On verra des signaux communs analogiques et discrets et l application de ces signaux à des systèmes simples par l entremise de la convolution.

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1 Chapire Signaux e sysèmes Ce premier chapire ser de révision des principes de base des signaux, comme par exemple les définiions de période, phase, ainsi qu une inroducion aux sysèmes. Les conceps de signaux e sysèmes discres y seron aussi abordés. On verra des signaux communs analogiques e discres e l applicaion de ces signaux à des sysèmes simples par l enremise de la convoluion.. Révision des conceps de signaux On commence en premier en faisan l analyse d un signal sinusoïdal. Le sinus es la meilleure foncion mahémaique à uiliser pour représener des signaux, parce que ou signal périodique peu êre décomposé en une somme de sinusoïde, comme on verra au chapire 3. Ce signal peu représener n impore quoi : la ension dans une résisance, l accéléraion d un corps en mouvemen, la voix, ec. Dans le cadre de ce cours, la source du signal n es pas imporane : on regarde les signaux en général, sans s aarder à leur origine. Soi un sinusoïde quelconque x(), qui varie selon le emps, e donné par l équaion suivane : x() = Acos(ω φ) (.) où A es l ampliude maximale du sinusoïde, ω es la fréquence radiale (rad/s), e φ es le déphasage. La figure. monre ce sinusoïde, racé en foncion du emps, avec un déphasage nul (φ = ). Une caracérisique d une onde sinusoïdale es qu elle se répèe à ous les 2π radians

2 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES A Ampliude A Figure. Sinusoïde (ou 36 ). D une aure façon, on peu dire que cos(ω) = pour ω = n2π où n =,2,... La période T es le emps nécessaire pour faire un cycle, ou ωt = 2π. On obien donc la relaion suivane bien connue : T = 2π ω = (.2) f Mainenan, on peu ajouer un déphasage φ à l onde e obenir : x() = Acos(ω + φ) (.3) e on rerace cee deuxième onde (avec un déphasage φ = 45 ) à la figure.2. La courbe en rouge dans la figure.2 es celle ayan un déphasage. A Ampliude A Figure.2 Graphe de x() en foncion du emps ayan un déphasage de -45 Le déphasage es négaif dans le cas de la courbe rouge dans la figure.2 (φ = 45 ), e donc la courbe es déplacée vers la droie. Gabriel Cormier 2 GELE25

3 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.. Forme complexe La forme complexe peu êre uilisé pour représener les signaux sinusoïdaux. La forme générale pour représener un signal x() = Acos(2πf + φ) es : x() = Ae j(2πf +φ) où on uilise la relaion d Euler pour changer d une forme à l aure. (.4) La forme exponenielle es souven plus uile lors de calculs mahémaique impliquan les signaux. Rappel : la relaion d Euler es : avec les équivalences suivanes : e ±jα = ± α = cos(α) + j sin(α) (.5) cos(α) =.5(e jα + e jα ) sin(α) = j.5(e jα e jα ) (.6) On peu aussi uiliser un cercle pour représener les nombres complexes, comme à la figure.3. Le cercle es de rayon, e l axe horizonal représene la parie réelle, e l axe verical représene la parie imaginaire. j I θ R j Figure.3 Représenaion des nombres complexes Comme exemple, le nombre e jπ/2 = j...2 Combinaison de signaux périodiques La période commune T d une combinaison de sinusoïdes es la plus coure durée pendan laquelle chaque sinusoïde complèe un nombre enier de cycles. C es le plus Gabriel Cormier 3 GELE25

4 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES pei commun muliple (PPCM) des périodes individuelles. La fréquence fondamenale f es l inverse de la période commune T e es égale au plus grand diviseur commun des fréquences. On peu seulemen rouver une période commune si le rappor enre les périodes es un nombre raionnel. Exemple Trouver la période commune du signal x() = 2sin( 2 3 ) + 4cos( 2 ) + 4cos( 3 5 π). La fréquence radiale du premier sinusoïde es ω = 2 3. La période es donc : T = 2π ω = 3π La fréquence radiale du deuxième sinusoïde es ω 2 = 2. La période es donc : T 2 = 2π ω 2 = 4π La fréquence radiale du roisième sinusoïde es ω 3 = 3. La période es donc : T 3 = 2π ω 3 = 6π Le PPCM de 3π, 4π e 6π es 2π..2 Quelques signaux analogiques communs On verra ici quelques signaux analogiques communs, qui apparaissen souven en génie élecrique, e qui serven à approximer des signaux plus complexes..2. Foncion échelon La foncion échelon es une foncion rès uilisée. C es la foncion où il y a une disconinuié à l origine. Par exemple, lorsqu on allume une source de ension DC, il y a un changemen abrupe de la ension ; c es une foncion échelon. La figure.4 illusre la foncion échelon. Elle es pour <, e pour >. On représene la foncion échelon par le symbole u(). Gabriel Cormier 4 GELE25

5 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.8 Ampliude Figure.4 Foncion échelon On peu muliplier la foncion échelon par une consane K quelconque pour obenir un échelon d ampliude voulue. La définiion mahémaique de la foncion échelon es : si < Ku() = (.7) K si > Si K =, on appelle ceci la foncion échelon uniaire. La foncion échelon n es pas définie à =. Dans des siuaions où il es nécessaire de définir la ransiion enre e +, on suppose qu elle es linéaire, e que la valeur à = es Ku() =.5K. Une disconinuié peu avoir lieu à un endroi aure que =. Dans ce cas, pour un échelon qui se produi au emps = a, on uilise la noaion Ku( a). Donc, si < a Ku( a) = (.8) K si > a Une applicaion de la foncion échelon es qu elle perme d écrire mahémaiquemen l expression d une foncion qui es différene de pour une période fixe. Une applicaion rès commune en génie élecrique es un pulse de durée fixe, comme à la figure.5. Dans ce cas, on peu écrire la foncion comme f () = u( ) u( 3). On peu considérer ceci comme un échelon qu on allume à = puis un deuxième échelon négaif à = 3 qui perme d éeindre le premier échelon. Gabriel Cormier 5 GELE25

6 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.8 f () Figure.5 Pulse de durée fixe Exemple 2 Uiliser des foncions échelon pour écrire une expression pour la foncion de la figure suivane. 2 f () On peu voir dans la figure que la foncion es consiuée de 3 segmens différens de, ayan des poins d inersecions à,, 3 e 4s. Pour consruire l expression voulue, il fau ajouer e sousraire des échelons aux endrois appropriés.. Pour < <, on a la foncion À =, on doi allumer la foncion e l éeindre à = À = 3, on doi allumer la foncion 2 8 e l éeindre à = 4. Gabriel Cormier 6 GELE25

7 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES On obien alors comme foncion : f () = 2[u() u( )] + ( 2 + 4)[u( ) u( 3)] + (2 8)[u( 3) u( 4)].2.2 Foncion signe La foncion signe ressemble à la foncion échelon, sauf que la valeur pour < es au lieu de. La figure.6 monre la foncion signe. L abréviaion la plus courane es sgn..5 sgn().5 Figure.6 Graphe de la foncion signe sgn On peu écrire la foncion signe en foncion de l échelon selon l équaion suivane : sgn() = u() u( ) (.9) Auremen, la foncion échelon peu êre exprimée en foncion de la foncion signe : u() =.5 +.5sgn() (.).2.3 Foncion impulsion On renconre assez souven, lors de l éude de signaux, des pulses qui on des durées rès coures. Ces pulses peuven se produire lors d une opéraion de commuaion, ou Gabriel Cormier 7 GELE25

8 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES lorsque des circuis son exciés par des sources impulsionnelles. De plus, l impulsion es un ouil mahémaique rès uile, comme on verra plus ard. Il nous fau donc une façon pour représener ce genre de signal. Il exise plusieurs façons pour représener une impulsion ; on uilisera ici l approche d un signal riangulaire, comme à la figure.7. Remarquer que le riangle es symérique par rappor à l origine, e que la valeur maximale es /ɛ. Pour obenir une vraie impulsion, il faudra que ɛ. ɛ ɛ ɛ Figure.7 Impulsion représenée par un riangle Qu arrive- il alors à cee foncion riangulaire lorsque ɛ? On rerouve rois caracérisique imporanes :. L ampliude approche l infini. 2. La durée du pulse se rapproche de. 3. La surface du riangle es consane e égale à. On uilise la noaion δ() pour démonrer une impulsion. Mahémaiquemen, la foncion impulsion (qu on appelle aussi foncion de Dirac) es défini par : δ()d = (.) δ() = si Si l impulsion se produi à un emps = a, on écri δ( a). Une propriéé inéressane de la foncion impulsion es qu elle perme d écrire : f ()δ( a)d = f (a) (.2) si f () es coninue au poin = a. En d aures mos, l impulsion élimine la foncion pour oues les aures valeurs que celle où l impulsion es présene. Exemple 3 Évaluer la foncion 2 (5 + 3)δ( 2) d. Gabriel Cormier 8 GELE25

9 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES On applique la définiion : 2 (5 + 3)δ( 2) d = = 5(2) + 3 = 3 =2 On représene un pulse de Dirac par une flèche vericale qui indique son ampliude, comme à la figure.8. 2 δ( 2) 2 3 Figure.8 Impulsion de Dirac.2.4 Foncion recangulaire La foncion recangulaire es un pulse carré cenré à l origine, comme à la figure.9..8 rec() T /2 T /2 Figure.9 Foncion recangulaire Mahémaiquemen, on exprime la foncion rec comme sui : < T /2 rec(/t ) = = u( + T /2) u( T /2) (.3) > T /2 Gabriel Cormier 9 GELE25

10 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.2.5 Foncion riangulaire La foncion riangulaire es un riangle équilaéral cenré à l origine, comme à la figure...8 ri() T T Figure. Foncion recangulaire Mahémaiquemen, on exprime la foncion ri comme sui : < T ri(/t ) = > T (.4).2.6 Sinus cardinal Le sinus cardinal es une foncion qui apparaî souven en élécommunicaions. La définiion du sinus cardinal es la suivane : sinc() = sin(π) π (.5) On obien le graphe de la figure.. La superficie sous le sinc (ou même sinc 2 ) es égal à la superficie du riangle rouge dans la figure.. Gabriel Cormier GELE25

11 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES sinc().5 T T Figure. Sinus cardinal.3 Caracérisiques des signaux On verra ici quelques caracérisiques les plus communes des signaux, comme la valeur moyenne, l énergie e la puissance..3. Valeur moyenne La valeur moyenne d un signal x() périodique es obenue selon : x = T T x()d (.6).3.2 Valeur efficace La valeur efficace (ou RMS en anglais, Roo Mean Square) es une mesure rès uile dans le calcul de puissance. C es une mesure de l ampliude d un signal variable. La définiion es : T x rms = x() T 2 d (.7) C es la racine carrée de la valeur moyenne du signal au carré. Gabriel Cormier GELE25

12 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Exemple 4 Calculer la valeur efficace du signal x() = Acos(ω). Il fau ou simplemen appliquer la définiion : x 2 rms = T = A2 T T T x() 2 d = T T A 2 cos 2 (ω)d A2 ( + cos(2ω))d = 2 2 Donc, la valeur efficace es : x rms = A Énergie e puissance Pour calculer la puissance e l énergie d un signal, on commence par comparer avec la ension dans une résisance. La puissance insananée dans une résisance R es : p() = v()i() = v2 () R e l énergie oale délivrée à la résisance es : (.8) E = p()d = R v 2 ()d (.9) Afin de comparer avec un signal quelconque x(), on normalise en uilisan une résisance de Ω. L énergie d un signal es donc : E = x() 2 d (.2) La puissance normalisée d un signal es la moyenne dans le emps de l énergie. Si x() es périodique avec une période T, la puissance du signal es l énergie moyenne par période : P = x() 2 (.2) T Gabriel Cormier 2 GELE25 T

13 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES où on fai l inégrale sur n impore quelle période. Pour un signal non périodique, on peu calculer la puissance en faisan la moyenne de l énergie sur une période de plus en plus longue, qui end vers l infini : P = lim x() 2 d (.22) T T T Un signal don l énergie es finie aura une puissance nulle, e vice-versa..4 Classificaion des signaux Il exise plusieurs méhodes pour classifier les signaux..4. Symérie La première méhode monrée ici dépend de la symérie d un signal périodique. Il y a quare ypes de symérie :. Symérie paire 2. Symérie impaire 3. Symérie demi-onde 4. Symérie quar-d onde Symérie paire Une foncion es die paire si : f () = f ( ) (.23) c es-à-dire qu on peu faire une copie miroir auour de l axe y. La figure.2 monre un exemple de foncion paire. Symérie impaire Une foncion es die impaire si : f () = f ( ) (.24) c es-à-dire qu on peu faire une copie miroir auour de l axe y puis une copie miroir auour de l axe x. La figure.3 monre un exemple de foncion impaire. Gabriel Cormier 3 GELE25

14 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Figure.2 Exemple de foncion paire Figure.3 Exemple de foncion impaire Symérie demi-onde Une foncion périodique possède de la symérie demi-onde si : f () = f ( T /2) (.25) C es-à-dire que si on déplace la foncion d une demi-période, puis on l inverse (roaion auour de l axe x) e alors que cee nouvelle foncion es idenique à l originale, il y a symérie demi-onde. La foncion de la figure.3 es un exemple de figure ayan ce genre de symérie. Symérie quar-d onde Le erme symérie quar-d onde décri une foncion périodique qui a la symérie demionde mais aussi de la symérie auour du poin milieu enre les demi-cycles posiifs e négaifs. La figure.4 a) monre un exemple de foncion périodique qui a la symérie quar-d onde, andis que la figure.4 b) n a pas la symérie quar-d onde. Une foncion périodique qui a la symérie quar-d onde peu oujours êre rendue soi paire ou impaire en faisan un choix approprié de =. Par exemple, la foncion de la figure.4 a) es impaire e peu êre rendue paire en déplaçan la foncion de T /4 vers la droie ou la gauche. Gabriel Cormier 4 GELE25

15 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Symérie Pas de symérie Symérie quar d onde Pas de symérie quar d onde (a) (b) Figure.4 Symérie a) quar-d onde e b) n a pas quar-d onde. Décomposiion symérique Un signal qui es pair ne peu pas êre impair, e vice-versa : les deux son muuellemen exclusif. On peu aussi décomposer un signal x() en une somme d un signal pair x e () e d un signal impair x o () : x() = x e () + x o () (.26) Pour décomposer un signal en ses composanes paires e impaires, on applique les relaions suivanes : x e () =.5(x() + x( )) (.27) x o () =.5(x() x( )) (.28) Exemple 5 Décomposer le signal suivan en ses composanes paires e impaires. 4 x() 2 Gabriel Cormier 5 GELE25

16 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Pour décomposer le signal, il fau premièremen calculer x( ), ce qui es monré à la figure suivane. 4 x() 4 x( ) 2 2 Ensuie, pour calculer les composanes, il fau soi addiionner ou sousraire les deux graphes précédens (puis réduire l ampliude de moiié). On obien donc les deux composanes suivanes. x e () 2 2 x o () Aures classificaions D aure classificaions peuven êre uilisée pour classifier les signaux.. Un signal es di causal s il es non nul pour > seulemen. Un signal es anicausal s il es non nul pour < seulemen. 2. Un signal es di déerminise si on peu le décrire à l aide d une équaion mahémaique. Un signal es aléaoire ou sochasique s il exise une inceriude sur sa valeur en foncion du emps..5 Opéraions sur les signaux On verra ici quelques opéraions sur les signaux, comme le décalage emporel ou l échelonnage. Ces opéraions son uiles lors de l applicaion de la série de Fourier, ou les différenes ransformées (Laplace, Fourier, z). Gabriel Cormier 6 GELE25

17 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.5. Inversion emporelle L inversion emporelle es simplemen l opéraion de faire une image miroir d un signal auour de l origine. Mahémaiquemen, le nouveau signal x () es obenu à parir du signal original x() selon : x () = x(τ) = x( ) (.29) τ= On verra plus ard que l inversion emporelle ser lors du calcul de la sorie d un sysème à ceraines enrées (convoluion). Un exemple d inversion emporelle es donné à la figure.5. x() x () Figure.5 Exemple d inversion emporelle.5.2 Échelonnage emporel Une aure opéraion imporane es l échelonnage emporel : ceci perme d éirer ou comprimer un signal dans le emps. Mahémaiquemen, on écri : x () = x(τ) = x(a) (.3) τ=a où a es une consane réelle. Un exemple d échelonnage emporel es donné à la figure Décalage emporel Le décalage emporel es l acion d avancer ou rearder un signal dans le emps. Mahémaiquemen, un signal décalé x( ) es décri selon x () = x(τ) = x( ) (.3) τ= où es une consane réelle. Un exemple de décalage emporel es donné à la figure.7. Gabriel Cormier 7 GELE25

18 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Signal original Signal compressé x(2) Signal éiré x(.25) Figure.6 Exemple d échelonnage emporel.5.4 Méhode générale On peu appliquer une méhode générale pour effecuer les ransformaions dans le emps d un signal. Soi un signal y() = x(a b). La première éape es de mere égal à τ l argumen de la foncion : a b = τ, puis soluionner pour : = τ + b (.32) a L axe de l ancienne foncion (x()) devien un axe en foncion de τ. Le nouvel axe en foncion du emps es appliqué à la foncion y(), selon l équaion obenue auparavan. Gabriel Cormier 8 GELE25

19 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Signal original x( 2) x( + ) Figure.7 Exemple de décalage emporel Exemple 6 Soi le signal x() suivan. Tracer le graphe de y() = x(/3 2). x() Gabriel Cormier 9 GELE25

20 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES On effecue la ransformaion : /3 2 = τ = 3τ + 6 Avec cee équaion, le nouvel axe es : 2 x() -2-2 τ E à l aide du nouvel axe, on peu racer le graphe : 2 y() Transformaions en ampliude On peu aussi appliquer des ransformaions sur l ampliude d un signal. De façon générale, un signal x() peu êre modifié en ampliude à un signal x () selon : où A e B son des consanes réelles. x () = Ax() + B (.33).6 Sysèmes à emps coninu Un sysème es un bloc mahémaique qui perme de ransformer un signal quelconque. Le sysème de base a une enrée e une sorie. Le sysème peu représener un Gabriel Cormier 2 GELE25

21 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES phénomène physique, comme un hermomère, où l enrée es un signal élecrique e la sorie es la chaleur. Un sysème peu aussi représener un réseau de ransmission de données, ou un filre numérique dans un ordinaeur. Une représenaion générale es donnée à la figure.8. x() Sysème h() y() Figure.8 Diagramme général d un sysème Pour les sysèmes à emps coninu, les équaions qui relien la sorie à l enrée son ypiquemen des équaions différenielles. Les sysèmes éudiés ici son ous des sysèmes linéaires. Ils possèden quelques caracérisiques rès imporanes..6. Linéarié Un sysème es di linéaire s il possède deux caracérisiques : homogénéié, e addiivié. Une roisième propriéé, l invariance dans le emps, n es pas sricemen nécessaire pour la linéarié, mais es une composane imporane dans la plupar des echniques d analyse de signaux. L homogénéié, ou proporionnalié, veu dire qu une variaion dans l ampliude au signal d enrée produi une même variaion d ampliude à la sorie. C es-à-dire, si on applique un signal x() à un sysème e qu on obien une sorie y(), alors une enrée kx() produira une sorie ky(), comme à la figure.9. Si x() Sysème h() y() Alors kx() Sysème h() ky() Figure.9 Exemple de sysème homogène Une résisance es un bon exemple de sysème homogène e non homogène. Si on applique une ension v() aux bornes d une résisance, e que la sorie es i(), alors si on applique une ension 2v(), on aura un couran 2 fois plus grand (2i()). Cependan, si la Gabriel Cormier 2 GELE25

22 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES sorie es la puissance consommée dans la résisance, ceci n es pas un sysème linéaire : si on double la ension, la puissance consommée es 4 fois plus grande (p = v 2 /R). L addiivié veu dire que si on applique 2 (ou plus) signaux à l enrée, la sorie es la somme individuelle de leur réponses. Ex : soi un sysème où on applique une enrée x () qui produi une sorie y (), e une enrée x 2 () produi une sorie y 2 (). Si le sysème possède l addiivié, si on applique les deux enrées en même emps, x () + x 2 (), la sorie sera y () + y 2 (). Un exemple es donné à la figure.2. Si x () Sysème h() y () x 2 () Sysème h() y 2 () Alors x () + x 2 () Sysème h() y () + y 2 () Figure.2 Exemple d addiivié des sysèmes linéaires Le poin imporan pour l addiivié es que les deux signaux n ineragissen pas ensembles. On peu penser à une conversaion éléphonique : si on parle à quelqu un au éléphone, on enend quand même la voix de quelqu un qui parle en arrière-plan e on peu disinguer les mos. Il n y a pas de mélange bizarre des voix qui fai qu on ne comprend ni l une ni l aure des voix. La roisième propriéé, l invariance dans le emps, veu dire que la sorie d un sysème ne change pas si on applique la même enrée à un cerain emps plus ard. Mahémaiquemen, si on applique un signal x() à un sysème e qu on obien une sorie y(), alors la même enrée appliquée à un aure emps, x(+ ), produira la même sorie avec le même décalage dans le emps, y( + ). Linéarié saique e fidélié sinusoïdale Deux aures propriéés peuven aider à comprendre les sysèmes linéaires : la linéarié saique e la fidélié sinusoïdale. Ce ne son pas des propriéés qui aiden mahémaiquemen Gabriel Cormier 22 GELE25

23 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES à définir les sysèmes linéaires, mais elles peuven aider un ingénieur à comprendre le comporemen des sysèmes linéaires. La linéarié saique défini commen un sysème réagi à des enrées qui ne varien pas. Pour un sysème linéaire, si on applique une enrée DC (qui ne change pas), la sorie doi êre l enrée mulipliée par une consane. La fidélié sinusoïdale es une propriéé imporane : si on applique une enrée sinusoïdale à un sysème linéaire, la sorie doi êre un sinusoïde de même fréquence. Les sinusoïdes son les seules ondes à avoir cee propriéé. Bien que la sorie es un sinusoïde de même fréquence, l ampliude e la phase peuven êre différens..7 Propriéés des sysèmes linéaires Les sysèmes linéaires possèden plusieurs caracérisiques imporanes. Une première caracérisiques es la commuaivié. Soi deux sysèmes linéaires A e B. On me les deux sysèmes en cascade, A suivi de B. Si x() es l enrée à A, a sorie des deux sysèmes es y(). Avec la commuaivié, on peu inverser l ordre : mere B en premier, suivi de A. Pour la même enrée x(), on obien la même sorie y(), comme à la figure.2. x() Sysème A h () Sysème B h 2 () y() x() Sysème B h 2 () Sysème A h () y() Figure.2 Exemple de commuaivié des sysèmes linéaires Un exemple praique de ceci es un circui composé de deux éages : un amplificaeur e un filre. Es-ce qu on doi mere l amplificaeur en premier, suivi du filre, ou bien doi on mere le filre en premier? La réponse, c es que si les deux éages son linéaires, alors il n y a aucune différence. Il ne fau pas oublier que la plupar des circuis élecroniques son non linéaires, cependan, e que cee non linéarié es imporane parfois (pour créer des oscillaeurs ou des mélangeurs). Gabriel Cormier 23 GELE25

24 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Superposiion Lorsqu on ravail avec des sysèmes linéaires, la seule façon de combiner des signaux es de faire de l échelonnage (muliplicaion par une consane) puis faire une addiion. On ne peu pas muliplier un signal par un aure signal. Le processus de combiner des signaux par l échelonnage e l addiion es appelé la synhèse. La décomposiion es le processus inverse : diviser un signal en ses composanes. On en a vu un exemple lorsqu on parlai de composane paire e impaire d un signal. Un aure exemple es de décomposer un signal en une somme d impulsions. La superposiion es une echnique clé de l analyse de signaux : on peu décomposer une enrée en ses composanes, passer chaque composane dans le sysème, puis obenir la réponse oale en faisan la somme (la superposiion) des composanes. Le signal ainsi obenu es idenique à celui obenue si on aurai fai passer l enrée au comple direcemen dans le sysème. La superposiion es uilisée pour décomposer une enrée en signaux plus simples, puis appliquer ces signaux simples au sysème. On rerouve la réponse voulue en faisan la somme des sories obenues, comme à la figure.22. Un exemple simple de superposiion : supposons qu on vous demande de muliplier 24 par 4. Il es plus simple de décomposer 24 en rois composanes : , puis faire la muliplicaion sur chacun, e la somme, = 864. décomposiion x() x () + x 2 () + x 3 () Sysème h() Sysème h() Sysème h() y () + y 2 () + y 3 () synhèse y() Figure.22 Exemple de superposiion des sysèmes linéaires Gabriel Cormier 24 GELE25

25 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.7. Réponse Impulsionnelle La réponse impulsionnelle es une caracérisique rès imporane des sysèmes. Si l enrée à un sysème es un pulse δ(), alors la sorie es appelée la réponse impulsionnelle h(), comme à la figure.23. On peu démonrer que si on connaî la réponse impulsionnelle, on peu calculer la sorie pour n impore quelle enrée (pour un sysème linéaire). x() = δ() Sysème h() y() = h() Figure.23 Réponse impulsionnelle d un sysème La réponse impulsionnelle es donc rès imporane pour caracériser les sysèmes physiques. Il suffi d envoyer un pulse de coure durée puis mesurer la réponse pour êre capable de rouver la réponse à n impore quelle enrée. Un exemple de ceci es la communicaion enre une our e un éléphone cellulaire. Pour savoir commen les signaux von êre réfléchis par les édifices, les voiures, les arbres, il fau la réponse impulsionnelle du sysème. On envoie un pulse enre la our e le éléphone cellulaire, ce qui perme par la suie d éliminer les réflexions e ainsi avoir le signal original, la voix, qui es perçu correcemen par l uilisaeur. Avec la réponse impulsionnelle, on n a pas besoin de connaîre ous les déails du foncionnemen d un sysème..8 Convoluion La convoluion es un ouil rès imporan dans le calcul de la sorie d un sysème. Pour n impore quelle enrée x(), on peu rouver la sorie y() si on connaî la réponse impulsionnelle h(). La convoluion es donnée par : y() = h(λ)x( λ)dλ = h( λ)x(λ)dλ (.34) Remarquer le changemen de variable : on fai l inégrale selon λ, mais la réponse es en foncion du emps. On uilise plus souven une représenaion simplifiée pour noer la convoluion : y() = h() x() = x() h() (.35) où on li la convoluion de h() avec x(). La noaion h() x() implique qu on uilise la forme inégrale h() x() = h(λ)x( λ)dλ (.36) Gabriel Cormier 25 GELE25

26 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Pour des sysèmes réels, la sorie es nulle pour <, e on peu donc simplifier l inégrale à : y() = h(λ)x( λ)dλ (.37).8. Explicaion de la convoluion On va démonrer d où vien l inégrale de la convoluion en se servan des propriéés de l impulsion e des propriéés des sysèmes linéaires. Une première propriéé imporane es l invariance dans le emps. Soi les enrées suivanes, appliquées au même sysème h() : Si x () = δ() alors y () = h() Si x 2 () = δ( 2) alors y 2 () = h( 2) Si x 3 () = δ( 5) alors y 3 () = h( 5) (.38) On va uiliser un sysème défini par h() = e u() pour démonrer la convoluion. Le graphe du sysème es donné à la figure.24. h() Figure.24 Sysème pour exemple On applique les rois enrées pour voir la sorie. Les enrées e sories son données à la figure.25. Puisque les enrées son les mêmes, sauf qu elles son décalées, les sories son aussi les mêmes, décalées elles aussi. On peu décomposer n impore quel signal x() en une somme de pulses de largeur w, e haueur proporionnelle à x(), comme on le fai pour l inégrale, où on divise la superficie en recangles de plus en plus peis. On prend l exemple d un signal riangulaire, qu on décompose en une somme de pulses carrés, comme à la figure.26. Gabriel Cormier 26 GELE25

27 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES x () = δ( ).5 5 y () = h( ).5 5 x 2 () = δ( 2).5 5 y 2 () = h( 2).5 5 x 3 () = δ( 5).5 5 y 3 () = h( 5).5 5 Figure.25 Applicaion de rois pulses Il es assez facile de voir dans la figure.26, que lorsque les carrés son peis, qu ils approximmen rès bien le riangle. Mahémaiquemen, on écri : x() = x(kw)(u( (k.5)w) u( (k +.5)w)) (.39) k= où k es l indice du pulse. Le erme x(kw) représene l ampliude du pulse, qu on allume à (k.5)w par un échelon e qu on éein à (k +.5)w. Pour facilier les choses par après, on va faire apparaîre la largeur du pulse dans l équaion précédene : x() = k= u( (k.5)w) u( (k +.5)w) w x(kw) w (.4) Si un pulse carré es de durée assez coure, on peu le remplacer par une impulsion : la réponse du sysème sera la même. On peu donc remplacer l enrée approximée par un rain d impulsions, si la largeur des pulses carrés es assez faible. Au lieu d avoir une Gabriel Cormier 27 GELE25

28 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES Enrée x().5 w =.5 w =.25 w =. w = Figure.26 Décomposiion en pulses carrés somme de carrés pour produire l enrée (le riangle), on a une somme de pulses. La figure.27 perme de comparer le riangle consiué de carrés e de pulses. Un carré es approximé par une impulsion selon la relaion suivane : δ( kw) = du( kw) d = lim w u( (k.5)w) u( (k +.5)w w (.4) L enrée x() peu donc êre approximée par une somme d impulsions : x() w x(kw) δ( kw) (.42) k= Gabriel Cormier 28 GELE25

29 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.5 w =.5.5 w = w = w = Figure.27 Décomposiion en pulses carrés e en impulsions Éan donné l enrée au sysème donnée par l équaion précédene, par invariance dans le emps (si x() = δ(), y() = h()), la sorie es : y() w x(kw) h( kw) (.43) k= Dans la limie où w, la somme devien une inégrale, y() = ce qui es l équaion de la convoluion. h(λ)x( λ)dλ (.44) Gabriel Cormier 29 GELE25

30 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES.9 Convoluion graphique Une inerpréaion graphique de la convoluion es un ouil imporan pour comprendre l implanaion de la convoluion comme ouil de calcul. On se ser d un exemple pour illusrer. Soi la réponse impulsionnelle de la figure.28 a), e l enrée au sysème, un pulse de largeur finie, de la figure.28 b). 2.5 (a) h() 2 (b) x() Figure.28 Formes d ondes a) de la réponse impulsionnelle, b) de l enrée Les équaions des courbes son : h() = 2 + 2, (.45) x() =.5, 2 (.46) On uilise en premier la forme de l équaion.44. Dans les graphes, on remplace par λ, la consane d inégraion. La forme d onde de x() sera modifiée à cause de ceci. Le fai de remplacer λ par λ ne fai que ourner la foncion x() auour de l axe verical. On obien alors les graphes de la figure (a) h(λ) λ 2 (b) x( λ) λ Figure.29 Convoluion a) de la réponse impulsionnelle e b) de l enrée Gabriel Cormier 3 GELE25

31 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES L équaion de h() doi changer à h(λ), e x() doi changer à x( λ) : h(λ) = 2λ + 2, λ (.47) x( λ) =.5, 2 λ (.48) Il fau mainenan faire l inégrale. L équaion.44 implique que les deux foncions son mulipliées ensembles. On accompli ceci de façon graphique en faisan glisser la foncion x( λ) de la gauche vers la droie. On muliplie les deux courbes ensembles. L inégrale es alors l aire comprise sous cee nouvelle courbe λ 2 λ 2 Figure.3 Convoluion graphique λ Selon la figure.3, le graphe de la sorie y() sera composée de rois courbes disinces.. La première parie es lorsque x(λ) n a pas encore dépassé le poin =. Dans ce cas-là, la superficie sous les deux courbes augmene. 2. La deuxième parie se produi lorsque le poin a dépassé =, mais que le poin 2 n a pas encore aein. La superficie sous les deux courbes es alors consane. 3. La roisième parie arrive lorsque le poin 2 a dépassé. On peu calculer les inervalles. La méhode es assez simple : il fau les poins criiques de h() e x(), puis faire la somme de ces poins. Un poin criique es un poin où la foncion change de valeur ou d équaion. Pour h(), les poins criiques son {, }, e pour x(), les poins criiques son {,2}. On addiionne ous ces poins ensembles : +, + 2, + e + 2, ce qui donne les poins criiques suivans, {,,2,3}. Si des poins se répèen, on les prend une seule fois. Le calcul de la convoluion se fai ensuie par inervalles. Le premier inervalle es de à. Dans ce inervalle, les deux foncions on les valeurs e les bornes suivanes : h(λ) = 2λ + 2, λ (.49) x( λ) =.5, λ (.5) Il fau remplacer les ermes appropriés dans l équaion.44 : y () = h(λ)x( λ)dλ = ( 2λ + 2)(.5)dλ (.5) Gabriel Cormier 3 GELE25

32 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES ce qui donne y () = (.52) La noaion y () es uilisée pour indiquer qu il s agi de la réponse dans le premier inervalle seulemen. Dans le deuxième inervalle, de à 2, les équaions son : h(λ) = 2λ + 2, λ (.53) x( λ) =.5, λ (.54) Comme avec le premier inervalle, on remplace dans l équaion.44 les ermes appropriés pour obenir : y 2 () = ( 2λ + 2)(.5)dλ =.5 (.55) Pour le roisième inervalle, de 2 à 3, les équaions son : h(λ) = 2λ + 2, 2 λ (.56) x( λ) =.5, 2 λ (.57) En faisan les subsiuions appropriées, on obien : y 3 () = ( 2λ + 2)(.5)dλ = (.58) 2 On peu vérifier les équaions obenues, puisque la convoluion donne un graphe sans disconinuiés. Il fau que y () = y 2 (), e y 2 (2) = y 3 (2). En remplaçan, on rouve que y () =.5, ce qui es correc, puisque y 2 () =.5. On vérifie aussi y 3 (2) =.5. Les équaions obenues son donc correces. Le graphe du résula final es donné à la figure.3. Gabriel Cormier 32 GELE25

33 CHAPITRE. SIGNAUX ET SYSTÈMES 2.5 y() Figure.3 Convoluion graphique : résula Gabriel Cormier 33 GELE25