Exercice d algèbre. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE 4 Exposants et Logarithmes. Annexe D-1

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1 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Annexe D- Exercice d algèbre simplifier des exposants rationnels et fractionnaires Les élèves devraient être en mesure de simplifier des expressions qui comprennent des exposants rationnels et fractionnaires dont les dénominateurs sont inférieurs ou égaux à 5. Exemple Évalue : a) b) c) 8 d) 7 e) 5 Solutions a) = = b) = = c) 8 = = d) 7 = = 8 5 e) = = 8 D-56

2 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes utiliser la notation fonctionnelle pour évaluer des fonctions Exemple Si f( x) = x +, g( x) =, h( x) = x x, trouve les réponses suivantes : a) f() b) g( ) c) f g d) h() e) g(h(7)) f) g(f(0)) Solutions a) f () = + = 8 b) g( ) = = = + = c) f g f() 6 d) h() = () = e) gh ( (7)) = g( (7)) = g(9) = 9 f) g( f(0)) = g(0 + ) = g() = D-57

3 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Vue d ensemble du concept Annexe D- Concept Logarithmes naturels Caractéristiques les logarithmes de base «e» sont appelés des logarithmes naturels (ou népériens) ils sont similaires aux logarithmes décimaux e lnu = u et lne u = u, alors lne = Exemples Simplifie : 6+5 lnt e = e 6 e 5 lnt = e 6 t 5 = e 6 t 5 À quoi ça ressemble? Ça ressemble à un logarithme décimal dont il faut résoudre l équation logarithmique. À quoi ça ne ressemble pas? Un logarithme naturel ne ressemble pas à une transformation parce que les règles de résolution sont différentes. Peux-tu l illustrer? f(x) = a x Définition Un logarithme naturel est un logarithme élémentaire de base «e». e lnu = u et lne u = u (alors lne = ). Tu peux utiliser cette règle de base pour résoudre l équation. Le graphique illustré cidessus découle de la fonction de base f(x) = a x. Cela représente la fonction exponentielle. Vue d ensemble du concept (Concept Overview) : Utilisé avec l autorisation de Lynda Matchullis et Bette Mueller, Nellie McClung Collegiate, Pembina Valley, n o 7. D-58

4 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Mise en correspondance Annexe D- Application des logarithmes Intérêts composés Désintégration radioactive On les calcule annuellement ( fois par année), trimestriellement ( fois par année), mensuellement ) fois par année) ou hebdomadairement (5 fois par année). On calcule la quantité résiduelle d une substance en désintégration après une période de temps donnée. Formule: i VF = C + k VF = valeur finale k = nombre de paiements ou de calculs par année C = placement i = taux (d intérêt en %) t = temps Exemples Un compte d épargne rapporte un taux d intérêt de 6 %, composé trimestriellement. a) Si le compte contient $ actuellement, combien d argent contiendra-t-il dans 5 ans? kt i VF = C + k ()(5) 0,06 = 5000 $ + = 67,8 $ b) Combien de temps faudra-t-il pour que le montant original double? 0, $ = 5000 $ + t = (,05) log = t(log(,05)) log = t log(,05),6 années = t kt t Formule: y = Ae kx ou y = y 0 e kt y = masse de matière au moment «t» y 0 = masse originale quand t = 0 t = temps; k est une constante e = la constante naturelle (,788) a) En utilisant la formule des intérêts composés, remplace les valeurs données, soit P = $, i = 0,06 et n =, t = 5. Effectue les calculs pour trouver le montant que contiendra le compte après 5 ans. b) Remplace les valeurs connues dans l équation. Simplifie l équation. Prends le logarithmes des deux membres pour trouver la valeur de «t». En appliquant la règle du logarithme aux exposants, place le de «t» devant le logarithme. Isole t dans l équation. Effectue les calculs et utilise les unités appropriées (ici, les années). D-59

5 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Mise en correspondance Logarithmes Logarithmes décimaux Logarithmes naturels Exposants Logs Logarithmes Exposants une équation qui contient une inconnue en exposant est appelée une équation exponentielle, soit y = x+ une équation qui contient une inconnue sous la forme d un logarithme la réciproque de l équation exponentielle,soit log x = les logarithmes naturels de base «e», soit ln e x = ln x y = ln x seulement si e y = x pour x > 0 la valeur de «e» est,788 e est la valeur obtenue quand la pente de la tangente au graphique d une fonction exponentielle est Lois des exposants Propriétés des logarithmes Règles des logarithmes Règles des exposants naturels m. log naturels b( MN ) = log bm + log bn x m n. = x. = x n x x M lne u = u pour u R e lnu = u pour u > 0. log b log bm log bn N = m n mn n n. ( x ) = x Quand on trace le graphique, lne = x x 5. y m n m+ n n. log log les logarithmes naturels sont. x x = x m = m b N = y bn la réciproque de y = e x.. log b = log b N N Exemple Trouve la valeur de x : 5 (x ) = 5 exprime les deux côtés dans le même système de base 5 (x ) = 5 met les exposants en équation ( x ) = x 6= x = 9 x = 9 Exemple Trouve la valeur de x puis vérifie : log 5 (x ) = reformule l équation sous forme exponentielle 5 = x trouve la valeur de x 5 = x 8 = x = x vérifie : log 5 ( x ) = log 5 (() ) = log 5 (5) = nous savons que c est correct Exemple de base Simplifie ln e x + x Nous savons que lne u = u alors = x + x ln e x + x = x + x. Exemple de base Simplifie e ln( + 5) ln( + 5) = e = ( s + 5). Applique la règle des logarithmes aux exposants pour prendre le à l avant et mettre en exposant.. Nous savons que e lnu = u alors ln( + 5) e = ( s+ 5). s s s Annexe D- D-60

6 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Mise en correspondance Annexe D-5 M A M N = A N A l exposant du dénominateur est soustrait de l exposant du numérateur M N M N A A = A + les exposants sont additionnés MULTIPLICATION DE BASES COMMUNES... QUAND LA BASE COMPORTE PLUS D UN TERME... Lois des exposants base DIVISION PAR DES BASES COMMUNES... exposant m a terme M A = M A un exposant négatif peut être exprimé sous forme de terme positif, par inversion QUAND UNE BASE A DEUX EXPOSANTS... S ILYAUNEXPOSANT NÉGATIF... ( AB) M = A M B M l exposant est distribué dans tous les termes ( A ) = A M N MN l exposant qui apparaît à l intérieur des parenthèses est multiplié par l exposant qui se trouve à l extérieur des parenthèses D-6

7 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Fiche de notes Fiche étapes solution Annexe D-6 Concept Résolution d équations logarithmiques élémentaires Problème log 0 x + log 0 (x + ) = Étape Écris sous la forme d une somme ou d une différence et transforme-la en un seul logarithme. exemple log 0 (x)(x + ) = Étape Transforme-la en une forme exponentielle. exemple 0 = (x)(x + ) Étape Trouve la valeur des inconnues à l aide de techniques algébriques de base. exemple 0 = x + x 0 0 = (x + 5)(x ) x = 5, x = Étape Vérifie les racines de l équation originale. exemple log 0 ( 5)( 5 ) = = log 0 ()( ) = c est impossible parce qu on ne peut trouver le logarithme d un nombre négatif D-6

8 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Fiche de notes Fiche étapes solution Annexe D-7 Concept Résolution d équations exponentielles dont les bases sont différentes Problème Quand les bases d une équation exponentielle ne sont pas les mêmes, et s il n est pas facile d exprimer chaque membre dans le même système de base, suis les étapes suivantes : Étape Prends les logarithmes de chaque membre de l équation Étape Utilise les propriétés des logarithmes pour écrire sous forme d un seul logarithme. Étape Transforme les exposants en coefficient des logarithmes. Conseil : Utilise les propriétés des logarithmes Étape Développe. Étape 5 Rassemble les variables inconnues d un côté de l équation. Étape 6 Décompose en facteurs les variables inconnues. Étape 7 Effectue les calculs. Exemple = 5 x+ 6 x 5 log = log 5 x+ 6 x 5 (x+ 6) log = ( x 5) log 5 x log + 6 log = x log 5 5 log 5 x log x log5 = 5 log 5 6 log x( log log 5) = 5 log 5 6 log 5log5 6log x = log log 5 x = 8,7 D-6

9 MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE Exposants et Logarithmes Cycle du mot Annexe D-8 Quand l inconnue d une équation exponentielle est l exposant, on peut convertir la forme logarithmique et effectuer un changement de base pour trouver la solution changement de base fonction exponentielle Une fonction exponentielle de la forme f(x) = a x, a >, a une ordonnée à l origine de. ordonnée à l origine Pour résoudre des problèmes logarithmiques qui comprennent des bases différentes, on peut utiliser la formule du changement de base. logarithme... et aucune abscisse à l origine abscisse à l origine Le logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle. Étant donné qu il n y a pas d abscisse à l origine, le graphique a une asymptote horizontale y = 0. réciproque asymptote Pour la réciproque d une fonction exponentielle, le domaine et l image sont interchangés. domaine... et en l absence d une asymptote verticale, les valeurs de x ne sont pas restreintes, et le domaine est R. Une asymptote de a x se trouvant à y = 0 et a > 0, l image est restreinte aux valeurs supérieures à 0. image Cycle du mot Adapté (Word Cycle) : Extrait de Reading A Novel Approach, texte de Janice Szabos, illustrations par Vanessa Filkins, 98 par Frank Schaffer Publications. Utilisé avec l autorisation de l'éditeur. D-6