CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition.
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- Amaury Simon
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1 CHAPITRE II Séries umériques I II - Défiitios et propriétés géérales - Séries à termes réels positifs ou uls III-Séries - à termes quelcoques I-Défiitios et propriétés géérales Défiitio. Soit (u N ue suite réelle ou complexe. O appelle série de terme gééral u ou série (u N la suite de terme gééral S doé par : N S = u u S est la somme partielle d idice de la série. 2 O dit que la série (u est covergete si la suite (S est covergete. O ote alors u la limite de S, c est la somme de la série. Si la série e coverge pas, elle est =0 divergete. Exemples. La série harmoique. O pose N u = +. O a S =+...+ { +. lim S =+ suite croissate o covergete O a lim u =0. La suite (u coverge, la série (u diverge. 2 Les séries géométriques. Soit q C \{0}. O pose N u = q. O a S =+q q. Si q = o a S = +. La série (u diverge. Si q o a S = q+. q. Si q < o a lim S = q. La série est covergete de somme q = u. =0. Si q alors la série (u diverge parce que so terme gééral u e ted pas vers 0. E effet o a : 26
2 Propositio. Soit (u ue série covergete. Alors o a lim u =0. Remarque. La réciproque est bie sûr fausse. Predre l exemple de la série harmoique. Démostratio. O pose N S = u u l = lim S o a pour S S = u d où lim u = l l =0. Remarque. O a ici u = S S. Soit (u ue série quelcoque et supposos qu il existe ue suite (v telle que 0 u = v + v. O a : u k = v + v 0. Doc la série (u coverge si et seulemet si la suite (v est covergete. Exemple. Soit u = pour. ( + O a u = + avec lim =0. O e déduit que la série de terme gééral u pour coverge et u k = Remarquos qu ici o a fait démarrer la série à l idice. k= O peut écrire maiteat les propriétés immédiates cocerat les opératios. Propositio 2. Soiet (u ue série covergete de somme S. (v ue série covergete de somme T. Alors la série (u + v est covergete de somme S + T. Attetio. O e peut rie dire de la série (u.v. Par exemple il résultera du III. que la ( ( ( série coverge, mais la série diverge comme o l a vu. O verra au III. ue otio de produit pour les séries. Propositio 3. Sommatio par paquets. O cosidère ue série de terme gééral u. Soit k 0 <k <... ue suite strictemet croissate d etiers positifs ou uls. O pose : Alors o a : v 0 = u u k0 v = u k u k. etc... v m = u km u km Si la série (u coverge alors la série (v coverge et a même somme. 2 Si la série (v m coverge, que lim u = 0 et qu il existe u etier M tel que chaque regroupemet comporte au plus M termes alors la série (u coverge et a même somme que la série (v m. 27
3 Exemple. O cosidère la série de terme gééral u = ( pour (série harmoique alterée. O a lim u =0. O regroupe les termes cosécutifs deux par deux : v = + 2 v 2 = v = Alors la série (u etlasérie (v sotdemême ature (c est-à-dire toutes deux covergetes ou toutes deux divergetes et ot même somme si elles coverget. Or o a v = 2(2. Il résultera du II. que cette derière série coverge doc égalemet (u O va voir ce qui se passe das ce cas. Posos S = u k et T = v k pour tout N \{0}. k= Soit k N \{0}. Oa: k= S 2k = k = T k, S 2k+ = T k + ( 2k+ 2k + lim k T k = T et lim T k + ( k 2k + = T. O e déduit lim S = T. Démostratio de la propositio 3. Pour tout N o pose S = u u T = v v = S k. Si la série (u coverge, alors la suite (S coverge, doc la suite extraite (S km m coverge, doc la série (v m coverge. 2 Si la série (v m coverge vers T. Pour tout etier k 0 soit m le plus grad etier tel que k m. Alors S S km est somme de mois de M termes u l avec l>k m. Quad oa: m k m = T m T o a doc S km { Skm T < ε ε > 0 N(ε > N(ε l >k m u l <ε d où >N(ε S T S m S km + S km T (M +ε. D où lim S = T. Attetio. Il est pas permis de chager l ordre des termes. Par exemple si o cosidère la série obteue à partir de la série harmoique alterée e preat alterativemet terme égatif et 2 termes positifs :, 2, 4, 3, 6, 8,... O peut évetuellemet étudier cette série e regroupat les termes 3 par 3, mais la covergece et la somme de cette série sot sas lie avec celles de la série harmoique alterée. (E fait o démotre que cette série coverge bie, mais sa somme est pas la même que celle de la série harmoique alterée. 28
4 O va maiteat essayer de traduire sur les séries les critères de covergece vus pour les suites : critère de Cauchy, puis critère de croissace majorée (cas des séries à termes positifs. Propositio 4 : critère de Cauchy pour les séries. Soit (u ue série réelle ou complexe. Alors la série coverge si et seulemet si o a : ε >0 N(ε tel que p, q etiers p q>n(ε p u k <ε. k=q Corollaire 5. Soit (u ue série réelle ou complexe. Si la série ( u coverge alors la série (u coverge. Démostratio. O applique le critère de Cauchy. O a e effet u q u p u q u p. Défiitio. Ue série (u telle que ( u coverge s appelle série absolumet covergete. Remarque. O viet doc de voir que toute série absolumet covergete est covergete. La réciproque est évidemmet fausse. Predre l exemple de la série ( ( covergete alors que la série ( diverge. 2 Attetio pour les suites o a au cotraire : si la suite (u coverge alors la suite ( u coverge. Réciproque fausse, exemple : u =(. II - Séries à termes réels positifs ou uls Remarques. Les critères doés das ce paragraphe pour les séries à termes positifs ou uls fourisset évidemmet des critères de covergece pour les séries à termes égatifs ou uls (chager u e u. 2 D autre part il est immédiat qu o e chage pas la ature (covergece ou divergece d ue série e modifiat u ombre fii de termes, o peut doc égalemet les appliquer das le cas des séries réelles à termes positifs ou uls à partir d u certai rag (ou égatifs ou uls à partir d u certai rag. Comparaiso de 2 séries à termes positifs ou uls. Propositio 6. Soit (u ue série réelle à termes positifs ou uls. O pose N S = u u. Alors la série (u coverge si et seulemet si la suite (S est majorée. 29
5 Démostratio. E effet (S est alors ue suite croissate. Corollaire 7. Soiet (u et (v des séries réelles à termes positifs ou uls. S il existe u etier N 0 tel que N 0 u v alors la covergece de la série (v etraîe celle de la série (u. 2 la divergece de la série (u etraîe celle de la série (v. Démostratio. Pour alléger les otatios o suppose N 0 = 0 (sio o peut étudier les séries (u N0 et (v N0 qui sot de même ature que (u 0 et (v 0. Posos N S = u k, T = v k o a N S T. Doc si la suite T est majorée il e est de même de S, si S est pas majorée alors T o plus est pas majorée. Exemples. Soit u = a avec a R \{0} a < pour. Comme la série (a coverge, il e est de même de la série (u. 2 Soit u = avec α R α, pour. α O a N α. Comme la série ( diverge, il e est de même de la série (. α Corollaire 8. Soiet (u et (v des séries à termes positifs ou uls. O suppose qu il existe u N 0 tel que N 0 v 0. u si lim =0 alors la covergece de la série (v etraîe celle de la série v (u. 2 si lim série (v. u v =+ alors la covergece de la série (u etraîe celle de la u 3 si lim = l R \{0}, alors les séries (v et (v sot de même ature. v Démostratio. Preos ε = N tel que N u c est-à-dire u v v o utilise alors le corollaire précédet. 2 Preos A = N tel que N u v c est-à-dire u v o utilise alors le corollaire précédet. 3 O a l>0. Soit ε R, ε>0 tel qu o ait l ε>0 N tel que N u v l ε c est-à-dire (l ε u v (l + ε 30
6 ou ecore : u (l + εv ( v u. l ε Si la série (v coverge, il e est de même de la série ( (l + εv doc de (u ; ( et si la série (u coverge, il e est de même de u doc de la série (v. l ε Corollaire 9. O suppose (u et (v des séries à termes réels positifs ou uls et o suppose u v quad. Alors les séries (u et (v sot de même ature. Démostratio. O a u = v.w avec lim = N tel que N 2 w v u 3 2 v. Exemples et remarque. u = O a u 2 4 = 2 série (u coverge. ( et la série géométrique 2 coverge. Doc la 2 Pour étudier des covergeces de séries du type P ( Q( où P et Q sot des polyômes, ( il est doc particulièremet utile de coaître la covergece de la série α, α R. Pour cela o a besoi de la propositio suivate : Propositio 0 : Comparaiso avec ue itégrale. Soit (u ue série réelle à termes positifs ou uls. O suppose que pour N 0 o a u = f( où f est ue foctio défiie pour N 0 cotiue positive décroissate. N + 0 Alors la série (u est covergete si et seulemet si la suite (T (croissate T = N 0 f(tdt est majorée (c est-à-dire coverge. 3
7 Démotratio. Soit k N 0 o a u k+ Soit N 0 o a u k+ k=n 0 + N 0 f(tdt k+ k f(tdt u k. k=n 0 u k+ k=n k 0 k+ f(tdt k=n 0 u k. O utilise alors la propositio 6. k=n 0 u k c est-à-dire Théorème : lasérie (de référece de Riema. ( La série α est covergete si α> divergete si α. Démostratio.. Pour α<0 lim =+ la série diverge. α. Pour 0 α o a déjà vu qu o a < ( α doc comme la série diverge, ( la série α diverge.. Supposos α>. O pose f(x = pour x o a : xα [ t α+ ] t α dt = α + = α ( α lim t α dt = α. ( Doc la série α est covergete. O va maiteat utiliser les séries qu o coaît : séries géométriques et de Riema comme séries de référeces et utiliser les critères de comparaiso qu o viet de voir. 2 Règles usuelles de comparaiso avec les séries de référece. A Règle de d Alembert Théorème 2. Soit (u ue série à termes réels, u > 0 à partir d u certai rag. a S il existe k R, k < tel que pour assez grad o ait u + k alors la série u (u coverge. b Si à partir d u certai rag o a u + alors la série (u diverge. u Corollaire 3 :règle de d Alembert. Soit (u ue série à termes réels, u > 0 à partir d u certai rag. u + O suppose l = lim existe das R { }. Alors u Si l< la série (u coverge. 2 Si l> la série (u diverge. 32
8 Remarque. Le cas l = est doc u cas à étudier autremet. Exemple et exercice. Comparer les suites (défiies pour p a! (2! (p etier p<0 (a R a> Par exemple comparos p et a. O pose u = p a. O a : u + ( + = u p a u ( + = + p u a. u + O a lim = u a <. O e déduit que la série (u coverge, doc la suite (u ted vers 0 et doc p = o(a (a est beaucoup plus grad que p. O compare de même a et!,! et, et (2! Démostratio du théorème 2. Supposos que pour N 0 o ait u + u k< o obtiet : u + u... u N 0+ k N0+ u u u N0 c est-à-dire : u + u N0.k N0+ = k +. ( k N0.u N0 = v+ (o a bie k 0. Comme la série (v coverge il e est de même de la série (u. u + 2 Supposos que pour N 0 o ait o obtiet de même pour N 0 u u + u N0 > 0. O a doc pas lim u =0. Doc la série (u e coverge pas. Démostratio du Corollaire 3. Si l<, il existe k R tel que l<k< alors pour assez grad o a u + u <k et o applique le théorème 2. 2 Si l> alors pour assez grad o a u + u > et o applique le théorème 2. B Règle de Cauchy (à e pas cofodre avec le critère de Cauchy pour la covergece des suites ou des séries. Théorème 4. Soit (u ue série à termes réels positifs ou uls. S il existe k R k < tel que pour assez grad o ait u k, alors la série (u est covergete. 2 Si à partir d u certai rag o a : u, alors la série (u est divergete. 33
9 Corollaire 5 :Règle de Cauchy Soit (u ue série à termes réels, u 0 à partir d u certai rag. O suppose u = l, existe das R { }. Alors lim Si l< lasérie coverge. 2 Si l> lasérie diverge. Remarque. Le cas où o a l = est doc à étudier autremet. Exemple. u = u =4x. lim Si x< 4 ( 2 2x, avec x R x > 0. O a u = + la série (u coverge. ( 2 2.x + x> 4 x = 4 la série (u diverge. o e peut pas coclure par la règle de Cauchy mais o a : ( 2 ( log(u =2log + log + 4 ( =2log 2 + ( =2log 3 2 ( + d où lim log u = 3 et lim u = e 3 la série (u est divergete car la suite (u e ted pas vers 0. Démostratio du théorème 4. Supposos que pour assez grad o ait u k. O a alors u k (u coverge. et comme o a k< la série (k est covergete. Doc la suite 2 Supposos qu à partir d u certai rag o ait u. Alors o a u et le terme gééral de la série e ted pas vers 0, doc la série diverge. C Règle de Riema Théorème 6. Soit (u ue série réelle à termes positifs ou uls. S il existe k R et α R, α > tel que pour assez grad α u k, alors la série (u coverge. 2 S il existe k R, k>0 tel que pour assez grad u k alors la série diverge. 34
10 Corollaire 7. Soit (u ue série à termes réels positifs ou uls. Si lim α u = l R \{0} alors si α> la série coverge. si α la série diverge. 2 Si lim α u = 0 avec α> la série coverge. 3 Si lim α u =+ avec α la série diverge. Exemple : Les séries de Bertrad. Soiet α et β des réels et soit u = α (log β, 2. O sait que le α doit l emporter sur (log β. C est ce qu o va exploiter. er cas Si α> o choisit α R α>α >. O a lim u α = lim Doc la série (u coverge. α α (log β =0. 2è cas Si α< o choisit α R α<α <. α O a lim u α = lim =+ doc la série diverge. α (log β 3è cas α =. O va alors termier l étude par ue comparaiso avec la suite T = N 0 x(log x β dx (N 0 fixé assez grad. O pose f(x = x(log x β. O vérifie que si N 0 est assez grad alors la foctio f est cotiue positive décroissate das [N 0, + [. [ (log x β+ ] - Si β T = β + N 0 si β> alors la suite (T coverge doc aussi la série (u si β< alors la suite (T diverge doc aussi la série (u. 2- Si β = T = [ log(log x ] N 0 la suite T diverge doc aussi la série (u. Résumé. u = α (log β α R β R. La série (u est covergete pour α> divergete pour α covergete pour α = β > divergete pour α = β. 35
11 D Complémets sur les règles de Cauchy et de d Alembert Comparaiso des règles de Cauchy et de d Alembert. u + O peut démotrer que si (u est à termes positifs et si ted vers ue limite u l>0 alors u ted aussi vers cette limite. Il parait e gééral plus simple de commecer par essayer la règle de d Alembert, mais si o a pas trouvé de limite à u + rie est perdu, il reste l espoir d ue limite pour u u. (O peut aussi essayer la règle de Riema... 2 Cas douteux des règles de Cauchy et de d Alembert. Si par l ue des deux règles o trouve ue limite égale à rie e permet de coclure de u + faço géérale. O peut alors essayer de motrer pour assez grad ou u u pour assez grad pour démotrer la divergece. O peut aussi das le cas où o a trouvé la règle de Raabe Duhamel suivate : u + lim =, raffier ce résultat et utiliser u 3 Règle de Raabe Duhamel. Propositio 8. Soit (u ue série réelle, u > 0 à partir d u certai rag N 0. O pose alors u + = λ( pour >N 0. u O suppose λ( =µ. lim Alors Si µ> la série (u coverge. 2 Si µ< la série (u diverge. Démostratio. O a u + = µ ( u + o. Soit α R α quelcoque, α 0. Soit v = u. α. Pour o a : v + = u ( +. + α v u ( = µ + o( ( + α + o( ( = + α µ + o (. Si µ > o choisit α R tel que µ>α> v + pour assez grad o a alors < d où v + <v. La suite v est doc v majorée. O applique alors le théorème de Riema pour motrer la covergece de la série (u. 2 Si µ < o choisit α R tel que µ<α< pour assez grad o a v + v > d où v + >v. La suite v est doc miorée (par u ombre positif. O applique le théorème de Riema pour motrer la divergece de la série (u. 36
12 Exemple. Soit a/ N et soit u = ( a(a...(a +! pour. O a u + ( (a = = a u + +. O e déduit que pour >a u + et u sot de même sige, doc les critères pour les séries positives (ou égatives s appliquet, (u coverge e même temps que ( u u + u = a (a + = + + pour assez grad. O a u + lim =. Le critère de Raabe Duhamel s applique : u Si a + > c est-à-dire a > 0 alors la série coverge. Si a + < c est-à-dire a < 0 alors la série diverge. III-Séries - à termes quelcoques Séries absolumet covergetes. Rappel. Soit (u ue série à termes complexes, o a (corollaire 4 que si la série (u est absolumet covergete (c est-à-dire si la série ( u coverge alors la série (u coverge. La première chose à faire quad o étudie ue série à termes quelcoques est doc d essayer d appliquer les critères de covergece des séries à termes positifs àlasérie ( u. Attetio. Si la série ( u coverge alors la série (u coverge mais la série ( u diverge o e peut rie coclure pour la série (u. Exemples. La série La série ( ( α pour α> est covergete, doc la série diverge, mais o a vu que la série ( ( covergeait. ( ( α coverge. 2 Les critères de covergece par équivalece des séries à termes réels positifs e se gééraliset pas aux séries à termes quelcoques. Exemple. O a ( + ( (, (. O verra das la suite que la série ( ( coverge (par le critère de covergece des séries alterées mais + e coverge ( pas, car sio la série covergerait aussi. Cepedat si o a étudié la covergece de la série ( u e utilisat ue des règles de u + Cauchy ou de d Alembert et trouvé pour ou de u ue limite l telle que u l> o peut coclure à la divergece de la série (u car so terme gééral e ted pas vers 0. Eoços : 37
13 Corollaire 3 bis : règle de d Alembert. Soit (u ue série à termes complexes. O suppose u 0 à partir d u certai rag et o suppose u + l = lim u Alors Si l< la série (u coverge. 2 Si l> la série (u diverge. existe das R { }. Corollaire 5 bis :Règle de Cauchy Soit (u ue série à termes complexes. O suppose Alors Si l< la série (u coverge. 2 Si l> la série (u diverge. lim u existe das R { }. Défiitio. Séries produits Soiet (u et (v des séries à termes complexes pour tout N o pose w = u k v k = u 0 v + u v u v 0. Alors la série (w s appelle la série produit des deux séries (u et (v. O peut représeter le terme w de la faço suivate : v 0 v... v u 0 u 0 v 0 u 0 v... u 0 v u u v 0 u v u v u u v u v w est obteu e faisat la somme des termes de la diagoale o pricipale du carré représeté. Théorème 9. Soiet (u et (v des séries absolumet covergetes de série produit (w. Alors la série (w coverge absolumet et o a : ( ( ( w = u. v. =0 =0 =0 38
14 Démostratio. Commeços par le cas où les séries (u et (v sot à termes réels positifs ou uls, et doc égalemet (w a Soit 2. Si o cosidère le diagramme précédet, où tous les termes sot positifs, l élémet correspod à la somme de tous les élémets situés w k au-dessus de la diagoale correspodat à w ( ( w k u k. v k ( ( u k v k <. Doc la série (w coverge. b Toujours e cosidérat le diagramme, mais e le prologeat à l ordre 2 o obtiet : v v 2 u u2 u v ( ( u k v k 2 w k ( 2 ( 2 u k v k. O obtiet doc lim w k = u k. 2 v k ( ( w k = u k v k et, comme (w coverge 2 O passe maiteat au cas quelcoque. Notos (R la série produit des 2 séries ( u et ( v. Cette série est covergete. a Soit 2 oa: w = u k v k u k v k = R. La série (w est doc absolumet covergete. b D autre part v u u v ( ( u k v k w k correspod à la somme des termes strictemet audessous de la diagoale correspodat à w. O a doc : ( ( ( u k v k w k ( u k v k R k. 39
15 Comme o a D où le résultat cherché. ( ( lim u k. v k = lim R k, o e déduit ( ( u k. v k = w k. Remarque. O verra plus loi que par applicatio des formules de Mac Lauri, o a : x R e x =+x + x2 2! +... cos x = x2 2! + x4 4! +... si x = x x3 3! + x5 5!... D autre part pour z = x + iy avec (x, y R 2 o défiit élémetairemet exp(z e posat exp(z = ( exp(x (cos y + i si y. O obtiet comme corollaire du théorème précédet. Corollaire : z z C exp(z = (avec comme covetio z 0 =.! =0 2 z C, z C exp(z + z 2 = ( exp(z (exp z 2. Démostratio. Soit z C \{0}. Pour N, oa: z + ( +!! z = z +. z ( z Comme o a lim + =0, la série! Notos provisoiremet, pour tout z C, Exp(z = =0 est absolumet covergete. z!. 2 Soiet z et z 2 das C. Cosidéros la série produit des séries O a : z k z2 k k! ( k! = C k! (z k z2 k ( z! et ( z 2.! =! (z + z 2 D où Exp(z + z 2 = Exp(z Exp(z 2. 3 O a doc pour z = x + iy avec (x, y R 2. Exp(z = Exp(x Exp(iy avec Exp(iy =+iy y2 2! iy3... 3! 40
16 D après les formules de Mac Lauri o a : Exp(x = exp(x cos y = y2 y3... si y = y 2! 3!... Si o fait ue sommatio par paquets de 4 termes de la série doat Exp(iy et des sommatios par paquets de 2 des séries doat cos y et si y o obtiet : D où lerésultat. Exp(iy = cos y + i si y 2 Séries o absolumet covergete. O va démotrer u théorème (d Abel das sa forme la plus géérale. Das la pratique il faudra surtout reteir ses corollaires. Théorème 20 : Théorème d Abel. Soiet (u et (v des suites à termes complexes. O suppose : A R tel que p, q das N avec p q o a v p v q A. 2 lim u =0. 3 La série ( u u + est covergete. Alors la série (u v est covergete. Démostratio. O va utiliser le critère de Cauchy pour les séries. O suppose A>0. Soit p N fixé. O pose : Vp p = v p V p p+ = v p + v p+ = v p v q pour q p o a pour p<q V p q u p v p u q v q = u p Vp p + u p+ (V p p+ V p p u q (Vq p V p q = Vp p (u p u p V p q (u q u q +u q Vq p. O a m p V p m A et o e déduit : ( q p N q N p<q, u p v p u q v q A. u q + pour p = q o a la majoratio u p v p A. u q. k=p u k u k+ Soit ε R ε>0. Comme la série ( u k u k+ est covergete il existe N 0 (ε tel que : p, q, q p N 0 (ε q k=p u k u k+ < ε 2A et comme o a lim u =0, il existe M 0 (ε tel que : p, p M 0 (ε u p < ε 2A. 4
17 Au total pour q p max ( N 0 (ε,m 0 (ε o a u p v p u q v q <ε. La série (u v coverge doc d après le critère de Cauchy pour les séries. Corollaire 2. Soiet (u ue suite réelle dot le terme ted e décroissat vers 0 et (v ue suite complexe telle que { v p v q /p q} soit majoré. Alors la série (u v coverge. Démostratio. O a N u u + 0 et u k u k+ = (u k u k+ = u 0 u +. Doc o peut appliquer le théorème précédet. Défiitio. Soit (w ue série réelle. O suppose qu o a N w =( w alors o dit que w est ue série alterée. Corollaire 22. Critère pour les séries alterées. Soit pour tout N w =( u où (u est ue suite réelle dot le terme ted e décroissat vers 0. Alors la série coverge. Démostratio. O applique le corollaire précédet avec v =(. Remarque. Soit w = ( u où u 0 u ted e décroissat vers 0, soit N S N = w, S = w alors o a N S 2+ S S 2 c est-à-dire que si o =0 =0 arrête le calcul de la somme partielle sur u terme positif o a ue valeur approchée de la somme par excès et si o s arrête sur u terme égatif o a ue valeur approchée par défaut. E effet S S 2 = k=2+ w k = u 2+ + u Cette derière somme peut se calculer e regroupat les termes 2 par 2. Or u 2+ + u u u etc. De même S S 2+ = u 2+2 u avec u 2+2 u u 2+4 u etc. Exemples classiques. Soit u = ( pour. La série est alterée et u ted e décroissat vers 0. Doc o retrouve que la série est covergete. 2 Soit u = a cos θ et v = b si θ où (a et (b sot des suites réelles positives tedat e décroissat vers 0, et θ R \ 2πZ. O a alors pour p q q q cos kθ e ikθ k=p k=p k=p q q si kθ e ikθ k=p 42
18 D autre part : q e ikθ = e ipθ ( + e iθ e i(q pθ k=p = ei(q p+θ 2 e iθ e iθ. O obtiet ue majoratio idépedate de p et q. D après le corollaire 2 les séries (u et (v coverget. 3 Quelques exemples de calculs de sommes de séries. Si ue série réelle coverge o peut toujours essayer de trouver ue approximatio de la somme à l aide des sommes partielles. La somme exacte de la série géométrique est facile à calculer : q k = q pour q <. Les sommes exactes des séries de Riema sot ecore souvet mystérieuses (sauf 2 = π2 6. k= O va voir quelques cas où o peut calculer assez facilemet la somme exacte de certaies séries (u. A Cas où il existe ue foctio f des etiers a,...,a r r des réels ou complexes A,...,A r tels que A A r =0 et u = A f( a A r f( a r et f( =0. lim Das ce cas le calcul effectif de la somme partielle S de la série. va permettre d obteir la somme S Exemple. 2 u = O remarque que 2+=0. O pose f( =. O a : u 2 = f( 2f(2 + f(3 u 3 = f(2 2f(3 + f(4 u 4 = f(3 2f(4 + f(5. u = f( 2 2f( + f( u = f( 2f(+f( +. O a : D où u k = ( f(+f( + +f( f(2. k=2 k=2 u k = 2. 43
19 B Cas où oa a,...,a r élémets deux à deux disticts de Z, r 2. P polyôme de degré m, m r 2 (P 0 à coefficiets das R. P ( tels que N >max(a,...,a r o ait u = ( a...( a r. Das ce cas u est de sige costat à partir d u certai rag, et o a u b m m r où b m X m est le terme de plus haut degré de P. La série coverge doc. Si alors o décompose P (X e élémets simples o obtiet : (X a...(x a r P (X (X a...(x a r = A A r avec i A i R. X a X a r.p ( Comme o a lim = 0 à cause du degré de P, o obtiet ( a...( a r A + A A r =0. O est doc das le cas A. Exemple. Calculer la somme de la série : =... O a doc u = ( + ( + 2( +3 pour P (X =X d o P = 3 2. O vérifie immédiatemet : u = ( ( +2 3 ( D où : D où : S = S = 2 + k=4 = 2 k= + k=2 k + +2 k k +2 k=3 k= k k k=4 k= +3 et si o suppose 3oa: ( k ( ( ( S = 2 ( = 4. C Utilisatio de la formule de Mac Lauri. Rappel : Formule de Taylor-Lagrage. Soit f ue foctio défiie sur u segmet réel d extrémités a et b (a b. O suppose que f est fois cotiûmet dérivable sur [a, b] (ou [b, a] et que f (+ existe sur ]a, b[ (ou ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ (b a k tel que f(b = f (k (b a+ (a+ f + (c. k! ( +! Cette formule pred le om de formule de Mac-Lauri das le cas où o pred a =0. O obtiet : b k f(b = k! f (k (0 + b+ ( +! f + (c. Si o peut démotrer que le terme obtiet : f(b = b k+ ( +! f (k+ (c ted vers 0 quad alors o b k k! f (k (0. Ce procédé sera repris lors de l étude des séries etières. 44
20 O peut obteir aisi par applicatio de la formule de Mac-Lauri les sommes suivates que l o pourra reteir. x R e particulier e x =+x + x2 2! x! +... e =++ 2! +...+! +... x R x R x R x < cos x = x2 2! + x4 4! +... si x = x x3 3! +... log( + x =x x2 2 + x log(2 = D Sommatios par paquets. Il e faut pas o plus oublier ce procédé qu o a vu au I (Prop. 3. A titre d exercice, motrer la covergece et calculer la somme de la série doée e exemple :, 2, 4, 3, 6, 8, 5,, etc
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