La Méthode d'adomian Appliquée à L'équation de Bernoulli

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1 Journal of Avance Research in Science an Technology ISSN: La Méthoe 'Aomian Appliquée à L'équation e Bernoulli Choucha Abelbaki 1 an Guerbati Kaour 2 1,2 Laboratoire e Mathématiques et Sciences Appliquées, Université e Gharaia Abstract. In this work we use Aomian ecompositional metho to solve Bernoulli equation in the form: / Keywors: Aomian metho, ecompositional, Bernoulli equation Résumé. Dans ce travail on veut utiliser la méthoe écompositionnelle 'Aomian pour résoure l'équation e Bernoulli sous la forme: / Mots clés: Méthoe 'Aomian, écompositionnelle, équation e Bernoulli 1. Introuction Dans les années 80 G.Aomian a proposé une nouvelle méthoe pour résoure les équations ifférentielles et aux érivées partielles linéaires et non linéaires. La technique utilise une écomposition e l'opérateur non linéaire en série efonctions (les polynômes 'Aomian)[4,5]. K.Abbaoui et Y.Cherrault, ans les années 90 travaillent sur la convergence e série 'Aomian [1,2,3,6]. L'équation e Bernoulli à été proposée par Jaques-Bernoulli en 1695, et résolue un an plus tart par Libniz, grâce à un changement e fonction qui ramène à une équation ifférentielle linéaire. On va appliquer la méthoe 'Aomian pour résoure l'équation e Bernoulli sous forme 'une série convergente JAT. All rights reserve 2. Méthoe 'Aomian On consière l'équation suivante: (1) La Méthoe 'Aomian consiste à chercher la solution sous la forme 'une série en. (2) et à écomposer l'opérateur non linéaire ( la partie non linéaire e ) en série 'Aomian (3) * Corresponing author. (Choucha A.). Aress: Laboratoire e Mathématiques et Sciences Appliquées, Université e Gharaia, 47000, Algerie 198

2 Choucha A. et al., Journal of Avance Research in Science an Technology, 2015, 2(2), avec les sont appelés polynômes 'Aomian et les termes u série e solution éfinie par: $! " #" (4) Avec : l inverse e la partie linéaire e l operateur. 2.1 Convergence Théorème 1: Soit l'opérateur N éfinie sur H espace e Hilbert et u la solution e (1), La série u u ( t ( (* onnée par (4) est convergente si +0-α/1, 2u (!3 2-α2u ( 2, 4n Définition:[6] Pour toute i on éfinit: 7 α 8 2u 8!32,2u 2u α 8 0, 2u Corollaire:[6] Dans le théorème 1, la sérieu (* u ( t ( est convergente vers la solution exacte si +0-α 8 /1, 4; 3. Equation ifférentielle e Bernoulli C est une équation ifférentielle e premier orre e la forme: <= > / > (5) Ou <,= sont es fonctions continues éfinies sur un intervalle En général > est un entier naturel, mais on peut prenre > réel à conition e Chercher à valeurs strictement positives. Cette équation se ramène à une équationlinéaire par la transformation suivante: Divisant tous les termes e l'équationpar >, on obtient: > < >! = (6) 2015 JAT. All rightsreserve Faisant ensuite la substitution: B >C Alors: B "> > D (7) On obtient en substitution (7) ans l'équation (6) B "> <B"> = (8) C est une équationlinéaire. 199

3 Choucha A. et al., Journal of Avance Research in Science an Technology, 2015, 2(2), Donc la solution générale est : BE >F<GHG I ">F=E >F<GHG H (9) Et la solution e l équation (6), est la fonction onnée par: E F<GHG I ">F=E >F<GHG H C> (10) 4. Application On consière le problème suivant (équation e Bernoulli) : On a l'équation: J <= > / > $ (11) "<= > / > (12) On applique la méthoe 'Aomian avec # tel que: L H K H #"< on a = > On applique ans l'équation (12) on obtient: H H M N.HG D # O " "< = > (13) O " < = On utilise le D.L au voisinage e 0 es fonctions < et =: 2015 JAT. All rightsreserve Et on obtient: <P< =P= P " P< P P= P " QP.P< R R T QP.P= R R T " QP!.P< R R T QP!.P= R R T 200

4 Choucha A. et al., Journal of Avance Research in Science an Technology, 2015, 2(2), " UP.P< R R V UP.P= R R V Donc: = R R "< R R, 4W $ (14) Et la solution onnée par: P Avec les sont es polynômes 'Aomian e la fonction > [4,5]. 5. Exemple 5.1. Solution irecte On consière le problème suivant[7]: J X X $ (15) On pose: On obtient en substitution ans l'équation (15) B Y MB "YD X B "YB"Y X C est une équationlinéaire et la solution généraleonnée par B Y IE Y 2015 JAT. All rightsreserve Et la solution e (15):,<\EI (16) B [ Y!!IE Y Et on utilise le D.L on trouve: I " ] Y! Y Y X^_ " ` a a b (17) 201

5 Choucha A. et al., Journal of Avance Research in Science an Technology, 2015, 2(2), Méthoe 'Aomian On applique (14) ans l'équation (15) on trouve: " X X (18) Et par suite: P ".P X.P " P! P!X " QP Y!Y T QP _!_ T " QP Y T QP _ T Y _ Donc la solution onne par : tel que: 2015 JAT. All rightsreserve f Y Y Y $ (19 e X X c " Y _, 4W_ Finalement la solution onnée par: f " Y ^ _ X^ Et ` `" X e a " c a _ Y g" X^"X h" ` a Y. Y Y X X `` a a a 202

6 Choucha A. et al., Journal of Avance Research in Science an Technology, 2015, 2(2), j" Y k Y. X X^_.`j" `a ka b " Y Y X^_ " `a a b On a 5.3. Convergence Donc -l /, 4n fl m m/1 l m Y m/1 l e Y m X m/1 Y l X m _ m/1 X. c. Alors la série 'Aomian 'équation e Bernoulli est convergente vers la solution. 6. Conclusion Dans ce travail, nous avons appliqué la méthoe écompositionelle 'Aomian pour trouver la solution générale approchée e l'équation ifférentielle e Bernoulli, avec l'utilisation es D.L, son application à es exemples numériques, révele qu'elle est efficace, utile et plus rapie. Et pour réuire les calculs on peut programmer un algorithme. 7. Références [1] K.Abbaoui,Y.Cherruault, New Ieas for proving convergence of ecomposition Methos, computers math.applic.vol.29,no7,pp ,1995 [2] K. Abbaoui,Y.Cherruauit,The Decomposition Metho Applie to the Cauchy Problem,Kybernetes. Vol. 28,No.1, pp , JAT. All rightsreserve [3] K. Abbaoui,Y.CherruaultG.Aomian et R.Rach, Further Remarks on Conuergence ofdecomposition Metho, Computing InternationalJornal of Bio-Meical. 38 ( 1995) [4] G.Aomian,solving frontier of physics:the Decompsition metho,kluwer Acaemic Publishers, [5] G. Aomian, Nonlinear Stochastic Operator Equation, Copyright, 1986.by Acaemic PressInt. [6] M.M. Hosseini, H.Nasabzaeh, On the convergence of Aomian ecomposition metho. ApplieMathematics an Computation 182, pp ,2006. [7] N. Piskounov, Calcul ifférentiel et intégration,tome2(mir,ellipses,1988) 203

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