1. Après avoir décomposé la fraction rationnelle, décider, en utilisant la dénition de la. convergence d'une série numérique, si la série

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1 Outils Mathématiques 3 PCSTM L) Aée 00/0 Uiversité de Rees UFR Mathématiques Chapitre : Séries umériques Exercice... Après avoir décomposé la fractio ratioelle, décider, e utilisat la déitio de la xx + ) covergece d'ue série umérique, si la série coverge, et si oui, détermier sa + ) somme. ) + ). Se rameer à ue situatio aalogue et répodre aux mêmes questios pour l + ). De telles séries sot dites téléscopiques. 3. Retrouver directemet la ature de ces deux séries e cherchat u équivalet de leur terme gééral. Exercice... Doer la ature des séries de terme gééral respectivemet u = cos et v =.. Même questio pour y = lv ) et x = lu ) o pourra chercher u équivalet de x ). Exercice.3. Détermier la ature, et si elles sot covergetes, la somme des séries suivates : a) si θ) b) a e iθ si θ c) a R et θ R) Pour c) vérier votre calcul e posat θ = π. Exercice.4. Détermier la ature des séries de termes gééraux suivats à l'aide d'équivalets ou de majoratios : 3 a) 4 b) c) ) l)) d) π si l) e) e / f) 3 + / g) si t dt Pour b) et c) o pourra aussi utiliser le critère α u. La série somme des séries e) et f) coverge-t-elle? Même questio pour e) et g). Exercice.5. Soit u ue série à termes réels strictemet positifs. Les armatios suivates sotelles vraies ou fausses? a) Les séries de terme gééral u et u respectivemet sot de même ature. b) Les séries de terme gééral u et l + u ) respectivemet sot de même ature. Justier vos réposes : si l'armatio est vraie, e doer ue démostratio et si elle est fausse, produire u cotre-exemple. Exercice.6. A l'aide du critère de d'alembert ou du critère de Cauchy, décider de la ature des séries de termes gééraux : 0

2 a)! c)! ) d) 3 e) + b) e + ) π. Pour certais cas, o peut utiliser la formule de Stirlig, o démotrée ici :! e Trouver aussi d'autres argumets permettat de coclure. Exercice.7.. E utilisat l'itégrale de /x sur u itervalle coveable, motrer que : l E déduire que la suite S = l est borée etre 0 et. 3. E utilisat l'itégrale de /x sur des itervalles coveables, vérier que ) + l E déduire que la suite S est décroissate et covergete de limite la costate d'euler γ 0, ). Exercice.8. Utiliser les théorèmes des séries alterées et d'abel pour motrer que les séries de termes gééraux ci-dessous sot covergetes. Vérier si cette covergece est ue covergece absolue ou seulemet ue semi-covergece. a) ) + 7 b) ) ) Exercice.9. Soiet u = + ) u.. Discuter les argumets suivats : c) ) et v = ) a) u est alterée, lim + u = 0, doc l) d) eiθ e) cos θ 3 +, où θ R.,. O cherche à détermier la ature de u coverge". b) "u v, v coverge par le théorème des séries alterées et doc u coverge.". Trouver la ature de u a) e multipliat umérateur et déomiateur de u par + ) + ) et e écrivat u comme somme de deux séries b) e écrivat u développemet limité e + d'ordre de u v c) e trouvat u équivalet de u + u +. Exercice.0. Préciser la ature des séries de termes gééraux suivats : ) + ) a) si b) ta ) + π c)! + ) d) l + ) cos θ, où θ R. Attetio, o 'a pas droit aux équivalets pour les séries réelles à termes de sige o costat! Pour c) regrouper par traches de deux. Pour d) utiliser le développemet limité à l'ordre e 0 de l+x).

3 Exercice.. Ecrire le terme gééral de la série produit de Cauchy des séries u et v où u = v =, N. Cette série coverge-t-elle, et si oui, quelle est sa limite? ) + Exercice.. O réordoe les termes de comme suit ; cette série coverge-t-elle, et si oui, quelle est sa limite? k) + k + ) + k + 3) + k+ ) k + )) Exercice.3. Détermier la ature des séries umériques suivates préciser si la série est absolumet covergete, semi-covergete, divergete, grossièremet divergete) : a) e) log) + 3 i)! + ) b) ) si) f) j) l e i π + + )) ) c) g) si + ) k) ) si d) h) l) ) + ) ) l) + l) l ) 3

4 Chapitre : Séries etières Exercice.. Calculer le rayo de covergece, doer l'itervalle de covergece et le domaie de covergece des séries etières réelles suivates attetio, les derières sot lacuaires) : a) x ) )) b) x c) si! x l) d) x e) x f) l x g) x α h) α x3+ α R) Exercice.. Calculer le rayo de covergece, doer le disque de covergece et le domaie de covergece des séries etières complexes suivates : α a) + z b) l z α C) c)! z d) z Exercice.3. Trouver le domaie de covergece des séries suivates : a) 3 x e ) x R) b) z ) z C) Exercice.4. Soiet a 0, a,..., a,..., z 0, z C. Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? a) Si a z0 est covergete et z z 0, alors a z est covergete. b) Si a z0 est semi-covergete et z > z 0, alors a z est divergete. Justier vos réposes par la citatio d'u théorème, ue courte démostratio, u cotre-exemple... Exercice.5.. Détermier le domaie de covergece de la série etière complexe. Rappeler ce que vaut + =0 z +. E déduire! =0 z + )! puis + =0 + ) + )! + ) + )! z. z. Exercice.6.. Détermier les rayos de covergece des séries etières réelles suivates : a) + + )x ) + 4 b) x c) 3 x. A l'aide de dérivatios et itégratios de séries géométriques, calculer les sommes des séries ci-dessus das leurs itervalles de covergece respectifs. Exercice.7. Trouver le développemet e série etière e 0 de fx) = + x) aisi que l'itervalle sur lequel il est valable : a) e dérivat le développemet e série etière de + x), b) e multipliat le développemet e série etière de + x) par lui-même, c) e utilisat le développemet e série etière de + x) α pour α =. 4

5 d) E déduire les valeurs des dérivées successives de f e 0. Le vérier par le calcul. Que peut-o dire du reste de la formule à Taylor à l'ordre etre x et 0? Exercice.8. A l'aide des développemets e séries etières des foctios classiques, calculer les développemets e séries etières e 0 des foctios suivates : ) a) + 3x b) l + x x c) x d) Arcsi x Préciser l'itervalle sur lequel ce développemet est valable pour a), b), c) et le plus grad itervalle ouvert sur lequel il est valable pour d) o e s'itéresse pas e d) au problème, assez délicat, aux bords de cet itervalle). Faire aussi le développemet e série etière e de e x. Exercice.9.. Trouver, sous forme de séries etières, des solutios de l'équatio diéretielle x )y xy = 0 ). Doer le rayo de covergece de ces solutios. A-t-o obteu toutes les solutios de )?. Résoudre ) de maière classique et vérier le calcul fait e ) e développat e série etière e 0 les solutios obteues e ). Exercice.0. A l'aide du développemet e série etière de cos x, trouver ue valeur approchée de cos 0 à 0 près. 5

6 Chapitre 3 : Séries de Fourier Exercice 3.. Soit f la foctio de R das R déie par : fx) = si x ]0, π[, f est impaire et de période π.. Faire le graphe de f. Calculer les coeciets et la série de Fourier de f. Que vaut la somme de cette derière? La covergece est-elle uiforme? + ) p +. Utiliser les théorèmes de Dirichlet et de Bessel-Parseval pour calculer p + et p=0 p=0 E déduire + =. Exercice 3.. Soiet f, f et f 3 les foctios de R das R de { période doées par : 0, x [, 0] f x) = x, x [, [, f x) = x, x [, [, f 3 x) =. x, x ]0, [ p + ).. Tracer les graphes de f, f et f 3. Quelle est la parité de f? de f? Calculer les coeciets de Fourier, doer la série de Fourier aisi que la somme de cette derière pour chacue des foctios f, f et f 3. La covergece est-elle uiforme?. A l'aide des théorèmes de Dirichlet et de Bessel-Parseval, trouver les sommes de séries umériques : + ) p + p +, +, + p + ), +. E déduire p + ) 4 4. p=0 = p=0 p=0 Exercice 3.3. O cosidère la foctio f de R das R de période déie par : fx) = x x), x [0, ].. Tracer le graphe de f. Quelle est la parité de f? Calculer les coeciets de Fourier de f et doer la série de Fourier de f. Que vaut la somme de cette série?. Déduire de ce qui précède + = et + = Remarquer que la covergece de la série de Fourier de f est uiforme. si πx E déduire la covergece uiforme de la série π 3 3 aisi que sa somme. Que vaut + p=0 ) p p + ) 3? = Exercice 3.4. O cosidère les foctios g et g de R das R déies par : 0, si x = kπ k Z) g x) = cos x, x R et g x) = cos x, si x ]k π, k + )π[ k Z) cos x, si x ]k + ) π, k + )π[ k Z).. Tracer les graphes de g et g. Doer la période et l'évetuelle parité de ces foctios.. Calculer leur série de Fourier complexe. E déduire leur série de Fourier réelle. 3. Que valet + = ) 4, + = 4, + = 4 )? 6

7 Chapitre 4 : Itégrales curviliges Exercice 4.. Calculer la logueur de chacu des arcs de courbes suivat : ) x = y avec 0 y ; ) x = a cos t, y = a si t, z = bt avec 0 t t 0 ; 3) ρ = a + cos θ) avec a > 0 et 0 ρ a cardioïde) : Exercice 4.. Calculer l'itégrale curvilige x + y) dx + x y) dy C où C est l'arc de cercle déi par x = cos t et y = si t, t variat de 0 à π. Exercice 4.3. Calculer l'itégrale curvilige xy dx + x + y) dy où C est l'arc de cercle déi par x = cos t et y = si t, t variat de 0 à π. Exercice 4.4. Calculer l'itégrale curvilige y + z) dx + z + x) dy + x + y) dz x + y C lorsque : ) C est le segmet de droite allat de A =,, ) à B =,, ). ) C est l'hélice déie par x = cos t, y = si t et z = t, t variat de 0 à π. Exercice 4.5. Calculer l'itégrale curvilige C Γ y dx x dy lorsque : ) Γ est le segmet de droite allat de A =, 0) à B = 0, ). ) Γ est l'arc de cercle de cetre 0, 0), de rayo et d'extrémités A =, 0) et B = 0, ). Exercice 4.6. Motrer que l'itégrale curvilige Γ xy dx + x y dy est ulle lorsque Γ est u arc de simple fermé. Calculer cette itégrale lorsque Γ = Γ Γ Γ 3 où Γ = AB est l'arc de parabole d'équatio y = 4 3x limité e A par la droite d'équatio y = x et e B par l'axe des x 0, Γ est le segmet de droite allat de B à O et Γ 3 est le segmet de droite allat de O à A. Calculer ue primitive de xy dx + x y dy. Retrouver Γ i xy dx + x y dy pour i =,, 3. Exercice 4.7. Détermier ue foctio ux, y) telle que : du = x + y) dx + y dy x + y) Exercice 4.8. Soit ω = P x, y) dx + Qx, y) dy avec : P x, y) = 3x y )x + y ) x y et Qx, y) = 3y x )x + y ) xy. ) Motrer que, das le domaie D = {x, y); x > 0, y > 0}, ω est ue forme diéretielle totale. ) Détermier u das D, telle que du = ω. 7

8 3) Calculer l'itégrale curvilige Γ ω lorsque Γ est l'arc déi par : x = t + cos t, y = + si t avec 0 t π. Exercice Calculer le travail du champ de vecteurs V x, y) = y, x ) sur la demi ellipse x +4y 4 = 0; y 0 parcourue ue fois das le ses direct.. Calculer le travail du champ de vecteurs V x, y) = cosx), siy)) sur le cercle uité parcouru deux fois das le ses des aiguilles d'ue motre. 3. Calculer le travail du champ de vecteurs V x, y) = x + y, x y ) sur le triagle OAB avec A =, 0), B = 0, ) parcouru ue fois das le ses direct. Exercice 4.0. Calculer le travail eectué par la force F = y + z) i + x + z) j + x + y) k pour déplacer ue particule de l'origie O au poit C =,, ),. le log de la droite OC).. le log de la courbe x = t, y = t, z = t 3. Même questio pour la force G = x + yz) i + y + xz) j + z + xy) k. 8

9 Chapitre 5 : Itégrales doubles Exercice 5.. Chager l'ordre d'itégratio das l'itégrale double : 4 x 0 3x fx, y) dy) dx Exercice 5.. Chager l'ordre d'itégratio das l'itégrale double : 3x 0 x fx, y) dy) dx Exercice 5.3. Chager l'ordre d'itégratio das l'itégrale double : a ax x a 0 fx, y) dy) dx Exercice 5.4. Détermier l'aire de la partie D du pla délimitée par les courbes d'équatio : y = x, y = x. Exercice 5.5. a) Calculer x y) dxdy où D est ue partie du pla délimitée par les droites D d'équatio : x = 0, y = x +, y = x Exercice 5.6. Calculer xy dxdy où D est la partie du pla délimitée par les courbes d'équatio : D y = x, y = x 3. Exercice 5.7. Soit f : [0, ] [0, ] R ue foctio cotiue. La droite d'équatio y = x délimite das les carré [0, ] [0, ] deux triagles égaux T et T. Motrer qu'e gééral, fx, y) dxdy T fx, y) dxdy. T Puis, e utilisat le chagemet de variable u = y, v = x, motrer que xy dxdy = T xy dxdy. T Exercice 5.8. Soit D le quart de disque uité déi par : D = {x, y) 0 x, 0 y, x + y } Utiliser le passage e coordoées polaires pour calculer l'itégrale : I = 4 x y ) dxdy. Exercice 5.9. Détermier le cetre de gravité d'u demi-disque homogèe. D 9

10 Exercice 5.0. Détermier le cetre de gravité de la surface située à l'extérieur du cercle de rayo et délimitée par la cardioïde ρ = + cos θ. Exercice 5.. Soit I = T a xy e x y dxdy. avec T a = {x, y) R /x 0; y 0; x + y a} et a > 0. { x = tu Calculer I à l'aide du chagemet de variables y = t)u Exercice 5.. Aire e coordoées polaires. { Soit D le domaie limité par r = pθ) avec 0 θ π ; et θ = 0 le segmet p0) r pπ) Motrer que l'aire de D est égale à AD) = p θ) dθ. 0 Trouver l'aire a) de la cardioïde : r = a + cosθ))., b) de l'escargot : r = aθ, a > 0). Dessier les liges de coordoées r = C te et φ = C te das le pla des x, y. Dessier les liges de coordoées x = C te et y = C te das le pla des r, φ. π Exercice 5.3. Soit D le domaie limité par le cercle d'équatio x + y y = 0 parcouru das le ses direct. Calculer à l'aide de la formule de Gree-Riema D x y )dxdy Exercice 5.4. Calculer l'itégrale curvilige I le log de la courbe fermée γ costituée par les deux arcs de parabole y = x et x = y, orietée das le ses direct avec I = xy x )dx + x + y )dy. Vérier le résultat e utilisat la formule de Gree-Riema. γ Exercice 5.5. Le but de cet exercice est de calculer l'itégrale I = + e x dx, déie comme la limite 0 lim I, où I = e x dx. + 0 Pour N, cosidéros le quart de disque : D = {x + y, x 0, y 0} et le carré : C = {0 x, 0 y }.. Calculer les itégrales J = D e x +y ) dxdy et J = D e x +y ) dxdy e utilisat le chagemet de variables e coordoées polaires.. Cosidéros l'itégrale K = C e x +y ) dxdy. Motrer que K = I. 3. D'après u dessi de D, C et D expliquer pourquoi J K J. 4. Quelle est la limite + de J et de J? et de K? Trouver I. 0

11 Chapitre 6 : Calcul vectoriel Exercice 6.. L'espace à trois dimesios est mui d'u repère orthoormé O, i, j, k). O doe les vecteurs A =, B 4 = 5, C 7 = Calculer A B, B A, A. B, A. A B), A, A + B, A B) C, A B C). Exercice 6.. L'espace à trois dimesios R 3 est mui d'u repère orthoorméo, i, j, k). O doe les vecteurs 3 0 u = 0, v = 0, w = Motrer que u, v, w) est ue base de l'espace.. Calculer les ormes de u, v et w, puis les produits scalaires u. v, u. w, v. w. Exercice 6.3. L'espace à trois dimesios R 3 est mui d'u repère orthoormé O, i, j, k ). Soiet u = u u, v = v w v, w = w. u 3 Etablir l'idetité : v 3 w 3 u v w) = u. w) v u. v) w. Idicatio : calculer les coordoées des deux membres. Exercice 6.4. Soiet A et B deux poits de E = R.. Détermier l'esemble des poits M E tels que AM. AB = 0.. Détermier l'esemble des poits M E tels que AM. BM = 0. Idicatio : itroduire le poit I milieu de [AB].) 3. Représeter ces deux esembles sur u dessi. 4. Que se passe-t-il lorsque E = R 3? Exercice 6.5. Trouver l'agle θ etre les vecteurs joigat l'origie aux poits P,, 3) et P, 3, ). Exercice 6.6. Soit a = a i + a j + a3 k et b = b i + b j + b3 k deux vecteurs issus d'u même poit P et soit ) ) ) a a c = det 3 a a i + det 3 a a j + det k b b 3 b b 3 b b Motrer que c = a b si θ, où θ est le plus petit agle etre les vecteurs a et b. Exercice 6.7. Soiet U et V deux vecteurs de l'espace à trois dimesios.. Etablir l'idetité U + V + U V = U + V ).

12 . Motrer que pour que U et V soiet orthogoaux, il faut et il sut que le théorème de Pythagore) U + V = U + V. Exercice 6.8. Calculer le volume du parallélépipède costruit sur les côtés AM, AN et AP où A =,, ), M = 3, 0, ), N = 4,, ) et P = 5, 3, 0). Exercice 6.9. L'espace à trois dimesios R 3 est mui d'u repère orthoormé O, i, j, k ).. Détermier l'esemble des poits M R 3 tels que AM AB = 0.. Détermier l'esemble des poits M R 3 tels que AM BM = 0. Exercice 6.0. Démotrer que pour U et V vecteurs de R 3 o a toujours : ) U V U V. ) U.V = 4 U + V U V )