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Transcription

1 1. Rappel : Résoudre dans IR Chapitre 3 : Equation du second degré a) 3x x = 0 b) 7 x + 3 = 0 c) 4x 9 = 0 d) x 7 = 1 e) x² = 7 f) x² = 0 g) -4x² = 0 h) 3x² - 7x = 0 i) -5x² - 50 = 0 j) x² + 8x -6 = 0 Toutes les équations que vous venez de résoudre sont du second degré, car l exposant maximal de l inconnue x est. Nous venons de procéder un peu à la façon d al-khwarizmi mathématicien arabe (les mathématiques, ainsi que d autres sciences dont l astronomie, «arabes» ont été particulièrement florissantes et productives alors que l Europe traversait une période moins riche aux «larges» environs de l an Mil) auteur du «Petit livre d al-jabr et d al-muqabala» (première moitié du IX e siècle), qui envisageait de nombreuses disjonctions de cas pour résoudre les équations du second degré. Si aucune des procédures vues ci-dessus ne doit être oubliée nous retiendrons le théorème suivant aucune d entre elle ne permet de venir à bout, sauf cas particulier, de l équation a x + b x + c = 0, d où l intérêt du paragraphe à suivre! Théorème Soit a IR. Alors l équation x = a : admet deux solutions distinctes si a > 0 : x = a et x = a admet une solution unique si a = 0 : x = 0 n admet aucune solution si a < 0 : S = S5-4 périodes semaine Page 1 sur 1

2 Vocabulaire Les solutions d une équation sont aussi appelées racines de l équation. Exemples : x² = 16 3x² = 0 4x² = -64. Activité Il faut résoudre l équation suivante : x x 3 = 0 x x = ( x 1 ). x x 3 = (x 1 ).. 3 = ( x 1 ) D où la factorisation : x x 3 =. D où les solutions : x 1 = x = 3. Forme canonique du trinôme ax + bx + c : Soit a x ² + b x + c ( a 0 ) un trinôme du second degré. Comme a 0, pour tout réel x : a x ² + b x + c = a ( x² + b a x + c a ) Or x² + b a x est le début du développement de ( x + b ) Donc, pour tout réel x, a x ² + b x + c = a [ ( x + b ) b 4a + c a ] = a [ ( x + b ) b 4a + 4ac 4a ] = = a [ ( x + b ) b 4ac 4a ] Cette écriture s appelle forme canonique du trinôme S5-4 périodes semaine Page sur 1

3 Remarque : le réel b² 4 a c se note (delta) et s appelle le discriminant du trinôme. Ecrire sous forme canonique puis résoudre l équation : x x = 0 x 4x + 5 = 0 x 6x + 9 = 0 4. Résolution de l équation ax + bx + c = 0 ( avec a 0 ) ax + bx + c = a [ ( x + b ) b - 4ac 4a ] = a[ ( x + b ) 4a ] 1 er cas : > 0 4a = ( ) donc ax + bx + c = a [ ( x + b ) ( ) ] =a ( x + b + )( x + b = a ( x -b- )( x -b+ ) L équation admet donc deux solutions distinctes : x 1 = -b- ) avec = b 4ac et x = -b+ ème cas : 0 ax + bx + c = a ( x + b ) = a ( x -b ) L équation admet une seule solution : x 0 = -b 3 ème cas : < 0 4a > 0, donc ( x + b ) 4a ] > 0 L équation n a pas de solution : S5-4 périodes semaine Page 3 sur 1

4 A retenir : Pour résoudre l équation ax + bx + c = 0, on commence par calculer le discriminant b 4ac Si. Solutions de ax + bx + c = 0 Factorisation de ax + bx + c > 0, alors 0, alors x 1 = -b- et x = -b+ a( x x 1 )( x x ) x 0 = -b ( racine double ) a( x x 0 ) < 0, alors Pas de solution Pas de factorisation possible Lorsque > 0, l équation ax + bx + c = 0 admet deux racines réelles distinctes x 1 et x. Alors on a x 1 + x = -b a et x 1.x = c a Exemples : x + 3x 4 = 0 x + x = 0 x + x + 1 = 0 S5-4 périodes semaine Page 4 sur 1

5 Avec la calculatrice Pour résoudre une équation du second degré, utiliser la commande solve dans une feuille de calcul. Application : Résoudre à l aide de la calculatrice les équations suivantes a) x² 3x 10 = 0 réponse : b) y² + 3y 10 = 0 réponse : c) t² + 3t + 10 = 0 réponse : d) -w² + 3w 10 = 0 réponse : e) -z² + 4z 3 = 0 réponse : f) aa² 4 = 0 réponse : g) 3x² + 5x = 8 réponse : h) -8s² = 65s - 4 réponse : S5-4 périodes semaine Page 5 sur 1

6 Equations du second degré (exercices) Exercice 1 : Retrouver la/les solution/s de chaque équation : x² = 5 x² = 16 x²= 0 x² = 1 x² = - -x² = - -x² = 49 (-x)² = 3 Exercice : Résoudre les équations suivantes : x² = 3 x² + 6 = 8 5 x² = x² = 11 5x² = 15 3x² = x² = x² = 5 Exercice 3 : Résoudre les équations suivantes : (x 3)² = 7 (x + 7)² = 3 (x 7)² = 3 (x + 3)² = -7 (x 3)² = 1 (x 1)² = 3 (4 3x)² = 1 x + 3 = S5-4 périodes semaine Page 6 sur 1

7 Exercice 4 : Ecrire sous forme canonique puis factoriser le polynôme, comme dans l exemple : B(x) = x² 1x + 35 A(x) = x² + 6x + 5 = x² + 3 x + 5 = (x² + 3 x + 3²) 3² + 5 = (x + 3)² = (x + 3)² 4 = (x + 3)² ² = (x )(x + 3 ) = (x + 5)(x + 1) C(x) = x² x 3 D(x) = x² + 6x + 8 E(x) = x² 6x 7 F(x) = x² 14x + 47 G(x) = x² + x 6 H(x) = 5x² 10x 3 S5-4 périodes semaine Page 7 sur 1

8 Exercice 5 : Calculer -b a et c puis la somme et le produit des racines proposées, puis interpréter les a résultats obtenus : Polynôme -b a A(x) = x² + x 6-3 c a x 1 x Somme Produit x 1 et x sont-elles les racines du polynôme? B(x) = x² 1x C(x) = -x² x D(x) = x² + x E(x) = x²+ 5x 3 F(x) = 6x² + x 1 G(x) = -x²+ x H(x) = 6x² + 17x I(x) = x² + x J(x) = -4x² 4x Exercice 6 : Retrouver rapidement les deux racines de chaque polynôme (sous la forme x² Sx + P où S et P sont respectivement la Somme et le Produit des racines) : A(x) = x² 7x + 10 et 5-5 et - - et 5-5 et B(x) = x² + x 1-3 et 4 et -6 - et 6-4 et 3 C(x) = x² + 9x et 5-6 et -3-5 et -4 3 et 6 D(x) = x² + 8x et -3-6 et - -8 et 0-7 et -1 E(x) = x² x et -6-1 et et et 1 S5-4 périodes semaine Page 8 sur 1

9 Exercice 7 : Pour chacune de ces équations, dire combien elle admet de solutions : a. x² 3x 10 = 0 b. x² + 3x 10 = 0 c. x² + 3x + 10 = 0 une seule solution d. -x² + 3x 10 = 0 e. 9x² 1x + 4 = 0 f. 16x² 8x + 1 = 0 une seule solution g. -3x² + 5x = 0 h. -x² + 4x 3 = 0 i. -3x² + 7x 4 = 0 une seule solution j. -3x² 4 = 0 k. -3x² + 7x = 0 l. -3x² + 4 = 0 une seule solution m. -3x + 7x² 4 = 0 n. x² 4 = 0 o. -x² + 4 = 0 une seule solution S5-4 périodes semaine Page 9 sur 1

10 Exercice 8 : Pour chaque polynôme : a. Calculer le discriminant b. Calculer les racines ( il y en a systématiquement deux ). c. En déduire la forme factorisée du polynôme. A(x) = x² 3x 10 = 0 B(x) = x² x 15 = 0 a. b² 4ac ² 4 ()² a. b² 4ac ² 4 ()² b. x 1 = -b + x = -b + x 1 = x = x 1 = x = c. A(x) = b. x 1 = -b + x = -b + x 1 = x = x 1 = x = c. B(x) = a. C(x) = 6x² x 1 = 0 b² 4ac ² 4 ()² a. D(x) = 6x² + 11x 10 = 0 b² 4ac ² 4 ()² b. x 1 = -b + x = -b + x 1 = x = x 1 = x = c. C(x) = b. x 1 = -b + x = -b + x 1 = x = x 1 = x = c. D(x) = a. E(x) = 15x² 4x 4 = 0 b² 4ac ² 4 ()² a. F(x) = 9x² 6x 1 = 0 b² 4ac ² 4 ()² b. x 1 = -b + x = -b + x 1 = x = x 1 = x = c. E(x) = b. x 1 = -b + x = -b + x 1 = x = x 1 = x = c. F(x) = S5-4 périodes semaine Page 10 sur 1

11 Exercice 9 : Résoudre les équations suivantes 1) x² 3x 10 = 0 ) x² 10 = 0 3) 9x² 1x + 4 = 0 4)3x² 5x = 0 5) x² + x 1 = 0 6) 3x² 7x + 4 = 0 7) -x² + 7x 1 = 0 Exercice 10 : Calculer le discriminant de chaque polynôme, puis dire si on peut le factoriser. A(x) = x² + 6x + 5 B(x) = x² + x + 3 C(x) = x² 10x + 9 A B C D(x) = -x² + x + 7 E(x) = x² + 6x + 9 F(x) = x² + 7x + 6 D E F G(x) = x² 0x + 50 H(x) = 3x² + x 7 I(x) = -5x² x 7 G H I S5-4 périodes semaine Page 11 sur 1

12 Exercice 11 : En connaissant la (ou les) racine(s) de chaque polynôme, l écrire sous forme factorisée : A(x) = x² + 7x + 10 avec x 1 = - et x = -5 B(x) = x² + 7x + 6 avec x 1 = - et x = -3 C(x) = 3x² 4x avec x 0 = 7 donc A(x) = donc B(x) = donc C(x) = Exercice 1 : Factoriser les polynômes suivants (ils sont tous factorisables), en utilisant le discriminant uniquement lorsque c est nécessaire : A(x) = x² + 6x B(x) = x² 4 C(x) = 9x² 1 D(x) = x² + x 5 E(x) = 4x² 3 F(x) = 5x² 10x + G(x) = -3x² + x + 5 H(x) = -8x + 3x² I(x) = x + 5x² 7 Exercice 13 : Un rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur 4 cm En mettant le problème en équation, déterminer une valeur approchée du réel x tel que si, l on augmente la longueur de ce rectangle de x cm et l on diminue la largeur de ce rectangle de x cm, alors on obtient un nouveau rectangle dont l aire est égale à la moitié de celle du rectangle au départ. Exercice 14 : Un rectangle a pour périmètre 34cm et chacune des diagonales a pour longueur 13cm. Calculer les dimensions de ce rectangle. Exercice 15 : Une habitation a la forme suivante : Déterminer x pour que la superficie au sol soit 96 m x- 3x x- Exercice 16 : Déterminer deux entiers naturels consécutifs dont le produit est égal à 10. x Exercice 17 : Déterminer 3 entiers consécutifs tels que la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du plus grand. Exercice 18 Un jardin carré est transformé en un jardin rectangulaire de la façon suivante : la longueur d un côté du carré est doublée et la longueur de l autre côté du carré est diminué de 1mètre. Déterminer la longueur du côté du carré initial de telle façon que l aire du jardin soit augmentée de 15 m². S5-4 périodes semaine Page 1 sur 1