivées partielles.. L antisymétrie de la matrice jacobienne de f donne i, j {,..., n}, d i ( f j ) = d j ( f i ) Exploitons cette propriété pour établir que les dérivées partielles de f sont constantes Soient i, j, k {,..., n}. Par antisymétrie d k (d j f i ) = d k (d i f j ) Par le théorème de Schwarz, puis par antisymétrie d k (d j f i ) = d i (d k f j ) = d i (d j f k ) À nouveau par le théorème de Schwarz et par antisymétrie d k (d j f i ) = d j (d i f k ) = d j (d k f i ) Enfin, en vertu du théorème de Schwarz, on obtient d k (d j f i ) = Ainsi toutes les dérivées partielles de d j f i sont nulles et donc d j f i est constante. En posant a i, j la valeur de cette constante, on obtient Enfin en intégrant, on obtient Exercice 34 : [énoncé] Jac( f ) = ( a i, j ) i n, j n = A M n(k) antisymétrique f (x) = Ax + b avec b = f () (a) f est clairement continue sur R \ {(, )}. Étudions la continuité en (, ) ( ) xy ((x f (x, y) = (xy) + y ) ln(x + y ) ) x + y (x,y) (,) f est donc continue en (, ). Étudions l existence de la dérivée partielle par rapport à x. Par composition existe et est continue sur R \ {(, )}. De plus (x, y) = xy ln(x + y ) + x3 y x + y

21 [ édité le 8 décembre 6 Corrections et Donc Enfin car (, ) existe et (, ) =. ( f (t, ) f (, )) = t t (x, y) (x,y) (,) xy ln(x + y xy ) = y x + y (x + y ) ln(x + y ) Par suite existe et est continue sur R. Étudions l existence de la dérivée partielles par rapport à y. Comme f (x, y) = f (y, x) l étude de est identique. (b) Soit g: R + R la fonction définie par t sin / t si t g(t) = sinon La fonction g et continue sur R + et comme f (x, y) = g(x + y ), f est continue sur R. La fonction g est de classe C sur R + donc f admet des dérivées partielles continues sur R \ {(, )}. De plus et (x, y) = x sin x + y (x, y) = y sin x + y Étudions l existence de dérivées partielles en (, ). donc x x + y cos x + y y x + y cos x + y t ( f (t, ) f (, )) = t sin = O(t) t t (, ) existe pas et vaut. Il en est de même pour (, ). ( ) n, = sin n cos n n diverge quand n +, donc n est pas continue en (, ). Il en est de même de. Exercice 35 : [énoncé] (a) La fonction f est évidemment continue sur R \ {(, )}. En passant en coordonnées polaires car le facteur f (x, y) (x,y) r cos θ sin θ = f (, ) r cos θ + sin θ cos θ sin θ cos θ + sin θ est bornée en tant que fonction continue et π-périodique. La fonction f est donc continue sur R. (b) On a Or pour x, y > et donc La fonction f n est donc pas de classe C. Exercice 36 : [énoncé] (a) (, ) = lim ( f (t, ) f (, )) = t t y cos(xy)(x + y) sin(xy) (x, y) = (x + y) (t, t) = t cos(t ) sin(t ) (t) t + (, ) = lim ( f (t, ) f (, )) = t t et de même (, ) =. Par opérations, f est de classe C sur R \ {(, )} et pour (x, y) (, ), (x, y) = y(x4 y 4 + 4x y ), (x + y ) (x, y) = x(x4 y 4 + 4x y ) (x + y ) En passant en coordonnées polaires, on vérifie aisément (x, y) = (, ) (x,y) (,) Il en est de même pour. On en déduit que f est de classe C sur R.

22 [ édité le 8 décembre 6 Corrections (b) ( ) f f (, ) = lim (, t) (, ) = et (, ) = t t On en déduit que f n est pas de classe C car la conclusion du théorème de Schwarz n est pas vérifié. Exercice 38 : [énoncé] (a) Par composition f est de classe C sur R \ {(, )}. (x, y) = y 3 x + y x y 3 (x + y ) et (x, y) = 3xy x + y xy 4 (x + y ) Exercice 37 : [énoncé] En passant en coordonnées polaires, on écrit On a alors x = r cos θ et y = r sin θ avec r = f (x, y) = r cos θ sin θ cos(θ) x + y (x,y) (,) (x,y) (,) On prolonge f par continuité en (, ) en posant f (, ) =. Par opérations sur les fonctions, on peut affirmer que f est de classe C sur R \ {(, )} et (x, y) = y x4 + 4x y y 4 (x + y ) Aussi (, ) = lim ( f (t, ) f (, )) = t t En passant en coordonnées polaires, on obtient (x, y) (x,y) (,) Ainsi est définie et continue sur R. L étude pour est identique puisque f (x, y) = f (y, x) (b) De plus et donc Aussi et (, ) et (, ) existent et on a (x, y) y y (x, y) 3 y Par suite f est de classe C sur R. et ( f (t, ) f (, )) = t ( f (, t) f (, )) =, t (, ) = (, ) =. ( x + y + y xy x + y + y xy x + y xy y x + y x + y ( ) (, t) (, ) = t ( ) (t, ) (, ) =. t ) (x,y) (,). (x,y) (,) Ainsi f est de classe C sur R. Cependant ( ) f (, ) = lim (, h) (, ) = h h alors que La fonction f ne peut donc être de classe C. f (, ) = Donc f (, ) et f (, ) existent et on a f (, ) = et f (, ) =. On en déduit que f n est pas de classe C le théorème de Schwarz n étant pas vérifié. Exercice 39 : [énoncé]

23 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 3 (a) Quand (x, y) (, ), on peut écrire x = r cos θ et y = r sin θ avec r = x + y. On a alors f (x, y) = r (cos θ sin θ) ln r car r ln r On prolonge f par continuité en (, ) en posant f (, ) =. (b) f est C sur R {(, )} par opérations. On observe f (x, y) = f (y, x) donc en dérivant cette relation en la variable x on obtient (c) On a et de même (, ) =. Pour (x, y) (, ) f (x, y) = (y, x) (, ) = lim ( f (t, ) f (, )) = t t (x, y) = x ln(x + y ) + x(x y ) x + y Quand (x, y) (, ), on peut écrire x = r cos θ et y = r sin θ avec r = x + y (x, y) = 4r ln r + r(cos θ sin θ) = (, ) Ainsi est continue en (, ) et par le résultat de b), on obtient le même résultat pour. Exercice 4 : [énoncé] (a) Par le théorème des accroissements finis, il existe c x,y ] ; x + y [ tel que F(x, y) = f (c). Quand (x, y) (, ) alors c x,y puis F(x, y) f (). (b) Par Taylor-Young : F(x, y) = F(, ) + x + y f () + (x + y )ε(x + y ) = F(, ) + ϕ(x, y) + o(x, y) avec ϕ =. Donc F est différentiable en (, ) et df(, ) =. (c) F est de classe C sur R \ {(, )} par opérations. et de même F x (x, y) = donc F est de classe C. Exercice 4 : [énoncé] x + y ( f (x + y ) F(x, y)) = x( f () + o()) F (x, y) (x,y) (,) (x,y) (,) (a) On pose ϕ(a, a) = sin a et on observe que ϕ(x, y) ϕ(a, a) quand (x, y) (a, a) avec x y et avec x = y. (b) En vertu de on a ( p q ) ( p + q ) cos p cos q = sin sin ( x y ) ( x + y ) ϕ(x, y) = sinc sin avec sinc de classe C car développable en série entière. Exercice 4 : [énoncé] (a) Puisque la fonction g est de classe C, on peut écrire g(x) = g(y) + x y g (t) dt Par le changement de variable t = y + u(x y), on obtient Ainsi g(x) = g(y) + (x y) f (x, y) = g (y + u(x y)) du g (y + u(x y)) du et cette relation vaut pour x y et aussi pour x = y.

24 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 4 (b) Soit y R fixé. L application ϕ: (x, u) g (y + u(x y)) admet une dérivée partielle ϕ (x, u) = ug (y + u(x y)) Cette dérivée partielle est continue en x et continue par morceaux en u Pour [a ; b] R assez grand pour que y en soit élément, on a x [a ; b], u [ ; ], y + u(x y) [x ; y] [a ; b] La fonction g est continue donc bornée par un certain M R + sur le segment [a ; b]. On a alors (x, u) [a ; b] [ ; ], ϕ (x, u) M = ψ(u) La fonction ψ est évidemment intégrable sur [ ; ] et donc, par domination sur tout segment, on peut affirmer que l application x ϕ(x, u) du est de classe C et Ainsi f admet une dérivée partielle ( d ) ϕ ϕ(x, u) du = (x, u) du dx (x, y) = ug (y + u(x y)) du De plus, la fonction (x, y, u) ug (y + u(x y)) est continue sur R [ ; ] et par une domination sur [a ; b] [a ; b], on obtient la continuité sur R de l application. De même, on montre que la deuxième dérivée partielle de f existe et est continue. Exercice 43 : [énoncé] Introduisons ϑ primitive de ϕ sur R. ϑ existe et est de classe C car ϕ est continue. donc par opérations f est de classe C avec f (x, y) = ϑ(y) ϑ(x) (x, y) = ϑ (x) = ϕ(x) et (x, y) = ϑ (y) = ϕ(y) Exercice 44 : [énoncé] On peut écrire avec F(x) = x 3 x f (x +, t) dt f (x +, t) dt = ϕ(x, x 3 ) ϕ(x, x) ϕ(x, u) = u f (x +, t) dt = u f (x +, tu) dt Fixons u R et considérons g(x, t) = u f (x +, tu) définie sur R [ ; ]. La fonction g est continue en x et continue par morceaux en t. Soit [a ; b] R. La fonction f étant continue sur le compact [a + ; b + ] [ ; u], elle y est bornée par un certain M R +. On a alors (x, u) [a ; b] [ ; u], g(x, t) M = ψ(t) La fonction ψ est intégrable sur [ ; u] et donc, par intégration sur un segment, on obtient que la fonction x ϕ(x, u) est de classe C et d dx ϕ (ϕ(x, u)) = (x, u) = u (x +, tu) dt Ainsi ϕ admet une dérivée partielle ϕ et, une domination analogue à la précédente permet d établir que cette fonction est continue en le couple (x, u) R. D autre part, u ϕ(x, u) est évidemment dérivable et d du ϕ (ϕ(x, u)) = (x, u) = f (x +, u) u Ainsi ϕ admet une dérivée partielle ϕ u et celle-ci est clairement continue. Finalement ϕ est de classe C sur R. Notons enfin que les dérivées partielles de ϕ sont continues en (x, u) et donc la fonction ϕ est de classe C. Puisque, F est de classe C. Par dérivation de fonctions composées Enfin F (x) = ϕ (x, x3 ) + 3x ϕ u (x, x3 ) ϕ (x, x ) ϕ (x, x) u F (x) = x 3 x (x +, t) dt + 3x f (x +, x 3 ) f (x +, x)

25 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 5 Exercice 45 : [énoncé] (a) Cas x < : u n (x, y) = o(x n ) donc la série u n (x, y) est absolument convergente. Cas x > : Si la série u n (x, y) converge alors u n (x, y) n + donc par croissance comparée. Mais alors cos(ny) = u n (x, y) n x n cos(ny) = cos (ny) ce qui est incohérent avec l affirmation qui précède. Ainsi la série u n (x, y) diverge. Cas x = : Si y = [π] alors u n (, y) = n et u n (, y) diverge. Si y [π] alors par une transformation d Abel, on obtient la convergence de la série u n (, y). Cas x = : On remarque u n (, y) = u n (, y + π) Ainsi u n (, y) converge si, et seulement si, y π Finalement [π]. D = { (x, y) R x < } {(, y)/y [π]} {(, y)/y π [π]} On peut alors appliquer les théorèmes usuels qui affirment que (x, y) + n= u n (x, y) admet deux dérivées partielles continues sur D a. C est donc une fonction de classe C sur D a. Enfin, ceci valant pour tout a [ ; [, on obtient une fonction de classe C sur l intérieur de D. Exercice 46 : [énoncé] (a) Pour x =, t différentiable en. Pour x, ( + t.h ) = t t h n a pas de limite en. Par suite. n est pas x + h = x + (x h) + h = x est différentiable en x et de différentielle h (x h) x. (b) Le vecteur gradient en x est x/ x. Exercice 47 : [énoncé] (a) Soit a E. On peut écrire + (x h) + h = x + (x h) x x x + o(h) donc. f (a + h) = ( (u(a) a) + (u(a) h) + (u(h) a) + (u(h) h) ) + (x a) + (x h) Sachant (u(h) a) = (u(a) h), on obtient (b) L intérieur de D est alors D = { (x, y) R x < } avec l la forme linéaire donnée par f (a + h) = f (a) + l(h) + (u(h) h) Soient a [ ; [ et D a = { (x, y) R x < a }. u n est de classe C sur D a et la série de fonctions u n (x, y) converge simplement sur D a. La série de fonctions u n (x, y) converge normalement sur D a via u n (x, y) na n Enfin, la série de fonctions u n (x, y) converge normalement sur D a via u n (x, y) na n Puisque l(h) = (u(a) + x h) (u(h) h) u(h) h avec u(h) h E on obtient le développement limité à l ordre Finalement f est différentiable en a et f (a + h) = f (a) + l(h) + o(h) d f (a).h = (u(a) + x h)

26 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 6 (b) Le gradient de f en a est alors Exercice 48 : [énoncé] Notons A = (a i, j ) (a) Puisque grad f (a) = u(a) + x (A) = σ S n ε(σ) n i= a σ(i),i la fonction est différentiable sur M n (R) par somme et produit de fonctions qui le sont (à savoir les application linéaires A a i, j ). (b) En développant le déterminant selon la i-ème ligne, on obtient det A = n a i, j A i, j j= avec A i, j cofacteur d indice (i, j). On en déduit. (c) Point critique (, ). Pour tout n N, Pas d extremum. (d) Point critique (, ). Pas d extremum. f (/n, ) > et f ( /n, ) < f (/n, ) = n + n 3 n > et f ( /n, /n + /n ) n 3 < Exercice 5 : [énoncé] (, ) seul point critique. En posant x = + u et y = + v, puis u = r cos θ et v = r sin θ f (x, y) f (, ) = u + uv + v = r ( + cos θ sin θ) Il y a un minimum global en (, ). (i, j) (A) = A i, j Par conséquent la différentielle de en A est n d (A): H A i, j h i, j (c) On observe d (A) H = tr( t Com(A)H)) = Com(A), H Le vecteur gradient de en A est donc Com(A). Exercice 49 : [énoncé] (a) Point critique (, 3), f (, 3) = 9. Posons u = x et v = y 3. f (x, y) f (, 3) = u + uv + v = (u + v ) + (u + v) f admet un minimum en (, 3). (b) Point critique (, ), f (, ) = 4. Posons u = x et v = y f (x, y) f (, ) = u + v uv = (u v) + v f admet un minimum en (, ). i, j= Exercice 5 : [énoncé] La fonction f : (x, y) x 4 + y 4 (x y) est de classe C sur R. Après résolution ses points critiques sont : (, ), (, ) et (, ). En (, ) : f (, ) =, f (/n, ) /n < et f (/n, /n) /n 4 >. Pas d extremum local en (, ) En (, ) : r =, t = et s = 4. rt s > et r >. Il y a un minimum local en (, ). On exploite pour affirmer f ( + u, + v) = 8 + (u + v ) + 4uv + 4 (u 3 v 3 ) + u 4 + v 4 (u + v ) + 4uv = (u + v) et 8u + 4 u 3 + u 4 = u (u + ) f ( + u, + v) = f (, ) + (u + v) + u (u + ) + v (v + ) Ainsi (, ) est un minimum global. En (, ) : l étude est identique puisque f (x, y) = f (y, x).

27 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 7 Exercice 5 : [énoncé] L étude des points critiques donne (, ) seul point critique. La fonction t t ln t admet un minimum en, donc (x, y) x ln x + y ln y admet un minimum en (, ). Exercice 53 : [énoncé] (a) f est définie sur ] ; + [, strictement croissante, concave sur ] ; ] et convexe sur [ ; + [. Asymptote verticale en et branche parabolique de direction y = x en +. (b) t = est solution et c est la seule car f est strictement croissante. (c) g est de classe C. Recherchons, ses points critiques : { (x, y) = ln y y = f ( ) x x (x, y) = y ln x = y = x y ln x = On conclut que (e, e) est le seul point critique. On étudie alors le signe de On procède à une translation d(x, y) = g(x, y) g(e, e) = x ln y y ln x { x = e + u y = e + v { x = y x = e et à développement limité à l ordre ) ) ve v d(x, y) = (e + u) ( + e + ue v u ε(v) (e + v) ( + e + u ε(u) avec ε. Après simplification d(x, y) = u v + (u + v ) ε(u, v) avec ε (,). En considérant u = /n et v = ou, à l inverse u = et v = /n, on obtient que d prend des signes différents au voisinage de (e, e) qui n est donc pas extremum de f. Exercice 54 : [énoncé] f est de classe C sur l ouvert R. Recherchons les points critiques. On a { 3x 3y = 3y 3x = Figure Une représentation de la fonction g (x, y) = 3x 3y, (x, y) = 3y 3x { x = y y = x { y = x x 4 = x (, ), (, ) sont donc les seuls points critiques Étude en (, ) g(x, y) = f (x, y) f (, ) = x 3 + y 3 3xy { y = x x = ou g ( n, ) = n 3 > et g ( n, ) = n 3 < donc (, ) n est pas extremum local. Étude en (, ) g(x, y) = f (x, y) f (, ) = x 3 + y 3 3xy + Procédons à la translation On obtient Passons en coordonnées polaires { x = + u y = + v g(x, y) = 3u + 3v 3 3uv + u 3 + v 3 { u = r cos θ v = r sin θ

28 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 8 On obtient g(x, y) = r (3 3 ) sin θ + r cos3 θ + r sin 3 θ Quand (x, y) (, ), on a (u, v) (, ) donc r puis 3 3 sin θ + r cos3 θ + r sin 3 θ = 3 3 sin θ + o() 3 + o() (, ) est un minimum local. Cependant f (t, ) = t 3 donc f n est pas minorée et donc (, ) n est pas un t minimum global. Exercice 55 : [énoncé] f est de classe C sur l ouvert R. Recherchons les points critiques. On a { 4x 3 4y = 4y 3 4x = (x, y) = 4x3 4y, (x, y) = 4y3 4x { x 3 = y y 3 = x { y = x 3 x 9 = x (, ), (, ) et (, ) sont donc les seuls points critique Étude en (, ) (, ) n est pas extremum local de f. { y = x f (/n, /n) 4 n < et f (/n, /n) 4 n > x =, ou Étude en (, ). On peut écrire f (x, y) f (, ) = (x ) + (y ) + (x y) donc (, ) est minimum global. Il en est de même (, ) car f ( x, y) = f (x, y). Exercice 56 : [énoncé] Posons f (x, y) = définie et de classe C sur ] ; + [ Soit x > fixé. Posons On a ϕ (y) = xy ( + x)( + y)(x + y) ϕ: y f (x, y) x(x y ) ( + x)( + y) (x + y) La fonction ϕ admet donc un maximum en y = x dont la valeur est On a ψ(x) = f (x, x x) = ( + x)( + x) ψ x x (x) = ( + x) ( + x) 3

29 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 9 La fonction ψ admet donc un maximum en x = dont la valeur est Au final sup (x,y) ];+ [ ψ() = f (, ) = 8 xy ( + x)( + y)(x + y) = max (x,y) ];+ [ xy ( + x)( + y)(x + y) = 8 Exercice 57 : [énoncé] Soit f (x, y) = xy + x + y définie sur (R +). Soit x > fixé. L application y f (x, y) a pour dérivée y + x, elle donc minimale pour y = x. Considérons g: x f (x, x ) = x + x. g est dérivable sur R + et g (x) = + x x = x x. x g est minimale pour x =, puis f est minimale en (, ) avec f (, ) = 3. Exercice 58 : [énoncé] L étude des points critiques donne ( 3 a, 3 a) seul point critique. Posons α = 3 a. f (x, y) f (α, α) = x + y + α3 xy 3α = x y + xy + α 3 3αxy xy Étudions ϕ: α x y + xy + α 3 3αxy. Cette application admet un minimum en xy de valeur x y + xy xy xy = xy(x + y xy) = xy( x y) donc pour tout x, y >, f (x, y) f (α, α) De plus, il y a égalité si, et seulement si, x = y et α = xy i.e. x = y = α. Exercice 59 : [énoncé] Soit x > fixé. L application y f (x, y) a pour dérivée y a, elle donc minimale pour y = 3 a xy x. Considérons 3 a g: x f (x, x ) = x a x g est dérivable sur R + et g (x) = x 3 a, x 5/3 g (x) = x 8/3 = /3 a /3 x = 4 a. g est minimale pour x = 4 a/, puis f admet un minimum en ( 4 a/, 4 a/) de valeur a. Exercice 6 : [énoncé] (a) Soit (e,..., e n ) une base orthonormée de vecteurs propres de f. Pour x = x e + + x n e n on a f (x) = λ x e + + λ n x n e n avec λ i > valeur propre associée au vecteur propre e i. Ainsi, pour x, f (x), x = λ x + + λ nx n > (b) Par opérations, la fonction g est de classe C donc admet des dérivées partielles relatives à n importe quelle base. Dans la base (e,..., e n ), ses dérivées partielles sont d u g(x) = lim t t (g(x + t.u) g(x)) = λ ix i u i en notant u,... u n les composantes de u. (c) Il est alors immédiat que g admet un unique point critique qui est z = u λ e + + u n λ n e n = f (u) Tout ceci serait plus simple, en parlant de différentielle plutôt que de dérivées partielles. (d) Pour h E, donc g( f (u) + h) = (u + f (h) f (u) + h) (u f (u) + h) g( f (u) + h) = g( f (u)) + ( f (h) h) g( f (u)) car ( f (h) f (u)) = h, u par adjonction.

30 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 3 Exercice 6 : [énoncé] Soit a point critique de f. Pour tout b U, on a par convexité de f : λ [ ; ], f (( λ)a + λb) ( λ) f (a) + λ f (b) Par suite ( f (a + λ(b a)) f (a)) f (b) f (a) λ En passant à la limite quand λ +, Or d f (a) = donc f (b) f (a). d f (a).(b a) f (b) f (a) Exercice 6 : [énoncé] Rappelons que toute fonction réelle définie et continue sur un compact non vide y admet un maximum. Puisque la fonction f est continue sur le compact K, on est assuré de l existence du maximum étudié. Notons U l ouvert donné par U = K = ] ; [ La fonction f est de classe C sur U. (x, y) = xy x ( + x ) ( + y ) et (x, y) = xy y ( + x )( + y ) Après résolution, seul le couple (/ 3, / 3) est point critique de f dans U. La valeur de f en ce couple est ( ) f 3, 3 = Sur le bord de K, les valeurs prises par f sont les valeurs prises sur [ ; ] par les fonctions D une part et d autre part ϕ(t) = f (t, ) = f (, t) = t + t et ψ(t) = f (t, ) = f (, t) = + t ( + t ) ψ (t) = ϕ(t) t t ( + t ) donne que le maximum de ψ est en avec ψ( ) = + 4 >. Puisque > 8 4 on peut affirmer que le maximum de f n évolue pas sur le bord du compact K, il est donc forcément dans U et c est alors un point critique de f qui ne peut qu être le couple (/ 3, / 3). Exercice 63 : [énoncé] La fonction f est continue sur le compact D et donc y admet un minimum et un maximum. Si ces extremum sont à l intérieur de D, ce sont des points critiques de f. { (x, y) = x 3 (x y) = (x, y) = y 3 + (x y) = Après résolution on obtient les points critiques (, ), (, ) et (, ) mais les deux derniers ne sont pas éléments de l intérieur de D. La valeurs de f en (, ) est. Il reste à étudier les valeurs prises par f sur le bord de D. f ( cos t, sin t) = 8 sin (t) + 8 sin(t) + 8 L étude des variations de la fonction x 8x + 8x + 8 sur [ ; ] donne les valeurs extrémales 8 et. On en déduit que le minimum de f vaut 8 et son maximum. plot3d(eval([x, y, xˆ4+yˆ4-*(x-y)ˆ], [x=r*cos(t), y=r*sin(t)]), r=.., t=..*pi, grid=[5, 5]); Exercice 64 : [énoncé] (a) f est polynomiale donc continue. T est compact donc f présente un maximum sur T. Comme f prend des valeurs strictement positives et des valeurs nulles sur le bord de T, f présente son maximum à l intérieur de T. (b) f est de classe C sur l ouvert U = T donc le maximum de f est point critique. (x, y) = y( x y) et (x, y) = x( x y) Après résolution, on obtient que seul le couple (/3, /3) est point critique de f et on a f (/3, /3) = 7

31 [ édité le 8 décembre 6 Corrections 3 Exercice 65 : [énoncé] (a) D est fermée et bornée donc compacte. (b) Pour α >, la fonction t t α e α ln t si t > = est continue sur [ ; ] donc f est si t = continue par composition. (c) Puisque f est continue sur un compact il y admet un maximum. Puisque f est positive et non nulle ce maximum est à valeur strictement positive. Or f est nulle sur le bord de D donc ce maximum est dans l ouvert U = { (x, y) R x, y > et x + y < } et c est donc un point critique de f car f est C sur l ouvert U. (x, y) = xa y b ( x y) c (a( x y) cx) et (x, y) = xa y b ( x y) c (b( x y) cy) Il n y a qu un seul point critique c est : ( ) a a + b + c, b a + b + c Finalement a a b b c c sup f (x, y) = (x,y) D (a + b + c) a+b+c Exercice 66 : [énoncé] La fonction f : (x, y) sin x sin y sin(x + y) est continue sur le compact [ ; π/] donc y admet un maximum. Le seul point critique intérieur à [ ; π/] est en x = y = π/3 et la valeur y est Sur le bord de [ ; π/] le maximum est celui de la fonction ϕ avec Figure Surface représentant f au dessus de D Ce maximum vaut /. Puisque on a ϕ(t) = sin t sin (π/ t) = sin t cos t = sin t sup sin x sin y sin(x + y) = 3 3 [;π/] 8