Pour compléter l esquisse du «dos nageur» ci-après, on considère la fonction f définie par

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1 EXERCICES SUR LES FONCTIONS EXPONENTIELLES Exercice 1 Un atelier confectionne des maillots de bain «dos nageur» dont le modèle est présenté cicontre. Pour compléter l esquisse du «dos nageur» ci-après, on considère la fonction f définie par 3 f ( x) 6e x = + 4 sur l intervalle [0 ; 20]. 1) La dérivée f de la fonction f est définie par : f '( x) 3 = 2e sur l intervalle [0 ; 20] Etudier le signe de f (x) sur l intervalle [0 ; 20]. 2) Compléter le tableau de variation de la fonction f ci-dessous. x 0 20 x Signe de f ' Variation de f 3) Compléter le tableau de valeurs de la fonction f ci-dessous. Chaque résultat sera arrondi à 0,1. x f (x) 7,1 4,8 4,4 4,1 4) Tracer la courbe C f représentative de la fonction f sur l intervalle [0 ; 20]. 5) Compléter la représentation graphique en construisant le symétrique de la courbe C f par rapport à l axe des ordonnées. 6) En utilisant la représentation graphique, donner les cordonnées du point M puis vérifier que ce point appartient à la courbe C f. 3 7) En utilisant l expression f '( x) = 2e, calculer f (0). 8) L équation de la droite (AM) tracée sur le graphique est y = 2 x Justifier que cette droite est la tangente à la courbe C f au point M. x (D après sujet de Bac Pro Artisanat et Métiers d art Session 2006) Exercices sur les fonctions exponentielles 1/7

2 A y B M 2 O 2 x 2/7

3 Exercice 2 Un transporteur achète en 2002 un véhicule fourgon de 9 tonnes au prix de euros, taxes comprises. Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus, le véhicule perd 20 % de sa valeur chaque année. La perte de chaque année est calculée sur la valeur résiduelle de l année précédente. Partie I : Étude d une situation 1) Calculer la valeur résiduelle du fourgon en 2003, 2004, ) Les valeurs du véhicule en 2002, 2003, 2004, 2005 forment une suite de nombres. Préciser la nature et la raison de cette suite de nombres 3) Donner l expression de la valeur résiduelle V n du véhicule pour l année n, l année 2002 étant considérée comme la première année. Partie II : Étude d une fonction Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l intervalle [0 ; 10] par : f (x) = ,8 x On rappelle que cette fonction est décroissante sur l intervalle [0 ; 10] 1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Arrondir les valeurs de f(x) à la centaine. x f(x) ) Dans le repère ci-dessous : a) Placer les points de coordonnées (x ; f(x)) calculées précédemment b) Tracer la courbe représentative de f. 3) Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle f(x) = , en laissant apparents les traits permettant la lecture graphique Partie III : Exploitation des résultats Le propriétaire du véhicule fourgon décide qu il faut remplacer ce véhicule lorsque sa valeur est inférieure à euros. En vous aidant de l étude précédente, déterminer l année au cours de laquelle il remplacera le véhicule. Exercices sur les fonctions exponentielles 3/7

4 (D après sujet de Bac Pro Exploitation des transports Session 2002) Exercices sur les fonctions exponentielles 4/7

5 Exercice 3 Pour rentabiliser son entreprise un carrossier fait l acquisition d une machine dont le prix d achat est euros. Cette machine perd chaque année 10 % de la valeur de l année précédente. On appelle V 1, V 2 et V 3 les valeurs de la machine au bout de 1, 2 et 3 ans de fonctionnement. Partie A : Étude d une suite 1) Calculer V 1, V 2 et V 3. 2) Montrer que V 1, V 2 et V 3 sont les premiers termes d une suite géométrique (V n ) où n est un nombre entier positif. Préciser sa raison. 3) Montrer que V n = ,9 (n 1). 4) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Les résultats seront arrondis au centième. n V n , , ,78 5) Placer les points de coordonnées (n ; V n ) dans le repère suivant. Partie B : Étude de fonctions 1) Soit f la fonction définie sur l intervalle [1 ; 10] par : f (x) = ,9 x. a) Vérifier que : f (1) = V 1, f (2) = V 2, f (3) = V 3. b) Exprimer f (n) en fonction de n. c) En remarquant que ,9 = 9 000, déduire que f (n) = V n 2) On donne le tableau de variation de la fonction f. x 1 10 Signe de f (x) f 3486,78 Construire la représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [1 ; 10] en utilisant le repère ci-dessous. 3) Déterminer graphiquement le temps au bout duquel la machine perd la moitié de sa valeur initiale. Exercices sur les fonctions exponentielles 5/7

6 (D après sujet de Bac Pro Carrosserie option construction et réparation Session juin 2006) Exercice 4 Au mois de décembre 1998, le chiffre d affaires hors taxe d un magasin spécialisé dans la vente de téléphones portables était de Pour l année 1999, le responsable du magasin prévoit un taux d augmentation du chiffre d affaires hors taxe de 8 % par mois. Soit la fonction f définie pour un nombre réel x de l intervalle [0 ; 12] par : f (x) = ,08 x 1) Représenter et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x f(x) , , , , , ,86 x f(x) Exercices sur les fonctions exponentielles 6/7

7 2) À l aide du tableau de valeurs, représenter graphiquement la fonction f dans le repère orthogonal ci-après. Echelle : en abscisse : 0,5 cm pour 1 en ordonnée : 0,5 cm pour f (x) x 3) a) Calculer f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) qui est le chiffre d affaires prévisionnel cumulé sur le premier semestre b) Quel est le chiffre d affaires mensuel moyen prévu pour ce semestre? Sera-t-il atteint : en mars? en avril? 4) a) Pour quel mois de l année 1999, le chiffre d affaires sera presque le double de celui de décembre 1998? b) Résoudre l équation suivante : ,08 x = Écrire la valeur approchée par défaut à l unité près de la solution de cette équation. Quel résultat retrouve-t-on ainsi? (D après sujet de Bac Pro Commerce Session 1999) Exercices sur les fonctions exponentielles 7/7