J.F.C. p. 1. Q1 On dit que Z suit une loi exponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par :

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1 6-- 4 JFC p Eercice EDHEC 998 E 3 Q On dit que Z suit une loi eponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par : f) = e a) Vérifier que f est bien une densité de probabilité b) Déterminer la fonction de répartition de Z c) Soient Z et Z deu variables aléatoires indépendantes suivant la loi eponentielle bilatérale, déterminer une densité de V = Z + Z Q Dans cette question, X et Y sont deu variables indépendantes suivant toutes les deu la loi eponentielle de paramètre et on pose Z = X Y a) Déterminer la fonction de répartition, puis une densité de Y b) Déterminer une densité de Z et vérifier que Z suit la loi eponentielle bilatérale c) Déterminer l espérance de Z d) On pose T = Z Déterminer la fonction de répartition de T et vérifier que T suit une loi eponentielle dont on donnera le paramètre Q Il faut sans doute comprendre que dans cette question Z est une variable aléatoire à densité de densité f Notons aussi que le Z de Q n est pas celui de Q a) f est continue et positive sur R e t dt converge et vaut Γ) donc )! soit encore Alors Ainsi donc Alors ft) dt converge et vaut Comme f est paire sur R, e t dt converge et vaut ft) dt converge et vaut ft) dt converge et vaut Ceci achève de montrer que : f est une densité de probabilité ft) dt b) Notons F Z la fonction de répartition de Z Soit un élément de ], ] F Z ) = F Z ) = ) lim e t dt = A A ft) dt = [ lim e t ] = A A e t dt = lim e e A) = A e e t dt

2 JFC p Notons que F Z ) = Soit un élément de [, + [ F Z ) = ft) dt = ft) dt + ft) dt = F Z ) + e t dt F Z ) = + [ e t ] = + e + ) = e e si ], [ La fonction de répartition de Z est la fonction F Z définie par : R, e si [, + [ c) Z et Z sont deu variables aléatoires à densité indépendantes f est une densité de Z et de Z R, f) = e donc f est bornée sur R Le cours permet alors de dire que : V = Z + Z est une variable aléatoire à densité De plus h : f t) ft) dt est une densité de V = Z + Z définie sur R t R, ft) = e t donc R, h) = 4 e t t dt Pour simplifier la détermination de h montrons que cette fonction est paire sur R Soit dans R est encore dans R! t t définit une bijection strictement décroissante de R sur R, de classe C sur R Ceci justifie le changement de variable u = t dans ce qui suit h ) = 4 h ) = 4 e t t dt = 4 + e +u u ) du = 4 e +u u du e u u du = h) Ce qui achève de montrer que h est paire sur R Soit dans [, + [ t) t) si t ], ] e t si t ], ] t R, t t = t) t si t [, ] t R, e t t = e si t [, ] t ) t si t [, + [ e t+ si t [, + [ Alors h) = 4 e t t dt = 4 e t dt + 4 h) = 4 e e t dt + 4 e + 4 e e t dt e dt + 4 e t+ dt

3 Or Et e t dt = e t dt = lim A A lim A + e t dt = A lim A e t dt = [ e t lim A + ] A [ e t = lim A ] A e A)) = = lim e e A)) = A + e ) + e Alors h) = 4 e + 4 e + 4 e e = 8 e + 4 e + 8 e = 4 Ainsi [, + [, h) = ) + e = ) + e Soit un élément de ], [ 4 4 Comme h est paire sur R et que est positif : h) = h ) = 4 JFC p 3 ) + e = ) + e 4 La fonction h définie par : R, h) = 4 + ) e, est une densité de V = Z + Z Q a) Notons F Y resp F Y ) la fonction de répartition de Y resp Y ) { e si [, + [ R, F Y ) = sinon R, F Y ) = P Y ) = P Y ) = P Y < ) = P Y ) { e )) { si [, + [ e si ], ] R, F Y ) = = sinon sinon { e si La fonction de répartition de Y est la fonction F Y définie par : R, F Y ) = sinon Remarquons que l on a encore : R, F Y ) = { e si ], ] si [, + [ e et sont de classe C sur R Alors F Y est de classe C sur ], ] et sur [, + [ Cela suffit pour dire que F Y de points Ainsi : est continue sur R et de classe C sur R donc sur R privé d un ensemble fini Y est une variable aléatoire à densité ], [, F Y ) = e et ], + [, F Y ) = { e si ], ] Posons R, g) = sinon g est une fonction positive sur R qui coïncide avec F Y sur R donc sur R privé d un ensemble fini de points Ainsi g est une densité de Y { e si ], ] La fonction g définie par R, g) = est une densité de Y sinon

4 JFC p 4 { e t si t [, + [ b) Posons t R, φt) = sinon paramètre φ est une densité de X car X suit la loi eponentielle de X et Y sont deu variables aléatoires à densité indépendantes car X et Y sont indépendantes) φ est une densité de X et g est une densité de Y t R, φt) donc φ est bornée sur R Le cours permet alors de dire que X + Y ) est une variable aléatoire à densité De plus ψ : R, ψ) = [, + [, ψ) = ], [, ψ) = X Y est une variable aléatoire à densité φ t) gt) dt est une densité de X Y définie sur R f t) e t dt e t) e t dt = e e t) e t dt = e Min,) R, ψ) = e e t dt Soit dans R Min,) lim A A Min,) Donc e t dt = lim A [ e t ] Min,) A e t dt e t dt Remarquons alors que : = lim e Min,) e A)) = A e Min,) e t dt = e Min,) Alors ψ) = e e Min,) = e Min,) Si est positif Min, ) = = = et si est négatif Min, ) = = = Alors ψ) = e et ceci pour tout réel Notons que ψ = f f est une densité de Z donc Z suit la loi eponentielle bilatéral c) X et Y suivent la loi eponentielle de paramètre donc X et Y possèdent une espérance dont la valeur est Alors Z possède une espérance et EZ) = EX) EY ) = = par linéarité de l espérance) Z possède une espérance qui vaut d) Notons F T la fonction de répartition de T ], [, F T ) = P T ) = P Z ) = [, + [, F T ) = P T ) = P Z ) = P Z ) = ψt) dt = e t dt

5 JFC p 5 [, + [, F T ) = e t dt = e t dt = [ e t] = e La fonction de répartition de T est la fonction F T définie par : R, { e si [, + [ sinon Pas de doute : T suit la loi eponentielle de paramètre

6 JFC p 6 Eercice EDHEC E Q La durée de vie d un composant électronique est une variable aléatoire X de densité f continue et strictement positive sur R +, et nulle sur R On note F la fonction de répartition de X a) On désigne par t et h deu réels strictement positifs Eprimer, à l aide de la fonction F, la probabilité pt, h) que le composant tombe en panne avant l instant t + h sachant qu il fonctionnait encore à l instant t b) Établir que, lorsque h est au voisinage de +, pt, h) ft) F t) h On pose désormais, pour tout réel positif t : λ X t) = ft) F t) On a bien sûr λ Xt) La fonction positive λ X est appelée tau de panne du composant ou tau de panne de X Q Soit X une variable aléatoire qui possède une densité continue et strictement positive sur R +, nulle sur R et de tau de panne λ X a) Pour tout réel strictement positif t, calculer t λ X u) du puis montrer que la seule connaissance de la fonction tau de panne λ X permet de déterminer la fonction de répartition F de X b) Déduire de la question précédente que les variables suivant des lois eponentielles possèdent un tau de panne constant et qu elles sont les seules dans ce cas Q3 La durée de vie en années) d un appareil est une variable aléatoire X dont le tau de panne est la fonction λ X définie par λ X t) = t 3 a) Quelle est la probabilité que cet appareil survive plus d un an? b) Quelle est la probabilité que cet appareil, âgé de an, survive plus de ans? ) Dans cette question nous supposerons f continue sur R + a Notons d abord que F est continue sur R +, dérivable sur R + f est continue sur R + ) et, pour tout élément t de R +, F t) = ft) > Ceci suffit pour dire que F est strictement croissante sur R + non?) F est strictement croissante sur R + et lim t + F t) = donc : t R+, F t) < Par conséquent t R +, < F t) Ceci donne encore : t R +, px > t) = F t) Soient t et h deu éléments de R + pt, h) = px < t + h/x > t) = p {X < t + h} {X > t} ) t R +, h R +, pt, h) = px > t) F t + h) F t) F t) = pt < X < t + h) px > t) = F t + h) F t) F t)

7 b Soit t un élément de R + F est dérivable en t et F t) = ft) F t + h) F t) F t + h) F t) Alors lim = ft) Comme ft) n est pas nulle), h h h ft) h En particulier : Ainsi : pt, h) = F t + h) F t) h F t + h) F t) F t) ft) h + = F t + h) F t) h Pour tout réel t strictement positif : pt, h) h + JFC p 7 F t) h ft) h + F t) h = ft) F t) h ft) F t) h ) Ici nous supposerons encore) que X possède une densité f continue et strictement positive sur R +, nulle sur ], ] Comme dans la question précédente nous avons encore : t R +, F t) > a Notons alors que λ X est définie sur [, + [ et continue au moins sur ], + [ Soit t et ε deu réels strictement positifs t ε t ε λ X u) du = t ε fu) F u) du = t λ X u) du = ln F t)) + ln F ε)) F est continue en donc lim F ε) = F ) = ε + Alors lim ε + t ε λ X u) du = ln F t) ) Pour tout élément t de R +, t ε F u) [ F u) du = ln F u) ] t ε = ln F t) + ln F ε) ft) dt = Donc lim ε + ln F ε) ) = ln = λ X u) du eiste et vaut ln F t) ) Nous savons déjà que F X est nulle sur ], ] puisque f est nulle sur ce même ensemble Soit t un réel strictement positif Ainsi t ], ], F t) = et t R +, F t) = e t t λ X u) du = ln F t) ) donc F t) = e t λ X u) du λ X u) du La seule connaissance de la fonction de tau de panne λ X permet de déterminer la fonction de répartition F de X b Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi eponentielle de paramètre α Posons : t ], ], f Y t) = et t ], + [, f Y t) = αe αt f Y est une densité de Y Notons que f Y est continue et strictement positive sur R + et nulle sur ], ] Soit F Y la fonction de répartition de Y t R +, F Y t) = e αt Alors t R +, λ X t) = ft) F t) = αe αt e αt ) = α

8 JFC p 8 Le tau de panne λ Y de Y est donc constant sur R + Réciproquement, reprenons la variable aléatoire X du début et supposons que son tau de panne λ X est constant sur R + Il eiste donc un réel c tel que : t R +, λ X t) = c Rappelons que F est nulle sur ], ] et que t R +, F t) = e t Alors t R +, F t) = e t Comme c du = e ct λ X u) du lim F t) =, nécessairement lim t + t + e ct = et donc c est strictement positif c est strictement positif, t ], ], F t) = et t R +, F t) = e ct eponentielle de paramètre c Concluons Donc X suit une loi Si X est une variable aléatoire admettant une densité f strictement positive et continue sur R + et nulle sur ], ] : son tau de panne λ X est constant sur R + si et seulement si X suit une loi eponentielle 3) t ], ], F t) = et t R +, F t) = e t a px > ) = px ) = F ) = e /4 u3 du = e t4 /4 La probabilité pour que cet appareil survive plus d un an est e /4 b px > /X > ) = p {X > } {X > } ) = px > ) px ) = e 4 /4 px > ) px ) = px > ) e /4 = e 5/4 La probabilité pour que cet appareil agé de un an, survive plus de deu ans est e 5/4

9 JFC p 9 Eercice 3 EDHEC E 3 On considère deu variables aléatoires X et X de densités respectives f et f strictement positives et dérivables sur R On suppose qu il eiste une fonction g, définie et dérivable sur R +, telle que : y) R, f )f y) = g + y ) Q On suppose, dans cette question seulement, que X, et X suivent toutes les deu la loi normale N, ) Montrer que : R +, g) = π e Q a) Montrer que : R, y R, f ) f ) = g + y ) g + y ) b) On note h la fonction définie sur R par h) = f ) f ) Soient, et deu réels distincts et non nuls Montrer que h ) = h ) et en déduire que h est une fonction constante sur R On note a cette constante c) Soit k la fonction définie pour tout réel par k) = f )e a Montrer que k est constante sur ], + [ ainsi que sur ], [ En déduire que k est constante sur R, puis montrer qu il eiste un réel K tel que : R, f ) = K e a d) Utiliser le fait que f est une densité de probabilité pour montrer que a est strictement négatif On pose dorénavant σ = a e) En déduire que X suit la loi normale N, σ ) Q3 On admet que l on peut montrer de la même façon qu il eiste un réel σ strictement positif tel que X suive la loi normale N, σ ) Montrer, en revenant à la définition de g et en calculant g) de deu façons, que σ = σ, c est-à-dire que X et X suivent toutes les deu la même loi normale ) π e est une densité de X resp X ) strictement positive et dérivable sur R Mieu c est l unique densité strictement positive et dérivable sur R de X resp X )

10 JFC p Alors : R, f ) = f ) = π e Ainsi, y) R, g + y ) = f ) f y) = π e π e y = Soit un élément de R + Posons t = ) a, y) R, f ) f y) = g + y ) +y π e = t + t donc g) = gt + t ) = t +t π e = π e R +, g) = π e En dérivant par rapport à on obtient :, y) R, f ) f y) = g + y ) Alors, y) R, g + y ) g + y ) = f ) f y) f ) f y) = f ) f ) Ainsi : R, y R, f ) f ) = g + y ) g + y ) b Soient et deu réels distincts) non nuls h ) = f ) f ) = g + ) g + ) = g + ) g + ) = f ) f ) = h ), ) R ), h ) = h ) h est constante sur R c f et e a sont dérivables sur R donc, par produit, k est dérivable sur R R, k ) = f ) e a a f ) e a = f ) a f )) e a Rappelons que R, h) = f ) f ) = a Donc R, f ) = a f ) ou R, f ) a f ) = Alors R, k ) = Ainsi k est nulle sur les intervalles ], [ et ], + [ k est constante sur chacun de ces intervalles k est constante sur R + et sur R Il eiste alors deu réels K et K tels que : ], [, k) = K et ], + [, k) = K Par définition, k est continue sur R donc en Alors K = lim k) = k) = lim k) = K + Donc K = k) = K Alors R, k) = K k est constante sur R R, f ) e a = k) = K Alors R, f ) = K e a Il eiste un réel K tel que R, f ) = K e a

11 d f est une densité de probabilité strictement positive sur R donc K est strictement positif Alors e at dt converge puisque f t) dt converge En particulier Supposons que a est positif ou nul t [, + [, e at = t La convergence de dt ce que réprouve la morale Rieman- t nienne e at dt donne alors la convergence e at dt converge JFC p a est strictement négatif e σ = Alors : = a Or donc : R, f ) = K e σ De plus f est une densité de probabilité π σ e σ paramètres et σ Ainsi Par conséquent K = f t) dt = K e t σ dt = K π σ e t π σ est une densité de probabilité d une variable aléatoire qui suit une loi normale de e t σ dt = Il vient alors : = K π σ = K π σ π σ π σ et R, f ) = e π σ σ σ dt X suit une loi normale de paramètres et σ 3) De même on peut trouver un réel σ strictement positif tel que R, f ) = X suit une loi normale de paramètres et σ, y) R, f ) f y) = g + y ) Ainsi f ) f ) = g) = f ) f ) Alors π σ e σ π σ = Ce qui donne e σ = e σ, puis e σ π σ π σ σ = σ Enfin σ = σ et : σ = σ car ces deu réels sont strictement positifs e π σ σ et ainsi X et X suivent toutes les deu la même loi normale

12 JFC p Eercice 4 EDHEC 4 E 3 On considère deu variables aléatoires X et Y, définies toutes les deu sur le même espace probabilisé Ω, A, P ), indépendantes et suivant la loi uniforme sur [, ] On pose Z = X + Y Q a) Déterminer une densité de Z b) Montrer que, pour tout de ], [, les événements Z > ) et < Z + ) sont indépendants Q a) On pose T = MaX, Y ) On admet que T est une variable aléatoire définie elle aussi sur l espace probabilisé Ω, A, P ) a) Montrer que T est une variable à densité puis donner une densité de T b) En déduire que T possède une espérance ET ) et la déterminer c) On pose U = X Y et on admet que U est une variable aléatoire définie elle aussi sur l espace probabilisé Ω, A, P ) Montrer que U est combinaison linéaire de Z et T, puis en déduire l espérance de U { si [, ] ) a Posons : R, f) = f est une densité de X et de Y sinon X et Y sont deu variables aléatoires à densité indépendantes de densité f Alors Z = X + Y est une variable aléatoire à densité admettant pour densité la fonction h définie par : Soit un réel Par définition de f, h) = R, h) = f t) dt Le changement de variable u = t donne alors h) = ft) f t) dt fu) du = Si est élément de ], [, [, ] est contenu dans ], [ et h) = Si est élément de ], + [, [, ] est contenu dans ], + [ et h) = Si est élément de [, [ alors < < et h) = Si est élément de [, ] alors et h) = si [, [ La fonction h définie par : R, h) = si [, ] sinon du = fu) du du = du = du = ) = est une densité de Z = X + Y

13 b Soit un élément de ], [ Notons que < < < + < [ ] t) P Z > ) = ht) dt = t) dt = = + + [ t P < Z + ) = ht) dt = t dt + t) dt = P < Z + ) = ) ) + = ) P {Z > } { < Z +} ) + [ t) = P < Z +) = t) dt = Alors P {Z > } { < Z + } ) = ] [ t) + ] + JFC p 3 ] + = ) ) = P Z > ) P < Z + ) Les événements {Z > } et { < X + } sont indépendants ) a Cherchons la fonction de répartition F T de T = MaX, Y ) Notons F X et F Y les fonctions de répartition de X et Y si ], [ Rappelons que : R, F X ) = F Y ) = si [, ] si ], + [ Soit un réel F T ) = P T ) = P MaX, Y ) ) = P {X } {Y } ) ) Les variables X et Y étant indépendantes il vient : F T ) = P X ) P Y ) = F X ) F Y ) = F X ) ) si ], [ Alors R, F T ) = si [, ] si ], + [ Comme F T ) = on a ], ], F T ) = et ainsi F T est de classe C sur ], ] Comme F T ) = on a [, + [, F T ) = et ainsi F T est de classe C sur [, + [ De plus [, ], F T ) = donc F T est de classe C sur [, ] Ce qui précède permet alors de dire que F T est continue sur R et de classe C au moins sur R {, } Par conséquent : T est une variable aléatoire à densité { si [, ] ], [ ], + [, F T ) = et ], [, F T ) = Posons R, f T ) = sinon f T est une application positive de R dans R qui coïncide avec F T sur R privé d un ensemble fini de points donc f T est une densité de probabilité de T { si [, ] La fonction f T définie par R, f T ) = est une densité de probabilité de T sinon

14 b Comme f T est nulle sur ], [, t t f T est continue sur [, ] donc Finalement t f T t) dt converge et vaut Alors T possède une espérance qui est égale à c Soient a et b deu réels t f T t) dt eiste et vaut Il en est de même pour t f T t) dt eiste Supposons a b Maa, b) = b et a b = b a t f T t) dt t f T t) dt De plus T possède une espérance qui vaut 3 t f T t) dt = Donc Maa, b) = b = a + b + b a) = a + b + a b a b = Maa, b) a + b) On montre de la même manière cette dernière égalité lorsque a > b Ainsi a, b) R, a b = Maa, b) a + b) Remarque On observera et on retiendra que a, b) R, Maa, b) = ) a + b a b De même : a, b) R, Mina, b) = En appliquant ce qui précède on obtient : ω Ω, Uω) = Xω) Y ω) = Ma Xω), Y ω) ) Xω) + Y ω)) = Alors ω Ω, Uω) = T Z ) ω) et ainsi : U = T Z JFC p 4 [ t t 3 dt = 3 ) a + b + a b t f T t) dt ] = 3 ) MaX, Y ) X + Y ) ω) Z = X + Y X et Y possèdent une espérance qui vaut Alors Z possède une espérance qui vaut Rappelons que ET ) eiste et vaut 3 Alors U = T Z possède une espérance égale à c est à dire 3 3 L espérance de U eiste et vaut 3

15 JFC p 5 Eercice 5 EDHEC 5 E Pour tout réel, on note Ent ) la partie entière de et on rappelle que Ent ) est le seul entier vérifiant : Ent ) < Ent ) + On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé Ω, A, P ) et qui suit la loi eponentielle de paramètre λ avec λ > ) On note F sa fonction de répartition On pose X = Ent X), X = Ent X X )) et l on admet que X et X sont des variables aléatoires définies elles aussi sur Ω, A, P ) Q a) Déterminer X Ω) b) Pour tout k de X Ω), eprimer P X = k) à l aide de F c) En déduire que X + suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre d) Déterminer EX ) en fonction de λ Q a) Déterminer X Ω) et dire ce que représente X b) Justifier que, pour tout k élément de [[, 9]], P X = k) = que : k [[, 9], P X = k) = En déduire que : Q3 + i= F i + k + ) F i + ) k ) k [[, 9]], P X = k) = e λk e λ e λ Montrer que X et X sont indépendantes + i= P {X = i} {X = k} ), puis montrer ) a)) XΩ) = [, + [ donc X Ω) = X Ω) = N X Ω) = N b) Soit k un élément de N P X = k) = P X = k) = P k X < k + ) Or X est une variable aléatoire à densité donc P k X < k + ) = P k < X k + ) Ainsi P X = k) = P k < X k + ) = F k + ) F k) k N, P X = k) = F k + ) F k) { λ e λ si [, + [ c) X admet pour densité la fonction f définie par : R, f) = Ainsi : sinon

16 k N, P X = k) = F k+) F k) = k+ k λ e λ t dt = [ e λ t] k+ k JFC p 6 = e λ k e λ k+) = e λ ) e λ k k N, P X = k) = e λ ) e λ k Posons Y = X + Y Ω) = N et k N, P Y = k) = P X = k ) = e λ ) e λ k ) = e λ ) e λ) k Posons p = e λ p ], [ car λ est strictement positif De plus p = e λ Alors : k N, P Y = k) = p p) k Ceci achève alors de montrer que Y suit une loi géométrique de paramètre p = e λ Ainsi : X + suit une loi géométrique de paramètre e λ d) Y = X + suit une loi géométrique de paramètre e λ donc possède une espérance qui vaut Alors X = Y possède une espérance qui vaut X possède une espérance qui vaut : e λ ou e λ e λ ou encore e λ e λ e λ ou e λ ) a) X X = X X et XΩ) = [, + [ donc X X )Ω) = [, [ Alors Ainsi X X ) Ω) = {,, 9} Finalement : e λ ) X X ) Ω) = [, [ X Ω) = {,, 9} Soit ω un élément de Ω Xω) est un réel positif X X )ω) est, pour simplifier, sa partie décimale X X )ω) est di fois la partie décimale de Xω) Alors la partie entière de X X )ω) est la première décimale de Xω) Donc X ω) est la première décimale de Xω) Pour tout élément ω de Ω, X ω) représente, pour simplifier, la première décimale de Xω) b) Soit k un élément de {,, 9} {X = i} ) i N est un système complet d événements donc {X = k} = Cette réunion étant constituée d événements deu à deu disjoints on a : i N ) {X = i} {X = k}

17 JFC p 7 P X = k) = P i N {X = i} {X = k}) ) + = i= k {,, 9}, P X = k) = P {X = i} {X = k}) + i= P {X = i} {X = k}) Soit k un élément de {,, 9} et i un élément de N Soit ω un élément de Ω X ω) = i et X ω) = k i Xω) < i + et k Xω) i) < k + X ω) = i et X ω) = k i Xω) < i + et i + k Xω) < i + k + Or i i + k et i + k + i + donc : X ω) = i et X ω) = k i + k { Finalement {X = i} {X = k} = i + k X < i + k + } Rappelons que X est une variable aléatoire à densité Ainsi : P {X = i} {X = k}) = P i + k X < i + k + ) = P Donc P {X = i} {X = k}) = F i + k + ) i + k F + + Alors P X = k) = P {X = i} {X = k}) = F i= k N, P X = k) = Soit k un élément de {,, 9} i N, F i + k + ) ) i + k F = i N, F i + k + ) ) i + k F Alors P X = k) = e λ k e λ ) + + Comme e λ < : i= i+ k+ i+ k + i= i= ) Xω) < i + k + i + k < X i + k + ) i + k + ) F F i + k + ) F λ e λ t dt = = e λ k e λ ) e λ i i= e λ ) i [ e λ t] i+ k+ e λ ) i = e λ Ainsi : P X = k) = e λ k k {,,, 9}, P X = k) = e λ k 3) Soit i un élément de N et soit k un élément de {,,, 9} Nous avons vu que : P {X = i} {X = k}) = F i + k + ) F i+ k )) i + k )) i + k e λ e λ e λ e λ ) i + k = e λ i+ k ) e λ i+ k+ )

18 Nous avons également vu que : F i + k + ) F ) i + k = e λ k e λ ) e λ i JFC p 8 Alors P {X = i} {X = k}) = e λ k e λ ) e λ i = e λ ) e λ i e λ k Donc P {X = i} {X = k}) = P X = i) P X = k) Finalement X et X sont deu variables aléatoires discètes sur Ω, A, P ) telles que i X Ω), k X Ω), P {X = i} {X = k}) = P X = i) P X = k) Ainsi : e λ e λ X et X sont indépendantes

19 JFC p 9 Eercice 6 EDHEC 6 E 3 On considère deu variables aléatoires X et Y, définies sur un espace probabilisé Ω, T, P ) indé pendantes et suivant toutes deu la loi normale centrée réduite de densité notée φ et de fonction de répartition notée Φ) JF : nous supposerons que φ est l unique densité de X continue sur R On pose Z = SupX, Y ) et l on se propose de déterminer la loi de Z, ainsi que son espérance et sa variance Q a) Montrer que Z est une variable aléatoire à densité définie elle aussi sur Ω, T, P ) b) Vérifier que Z admet pour densité la fonction f définie pour tout réel par : f) = φ) Φ) Q a) Rappeler la valeur de l intégrale b) En déduire la convergence et la valeur de e t / dt e t dt c) En remarquant que, pour tout réel, φ ) = φ), montrer, grâce à une intégration par parties, que : f)d = π + π d) Montrer de même que : e t dt f)d = + e t d t π π En déduire que Z a une espérance et donner sa valeur Q3 a) a Montrer que X et Z suivent la même loi b) Déterminer EZ ), puis donner la valeur de la variance de Z Remarque Le tete utilise la dérivabilité de φ sur R φ n est donc pas une densité quelconque de X et de Y Rappelons?) que e est l unique densité de X définie et continue sur R et que cette π application est dérivable sur R Ainsi dans tout l eercice nous supposerons que φ est l application de R dans R définie par : R, φ) = e π ) a) Montrons que Z est une variable aléatoire réelle sur Ω, T, P ) Notons que Z est une application de Ω dans R Il reste alors à montrer que R, Z ], ]) T Soit un réel Z ], ]) = {ω Ω Zω) } = {ω Ω Sup Xω), Y ω) ) } Z ], ]) = {ω Ω Xω) et Y ω) } = {ω Ω Xω) } {ω Ω Y ω) } Z ], ]) = X ], ]) Y ], ])

20 JFC p X et Y sont deu variables aléatoires réelles sur Ω, T, P ) donc X ], ]) et Y ], ]) sont deu éléments de la tribu T qui est stable par intersection finie ou dénombrable Par conséquent X ], ]) Y ], ]) est encore un élément de T Finalement Z ], ]) est un élément de T et ceci pour tout réel Alors : Z = SupX, Y ) est une variable aléatoire réelle sur Ω, T, P ) Montrons que Z est une variable aléatoire à densité Notons F sa fonction de répartition R, F ) = P Z ) = P {X } {Y }) = P X ) P Y ) = Φ) Φ) = Φ) ) car X et Y sont indépendantes φ est une la!) densité continue sur R de X donc Φ est de classe C sur R et Φ = φ Ainsi F = Φ est de classe C sur R ce qui suffit très largement pour dire que Z est une variable aléatoire à densité Z = SupX, Y ) est une variable aléatoire à densité sur Ω, T, P ) b) De plus F est une densité de Z Notons que : F = Φ ) = Φ Φ = φ Φ ) a) = φt) dt = f : φ) Φ) est une densité de Z = SupX, Y ) e t + dt = π π e t dt Ainsi : e t dt eiste et vaut π b) Posons t R, ψt) = t ψ est de classe C sur R, ψ est strictement croissante sur R, lim ψt) = et lim ψt) = + t t + Ainsi ψ est une bijection de R sur R de classe C sur R Notons aussi que u e u est continue sur R Alors le théorème de changement de variable sur les intégrales généralisées indique que e u du est de ) même nature que e ψt) ψ t) dt et qu en cas de convergence ces deu intégrales sont égales Observons que t R, e ψt)) ψ t) = e t et rappelons que Alors e ψt)) ψ t) dt converge et vaut : π = π Par conséquent : e t dt converge et vaut π

21 JFC p e t dt converge et vaut π c) et d) R, φ) = π e donc φ est dérivable sur R et R, φ ) = π ) e = φ) Remarquons que φ est continue sur R donc φ est de classe C sur R Alors R, f) = φ) Φ) = φ ) Φ) Soit A dans R φ et Φ sont de classe C sur R Une intégration par parties simple donne alors : A [ ] A A A f) d = φ) Φ) φ) Φ )) d = φa) ΦA)+ φ) Φ)+ φ)) d Φ) =, φ) = π et R, φ)) = Alors A f) d = φa) ΦA) + π + π En multipliant par on obtient : A ) Alors e t dt converge donc lim A + Notons que π e A Donc π A e d ) lim φa) =, lim A + = π A π e A e d et ceci pour tout réel A ) f) d = φa) ΦA) π + π e t dt et e d et φa) =, lim A et Φ est une fonction de répartition e t dt convergent lim A π A ΦA) = et lim A + ) ) lim φa) ΦA) = et lim φa) ΦA) = A + A Alors ) donne lim A + A f) d = π + π f) d converge et vaut A e d et ceci pour tout réel ) e d = e d π ΦA) =, car A R, φa) = A e d Ce qui permet de dire que : π + π e d ) donne lim A A f) d = + e d Ainsi : π π f) d converge et vaut + e d π π EZ) = f) d et f) d + f) d convergent donc f) d converge Ainsi Z possède une espérance f) d = + e d + + π π π π e d

22 JFC p EZ) = π e d = π π = π Z possède une espérance qui vaut π 3) a) X et Z sont deu variables aléatoires réelles sur Ω, T, p) il en est donc de même pour X et Z Notons F X resp F Z ) la fonction de répartition de X resp Z ) ], [, F X ) = F Z ) = car X et Z prennent leurs valeurs dans [, + [ [, + [, F X ) = P X ) = P X ) = Φ ) Φ ) car X est une variable alétoire à densité De même : [, + [, F Z ) = F Z ) F ) Rappelons que F Z = Φ et que u R, Φ u) = Φu) Alors [, + [, F Z ) = Φ ) ) ) ) ) Φ ) = Φ ) Φ ) [, + [, F Z ) = Φ ) ) ) ) + Φ ) Φ ) = Φ ) Φ ) = Φ ) Φ ) [, + [, F Z ) = F X ) Finalement R, F Z ) = F X ) X et Z ont la même fonction de répartition donc : X et Z suivent la même loi b) X suit la loi normale centrée réduite Alors EX) eiste et vaut et V X) eiste et vaut Ainsi EX ) eiste et vaut V X) + EX) ), c est à dire Comme Z a même loi que X, Z possède une espérance qui vaut donc Z possède une variance V Z) = EZ ) EZ) ) = π ) = π L espérance de Z eiste et vaut La variance de Z eiste et vaut π

23 JFC p 3 Eercice 7 EDHEC 7 E 3 On considère une suite X n ) n de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé Ω, A), n mutuellement indépendantes, et qui suivent toutes la loi eponentielle de paramètre On pose S n = X k Q Rappeler quelle est la loi suivie par S n Donner l espérance et la variance de S n Q À l aide du théorème de la limite centrée, établir que lim P S n n) = n + n t n Q3 En déduire la valeur de lim n + n )! e t dt Q4 a) Utiliser le résultat précédent pour montrer que z n e nz dz n + b) On admet que n! πn n n e n En déduire un nouvel équivalent de n + n! n n+ z n e nz dz k= ) Soit n un élément de N X, X,, X n sont n variables aléatoires sur Ω, A, P ), mutuellement indépendantes et qui suivent la loi eponentielle de paramètre ou la loi gamma de paramètres et ou la loi gamma de paramètre ) Le cours permet alors de dire que S n = X + X + + X n suit la loi gamma de paramètres et n ou la loi gamma de paramètre n Pour tout élément n de N, S n suit la loi gamma de paramètres et n, ES n ) = n et V S n ) = n ) X n ) n est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes sur Ω, A, P ) suivant la même loi ayant une espérance égale à et une variance non nulle) égale à Le théorème de la limite centrée montre alors que la suite de terme général S n ES n ) V Sn ) une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite converge en loi vers Notons Φ la fonction de répartition d une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite ) Alors, pour tout réel, lim P S n ES n ) = Φ) n + V Sn ) En particulier lim P n + Or ES n ) = n Alors : ) S n ES n ) = Φ) = Ainsi : lim V Sn ) P S n ES n )) = n + lim P S n n) = n + 3) Soit n un élément de N S n suit la loi gamma de paramètres et n

24 e t t n si t ], + [ Posons alors t R, f Sn t) = Γn) f Sn est une densité de S n sinon Alors P S n n) = n f Sn t) dt = n e t t n Γn) dt = n e t t n dt Par conséquent : n )! JFC p 4 n 4) a) lim n + n t n lim n + n )! e t dt = t n n )! e t dt = et n donc t n n )! e t dt n + Soit n un élément de N t t n est de classe C sur R Cela autorise le changement de variable z = t n dans n n t n n )! e t dt On obtient alors : t n n )! e t dt = Alors nn+ n! z n e nz dz nz) n e n z n )! n + n dz = donc nn n )! z n e n z dz z n e n z dz n + z n e nz dz = nn+ n! n + n! n n+ n! n n+ z n e nz dz b) n! π n n n e n donc n + n! π n n n e n n n+ n + n n+ ou z n e n z dz n + n! n n+ n + π n e n π n e n Alors :

25 JFC p 5 Eercice 8 EDHEC 8 E ) Q On considère la matrice A = de M y R) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels et y pour que la matrice A soit diagonalisable dans M R) Q Dans la suite X et Y sont deu variables aléatoires réelles, définies sur le même espace probabilisé Ω, A, P ), indépendantes qui suivent toutes les deu la loi uniforme sur [, ] a) Déterminer une densité de X on ne demande pas de vérifier que X est une variable aléatoire à densité) b) Déterminer une densité de Y on ne demande pas de vérifier que Y est une variable aléatoire à densité) c) En déduire que la variable aléatoire X Y admet pour densité la fonction h définie par : + si [, [ R, h) = si [, ] sinon ) d) Déterminer la probabilité pour que la matrice M = soit diagonalisable dans M Y X R) ) Soit λ un réel λ est valeur propre de A si et seulement si la matrice A λ I n est pas inversible ) ) λ λ Or A λ I = et n est pas inversible si et seulement si λ) λ) y ) =, y λ y λ donc si et seulement si λ λ + y = ) Le discriminant de cette équation du second degré est ) 4y ; il a donc le signe de y Premier cas : y < L équation ) n a pas de solution dans R donc A n a pas de valeur propre dans R A n est pas diagonalisable dans M R) Deuième cas : y = L équation ) admet une solution et une seule dans R qui est Ainsi est la seule valeur propre de A dans R Supposons alors que A est diagonalisable dans M R) Il eiste une matrice inversible P de M R) et une matrice diagonale D de M R) telles que P AP = D D est semblable à A donc a les mêmes ) valeurs propres que A Ainsi D est diagonale et a pour unique valeur propre Dans ces conditions : D = donc D = I ) ) Alors : = A = P DP y = P I )P = P I P = P P = I = Cela n est pas très vraisemblable dans la mesure où n est pas franchement égal à! Par conséquent A n est pas diagonalisable dans M R) Troisième cas y > L équation ) admet deu solutions distinctes dans R Ainsi A est une matrice de M R) ayant deu valeurs propres réelles et distinctes, donc A est diagonalisable dans M R) Finalement : A est diagonalisable dans M R) si et seulement si y est strictement positif

26 JFC p 6 ) Dans la suite si T est une variable aléatoire nous noterons F T sa fonction de répartition a) X prend ses valeur dans [, ] Ainsi ], [, F X ) = et [, + [, F X ) = [, [, F X ) = P X ) = P X ) = P < X ) = F X ) F X ) si z ], [ Rappelons que z R, F X z) = z si z [, [ si z [, + [ Alors [, [, F X ) = F X ) F X ) = = si ], [ Finalement : R, F X ) = si [, [ si [, + [ Vérifions rapidement que X est une variable aléatoire à densité même si cela n est pas demandé Notons déjà que X est une variable aléatoire car X en est une Rappelons que est continue sur [, + [ et de classe C sur ], + [ Alors F X est de classe C sur ], [, ], [ et [, + [ Ceci suffit pour dire que F X est de classe C au moins sur R {, } F X est aussi continue sur ], [, [, [ et [, + [ Ceci suffit pour dire que F X est continue en tout point de R {, } et continue à droite en et normal) De plus lim F X ) = = = F X ) et lim F X) = lim = = FX ) F X est donc continue à gauche en et Finalement F X est continue sur R et de classe C sur R {, } Ainsi X est une variable aléatoire à densité De plus ], [ ], + [, F X ) = et ], [, F X ) = Posons alors : R, f X ) = si ], ] sinon f X est une fonction positive sur R qui coïncide avec F X sur R privé d un nombre fini de points donc c est une densité de X La fonction f X définie par : R, f X ) = si ], ], est une densité de X sinon b) Y prend ses valeur dans [, ] Ainsi ], [, F Y ) = et [, + [, F Y ) = [, [, F Y ) = P Y ) = P Y ) = P Y < ) = P Y ) = F Y ) si z ], [ Rappelons que z R F Y z) = z si z [, [ si z [, + [ Alors [, [, F Y ) = F Y ) = ) = + = ) )

27 JFC p 7 si ], [ ) Finalement : R, F Y ) = si [, [ Donc Y suit la loi uniforme sur [, ] Dans ces ) si [, + [ conditions : { si [, ] la fonction f Y définie par : R, f Y ) = sinon est une densité de Y c) X et Y sont deu variables aléatoires indépendantes car X et Y le sont X et Y sont des variables aléatoires à densité admettant pour densité respectivement f X et f Y f Y est bornée sur R Dans ces conditions X + Y ) est une variable aléatoire à densité et la fonction h : en est une densité définie sur R Ainsi X Y est une variable aléatoire à densité et h en est une densité Déterminons h Soit un réel { si t [, ] h) = f X t) f Y t) dt = f X t) dt car t R, f Y t) = sinon Le changement de variablec!) u = t donne sans difficulté : h) = + f X u) du f X t) f Y t) dt Rappelons alors que u R, f X u) = si u ], ] u sinon Observons que si appartient à ], [ : [, + ] ], [ et si appartient à ], + [ : [, + ] ], + [ Alors si ], [ ], + [, f X est nulle sur l intervalle [, + ], donc h) = Supposons que appartienne à [, ] Alors + [, ] Ainsi h) = + du [ u ] + u = = + Supposons que appartienne à ], ] alors + ], ] du [ u ] Ainsi h) = u = = + si [, ] Finalement : R, h) = si ], ] sinon X Y est une variable aléatoire à densité admettant pour densité la fonction h définie par : + si [, ] R, h) = si ], ] sinon + si [, ] Remarque On a encore : R, h) = si [, ]! sinon d) Notons S l événement la matrice M est diagonalisable dans M R)

28 { ) } S = ω Ω est diagonalisable dans M Y ω) Xω) R) D après la question : S = {ω Ω Xω) ) } Y ω) > = {X Y > } Ainsi P S) = P X Y > ) = ht) dt = [ ) t dt = t ] 3 t 3 = 3 = 3 ) La probabilité pour que la matrice M = soit diagonalisable dans M Y X R) est 3 JFC p 8

29 JFC p 9 Eercice 9 EDHEC E 3 Dans cet eercice, a désigne un réel strictement positif On considère deu variables aléatoires X et Y, définies sur un espace probabilisé Ω, A, P ), indépendantes, et suivant toutes deu la loi uniforme sur [, a[ On pose Z = X Y et on admet que Y, X Y et Z sont des variables alétoires à densité, elles aussi définies sur l espace probabilisé Ω, A, P ) ) a) Déterminer une densité de Y b) En déduire que la variable aléatoire X Y admet pour densité la fonction g définie par : a R, g) = a si [ a, a] sinon On note G la fonction de répartition de X Y ) a) Eprimer la fonction de répartition H de la variable aléatoire Z en fonction de G a ) b) En déduire qu une densité de Z est la fonction h définie par : R, h) = a si [, a] sinon 3) Montrer que Z possède une espérance et une variance et les déterminer 4) Simulation informatique On rappelle qu en Turbo Pascal, la fonction random permet de simuler la loi uniforme sur [, [ Compléter la déclaration de la fonction suivante pour qu elle retourne à chaque appel un nombre réel choisi selon la loi de Z Function z a : real) : real ; Var, y : real ; Begin : = ; y : = ; z : = ; End ; si [, a] ) a) Posons t R, f Y t) = a f Y est une densité de Y et de X sinon si ], [ Notons F Y la fonction de répartition de Y R, F Y ) = si [, a] a si ]a, + [ Notons F Y la fonction de répartition de Y Y prend ses valeurs dans ] a, ] Donc ], a], F Y ) = et [, + [, F Y ) = Soit un élément de ] a, [ F Y ) = P Y ) = P Y ) = P Y < ) = P Y ) car Y est une variable aléatoire à densité

30 F Y ) = F Y ) = si ], a] a) R, F Y ) = si ] a, [ a) si ], + [ ) car appartient à ], a[ Finalement : F Y ) = a) a a) JFC p 3 On reconnaît la fonction de répartition d une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [ a, ] ou sur ] a, ] ou sur ] a, [!! si [ a, ] La fonction f Y définie par t R, f Y t) = a est une densité de Y sinon La fonction f si ] a, ] Y définie par t R, f Y t) = a est encore une densité de Y sinon b) X et Y sont deu variables aléatoires à densité indépendantes car X et Y sont indépendantes f X est une densité de X bornée sur R et f Y est une densité de Y également bornée sur R) Le théorème de convolution indique alors que X Y est une variables aléatoire à densité et que g : R, g) = f X t) f Y t) dt en est une densité définie sur R f X t) f Y t) dt = a a f Y t) dt Le changement de variable u = t t t est de classe C sur R) donne : a R, g) = f Y u) ) du = f Y u) du a a a si [ a, ] Rappelons que t R, f Y t) = a sinon Notons que si ], a[ alors [ a, ] ], a[ et si ]a, + [ alors [ a, ] ], + [ Par conséquent : ], a[ ]a, + [, g) = a [ a, [, g) = a [, a], g) = a a R, g) = a a a du = du a = ) a + a) = a a = a a si [ a, [, a < a) du a = ) a a) = a a = a a si [, a], a [ a, ] et ) a si [ a, a] sinon La fonction g définie par : R, g) = ) a) ], [, H) = P Z ) = P X Y ) = a a si [ a, a] sinon est une densité de X Y [, + [, H) = P Z ) = P X Y ) = P X Y ) = G) G )

31 JFC p 3 { G) G ) si [, + [ R, H) = sinon b) Notons que g est une densité de X Y continue sur R Alors la fonction de répartition G de X Y est de classe C sur R et R, G ) = g) Par composition : G ) est de de classe C sur R Par différence G) G ) est de de classe C sur R Ainsi H est de classe C sur sur [, + [ H est également de classe C sur ], [ car elle est nulle sur cet intervalle H est donc au moins dérivable en tout point de R Remarque H est de classe C SUR ], [ et Sur [, + [ Ceci montre qu elle est de classe C sur R et qu elle est continue à droite en De plus lim H) = = G) G ) = H) ; H est donc continue à gauche en Finalement H est continue en Alors H est continue en tout point de R et de classe C sur R Cela suffit pour dire que Z = X Y est une variable aléatoire à densité Ce qui n était pas demandé car admis dans le tete ], [, H ) = On a aussi : ], + [, H ) = G ) + G ) = g) + g ) = g) g est paire sur R) Précisons ], a], H ) = g) = a a Finalement : ], a], H ) = a ) Posons R, h) = = a a ) a = a et ]a, + [, H ) = a ) a et ], [ ]a, + [, H ) = a si [, a] sinon h est positive sur R et coïncide avec H sur R donc sur R privé d un ensemble fini de points Ainsi h est une densité de Z a ) La fonction h définie par : R, h) = a si [, a] sinon 3) D une pierre plusieurs coups Soit k dans N Montrons que Z possède un moment d ordre k, c est à dire que t t k ht) est nulle sur ], [ et sur ]a, + [ donc t k ht) dt et est une densité de Z = X Y t k ht) dt converge t [, a], t k k a t) ht) = t Ainsi t t k ht) est continue sur [, a] donc Alors a t k ht) dt converge et vaut a Le cours montre alors que Z k possède une espérance qui vaut EZ k ) = a t k ht) dt = a k a t) t a dt = a a t k ht) dt convergent et valent a t k ht) dt eiste t k ht) dt Donc Z possède un moment d ordre k qui vaut a a t k ht) dt a t k t k+ ) dt = a [ a tk+ k + tk+ k + ] a a t k ht) dt

32 EZ k ) = ) a a ak+ k + ak+ = a k k + k + ) a k = k + k + )k + ) En particulier EZ) eiste et vaut a 6 ou a 3, et EZ ) eiste et vaut a Alors Z possède une variance qui vaut a 6 a 3 ) ou a 8 ou a 6 JFC p 3 Z possède une espérance et une variance EZ) = a 3 et V Z) = a 8 4) Notons que si U est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [, [ alors a U est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [, a[ Function za:real):real; Var,y:real; Begin :=a*random;y:=a*random;z:=abs-y); End;

33 JFC p 33 Eercice EDHEC E On considère une suite X n ) n N de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé Ω, A, P ), indépendantes, et suivant toutes la loi eponentielle de paramètre λ avec λ > ) ) a) Donner, pour tout réel strictement positif, une densité de X b) Montrer que l on peut choisir comme densité de X X, la fonction f définie par : z R, fz) = λ + eλ z si z < λ + e λz si z c) On pose T = X X et on admet que T est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur Ω, A, P ) Déterminer la fonction de répartition F T de la variable aléatoire T ) On pose X = T +, où T désigne la partie entière de T On admet également que X est une variable aléatoire définie sur Ω, A, P ) Montrer que : n N, P X = n) = nn + ) 3) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, on pose Y n = SupX,, X n ) et on admet que Y n est une variable aléatoire à densité définie sur Ω, A, P ) a) Donner sans calcul une densité de X b) Déterminer la fonction de répartition G n de Y n et en déduire une densité g n de Y n c) En déduire qu il eiste une densité h n de Y n X telle que : ], [, h n ) = n + λ eλ 4) On note Z la variable aléatoire définie par Z = Inf {k N, X k > X } si cet ensemble n est pas vide et Z = si cet ensemble est vide a) Établir que, pour tout entier naturel n non nul, on a : Z > n) Z = ) = Y n X ) b) Montrer que Z = ) = + k= Y k X ), puis tablir que P Z = ) = c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, les événements Z = n) et X = n) ont même probabilité 5) Informatique a) Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [, [ On pose V = λ ln U) et on admet que V est une variable aléatoire Déterminer la fonction de répartition de V en fonction de celle de U, puis en déduire la loi suivie par la variable aléatoire V b) Écrire une fonction en Pascal dont l en-tête est function z : real ; qui simule la loi de Z { λ e λt si t [, + [ ) a) Soit un réel strictement positif Posons t R, φt) = sinon X est une variable aléatoire à densité de densité φ

34 JFC p 34 Le cours?) montre alors que X est une variable aléatoire à densité de densité ψ : t ) t φ λ t R, ψ t) = φ t ) Donc : t R, ψ t) = e λ t si t ], ] sinon Pour tout réel strictement positif, X est une variable aléatoire à densité de densité ψ définie par λ t R, ψ t) = e λ t si t ], ] sinon b) Soit un réel strictement positif X et X sont deu variables aléatoires à densité de densités respectives φ et ψ X et X sont indépendantes donc X et X sont indépendantes t R, φt) λ donc φ est bornée sur R Le théorème de convolution ou son corollaire) permet de dire que X X est une variable aléatoire à densité et que f : z Remarque φz t) ψ t) dt ou f : z φt) ψ z t) dt ) en est une densité définie sur R Nous ne pouvons pas encore l appeler f dans la mesure où X X n admet pas qu une densité Soit z un réel fz) = φz t) ψ t) dt = φz t) λ e λ t dt t z t définit une bijection strictement décroissante de ], [ sur ]z, + [ de classe C Ceci justifie le changement de variable u = z t dans ce qui suit fz) = fz) = λ e λ z φz t) λ e λ t dt = λ Notons que λ + Ma{,z} z φu) e λ z u) du = λ + λ e ) u du = λ + e λ z est un réel strictement positif Ma{,z} Ma{,z} λ + e λ e λ u e λ z u) du + λ ) u du Soit alors F W la fonction de répartition d une variable aléatoire W qui suit la loi eponentielle de paramètre λ + Ma{,z} Donc fz) = λ + + λ e ) u + λ du = P W > Ma{, z}) = P W Ma{, z})) = e ) Ma{,z} λ + e λ z Ma{,z} λ + Si z est strictement négatif alors fz) = z R, fz) = λ + e λ z si z ], [ λ + e λ z si z [, + [ + λ e ) u du = λ + e λ z + λ e ) Ma{,z} λ + e λ z Si z est positif ou nul : fz) = λ + e λ z + λ e ) z = λ + e λ z Nous pouvons maintenant dire que : Pour tout réel strictement positif, X X est une variable aléatoire à densité admettant pour densité λ + e λ z si z ], [ la fonction f définie par : z R, fz) = λ + e λ z si z [, + [

35 c) X et X prennent presque sûrement des valeurs strictement positives donc T = X valeurs strictement positives Alors : ], ], F T ) = et ], + [, F T ) = P Sot un élément de ], + [ F T ) = P X X ) = F T ) = P X X ) = + de probabilité nulle sur ], + [ si ], + [ R, F T ) = + si ], ] ψ t) dt = Notons que l on a encore : R, F T ) = + X JFC p 35 prend presque sûrement des ) X = P X X ) = P X X ) X + si [, + [ si ], [ R, F T ) = + ft) dt = ψ t) dt = si [, + [ si ], [ λ + e λ t dt = + λ e λ t dt + = + car ψ est une densité car F t ) = = + Ainsi : Montrons que T est une variable aléatoire à densité ce qui sera utile dans la question suivante Observons que ], ], F T ) = et [, + [, F T ) = + Comme est de classe C sur ], ] et que ], ] et sur [, + [ + est de classe C sur [, + [, F T est de classe C sur Cela suffit pour dire que F T est continue sur R et de classe C au moins sur R donc sur R privé d un ensemble fini de points Ainsi : T est une variable aléatoire à densité ) X = T + prend presque sûrement ses valeurs dans N n N, P X = n) = P T + = n) = P T = n ) = P n T < n) n N, P X = n) = P n < T n) car T est une variable aléatoire à densité n N, P X = n) = F T n) F T n ) = n n + n = n n + )n ) = n n ) = n nn + ) nn + ) nn + ) n N, P X = n) = nn + ) 3) On admettra seulement que, pour tout élément n de N, Y n est une variable aléatoire a) D après ) a) X est une variable aléatoire à densité de densité ψ X est une variable aléatoire à densité de densité ψ définie par { t R, ψ t) = λ e λ t si t ], ] sinon b) Soit n un élément de N Soit dans R

36 JFC p 36 G n ) = P Y n ) = P SupX, X,, X n ) ) = P {X } {X } {X n }) X, X,, X n sont indépendantes et suivent toutes la loi eponentielle de paramètre λ On a alors : G n ) = P X ) P X ) P X n ) = P X ) ) { n e λ ) n si [, + [ = sinon { e λ ) n si [, + [ R, G n ) = sinon On a R, G n ) = { e λ ) n si [, + [ si ], [ Mais remarquons que l on a aussi R, G n ) = { e λ ) n si [, + [ si ], ] et e λ ) n sont de classe C sur R donc G n est de classe C sur ], ] et sur [, + [ Ceci suffit pour dire que G n est continue sur la totalité de R et au moins de classe C sur R Alors : Y n est une variable aléatoire à densité ], [, G n) = et ], + [, G n) = n λ e λ e λ ) n { n λ e λ e λ ) n si [, + [ Posons R, g n ) = sinon g n est positive sur R et coïncide avec G n sur R donc sur R privé d un ensemble fini de points Alors g n est une densité de Y n { n λ e λ e λ ) n si [, + [ La fonction g n définie par R, g n ) = sinon est une densité de Y n c) Soit n un élément de N Y n et X sont deu variables aléatoires à densité de densités respectives g n et ψ X, X,, X n, X sont indépendantes donc SupX, X,, X n ) et X sont indépendantes Alors Y n et X sont indépendantes { t R, ψ t) = λ e λ t si t ], ] Alors t R, ψ t) λ donc ψ est bornée sinon Ici encore nous pouvons dire que Y n X est une variable aléatoire à densité et que h n : ou h n : g n t) ψ t) dt en est une densité définie sur R { Soit un élément de ], [ t R, ψ t) = λ e λ t) si t [, + [ sinon Alors h n ) = g n t) ψ t) dt = g n t) λ e λ t)) dt h n ) = λ e λ g n t) e λ t dt car g n est nulle sur ], [ et est strictement négatif g n t) ψ t) dt

37 JFC p 37 Calculons Version g n t) e λ t dt t [, + [, g n t) e λ t = g n t) e λ t + ) = g n t) e λ t ) + g n t) t [, + [, g n t) e λ t = g n t) e λ t ) g n t) = g n t) e λ t ) n λ e λ t e λ t ) n t [, + [, g n t) e λ t = g n t) n n + n + ) λ e λ t e λ t ) n = g n t) n n + g n+t) Or Donc Ainsi Version g n t) dt et g n t) e λ t dt = g n+ t) dt eistent et valent g n t) e λ t dt = n + Calculons g n t) dt n n + g n+ t) dt = g n t) e λ t dt en intégrant par parties n n + = n + Soit L n la restriction de G n à [, + [ L n est de classe C sur [, + [ et t [, + [, L nt) = g n t) Remarque eemple Notons que nous ne pouvons pas toujours écrire t [, + [, G nt) = g n t) dans la cas où n = par De plus t e λ t est de classe C sur [, + [ Soit A un réel strictement positif A g n t) e λ t dt = [L n t) e λ t] A A [ ] A L n t) λ e λ t ) dt = e λ t G n t) + A A g n t) e λ t dt = e λ A G n A) G n ) + A g n t) e λ t dt = e λ A G n A) G n ) + n + e λ A ) n+ G n ) =, lim A + e λ A =, Alors lim A + A lim G na) = et A + A G n t) λ e λ t ) dt [ e λ e λ t e λt ) n dt = e λ A λ t ) n+ G n A) G n ) + n + lim A + e λ A ) n+ = g n t) e λ t dt = Ainsi nous retrouvons que n + Finalement : h n ) = n + λ eλ et ceci pour tout réel strictement négatif Ne reste plus qu à poser h n = h n pour dire que : g n t) e λ t dt = n + ] A Y n X est une variable aléatoire à densité qui possède une densité h n telle que : ], [, h n ) = n + λ eλ Remarque Calculer h n ) pour tout réel positif ou nul 4) a) Soit n un élément de N L événement {Z > n} {Z = } se réalise si et seulement si les n événements {X X }, {X X },, {X n X } se réalisent Alors : {Z > n} {Z = } = {X X } {X X } {X n X } = {SupX, X,, X n ) X } = {Y n X } Pour tout élément n de N : {Z > n} {Z = } = {Y n X } b) {Z = } se réalise si et seulement si pour tout k dans N {X k > X } n est pas réalisé

38 JFC p 38 {Z = } se réalise si et seulement si pour tout k dans N l événement {X k X } est réalisé On peut encore dire que {Z = } se réalise si et seulement si pour tout k dans N l événement {X X } {X X } {X k X } est réalisé Alors : + ) + { } + { } {Z = } = {X X } {X X } {X k X } = SupX, X,, X k ) X = Yk X k= {Z = } = + k= k= { Yk X } k N, {X X } {X X } {X k X } {X k+ X } {X X } {X X } {X k X } k= Donc k N, {Y k+ X } {Y k X } La suite {Y k X } ) k N est décroissante Le théorème de la limite monotone montre alors que : P Z = ) = P k N, P Y k X ) = P Y k X ) = Rappelons que ψ est une densité de probabilité nulle sur ], + [ k N, P Y k X ) = k + Alors P Z = ) = lim P Y k X ) = k + + k= h k t) dt = λ e λ t dt = k + k + ψ t) dt = k + = k + lim k + k + = P Z = ) = { Yk X } ) = lim k + P Y k X ) ψ t) dt c) Par incompatibilité : n N, P {Z > n} {Z = } ) = P Z > n) + P Z = ) Comme P Z = ) = il vient : n N, P {Z > n} {Z = } = P Z > n) Donc n N, P Z > n) = P {Z > n} {Z = } ) = P Y n X ) = n + comme nous l avons vu dans b)) P Z > ) = P Z ) = P Z = ) = = = Donc n N, P Z > n) = + n + Alors : n N, P Z = n) = P Z > n ) P Z > n) = n n + = = P X = n) nn + ) Pour tout entier naturel n non nul, les événements {X = n} et {Z = n} ont même probabilité 5) a) U prend ses valeurs dans [, [ donc U prend ses valeurs dans ], ] Alors ln U) prend ses valeurs dans ], ] et V = λ ln U) prend ses valeurs dans [, + [ Notons F V la fonction de répartition de V D après ce qui précède, ], [, F V ) = Soit un élément de [, + [ F V ) = P V ) = P λ ) ln U) = P ln U) λ ) F V ) = P U e λ ) = P U e λ ) Or appartient à [, + [ donc e λ appartient à [, [ si z ], [ Comme U suit la loi eponentielle sur [, [ : z R, P U z) = z si z [, [ si z [, + [ Alors F V ) = P U e λ ) = e λ