Exercices 2. Trigonométrie et nombres complexes... Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exercices 2. Trigonométrie et nombres complexes... Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques."

Transcription

1 Exercices Trigonométrie et nombres complexes Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques. Trigonométrie et nombres complexes Trigonométrie Nombres complexes Calculs Inégalités Équations atypiques Équations du second degré ou s y ramenant Racines n-ièmes Application à la géométrie plane Sujets de réflexion Indications

2 PCSI Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et. Certains énoncés sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercices notés et sont particulièrement délicats. 1. Trigonométrie 1. [ Un grand classique ] ( ind ) ( π ) ( ) ( ) 3 5 ( π ) Simplifier le produit p = sin sin π sin 14 π en le multipliant par cos. 14. [ Une belle et inutile équation ] ( ind ) Résoudre dans R l équation 4cos (x) sin (x) 3 = [ Lignes trigonométriques de π/5 ] ( ind ) On cherche à calculer cos(π/5) et sin(π/5). a) Résoudre dans R l équation cos(3x) = sin(x). b) En déduire les valeurs de sin(x) et cos(x) pour x = π/5.. Nombres complexes.1. Calculs 4. [ Forme polaire d une somme géométrique ] ( ind ) Soient α R et z = e iα. Écrire 1 + z + z sous forme polaire. 5. [ Module ] ( ind ) Soient n N strictement supérieur à 1 et z 1,..., z n des nombres complexes non nuls de même module. Montrer que le nombre suivant est réel : (z 1 + z )(z + z 3 ) (z n 1 + z n )(z n + z 1 ) z 1 z z n 6. [ Une équation trigonométrique ] ( ind ) Soit θ R et z θ = sin(θ) + i cos (θ). a) Déterminer le module et un argument de z θ. On discutera en fonction des valeurs de θ. b) Déterminer l ensemble des nombres réels θ tels que z θ = z θ 1. LLG PCSI Exercices

3 PCSI [ Paramétrage de U ] ( ind ) On note U, l ensemble des nombres complexes de module 1. a) Soit z U \ {1}. Démontrer que z + 1 est un imaginaire pur. z 1 b) Vérifier que, λ R, 1 + λi U. Étudier la réciproque. 1 λi c) Soit z C. Démontrer que, u U \ {1}, z uz R. Étudier la réciproque. 1 u 8. [ Des réels ] ( ind ) Soient a et b de module 1 tels que a ±b. a) Prouver que 1 + ab a + b R. z + abz (a + b) b) Montrer que pour tout z C, R i. a b 9. [ Fonctions symétriques ] ( ind ) Soient a,b,c C de module 1. Montrer que a + b + c = ab + bc + ac. 10. [ Modules ] ( ind ) Déterminer les nombres complexes z tels que z, 1/z et 1 + z soient de même module. 11. [ Posé à l X ] ( ind ) Soient a,b et c dans U tels que a c. a) Montrer que a(c b) b(c a) R +. b) Donner une interprétation géométrique de ce résultat... Inégalités 1. [ Un peu de géométrie ] ( ind ) a) Soit z C. Montrer que Im(z) > 0 z i < z + i. b) Soient a,b deux nombres complexes distincts. Décrire géométriquement l ensemble des z C tels que z a < z b. z c) Déterminer l ensemble des nombres complexes z tels que < 1. z 1 LLG PCSI Exercices 3

4 PCSI [ L inégalité triangulaire généralisée ] ( ind ) Soient n et z 1, z,..., z n appartenant à C. a) Prouver que z z n z 1 + z + + z n. b) Montrer que l inégalité du (a) est une égalité si et seulement si arg(z 1 ) = arg(z ) = = arg(z n ). 14. [ Inégalités ] ( ind ) Prouver que pour tous nombres complexes z et z, on a : a) 1 z + z z + z ; b) z + z ( 1 + z )( 1 + z ). 15. [ Modules de 1 + z et 1 + z ] ( ind ) On note U l ensemble des nombres complexes de module 1. a) Soit z U tel que 1 + z < 1. Montrer que 1 + z > 1. b) Soient u et v deux complexes tels que u = v 1. Établir que u + v 1 ou u + v > [ Valeur absolue d une somme géométrique ] ( ind ) Soient n N et z C \U. Montrer que 1 z n+1 1 z 1 z n+1 1 z 17. [ Deux inégalités sur les modules ] ( ind ) a) Prouver que (a,b) C, a + b a + b + a b. 4 b) En déduire que pour tous z 1, z, z 3 et z 4 dans C, on a z k z i + z j. k=1 1 i<j [ Épreuve écrite X-PC 008 ] ( ind ) Soit λ R \Z. Montrer que, pour tout entier naturel n 1, on a n 1 e ikλπ 1 sin(λπ) k=0 19. [ Racines n-ièmes ] ( ind ) Soient n N \ {0,1}, ω = exp ( ) iπ n et (a,b) C. Montrer que : a + b n n 1 k=0 a + ω k b LLG PCSI Exercices 4

5 PCSI Équations atypiques 0. [ Une équation atypique ] ( ind ) Soit a un réel, on considère l équation (E) : z + z = a d inconnue z C. a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a pour que (E) possède au moins une solution réelle. b) Résoudre (E). Discuter en fonction de a, et donner dans chaque cas le nombre de solutions, dire si elles sont réelles, conjuguées, etc... On présentera le résultat final dans un tableau. 1. [ Autour de l exponentielle ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) e z = 7 ; b) e z = i ; c) e z = 1 + i ; d) e z + e z = 1 ; e) e z + e z = i.. [ Lieux géométriques ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes ( ) z 1 a) Re = 0 ; b) Im z i ( z 1 z i ) = 0 ; c) Re ( z 3) = Im ( z 3). 3. [ Divertissements ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) z = z ; c) z = 7 z ; e) z + z = z ; g) z 3z = +3i ; b) z 3 = z ; d) z +8 z 3 = 0 ; f) z 5 = 16z ; 4. [ Une équation atypique ] ( ind ) Soit α R. Résoudre dans C l équation z + z = α + i..4. Équations du second degré ou s y ramenant 5. [ Classique ] ( ind ) Résoudre sur C l équation (E) : ( z + 1 ) + ( z z 1 ) = [ Une équation à paramètres ] ( ind ) Soit λ et θ deux paramètres réels, λ 0. Calculer le module et l argument des racines de l équation : z C, z (λcos(θ) + i sin(θ)) z + λ 1 = 0 LLG PCSI Exercices 5

6 PCSI [ Conditions sur les racines ] ( ind ) Soit (p, q) C, avec q 0. Montrer que les racines de l équation z + pz + q = 0 ont le même module si et seulement si p /(4q) [0,1]. 8. [ Module des racines d une équation ] ( ind ) Soit m C. On note α et β les deux solutions de l équation z + mz + 1 = 0. a) Soient z et z, deux nombres complexes et u, une racine carrée complexe du produit zz. Démontrer que z + z = z + z u + z + z + u b) En déduire que α + β = m m [ Equations dont les racines sont de module un ] ( ind ) Soient (a,b) C et (E) : z + az + b = 0. Déterminer une CNS pour que (E) admette deux racines de module égal à un..5. Racines n-ièmes 30. [ Résolution d une équation ] ( ind ) Soit n N n 1. Résoudre dans C l équation z k = 0. k=0 31. [ Questions enchaînées ] ( ind ) ( ) z + 1 n a) Résoudre dans C l équation = 1. z 1 ( ) z + i n b) En déduire les solutions dans C de = 1. z i ( ) z + 1 n c) Soit θ R tel que θ 0[π/n]. Résoudre dans C l équation = e inθ. z 1 d) En déduire les solutions dans C de l équation ( ) z + 1 n ( ) z 1 n + = cos(nθ) z 1 z + 1 On traitera le cas général, θ R sans aucune restriction. 3. [ Racines septièmes de l unité ] ( ind ) Soit ω une racine septième de l unité distincte de 1. Simplifier ω 1 + ω + ω 1 + ω 4 + ω3 1 + ω 6. LLG PCSI Exercices 6

7 PCSI [ Etude d une équation ] ( ind ) ( ) 1 i z n Soit π < α < π. Résoudre dans C l équation = 1 i tan(α) 1 + i z 1 + i tan(α). 34. [ Trois équations ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (z + i ) 3 + i z 3 = 0 ; b) z 4 z 3 + z z + 1 = 0 ; c) z 4 z 3 z z + 1 = 0 en posant Z = z + z [ Une équation d ordre n ] ( ind ) Soit n 1. Résoudre dans C l équation 1 + z + z + + z n 1 + z n = [ Racines cinquièmes de l unité ] ( ind ) Soit α une racine cinquième de l unité différente de 1. Prouver l égalité ( α + α + 1 )( α 3 + α + 1 )( α 4 + α + 1 ) = α(α + 1) 37. [ Une expression de tan(π/5) ] ( ind ) En résolvant (1 i z) 5 (1+i z) 5 = 0 de deux manières différentes, déterminer une expression sous forme de radicaux de tan(π/5)..6. Application à la géométrie plane 38. [ Racines carrées et géométrie ] ( ind ) Soit z, un nombre complexe non nul. On désigne par M, le point d affixe z et par P et Q, les images des racines carrées complexes de z. a) Pour quelles valeurs de z les points M, P et Q sont-ils deux à deux distincts? b) On suppose que M, P et Q sont deux à deux distincts. i) Pour quelles valeurs de z les trois points sont-ils alignés? ii) Pour quelles valeurs de z les droites (MP) et (MQ) sont-elles perpendiculaires? 39. [ Questions d alignement ] ( ind ) Le plan affine euclidien P est muni d un repère orthonormé direct R. a) Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes respectives 1, z et i z soient alignés. b) Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes respectives 1, z et z soient alignés. c) Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes respectives z, 1 z et z soient alignés. LLG PCSI Exercices 7

8 PCSI [ Etude d une configuration ] ( ind ) Soit ABCD un carré et G un point de ]BC[. On construit deux carrés extérieurs à ABCD, de côtés respectifs [BG] et [GC]. On note I,J et K les centres des carrés de côtés GC, GB et AB. Prouver, par un calcul d affixe, que les droites (BI) et (KJ) sont orthogonales. Que dire des longueurs BI et JK? 41. [ Quadrilatères ] ( ind ) Soit ABCD un quadrilatère convexe du plan P. On construit à l extérieur de chacun des côtés du quadrilatère des triangles rectangles isocèles APB, BQC, CRD et DSA. Démontrer que les droites (PR) et (QS) sont perpendiculaires et que les longueurs PR et QS sont égales. 4. [ Construction du pentagone régulier ] ( ind ) On pose ω = exp ( ) iπ 5 et α = ω + ω 1. a) Justifier que 1+ω+ω +ω 3 +ω 4 = 0, et en déduire une équation du second degré dont α est racine. b) En déduire la valeur de cos(π/5) c) On pose Φ = (nombre d or). i) Vérifier que Φ = Φ + 1. Quelle est l abscisse des points d intersection des cercles d équations respectives x + y = 1 et (x + 1) + y = Φ? ii) Soient A,B et C les points d affixes respectives 1, 1 et i. Calculer la distance BC. En déduire une construction à la règle et au compas du pentagone régulier. 43. [ Sa majesté équilatérale ] ( ind ) Soient A, B, C trois points deux à deux distincts d affixes a, b, c. a) Prouver que ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement si a + j b + j c = 0, et équilatéral indirect si et seulement si a + j c + j b = 0. b) Prouver que ABC est un triangle équilatéral si et seulement si a + b + c = ab + ac + bc 44. [ Un problème d alignement ] ( ind ) Soit a un nombre complexe avec a = 1. On note z 1, z,..., z n les racines de l équation z n = a. Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont (1 + z 1 ) n,..., (1 + z n ) n sont alignés. 3. Sujets de réflexion 45. [ Posé à l X ] ( ind ) Soit ABC un triangle quelconque. On construit à l extérieur de chacun des côtés du triangle des triangles équilatéraux AC B, BA C et CB A. Démontrer que les centres de gravité des trois triangles équilatéraux forment un triangle équilatéral. LLG PCSI Exercices 8

9 PCSI Indications 1. [ Un grand classique ] En utilisant à répétition la formule de duplication sin(θ) = cos(θ)sin(θ), aboutir à p = 1/8.. [ Une belle et inutile équation ] Exprimer toutes les quantités en fonction de y = 4cos (x). L ensemble des solutions est ( π 3 + π ) ( π Z 6 + π ) Z 3. [ Lignes trigonométriques de π/5 ] Au (a), remarquer que l équation peut s écrire cos(3x) = cos(π/ x). Pour le (b), on pourra remarquer que cos(3x) = 4cos 3 (x) 3cos(x) et sin(x) = sin(x)cos(x) Poser ensuite α = cos(π/10) ; en déduire que cos(3 π/10) = sin( π/10) implique que β = sin(π/10) est solution de 4β + β 1 = 0. On trouve cos(π/5) = , sin(π/5) = [ Forme polaire d une somme géométrique ] Série géométrique puis angle-moitié : on trouve (cos(α) + 1)e iα. 5. [ Module ] Écrire les z k sous forme polaire. En notant θ k un argument de z k, on trouve que le nombre vaut ( ) ( ) ( ) n θ1 θ θ θ 3 θn θ 1 cos cos cos 6. [ Une équation trigonométrique ] Au (a), on trouve z θ = cos(θ)e i (θ+ π ). Au (b), élever au carré les modules ; on trouve ( S = π ) ( 7π ) 1 + πz 1 + πz 7. [ Paramétrage de U ] Écrire (par exemple) les éléments de U sous forme exponentielle e i t avec t R. LLG PCSI Exercices 9

10 PCSI [ Des réels ] Écrire a et b sous forme exponentielle. 9. [ Fonctions symétriques ] Utiliser le fait que a = 1 a = 1/a. 10. [ Modules ] Montrer que les solutions sont nécessairement de module un. Rechercher z sous forme polaire : z = e i t avec t R. On aboutit à cos(t) = 1/. On trouve { j, j }. 11. [ Posé à l X ] a) Écrire les trois nombres sous forme exponentielle et passer à l arc moitié. b) Reconnaître le théorème de l angle au centre : O C (CA, CB) = (OA, OB)[π] A B 1. [ Un peu de géométrie ] Se rappeler que z a est la distance entre les points M(z) et A(a). Aux questions (b) et (c), on trouve des demi-plans ouverts. 13. [ L inégalité triangulaire généralisée ] Raisonner par récurrence sur n. 14. [ Inégalités ] Appliquer judicieusement l inégalité triangulaire. 15. [ Modules de 1 + z et 1 + z ] Au a), écrire z sous forme exponentielle : z = e i t. On a 1+z = (1+cos(t)) et 1+z = 4cos (θ). Poser, si c est possible, z = u/v au b) et appliquer le (a) [ Valeur absolue d une somme géométrique ] Remarquer que x C \ {1}, 1 x n+1 n = 1 x x k k=0 Application à x = z puis inégalité triangulaire et enfin application de la relation à x = z. 17. [ Deux inégalités sur les modules ] Au (a), appliquer l inégalité triangulaire en remarquant que a = a + b Au (b), appliquer le (a) une première fois : + a b et b = a + b a b 4 z k z 1 + z + z 1 z + z 3 + z 4 + z 3 z 4 k=1 puis une seconde fois : Conclure par l inégalité triangulaire. z 1 z + z 3 z 4 z 1 + z 3 (z + z 4 ) + z 1 + z 4 (z + z 3 ) LLG PCSI Exercices 10

11 PCSI [ Épreuve écrite X-PC 008 ] Appliquer la formule de la série géométrique. 19. [ Racines n-ièmes ] Remarquer que na = puis appliquer l inégalité triangulaire. n 1 k=0 ( ) a + ω k b, nb = n 1 k=0 ( ) b + ω k a 0. [ Une équation atypique ] Se ramener à une équation du second degré à la première question. Poser z = x + i y avec (x, y) R au (b). On trouve : Valeurs de a Solutions complexes de (E) a < 1 4 a = 1 4 Deux solutions non réelles et conjuguées : 1 ± i 3 4 a. Une solution réelle et deux solutions non réelles et conjuguées : 1, 1 3 ± i 4 a. 1 4 < a < 3 4 Deux solutions réelles et deux solutions non réelles et conjuguées : 1± 4a+1, 1 ± i 3 4 a. a = 3 4 a > 3 4 Deux solutions réelles : 3, 1. Deux solutions réelles : 1 ± 4a [ Autour de l exponentielle ] Écrire z sous forme algébrique pour les trois premières équations. Aux d) et e), poser y = e z et se ramener à une équation du second degré en y.. [ Lieux géométriques ] Rechercher les solutions sous forme : algébrique aux (a) et (b), polaire au (c). On trouve un cercle privé d un point au (a), une droite privée d un point au (b) et la réunion de trois droites au (c). 3. [ Divertissements ] Chercher les solutions sous forme polaire aux a), b) et c). Au d), commencer par vérifier que les solutions sont nécessairement réelles ou imaginaires pures. Au e), écrire z sous forme trigonométrique. Écrire z sous forme polaire au f) et sous forme algébrique au g). 4. [ Une équation atypique ] Rechercher les solutions sous forme algébrique. Si α = 0, l équation n a pas de solution. Si α > 0, l équation admet une unique solution : z = α 1 α + i. Si α < 0, l équation n admet aucune solution. LLG PCSI Exercices 11

12 PCSI [ Classique ] { 1 i Penser à A + B = (A + i B)(A i B). On trouve, 1 + i } 1 i, 1 + i. 6. [ Une équation à paramètres ] Les racines valent (λ ± 1)e ±iθ. 7. [ Conditions sur les racines ] Le cas où p = 0 est trivial. Si p 0, poser λ = p /(4q). Le discriminant de l équation est alors p (1 1/λ) et ses racines s écrivent p( 1 ± µ)/ où µ est une racine carrée de 1 1/λ. Comme p 0, elles sont de même module si et seulement si 1 ± µ le sont. Conclure. 8. [ Module des racines d une équation ] Prouver l égalité des carrés au a). Au (b), remarquer que D après les relations coefficients-racines, on a m = α + β et αβ = 1 Appliquer le (a) à z = α, z = β et u = [ Equations dont les racines sont de module un ] L équation (E) admet deux solutions de module égal à un si et seulement si b = 1 et a [0,4]. Procéder b par Analyse-Synthèse. 30. [ Résolution d une équation ] Appliquer la formule de la série géométrique. Les solutions sont les racines n-ièmes de l unité sauf 1 et [ Questions enchaînées ] Au (a), on trouve les i cotan(kπ/n) pour k 1,n 1. Déduire le (b) du (a) sans calcul, en remarquant les égalités z+i = i ( i z+1) et z i = i ( i z 1). Poser Z = ( z+1 z 1 )n et établir que z est solution de l équation initiale si et seulement si Z est racine d une quation algébrique du second degré. On verra alors apparaître l équation du c). 3. [ Racines septièmes de l unité ] Exploiter la périodicité des puissances de ω ainsi que la relation 1 + ω + + ω 6 = 0. On trouve. 33. [ Etude d une équation ] Écrire le second membre sous forme polaire afin d en déterminer une racine n-ième particulière. Si α 0 ou (α = 0 et n impair), les solutions sont les tan(α/n kπ/n) pour 0 k n 1. Si α = 0 et n pair, en posant n = m, les solutions ont la même expression qu au cas précédent, pour k 0,m 1 \ {m }. LLG PCSI Exercices 1

13 PCSI [ Trois équations ] Penser à la série géométrique pour la seconde équation. On aboutit à une équation du second degré en Z au (c). On trouve : a) b) { 1 i, 1 + i ( ) + 3 ( + 3 ), 1 + i ( ) 3 ( 3 ) { } e iπ/5,e 3iπ/5,e 7iπ/5,e 9iπ/5. }. c) { j, j, 3 5, 3 + } [ Une équation d ordre n ] Par la formule de la série géométrique, pour z 1, 1 + z + z + + z n 1 + z n = (z n 1) z + 1 z [ Racines cinquièmes de l unité ] Exploiter l égalité 1 + α + α + α 3 + α 4 = [ Une expression de tan(π/5) ] En développant par la formule du binôme, on aboutit à une équation bicarrée. En posant Z = (1 i z)/(1 + i z), on est ramené à Z 5 = 1. On trouve donc les solutions sous deux formes et après identification, on obtient l expression de tan(π/5) au moyen de radicaux : tan(π/5) = [ Racines carrées et géométrie ] Au (a), on trouve z C \ {0,1}. Au (b), la réponse est R +. Au (c), on trouve U \ {1}. 39. [ Questions d alignement ] Appliquer la CNS d alignement. On trouve : a) Le cercle de centre (1 i )/ et de rayon /. b) L axe réel. c) La réunion des deux droites verticales définies par Re(z) = ±1/ et de l axe des abscisses. 40. [ Etude d une configuration ] Travaillez dans le repère orthonormé direct (A, AB, AD). 41. [ Quadrilatères ] Travaillez dans un repère orthonormé direct quelconque du plan en utilisant des rotations pour trouver les affixes de P, Q, R, S en fonction de celles de A, B, C, D. 4. [ Construction du pentagone régulier ] a) On trouve α + α 1 = 0. b) Comme α = e iπ/5 + e iπ/5 = cos(π/5) > 0, on en déduit que cos(π/5) = α 5 1 =. 4 c) Construction à la règle et au compas du pentagone régulier. i) L abscisse des points d intersection de C 1 et C est x = Φ = = cos(π/5). 4 LLG PCSI Exercices 13

14 PCSI ii) Par Pythagore on trouve que BC = 5/. Soient C 3 le cercle de centre C et de rayon 1/ et D l intersection entre (BC) et C 3. Alors on a BD = BC + CD = 5/ + 1/ = Φ. Ainsi C, qui a pour centre B, passe par le point D. Finir la construction. 43. [ Sa majesté équilatérale ] Traduire (AB, AC) = π/3[π] et AB = AC en c a b a = eiπ/3. Se souvenir que 1 + j + j = [ Un problème d alignement ] Écrire a puis les z k sous forme polaire. LLG PCSI Exercices 14

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2 NOMBRES COMPLEXES Ph DEPRESLE janvier 06 Table des matières Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Opérations dans l ensemble C. Addition dans C...........................................

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 8 novembre 009 Table des matières Définitions Forme algébrique Représentation graphique Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Inverse d un nombre complexe

Plus en détail

Série Maths. Nombres complexes. . Exercice n 1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0

Série Maths. Nombres complexes. . Exercice n 1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0 . Exercice n 1 : On considère l'équation : Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0 1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z 1 et Z. - On désigne par M 1 et M les points du plan complexes

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan

Plus en détail

Cours de terminale S Les nombres complexes

Cours de terminale S Les nombres complexes Cours de terminale S Les nombres complexes V. B. et S. B. Lycée des EK 20 décembre 2014 Définition Vocabulaire Conséquences Définition Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes,

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

Chapitre 9 Les nombres complexes

Chapitre 9 Les nombres complexes Chapitre 9 Les nombres complexes Vocabulaire-représentation Définition des nombres complexes Définition Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire) On introduit i, un nombre qui vérifie i = On

Plus en détail

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes 1 Corps C des nombres complexes Théorème 1. Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient R. C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent

Plus en détail

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication

Plus en détail

TS - Maths - Révisions Nombres complexes

TS - Maths - Révisions Nombres complexes TS - Maths - Révisions Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = 1 + iz n. Les parties A et B peuvent

Plus en détail

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 Université de Tours Année 2015-2016 Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (12 h) 1 Nombres complexes 1.1 Introduction

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes BTS Mécanique et Automatismes Industriels, Année scolaire 006 007 Table des matières. Les différentes écritures. - Forme algébrique d un nombre complexe. - Représentation géométrique d un nombre complexe.3

Plus en détail

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Géométrie BAC MATHS δmaths M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Nombres complexes * +. Si, alors il existe un unique couple tel que. est la forme algébrique du nombre complexe. : la partie réelle de. : la partie

Plus en détail

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 février 016 à 15:35 Les nombres complexes Table des matières 1 Introduction 1.1 Un problème historique......................... 1. Création d un nouvel ensemble.....................

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Exercices 9 novembre 014 Les nombres complexes Aspect géométrique Exercice 1 1) D est le point de coordonnées ( 3; 3). Quel est son affixe? ) On donne les points A, B, C d affixes respectives : z A = 3+i,

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique Rappel Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k n a par

Plus en détail

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes CHAPITRE 4 : Les nombres complexes 1 Définition... 1.1 Théorème... 1. Définitions... 1.3 Théorème... Nombre complexe conjugué... 3.1 Définition... 3. Théorème 1... 3.3 Théorème... 3.4 Théorème 3... 5 3

Plus en détail

Cours : SIMILITUDES PLANES.

Cours : SIMILITUDES PLANES. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : définir une similitude plane à partir de la conservation des rapports des distances. en déduire la définition du rapport de similitude. faire le lien

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe I Module et Argument d un nombre complexe Tout point M du plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires (r, θ) (r > 0, θ réel) M r est la distance OM ; θ est une mesure de l angle ( u, OM).

Plus en détail

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal Cours de Terminale S /Nombres complexes E. Dostal aout 01 Table des matières 8 Nombres complexes 8.1 Introduction............................................ 8. Le plan complexe.........................................

Plus en détail

Kooli Mohamed Hechmi

Kooli Mohamed Hechmi Equations à coefficients complexes 4 eme Sc Expérimentales Dans tous les exercices le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes

Plus en détail

Fiche n o 1. Nombres complexes. Exercice 2. Mettre sous forme algébrique, puis trigonométrique le nombre complexe Z = Calculer Z 3.

Fiche n o 1. Nombres complexes. Exercice 2. Mettre sous forme algébrique, puis trigonométrique le nombre complexe Z = Calculer Z 3. BCPST. Année 00-0 Lycée Pierre de Fermat Toulouse Fiche n o Nombres complexes Exercice. On considère les nombres complexes a = + i et b = 3 i. a Déterminer la forme trigonométrique de a, b, et de ab. b

Plus en détail

Chap. 5 : Ensemble C 1. L ensemble C. Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + i.

Chap. 5 : Ensemble C 1. L ensemble C. Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + i. Chap 5 : Ensemble C 1 Arthur LANNUZEL le 1 Octobre 005 L ensemble C 1 Définition de C 11 Rappels Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + ib, a, b R} où i =

Plus en détail

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER D Poquillon, C Mijoule et P Floquet SEPTEMBRE 005 Cours semaine 1 :Introduction, définitions, résolution d équations 1-1 Introduction

Plus en détail

Nombres complexes. Trigonométrie. Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1

Nombres complexes. Trigonométrie. Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 Nombres complexes I Trigonométrie Exercice 1. 1. Déterminer les valeurs exactes de cos π, sin π et tan π (on pourra utiliser les 12 12 12 valeurs connues

Plus en détail

Nombres complexes et application à la géométrie

Nombres complexes et application à la géométrie Nombres complexes et application à la géométrie I) Représentation graphique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormé (O,u,v). 1) Affixe d un point a) Définition Si M est le point de

Plus en détail

1.1 Nombres complexes

1.1 Nombres complexes Université de Provence 011 01 Mathématiques Générales I Parcours PEIP Cours : Nombres complexes 1 Définitions 11 Nombres complexes Définition 1 On appelle nombre complexe tout élément z de la forme z a

Plus en détail

Corps des complexes. 1 Calculs dans C Le corps C Module, conjugaison Interprétation géométrique... 2

Corps des complexes. 1 Calculs dans C Le corps C Module, conjugaison Interprétation géométrique... 2 Maths PCSI Cours Table des matières Corps des complexes 1 Calculs dans C 1.1 Le corps C............................................... 1. Module, conjugaison......................................... 1.3

Plus en détail

Chapitre 1 Les nombres complexes

Chapitre 1 Les nombres complexes Chapitre 1 Les nombres complexes A) Définition et propriétés de base (rappels) 1) Définition a) On appelle C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z a bi, où a et b sont des réels

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 01-014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Complexes 1 Le Plan complexe 1.1 Introduction Dans tout ce chapitre,

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. 1. Calculer le module et l argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i, z 2 = 1 i, z 3 = 1 + i 3, z 4 = 1 + i 3 1 i

NOMBRES COMPLEXES. 1. Calculer le module et l argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i, z 2 = 1 i, z 3 = 1 + i 3, z 4 = 1 + i 3 1 i NOMBRES COMPLEXES 1 Calculer le module et l argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i z = 1 i z = 1 + i z 4 = 1 + i 1 i Calculer les nombres complexes suivants : w 1 = (1 + i) 1 w = ( 1 + i

Plus en détail

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. 2 + q 2

NOMBRES COMPLEXES. 2 + q 2 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique f(x) = x 3 Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k 3. k

Plus en détail

Ch 4. Complexes. D où l idée d introduire de nouveaux nombres dont le carré serait négatif, pour traiter le cas < 0.

Ch 4. Complexes. D où l idée d introduire de nouveaux nombres dont le carré serait négatif, pour traiter le cas < 0. PTSI2 2016/2017 Maths Lycée La Martinière-Monplaisir Lyon Ch 4. Complexes. 1 L ensemble C des nombres complexes 1.a Introduction Pour résoudre une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, avec a, b, c réels

Plus en détail

Chapitre X : Nombres Complexes

Chapitre X : Nombres Complexes Chapitre X : Nombres Complexes I : L ensemble des complexes Il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, qu on note C et qui possède les propriétés suivantes : 1. C contient R (on note

Plus en détail

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : Nombres complexes 1 Ensemble des nombres complexes 1.1 Forme algébrique d un nombre complexe Théorème Admis 1. Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes, tel que : C contient

Plus en détail

LES NOMBRES COMPLEXES

LES NOMBRES COMPLEXES LES NMBRES CMPLEXES Table des matières Écriture algébrique d un nombre complee Définitions Propriétés 3 Somme, produit et inverse 4 Équation dans C Représentation géométrique d un nombre complee 4 Définitions

Plus en détail

Nombres complexes. Chapitre 1

Nombres complexes. Chapitre 1 Chapitre 1 Nombres complexes Les nombres complexes sont apparus en Italie au XVI e siècle. Niccolo Tartaglia le premier résout des équations du troisième degré. Il révèle sa formule à Jérôme Cardan qui

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe Module et Argument d un nombre complexe Introduction : Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations

Plus en détail

() Compléments de géométrie 1 / 33

() Compléments de géométrie 1 / 33 Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

Terminale STI-GE

Terminale STI-GE Le programme : Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en place en première. L'objectif est de compléter cet acquis pour fournir des outils utilisés en algèbre, en trigonométrie

Plus en détail

Nombres complexes, cours, Terminale S

Nombres complexes, cours, Terminale S Nombres complexes, cours, Terminale S F.Gaudon 18 décembre 2013 Table des matières 1 Notion de nombre complexe 2 2 Opérations sur les nombres complexes 3 3 Représentation géométrique des nombres complexes

Plus en détail

Nombres complexes - Partie 2

Nombres complexes - Partie 2 Chapitre F Nombres complexes - Partie 2 Contenus Capacités attendues Commentaires Forme trigonométrique : module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ; notation exponentielle.

Plus en détail

Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 280 du manuel)

Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 280 du manuel) Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 80 du manuel) Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Exercice n 1 La mesure principale de l angle A 1 π. B 1π est

Plus en détail

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009 CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 009 A. LAATAOUI I. INTRODUCTION ET DEFINITION Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et 3 et a pour racine et

Plus en détail

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie A) Définition et propriétés de base 1) Historique Les nombre complexes ont été inventés au départ en 1545 par le mathématicien italien Jérôme Cardan (Girolamo

Plus en détail

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Ecriture algébrique Exercice 1 1. Donner l écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous : i a. z = 1+ 1 + i 1 b. z = c. z3 = i 1 i + i. On considère les

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Généralités 1.1 Définitions................................................. 1. Règles de calcul dans C.........................................

Plus en détail

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août 2014 1 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le

Plus en détail

Exercices : Nombres complexes

Exercices : Nombres complexes Exercices : Nombres complexes Exercice Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants: z = i, z = e iθ + e iθ, z = i ( + i) Exercice Soit z le complexe défini par. Mettre z sous forme

Plus en détail

LES COMPLEXES. Il existe plusieurs formes pour écrire un nombre complexe z. Selon le contexte, une est plus appropriée qu'une autre.

LES COMPLEXES. Il existe plusieurs formes pour écrire un nombre complexe z. Selon le contexte, une est plus appropriée qu'une autre. 1A 010-011 LES COMPLEXES Objectifs Connaître les diérentes formes d'un nombre complexe. Savoir résoudre une équation complexe. Savoir linéariser un sinus ou un cosinus. Dénition 1. On note C l'ensemble

Plus en détail

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES TRANSFORATIONS ET NOBRES COPLEXES Table des matières Applications géométriques des nombres complexes. Arguments d un nombre complexe........................................... Ensemble de points du plan.

Plus en détail

Exo sur les similitudes

Exo sur les similitudes Exo sur les similitudes Exercice 1 : Écriture complexe Dans les exercices suivants donner l écriture complexe de la similitude directe de centreωd afixeω, de rapport k et d angleθ. 1)ω=1+i ; k= ;θ= π.

Plus en détail

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calculs dans l ensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Jean Chanzy. Université de Paris-Sud. u 3 + v 3 = q. = q = p3 27. u 3 + v 3 u 3 v p3. q v 3 = q p3.

NOMBRES COMPLEXES. Jean Chanzy. Université de Paris-Sud. u 3 + v 3 = q. = q = p3 27. u 3 + v 3 u 3 v p3. q v 3 = q p3. NMBRES CMPLEXES Jean Chanz Université de Paris-Sud Nécessité d introduire l ensemble C : Considérons l équation 3 5 4 = 0. Elle a pour solution évidente = 4. Le trinôme 3 5 4 se factorise en ( 4)( + b

Plus en détail

Nombres complexes. s'écrit alors i

Nombres complexes. s'écrit alors i Nombres complexes préambule : En 1545, dans son ouvrage Artis magnae sive regulis algebraicus, le mathématicien italien Cardan veut résoudre l'équation : x(10 x) 40. Il est confronté à une opération impossible

Plus en détail

Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques

Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130) (6 novembre 010 durée : h) Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés pages imprimées Les différents exercices sont indépendants

Plus en détail

Inversion complexe et cocyclicité

Inversion complexe et cocyclicité Inversion complexe et cocyclicité Jean-Marie Lion Université de Rennes Brève introduction aux nombres complexes L addition et la multiplication dans C sont définies de la façon suivante : si z = x + iy

Plus en détail

Cours d analyse L1S1P. Analyse L1S1 P

Cours d analyse L1S1P. Analyse L1S1 P Cours d analyse L1S1P 017 Objectifs : 1 Apprendre à calculer avec des formules : domaines de définition, dérivées primitives développements limités Se désinhiber face auxdites formules. À la fin de ce

Plus en détail

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes MTA - ch3 Page 1/11 Nombres complexes I L'ensemble C des nombres complexes I.1 Écriture des nombres complexes Il existe un ensemble noté C de nombres dits complexes vériant : R C C contient le nombre i

Plus en détail

Chapitre 10 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES. et Im(z) =

Chapitre 10 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES. et Im(z) = Chapitre 0 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES I- - Forme algébrique d un nombre complexe Définition : On note C l ensemble des nombres de la forme z = x + iy, où x et y sont deux nombres réels et ii un

Plus en détail

Sujets de bac : Complexes

Sujets de bac : Complexes Sujets de bac : Complexes Sujet n 1 : extrait d Asie juin 2002 1) Dans le plan complexe ; ;, on considère quatre points,, et d affixes respectives 3 ; 4 ; 2 3 et 1. Placer les points,, et dans un plan.

Plus en détail

HOMOTHÉTIES - TRANSLATIONS - ROTATIONS

HOMOTHÉTIES - TRANSLATIONS - ROTATIONS HOOTHÉTIES - TRASLATIOS - ROTATIOS I s - Propriétés On appelle translation de vecteur u, l'application qui à un point associe l'unique point tel que = u On la note souvent t u (ou simplement t lorsqu'il

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Plan complexe avec GéoPlan

Plan complexe avec GéoPlan Plan complexe avec GéoPlan Des carrés autour d'une figure - études de configurations avec les complexes. Sommaire 1. Trois carrés Deux triangles rectangles isocèles - Médiane de l'un, hauteur de l'autre

Plus en détail

Module : Algèbre 1 (S1)

Module : Algèbre 1 (S1) Université Mohammed V Faculté des Sciences-Rabat Département de Mathématiques ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Module

Plus en détail

z z + z z z (OS). Quelle conjecture apparaît, relativement au point M? COMPLEXES Démontrer que le nombre est réel, quel que soit α

z z + z z z (OS). Quelle conjecture apparaît, relativement au point M? COMPLEXES Démontrer que le nombre est réel, quel que soit α COMPLEXES Exercice Asie Juin 99 : Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) Z a : Factoriser P(Z). b : En déduire les solutions dans l'ensemble C des complexes de l'équation P(Z) 0. c : Déduire de la question

Plus en détail

Licence 1-ère année, parcours PC. Math 101 : Initiation à l algèbre et la géométrie

Licence 1-ère année, parcours PC. Math 101 : Initiation à l algèbre et la géométrie Licence 1-ère année, parcours PC Math 101 : Initiation à l algèbre et la géométrie Septembre 2008 1 Programme (50h). Les nombres complexes (10h). Définitions (partie réelle et imaginaire, module etc...)

Plus en détail

TRIGONOMÉTRIE. I Cercle trigonométrique - Radian. Définition. Remarques. Exemples ( voir animation )

TRIGONOMÉTRIE. I Cercle trigonométrique - Radian. Définition. Remarques. Exemples ( voir animation ) TRIGNMÉTRIE I Cercle trigonométrique - Radian sens trigonométrique M Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( i, j ). n appelle cercle trigonométrique le cercle de centre et de rayon 1, sur lequel

Plus en détail

Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016

Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016 Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016 Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie

Plus en détail

Argument d un nombre complexe

Argument d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Dans ce chapître, nous allons introduire les éléments indispensables à la résolution de notre grand problème : montrer la clôture algébrique de C, c està-dire le fait que

Plus en détail

Cours: Quelle est la différence entre le nombre dérivé et la fonction dérivée?

Cours: Quelle est la différence entre le nombre dérivé et la fonction dérivée? Nom : Sujet N 1 Le : 12 octobre 2010 Cours: Quelle est la différence entre le nombre dérivé et la fonction dérivée? Exercice: Déterminer l'ensemble des points M d affixe z, du plan, tels que : Im(Z)=0

Plus en détail

Nombres complexes. Chapitre Le corps des nombres complexes Sommes et produits de nombres complexes

Nombres complexes. Chapitre Le corps des nombres complexes Sommes et produits de nombres complexes Table des matières 1 Nombres complexes 1 1.1 Le corps des nombres complexes............................ 1 1.1.1 Sommes et produits de nombres complexes.................. 1 1.1. Conjugué et module...............................

Plus en détail

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points Plans, cercles, droites et sphères Ce chapitre aborde les objets fondamentaux utilisés en géométrie : droites et cercles dans le plan, plans, droites et sphères dans l espace. Les objectifs du chapitre

Plus en détail

Baccalauréat S Amérique du Sud Novembre 2010

Baccalauréat S Amérique du Sud Novembre 2010 Durée : 4 heures Baccalauréat S Amérique du Sud Novembre 21 Exercice 1 points On admet que si D et D sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite perpendiculaire à D et D. Si coupe D

Plus en détail

TRIGONOMÉTRIE REPÉRAGE POLAIRE

TRIGONOMÉTRIE REPÉRAGE POLAIRE TRIGNMÉTRIE REPÉRAGE PLAIRE I Angles orientés Remarque n considère le cercle de centre et de rayon, que l'on appelle cercle trigonométrique. Le périmètre de ce cercle est. n considère la droite graduée

Plus en détail

Nombres complexes, cours, première STI2D

Nombres complexes, cours, première STI2D Nombres complexes, cours, première STID F.Gaudon 9 juin 015 Table des matières 1 Notion de nombre complexe Opérations sur les nombres complexes 3 3 Représentation géométrique des nombres complexes 3 4

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014

Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 EXERCICE 1 Partie A A. P. M. E. P. Dans le plan muni d un repère orthonormé, on désigne par C 1 la courbe représentative de la fonction f 1 définie sur R par : f 1

Plus en détail

Nombres complexes. Chapitre 2 ÉCRITURE ALGÉBRIQUE. Sommaire. 1) L ensemble des complexes

Nombres complexes. Chapitre 2 ÉCRITURE ALGÉBRIQUE. Sommaire. 1) L ensemble des complexes Chapitre Nombres complexes Sommaire I Écriture algébrique........................................... 11 1) L ensemble des complexes................................... 11 ) Partie réelle, partie imaginaire.................................

Plus en détail

Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 2005/2006

Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 2005/2006 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 L usage de la calculatrice est autorisée. Le prêt de calculatrice entre les candidats n est pas autorisé. La qualité de la rédaction et de la présentation,

Plus en détail

Nombres Complexes ( série I )

Nombres Complexes ( série I ) Nombres Complexes ( série I ) 4 ème Mathématiques Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 Soient les nombres complexes =1 1+2 ; = 1) Ecrire ;

Plus en détail

Coniques. Ellipses. Définition monofocale. Hyperboles. Paraboles. Equations polaires

Coniques. Ellipses. Définition monofocale. Hyperboles. Paraboles. Equations polaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Coniques Ellipses Définition monofocale Exercice [ 099 ] [Correction] Soit D une droite du plan P et F un point non situé sur D. (a) Justifier

Plus en détail

Cours Chapitre 1 : Nombres complexes

Cours Chapitre 1 : Nombres complexes Mr Arfaoui.O Tél : 563334 4 éme année sc & tech Cours Chapitre : Nombres complexes Forme cartésienne (algébrique) : Définition : La forme algébrique d un nombre complexe zεc est : z = a + ib avec a et

Plus en détail

Exercices 1. Entiers, rationnels et réels. Rappels algébriques sur les nombres et initiation à l Arithmétique des entiers.

Exercices 1. Entiers, rationnels et réels. Rappels algébriques sur les nombres et initiation à l Arithmétique des entiers. Exercices 1 Entiers, rationnels et réels Rappels algébriques sur les nombres et initiation à l Arithmétique des entiers. 1 Entiers, rationnels et réels..............................................................

Plus en détail

Correction du sujet de mathématiques, section S [Baccalauréat] à la REUNION. Ile de la REUNION, juin 2011

Correction du sujet de mathématiques, section S [Baccalauréat] à la REUNION. Ile de la REUNION, juin 2011 Correction du sujet de mathématiques, section S [Baccalauréat] à la REUNION. Ile de la REUNION, juin 11 Exercice 1 : commun à tous les candidats 1. Réponse : Le plan P et la droite D n ont aucun point

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

Les transformations du plan

Les transformations du plan Les transformations du plan 6. Nombres complexes et transformations du plan... 6. Equations analytiques... 6. Les translations... 64. Les homothéties... 4 65. Les rotations... 5 66. Similitudes... 6 67.

Plus en détail

Cours configurations du plan

Cours configurations du plan I Polygones a) Polygones particuliers triangles Propriété : La somme des angles d un triangle est égale à 180. Définition : Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Propriétés caractéristiques

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Chapitre 6 Terminale S Ce que dit le programme : Les nombres complexes CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Équation du second degré

Plus en détail

LES NOMBRES COMPLEXES

LES NOMBRES COMPLEXES S.A.Q LES NOMBRES COMPLEXES Aperçu historique Définition Module d'un nombre complexe Argument d'un nombre complexe Nombre complexe et géométrie Ensemble des points M dont l'affixe z vérifie une propriété

Plus en détail

Similitudes directes du plan

Similitudes directes du plan Similitudes directes du plan I Transformations du plan - Déplacements Définition On dit qu'une application f du plan dans lui-même est une transformation si f est une bijection du plan dans lui-même, c'est-à-dire

Plus en détail

Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015

Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015 Corrigé Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 015 A. P. M. E. P. Exercice 1 Commun à tous les candidats 4 points Partie A 1. On a p = 0, 0 et n = 500. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

Chapitre VI : Complexes (1) Forme algébrique

Chapitre VI : Complexes (1) Forme algébrique Forme algébrique. Ensemble des nombres complexes. Notion de nombres complexes Théorème l existe un ensemble, noté, appelé ensemble de nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : R l addition

Plus en détail

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique.

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Programme de colle - Semaine 4 Fonctions circulaires. Bijections, fonctions circulaires réciproques. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Démonstrations du

Plus en détail

M A T H E M A T I Q U E S

M A T H E M A T I Q U E S UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/2 11 G 26 A 01 Durée : 4 heures OFFICE DU BACCALAUREAT Coef. 5 Téléfa (221) 33 824 65 81 - Tél. : 33 824 95 92-33 824 65 81 M A T H E M A T I Q U E S Les calculatrices

Plus en détail

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a)

Plus en détail

GÉOMÉTRIE PLANE. On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm On écrit : (AB) l (CD) et pas [AB] l [CD].

GÉOMÉTRIE PLANE. On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm On écrit : (AB) l (CD) et pas [AB] l [CD]. GÉOMÉTRIE PLANE Langage géométrique : notations et vocabulaire. [ ] = segment [AB] = segment d extrémités A et B. AB = longueur du segment AB (ou parfois la distance de A à B). ( ) = droite (AB) = droite

Plus en détail