FONCTIONS EXPONENTIELLES EXERCICES CORRIGES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "FONCTIONS EXPONENTIELLES EXERCICES CORRIGES"

Transcription

1 Cours t rcics d mathématiqus FONCTIONS EPONENTIELLES EERCICES CORRIGES Ercic n Résoudr dans ls équations suivants ln( ln 8 9 ln Ercic n Détrminr ls racins du polynôm + P + 4 En déduir ls solutions d l équation + 4 Résoudr ls équations suivants : + + a + b + c + Ercic n - Equations mêlant logarithms t ponntills A + Dévloppr l prssion : Résoudr ls équations suivants : (a + (b Ercic n 4 Résoudr ls systèms d'équations suivant : y y + + y y y + y M CUAZ, Ercic n Résoudr dans ls inéquations suivants : + 7< + > ( 4 < Ercic n 6 A l aid d polynôms bin choisis, résoudr ls inéquations suivants : + + > Ercic n 7 L nombr d habitants d un région ayant un fort tau d natalité st donné par la fonction ponntill,t f : t où f(t st la population primé n millions d habitants pour l anné +t A partir d qull dat la population aura-t-ll plus qu triplé? Ctt région n put pas nourrir plus d vingt millions d prsonns Pndant combin d annés après 99 la nourritur sra-t-ll suffisant? Ercic n 8 Détrminr ls limits suivants : a lim ( + b lim ( c lim + Ercic n 9 Etudiz ls limits d la fonction f donné au borns d son nsmbl d définition D, t trouvr ls asymptots évntulls à la courb rprésntativ d f f 4 f( f + 4 f + Ercic n On considèr la fonction numériqu f défini sur par f( + Détrminr la limit d f( quand tnd vrs Montrr qu f(, t calculr la limit d f( quand tnd vrs + + En déduir l istnc d du asymptots d la courb C Pag /4

2 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n Détrminr l nsmbl d définition, l nsmbl d dérivabilités t ls fonctions dérivés d chacun ds fonctions proposés : f + f f ( + 4 f f 6 f 7 f + 8 f + 9 f f f ln( + f Ercic n Soit f la fonction défini sur par : f On désign par C sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormal ( Oi ; ; j d unité graphiqu cm Détrminr ls limits d f n t + Qull conséqunc graphiqu pour C put-on n tirr? Montrr qu f st dérivabl sur Détrminr sa fonction dérivé f Drssr l tablau d variations d f t tracr sa courb C Ercic n Soint f t g définis par : f + t g Détrminr ls domains d définitions d f t g ainsi qu lur parité évntull Détrminr ls limits au borns du domains d étud d chacun ds fonctions f t g Détrminr ls dérivés ds fonctions f t g ; n déduir lur tablau d variations 4 Calculr, a étant un rél qulconqu : f ( a g( a Eprimr pour a t bdu réls, n fonction d g ( a+ b : f ( a g( b + g( a f ( b Ercic n Dévloppr Factorisr n produit d polynôms du prmir dgré Soit f la fonction défini pour différnt d ln par f 4 Donnr la limit d f n moins l'infini 4 Résoudr l'équation f( Soit Cf la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal Donnr un équation d la tangnt à Cf au point d'absciss Ercic n Détrminz un primitiv d la fonction f proposé sur l'intrvall I donné : f ( sur f sur f + sur 4 4 f sur f( sur + Ercic n 6 Soit f la fonction défini sur IR par f ( + Détrminz ls nombrs a t b tls qu la fonction F, défini sur IR, par Ercic n 7 Soit f la fonction défini sur par f Vérifiz qu pour tout d, on a f + Déduisz n la primitiv F d f qui s'annul pour + F a b + + soit un primitiv d f Pag /4

3 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n 8 Calculz ls intégrals suivants : d d + d 6 + t t d 4 ( + d 7 ( d 8 ln ln d dt Ercic n 9 Calculz l intégral I d (indication : Ercic n Calculz l'intégral I n utilisant la formul d'intégration par partis: d I I ( + d I ( + + d Ercic n Calculz l'intégral I n utilisant du fois l théorèm d l'intégration par partis: I sin d I cos d Ercic n L atmosphèr trrstr contint d l azot qui st transformé sous l fft du rayonnmnt cosmiqu, n carbon 4, radioactif, noté 4 C Ls êtrs vivants continnnt donc du 4 C qui st rnouvlé constammnt A lur mort, il n y a plus d mprunt d 4 C à l tériur t l carbon 4 C qu ils continnnt s désintègr L tmps écoulé dpuis la mort d un êtr put donc êtr évalué n msurant la proportion d 4 C qui lui rst Soit N(t l nombr d atoms d 4 C istant à l instant t, primé n annés, dans un échantillon d matièr organiqu ; On montr qu N' ( t,8n( t La vitss d désintégration st donc proportionnll au nombr d atoms présnts En applant N l nombr d atoms d 4,8t C initial, démontrr qu N( t N Qul st l pourcntag d atoms d carbon prdus au bout d ans? On appll périod (ou dmi-vi du carbon 4 C, l tmps au bout duqul la moitié ds atoms s sont désintégrés Détrminr, à l aid d un calculatric, la périod du 4 C (à an près 4 On analys ds fragmnts d os trouvés dans un grott On constat qu ils ont prdu % d lur tnur n carbon Détrminr, à l aid d un calculatric, l âg du fragmnt d os Pag /4

4 Cours t rcics d mathématiqus FONCTIONS EPONENTIELLES CORRECTION M CUAZ, Cs équations rposnt sur du règls qui traduisnt la BIJECTIVITE ds fonctions logarithm t ponntill : Soint a t b du nombrs strictmnt positifs Alors ln a ln b a b a b Soint a t b du nombrs qulconqus Alors a b On utilis, n outr, d nombruss propriétés algébriqus d cs du fonctions Ercic n L équation st défini sur Pour tout, L équation st défini sur Pour tout, ln(7 7 ln(7 car pour tout a>, ln( a a Ainsi S { ln 7} Un autr manièr d l rédigr aurait pu êtr : 7 ln( ln( 7 ln(7 S { ln7} S L équation st défini sur Pour tout, 9 ln ( ln ( 9 ln(9 ln(9 ln( S { ln } 4 L équation st défini sur Pour tout, + impossibl car pour tout, > Ainsi S Un autr manièr d l rédigr aurait pu êtr : Pour tout, > donc + > >, donc n put êtr égal -, donc S L équation st défini sur Pour tout, 4 ou 4 Puisqu pour tout, > (donc, l équation st équivalnt à 4, donc ln 4 ln, donc S { ln} 6 L équation st défini sur En posant, puisqu, l équation dvint équivalnt à + 6, qu l on a résolu précédmmnt : ou En rvnant à la variabl on a : ln impossibl, car pour tout, > Finalmnt, S { ln } Ercic n On détrmin ls racins du polynôm P défini par P + 4 n calculant son discriminant : + d où l istnc d du racins rélls distincts : t Si on pos, alors, d sort qu l équation + 4 dvint équivalnt à , équation qui a été résolu dans la qustion : On a trouvé t On rvint à l inconnu n résolvant : équation qui n admt pas d solution réll, t Ainsi S {} a Pour résoudr l équation +, on pos, t on s rtrouv avc l équation + 4 9, donc qui admt du solutions rélls distincts équation dont l discriminant vaut t On rvint à l inconnu n résolvant : équation qui n admt pas d solution réll, t Pag 4/4 Ainsi S {}

5 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, b En transformant l écritur du mmbr d gauch, l équation + s réécrit +, donc après division par, st équivalnt à +, équation qu l on a déjà résolu On rtrouv S {} c En multipliant ls du mmbrs d l équation + par qui st non nul, l équation + dvint équivalnt à ( Ercic n A + + (a On pos L équation ( ( + + dvint alors équivalnt à + + (d après la factorisation d la qustion ( Pour qu un produit d facturs soit nul, il faut t il suffit qu au moins l un d ntr u l soit + ou ou En «rvnant» à l inconnu, on a donc Ainsi ou ou Puisqu pour tout rél, >, l équation n admt pas d solutions réll En rvanch t ln Ainsi S ;ln { } (b Par bijctivité d la fonction ponntill, a D après la factorisation d la qustion (, ( ( ( soit nul, il faut t il suffit qu au moins l un d ntr u l soit ou ou Ainsi ( ( + ( Donc S { ;; } Ercic n 4 En posant + + Pour qu un produit d facturs y t Y, l systèm + Y L Y L Y 4 L Y L 8 L + L 4 L + L Pag /4 b y + y dvint équivalnt à On rvint au inconnus t y n résolvant : 4 y 4 ln4 t Y y ln L systèm admt donc pour solution S { ln 4;} En posant y t Y, l systèm + Y L Y L L Y LL + Y L Y L L y + + y dvint équivalnt à On rvint au inconnus t y n résolvant : qui n admt pas d solution dans L systèm n admt donc pas d solution réll y y Puisqu + y, on aura + y y L systèm st donc équivalnt au systèm y y L ( L L + L + y L y L y L y L On résout l équation + n calculant son discriminant : 4 64, donc l équation + admt du solutions rélls distincts t Si, alors y ( Si alors y y Ls solutions du systèm sont donc S y {( ; ;(; } Puisqu lls jount ds rôls symétriqus on put affirmr qu ls du nombrs chrchés sont t

6 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n Cs inéquations rposnt sur du règls qui traduisnt la STRICTE CROISSANCE ds fonctions logarithm t ponntill : Soint a t b du nombrs strictmnt positifs Alors ln a< ln b a< b a b Soint a t b du nombrs qulconqus Alors < a< b On utilis, n outr, d nombruss propriétés algébriqus d cs du fonctions L inéquation st défini sur Pour tout, Ainsi L inéquation st défini sur Pour tout, ln(7 7 ln( < < <ln(7 car pour tout a>, a a Un autr manièr d l rédigr aurait pu êtr : 7 ln ln 7 ln(7 S ;ln7 < < < ] [ L inéquation st défini sur Pour tout, 9 ln ln 9 ln(9 ln(9 ln( S [ ln ; + [ 4 Pour tout, > donc + > >, donc Ainsi S ] ;ln7[ S L inéquation st défini sur Puisqu pour tout, >, ln4 ln < < < < S ] ;ln[ 6 L inéquation st défini sur En posant précédmmnt : Pag 6/4 S ;, puisqu, l inéquation dvint équivalnt à + 6, qu l on a résolu ; [ ] [ ] En rvnant à la variabl on a : ;, qui s décompos n du inéquations : t Puisqu pour tout, >, l inéquation a pour nsmbl d solutions S D plus ln Ctt duièm inéquation a pour nsmbl d solutions Finalmnt, S S S ] ] ] ] ;ln ;ln S ] ;ln] Ercic n 6 Pour résoudr l inéquation +, on pos, t on s rtrouv avc l inéquation + On calcul l discriminant du polynôm P( 4 9 Il admt donc du racins + : rélls distincts t + Ainsi + si t sulmnt si donc si t sulmnt si ; ; + On rvint à l inconnu n résolvant : P( ] ] [ [ ] ; ] [ ; + [ Ainsi S [ ; + [ Pour résoudr l inéquation +, on pos, qui n admt pas d solution dans, car pour tout, > On calcul l discriminant du polynôm P( + :, t on s rtrouv avc l inéquation + 4 Il admt donc du racins + rélls distincts t Ainsi + si t sulmnt si P( donc si t sulmnt si ; ; + On rvint à l inconnu n résolvant : ] ] ] ] [ [ ; Ainsi S ] ;] [ ln ; + [ t [ [ ; + ln Puisqu pour tout, >, l inéquation > st équivalnt, par multiplication par > > > > > Ainsi S ] ; + [, à l inéquation

7 Cours t rcics d mathématiqus Ercic n 7, En, la population d la région s élèv à f millions d habitants,t,t La population aura plus qu triplé pour ls valurs d t tlls qu,t,t la fonction logarithm népérin, on obtint ln( ln ( M CUAZ, f t 6 6 Par bijctivité d ln ln(,t ln( t, Puisqu,97 à, près, on put affirmr qu la population aura plus qu triplé pour t, soit à partir d, l anné +,t, La nourritur sra suffisant tant qu f ( t t Par bijctivité d la fonction logarithm ln,, ln t t népérin, on obtint ln ln,t ln t, Puisqu, à, près, on, put affirmr qu la nourritur sra suffisant tant qu t, soit jusqu n + Ercic n 8 lim + t lim, donc par somm, lim ( lim + t lim 4 (car lim, donc par somm, lim t lim +, donc par soustraction, + + lim ( + 4 lim + Ercic n 9 Puisqu lim u ( lim où on a posé u, on déduit qu lim f 4 donc la droit d équation y 4 + u st asymptot horizontal à C f n + D plus lim + + lim + donc par somm ( f( + Puisqu lim, on déduit, par somm t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y st asymptot horizontal à Puisqu lim + C f n +, on déduit, par somm t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y (l a ds abscisss st asymptot horizontal à C f n + Puisqu lim + t lim +, alors par produit lim + Puisqu lim +, alors par somm, + lim f + + Puisqu lim (limit du cours t lim, alors par somm, lim f Mais comm lim f lim, on n déduit qu la droit d équation y st asymptot obliqu à C f n lim 4 Puisqu, on déduit, par différnc t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y st asymptot horizontal à Puisqu lim + C f n + +, on déduit, par différnc t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y (l a ds abscisss st asymptot horizontal à C f n + + Enfin, puisqu lim (car < < <, on déduit qu < + lim (car > > >, on déduit qu lim + > ordonnés st donc asymptot vrtical à C f > lim Et puisqu < La droit d équation (l a ds Pag 7/4

8 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n Puisqu lim, on déduit, par somm t quotint, qu lim f, On transform l prssion : Pour tout rél, Puisqu lim u ( lim où on a posé u, on déduit, par somm t quotint qu lim f u + La courb admt donc du asymptots horizontals : La droit d équation y n t la droit d équation y n + Ercic n La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu somm d fonctions qui l sont, t pour tout, f La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu produit d fonctions qui l sont Puisqu pour tout, f u v avc u u v v, on aura u v f u v avc t La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu produit d fonctions qui l sont Puisqu pour tout, f u v u + u t v v, on aura u f u v + v La fonction f st défini t dérivabl sur ] ;[ ] ; + [ n tant qu quotint d fonctions qui l sont, l dénominatur n s annulant pas sur ] ;[ ] ;+ [ Puisqu pour tout ] ;[ ] ; +, [ aura v u v ( v f u f u avc u( u t v v v ( La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé d fonctions qui l sont En fft, pour tout, u f où u u, donc u f u, on 6 La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé t somms d fonctions qui l sont Pour tout, u f u u f u c st-à-dir pour tout, 6 f où u( donc 7 La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé d fonctions qui l sont En fft, pour tout, f u où u + u, donc 8 La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé d fonctions qui l sont En fft, pour tout, u f u + f u où u + u, donc u f u + Pag 8/4

9 Cours t rcics d mathématiqus 9 La fonction f st défini t dérivabl sur ] ; + [ n tant qu composé d fonctions qui l sont M CUAZ, En fft, f u où u( n st dérivabl qu sur ] ; + [, avc u pour tout ] ; [ u f u + Ainsi La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu produit t composé d fonctions qui l sont Pour tout, f u v u u t v v w avc w w Ainsi ( f u v + u v + Puisqu pour tout, + > t qu la fonction ln sra défini t dérivabl sur Pour tout, ln( + u f u st défini t dérivabl sur ] [ f u avc u( u ; +, la fonction f +, donc Puisqu pour tout, + >, la fonction f sra défini t dérivabl sur n tant qu quotint d fonctions u qu l sont, l dénominatur n s annulant Pour tout, f avc v ( u u + ( + ( + ( ( ( ( + ( ( t v v ( + +, donc ( + ( ( f ( ( + Ercic n D un part lim +, d autr part lim + donc par composition lim + (car lim u + Par produit, on n déduit donc qu lim f + Pour tout rél, on écrit f Puisqu lim + (limit du cours bin connu, dit + «d croissanc comparé», on n déduit lim, donc par suit, lim f + On n déduit qu la droit + d équation y (c st-à-dir l a ds abscisss st asymptot horizontal à la courb C n + f st dérivabl sur n tant qu produit d du fonctions qui l sont, t puisqu pour tout, f u v où u t v v, on calcul : Pour tout, u( ( + + ( ( f u v u v Puisqu pour tout, >, f aura l mêm sign qu (, prssion du scond dgré factorisé, dont ls racins sont t D après la règl ds signs d un trinôm du scond dgré, ( < si t sulmnt si ] ;[ ] ;+ [ («à l tériur ds racins» t ( > si t sulmnt si ] ; [ La fonction f st donc strictmnt décroissant sur ] ;], strictmnt croissant sur sur [ ;], t strictmnt décroissant sur [ ; + [ u + Pag 9/4

10 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, 4 f On calcul f t d drssr l tablau d variations d f, c qui prmt puis d tracr la courb C Ercic n La fonction ponntill étant défini sur, il n sra d mêm pour ls fonctions f t g D plus, pour tout, D plus, pour tout, f f + + donc f st pair g g donc g st impair Puisqu lim + t lim u lim (où on a posé lim g + Puisqu lim g u u lim t lim lim + (où on a posé u u + u, on n déduit qu lim f +, on n déduit qu lim f La fonction ponntill étant dérivabl sur, il n sra d mêm pour ls fonctions f t g f g g + f Pour tout + ( t Puisqu pour tout, > t, on n conclut qu > f ( >, c st-à-dir g croissant sur Puisqu g st strictmnt croissant sur t puisqu + t + t >, donc g st strictmnt g ] ;[ g( <, c st-à-dir f <, t pour tout ] ; + [, g( >, c st-à-dir f ] ;] t strictmnt croissant sur [ ;+ [ tout, f st donc strictmnt décroissant sur On résum dans du tablau d variations :, on n déduit qu pour > La focntion 4 Pour tout rél a, a a a a f ( a g( a ( + ( a a a a a a a a ( ( ( ( a a a a Pour tous réls a t b, f a g b + g a f b a a b b a a b b ( ( ( ( a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a+ b ( a+ b ( ( b g a+ Pag /4

11 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n 4 Pour tout rél, ( ( ( 8 + ( + ( ( On not Pour tout rél, P + 8, t on calcul son 6 discriminant : 4 ( L polynôm admt du racins rélls distincts 4 t + 6, donc P ( ( + 4, t par suit ( ( ( + 4 lim + t lim + donc lim + t lim + Comm lim, lim 4 4, t par quotint lim f En simplifiant par, l équation dvint équivalnt à En posant, l équation dvint équivalnt à + + 8, c st-à-dir, grâc à la factorisation d la qustion, à ( ( ( + 4 D après la règl du produit nul, ctt prssion admt trois solutions, ( 4 ( t 4, soit, n rvnant à la variabl,, ln t 4 4 impossibl dans L équation S ;ln f admt donc pour nsmbl d solutions { } L équation d la tangnt à Cf au point d'absciss a pour form y f ( + f ( L calcul d la dérivé : f f ( ( ( 4 ( ( ( f f nous fournit f ( 4 ( la tangnt à Cf au point d'absciss st y +, t puisqu f 4 4 +, l équation d Ercic n f f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs 4 sur, t pour tout F 4 f f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs u u sur, t puisqu pour tout, f u ou u( u, F f + f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs sur, t puisqu pour tout, F + u f u ou u + u u +, Pag /4

12 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, 4 f f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs u sur, t puisqu pour tout, f u ou u( u, u F f f st défini t continu sur n tant qu quotint d fonctions qui l sont, l dénominatur n + s annulant pas (car + > donc donc admt ds primitivs sur, t puisqu pour tout, u f ou u u, F ln ( u ln( + ln( + car + > u Ercic n 6 La fonction F, défini sur, par F ( a+ b st dérivabl sur n tant qu produit d fonction qui l sont, t pour tout, F a + ( a + b ( a + a + b F sra un primitiv d f si t sulmnt si pour tout, F f Un primitiv d f sur Ercic n 7 Pour tout, st donc F ( + ( a a + b f f st défini t continu sur n tant qu quotint d fonctions qui l sont, l dénominatur n s annulant pas (car u + > donc donc admt ds primitivs sur, t n utilisant l écritur f ou + u, on obtint u + ( Ercic n 8 F ln u + k ln + + k ln + + k car + > sur d u u d u d 7 4 u u d u d t t t t dt + t d F( F( où F st un primitiv d d + + ( u 6 u u f u, donc u F + Ainsi + d d ln ( u ln ( + ln ( + ln ( + ln ln + Pag /4

13 Cours t rcics d mathématiqus ln 7 ( ln ln ln ln ( ( u d u u d ln ln ( 49 8 ( ln ( u d d u u d ( ( ( + + M CUAZ, Ercic n Puisqu pour tout,, on utilis ctt drnièr écritur pour calculr l intégral I d + En fft [,] u I d d ln( u ln( + ln( + + u car pour tout, On conclut donc qu Ercic n + > où u I d u v d I ln + ln + ln + + ln ln + u t v v sont continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, I u v u v d d ( où u ( + I d u v d u + t v v sont continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, I u v u v d ( + d + où u u ( + I d u v d continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, t v v sont I u v u v d + d Ercic n sin I d u v d où dérivabls D après la formul d intégration par partis, u u t sin v v cos sont continûmnt cos I u v u v d cos d + + cos d Pag /4

14 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, On calcul J cos d n ffctuant un duièm intégration par partis : J cos d u v d où u u dérivabls D après la formul d intégration par partis, [ ] t cos J u v u v d sin sin d I v v sin sont continûmnt On aboutit donc à l équation I + I c st-à-dir I + t on conclut ainsi qu I cos I d u v d où continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, + u u t cos I u v u v d sin sin d sin d On calcul J sind n ffctuant un duièm intégration par partis : J sind u v d où u 4 continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, v v sin sont v v cos sont u t sin cos 4 ( cos 4 cos 4 + On aboutit donc à l équation I 4I c st-à-dir I t on conclut ainsi qu I ( + J u v u v d d + + d + I Ercic n La fonction N st solution d l équation différntill N ( t an( t avc a -,8,8 t D après l cours, ll st donc d la form Nt ( C où C st un constant réll Si on not N( t N N N(, alors, 8t Au bout d ans l nombr d atoms d 4 C rstant vaut,8 N N( C N C N c qui prmt d conclur qu N( N N,8,476,476 N N,476 La variations n pourcntags du nombr d atoms vaut donc ( 9, 6% N La matièr organiqu aura donc prdu nviron 9,6 % d atoms Il faut trouvr la valur d t pour laqull Nt ( N,8 t,8 t ln (, On résout donc N N,,8t ln (, t 99,8 annés La périod (ou dmi-vi du carbon 4 C vaut donc 99 ans 4 Puisqu l fragmnt a prdu % d sa matièr originll, il lui n rst 7 %, t il faut donc trouvr la valur d t pour laqull Nt (,7N,8 t,8 t ln (,7 On résout donc N,7N,7,8t ln (,7 t 8,8 L fragmnt a donc un âg d nviron 8 ans Pag 4/4

EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONCTIONS. e 1

EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONCTIONS. e 1 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS Pour chacun ds fonctions ci-dssous, détrminr : - l nsmbl d définition I d la fonction ; - ls limits d la fonction au borns d I ; - la dérivé t l sign d la dérivé ; -

Plus en détail

EXERCICES SUR LES LOGARITHMES ET LES EXPONENTIELLES. 1 ln 1+ = 1. x x. x x. et sh x = e

EXERCICES SUR LES LOGARITHMES ET LES EXPONENTIELLES. 1 ln 1+ = 1. x x. x x. et sh x = e Ercic EXERCICES SUR LES LOGARITHMES ET LES EXPONENTIELLES. Démontrr qu : lim + ln + =. En déduir la limit suivant : lim + + [On pourra, par mpl, posr X = ] Ercic On considèr du fonctions, notés ch t sh,

Plus en détail

Boubacar MANÉ. Série d exercices de Mathématiques : L Oasis Des Mathématiques. Étude de fonctions à variable réelle dansr : Énoncé des exercices

Boubacar MANÉ. Série d exercices de Mathématiques : L Oasis Des Mathématiques. Étude de fonctions à variable réelle dansr : Énoncé des exercices Séri d rcics d Mathématiqus : Étud d fonctions à variabl réll dansr : Énoncé ds rcics Ercic Soit la fonction numériqu f défini par : f )= 3+ 5 +. a) Détrminr l nsmbl d définition D f t ls its au borns.

Plus en détail

Fonctions Numériques, fonctions usuelles.

Fonctions Numériques, fonctions usuelles. Fonctions Numériqus, fonctions usulls.. Fonction constant : Soit b un rél fié. Définition : La fonction constant st la fonction qui à tout rél associ l rél b. la fonction constant st donc la fonction f

Plus en détail

PRIMITIVES EXERCICES CORRIGES

PRIMITIVES EXERCICES CORRIGES Cours t rcics d mathématiqus Ercic n. Dérivé t primitivs ) Calculz la dérivé d la fonction f défini par PRIMITIVES EXERCICES CORRIGES f 9+. ) Déduisz-n du primitivs d la fonction g défini par g ) Détrminr

Plus en détail

Correction du bac blanc de mathématiques

Correction du bac blanc de mathématiques Corrction du bac blanc d mathématiqus Exrcic (commun à tous ls candidats, point) Rstitution organisé d connaissancs :. Démontrr par récurrnc l inégalité d Brnoulli : pour tout x >, pour n N, (+x) n +nx.

Plus en détail

TES- Correction BAC Blanc Février Mathématiques

TES- Correction BAC Blanc Février Mathématiques TES- Corrction BAC Blanc Févrir 0 - Mathématiqus EXERCICE 5 points Commun à tous ls candidats Un ntrpris pint ds jouts. Pour cla, ll utilis dux machins M t M. La machin M pint un quart d la production.

Plus en détail

2.4 Logarithme Népérien et fonction exponentielle

2.4 Logarithme Népérien et fonction exponentielle 6 2.4 Logarithm Népérin t fonction ponntill Définition 20 (Logarithm Népérin). On appll Logarithm Népérin, noté ln, l uniqu fonction défini sur R + = ]0, + [ qui vaut 0 n = t dont la dérivé sur ]0, + [

Plus en détail

Correction du devoir de vacances Les suites dans plusieurs situations

Correction du devoir de vacances Les suites dans plusieurs situations L.E.G.T.A. L Chsnoy TB2 21-211 D. Blottièr Mathématiqus Corrction du dvoir d vacancs Ls suits dans plusiurs situations Exrcic 1 : Un pas vrs ls fractals On considèr un carré F 1 d côté d longuur 1. Au

Plus en détail

Au rayon «image et son» d'un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine.

Au rayon «image et son» d'un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine. EXERCICE 5 points Commun tous ls candidats Au rayon «imag t son» d'un grand magasin, un télévisur t un lctur d DVD sont n promotion pndant un smain. Un prsonn s présnt : T st l'évènmnt : «la prsonn achèt

Plus en détail

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I L sujt comport 8 pags numérotés d 2 à 9 Il faut choisir t réalisr sulmnt trois ds quatr xrcics proposés Parti A EXERCICE I Donnr ls réponss à ct xrcic dans l cadr prévu à la pag 3 On considèr la fonction

Plus en détail

Terminale ES DS n 4 Vendredi 14 décembre 2012

Terminale ES DS n 4 Vendredi 14 décembre 2012 Trminal ES DS n Vndrdi décmbr Ercic. Sur points Ls qustions sont indépndants.. Résoudr ls équation t inéquation suivants. a) b). Etudir l sign d a) b). Pour chacun ds fonctions suivants, calculr sa fonction

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015 Corrigé Baccalauréat S Antills-Guyan juin 05 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous ls candidats 6 POINTS. On put calculr par xmpl ls ordonnés ds points d absciss d cs différnts courbs : f ()=ln =0< g 0,05

Plus en détail

air p (t) T ext = 2 C V = m 3 h = 10 m l = 30 m

air p (t) T ext = 2 C V = m 3 h = 10 m l = 30 m Problèm : Stockag intr saisonnir d chalur. (Thèm : équation différntill du 1 r ordr, résolution xact t avc GoGbra) L résau d chalur d la vill d Marstal au Danmark utilis 33 000 m² d capturs solairs thrmiqus

Plus en détail

Baccalauréat S (obligatoire) Antilles-Guyane septembre 2010

Baccalauréat S (obligatoire) Antilles-Guyane septembre 2010 Baccalauréat S obligatoir) Antills-Guyan sptmbr 00 EXERCICE Commun à tous ls candidats 7 points PARIE A - Rstitution organisé ds connaissancs Soit > 0. Considérons la fonction [ p) ] =. En dérivant cs

Plus en détail

Mathématiques Bac Blanc TES du jeudi 28 mars 2013

Mathématiques Bac Blanc TES du jeudi 28 mars 2013 Mathématiqus Bac Blanc TES du judi 8 mars 03 (3 hurs) Ls calculatrics sont autorisés (mais aucun formulair prsonnl). La qualité d la rédaction, la clarté d la copi t la précision ds raisonnmnts ntrront

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1. n N, α n N.

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1. n N, α n N. SESSION 7 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE PSI MATHEMATIQUES I Ls suits α t β I. Etud d la suit α I.. α =, α = α =, α = α + =, α 3 = 3α = t α 4 = 4α 3 + = 9. α =, α =, α = α 3 =

Plus en détail

Corrigé de CCP PC 2008 Mathématiques 2

Corrigé de CCP PC 2008 Mathématiques 2 Corrigé d CCP PC 8 Mathématiqus PARTIE I (E s ) st un équation di érntill linéair d ordr dux, à co cints continus sur l intrvall ] [ l co cint d y" n ayant. qas d racin. D arès l théorèm d Cauchy Lischitz,

Plus en détail

Baccalauréat S Polynésie juin 2012

Baccalauréat S Polynésie juin 2012 Baccalauréat S Polynési juin 1 EXERCICE 1 L plan st rapporté à un rpèr orthonormal On considèr ls points B 1 ; 1 t C 5 ; O ; i ; j. 5 t la droit D d équation y = x. On not f la fonction défini sur R dont

Plus en détail

MTS1 A 2014 Etude de fonctions Aleth Chevalley

MTS1 A 2014 Etude de fonctions Aleth Chevalley MTS A Etud d fonctions Alth Chvally. appls.. Plan d étud d un fonction f : E E f ( ) = y... Ensmbl d définition L nsmbl d définition ou domain d définition d un fonction corrspond à l nsmbl ds valurs d

Plus en détail

Terminale ES Exercices sur les fonctions exponentielles Fiche 1 - Corrigés

Terminale ES Exercices sur les fonctions exponentielles Fiche 1 - Corrigés Trminal ES Exrcics sur ls fonctions xponntills Fich - Corrigés Exrcic : x+ x+ x = x+ ( x+)+ x = x+ x +x = x+ Exrcic : ) Résolvons l'inéuation x+ < x+. On sait u >, donc la fonction xponntill d bas st strictmnt

Plus en détail

Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011

Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011 Corrction du baccalauréat S (obligatoir Polynési 0 juin 0 Exrcic Commun à tous ls candidats points Méthod : L dssin suggèr d considérr la rotation d cntr A t d angl π Son écritur complx st : z z A = i

Plus en détail

Proposition 1. La probabilité de A est égale à 3 7. Proposition 3 P(B) = 7. Proposition 5. Si P(X = 1) = 8 P(X = 0) alors p = 2 3.

Proposition 1. La probabilité de A est égale à 3 7. Proposition 3 P(B) = 7. Proposition 5. Si P(X = 1) = 8 P(X = 0) alors p = 2 3. Polynési sptmbr 009 EXERCICE points Commun à tous ls candidats On considèr l cub OABCDEFG d'arêt d longuur rprésnté ci-dssous. Il n'st pas dmandé d rndr l graphiqu complété avc la copi. Soint ls points

Plus en détail

LOI EXPONENTIELLE EXERCICES. La durée T, en minutes, d une conversation téléphonique suit une loi exponentielle de moyenne 4 minutes.

LOI EXPONENTIELLE EXERCICES. La durée T, en minutes, d une conversation téléphonique suit une loi exponentielle de moyenne 4 minutes. EXERIES 3 La duré T, n minuts, d un convrsation téléphoniqu suit un loi xponntill d moynn 4 minuts. ) alculr P(T>5) ) alculr P( < T < 8). Pour un variabl T, xprimé n minuts, qui rprésnt un duré d vi t

Plus en détail

2 cos x =. 0 ;2π l équation sin x =. Corrigés des exercices de trigonométrie

2 cos x =. 0 ;2π l équation sin x =. Corrigés des exercices de trigonométrie Corrigés des eercices de trigonométrie I. Résoudre algébriquement des équations, des inéquations Pour les eercices suivants, on utilisera le cercle trigonométrique Eercice 1 Résoudre dans l intervalle

Plus en détail

Chapitre 7 La fonction exponentielle

Chapitre 7 La fonction exponentielle Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 7 - L fonction ponntill Chpitr 7 L fonction ponntill A) Définition ) Rppl t définition L fonction logrithm népérin ln() st un fonction strictmnt croissnt, défini sur

Plus en détail

Exercices supplémentaires Second degré

Exercices supplémentaires Second degré Exercices supplémentaires Second degré Partie A : Forme canonique, équations, inéquations, factorisation Mettre sous forme canonique les trinômes suivants 8 ; 3 1 ; 5 ; 3 4 Exercice On considère : 5 6

Plus en détail

Fonction logarithme exercices corrigés

Fonction logarithme exercices corrigés Trminal S Fonctions Logarithms Vrai-Fau Fonction ln, EPF 6 Equation, Franc 4 4 Dérivés t ln 4 5 Primitivs t ln 6 Calcul d limits 5 6 7 Résolution (in)équations 7 8 Avc ROC 8 9 Dérivation t ncadrmnt 9 Fonction+équation,

Plus en détail

Polynésie 2012 BAC S Correction

Polynésie 2012 BAC S Correction Polynési 1 BAC S Corrction 1 / 6 Exrcic 1 1. a. L point B appartint à la courb Γ donc f() c'st-à-dir a + b Par conséqunt a + b 1 t donc a + b L point C appartint à la courb Γ donc f(5) 5 c st-à-dir 5 +

Plus en détail

VIII- Logarithmes, exponentielles, puissances

VIII- Logarithmes, exponentielles, puissances VIII- Logarithms, ponntills, puissancs A l origin, ls logarithms ont été conçus pour rmplacr ls multiplications par ds additions, d façon à facilitr ls calculs. On doit à J. Npr, dans ls annés 1600, la

Plus en détail

TD d électrocinétique n o 4 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

TD d électrocinétique n o 4 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé ycé François Arago Prpignan M.P.S.I. 2012-2013 TD d élctrocinétiqu n o 4 ircuits linéairs n régim sinusoïdal forcé Exrcic 1 - Détrmination ds modèls d Thévnin t d Norton. A Détrminr l modèl d Thévnin t

Plus en détail

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ; 16 )

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ; 16 ) EXERCCES PRMTVES ET CALCUL NTÉGRAL Sit MathsTCE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako EXERCCE : Trouvr u primitiv d chacu ds foctios f défiis par ) f () 6 ; ) f () ) f () 9 ; ) f () 7 ) f () ( )( ) ; 6 ) f

Plus en détail

IMPÉDANCES D ENTRÉE ET DE SORTIE

IMPÉDANCES D ENTRÉE ET DE SORTIE MPÉDNCE D ENTÉE ET DE OTE. DÉFNTON On s plac n régim sinusoïdal forcé. oit Q un quadripôl. Nous allons modélisr c quadripôl n utilisant ls impédancs d ntré t d sorti. quadripôl Q V V. Point d vu du génératur

Plus en détail

Physique Générale IV, solution série 3

Physique Générale IV, solution série 3 Phsiqu Général IV, solution séri 3 Ercic Du virations d mêm fréqunc, slon du as t prpndiculairs, avc un différnc d phas / : (t) = a sin (ωt) M(t) (t) = sin (ωt + /) = cos (ωt) où a t sont ls amplituds

Plus en détail

f n (x) = x n e x. T k

f n (x) = x n e x. T k EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr

Plus en détail

BTS - groupement B - novembre 2008 - Nouvelle Calédonie

BTS - groupement B - novembre 2008 - Nouvelle Calédonie BTS - groupmnt B - novmbr 8 - Nouvll Calédoni Ercic Ls partis A, B t C sont indépndants. points Un ntrpris produit n grand séri ds véhiculs élctriqus équipés d battris au nicklcadmium. On s propos d étudir

Plus en détail

c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.

c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite. Trminal S - ACP Révisions Nombrs complxs (Asi 013) Dans ls qustions 1. t., l plan st rapporté au rpèr orthonormal dirct ; ;. On considèr ls points A, B, C, D t E d affixs rspctivs : =+ = 3+ =1+ 3 = 1+

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE de BASE e : f(x) = e x

FONCTION EXPONENTIELLE de BASE e : f(x) = e x FONCTION EXPONENTIELLE de BASE e : f() = e I) DEFINITION. a) Définition 1 et notations : ( de la fonction eponentielle ) Quel que soit le nombre réel, l équation ln y = où y est inconnu admet une solution

Plus en détail

Fonctions d une variable réelle

Fonctions d une variable réelle Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier.......................................... Fonctions affines............................................

Plus en détail

La fonction exponentielle de base a Corrigés d exercices

La fonction exponentielle de base a Corrigés d exercices La onction eponentielle de base a Corrigés d eercices Les eercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 7 : N 48, 49, 4, 6 Page 6 : N 7, 9 Page 6 : N 4 Page 64 : N Page 6 : N 7 N

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013

Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 Baccalauréat S Métropol 0 juin 0 EXERCICE Commun à tous ls candidats 4 points Puisqu l choix d l arbr s fait au hasard dans l stock d la jardinri, on assimil ls proportions donnés à ds probabilités.. a.

Plus en détail

Calculs d aires, encadrements

Calculs d aires, encadrements Clculs d irs, ncdrmnts pg d 5 Clculs d irs, ncdrmnts I Clculs d irs. Soit f( = t g( =. On not A l ir d l région R du pln compris ntr l courb d f t l ds bscisss sur [; ]. Clculr g( d n fonction d A. On

Plus en détail

.., signal (X(t),t R), ex: sinusoïde. .., tout signal est une somme de sinusoïdes. .., filtre passe-bas idéal et filtre à moyenne mobile

.., signal (X(t),t R), ex: sinusoïde. .., tout signal est une somme de sinusoïdes. .., filtre passe-bas idéal et filtre à moyenne mobile Information, Calcul t Communication Lçon 2.2: Echantillonnag d signaux (2èm parti) Information, Calcul t Communication O. Lévêqu Faculté Informatiqu t Communications Modul 2 : Information t Communication

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Eo7 Etude de fonctions Eercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

CI 3 CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES

CI 3 CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES CI 3 CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES CHAPITRE 4 ÉTUDE DES CHAÎNES FERMÉES : DÉTERMINATION DES LOIS ENTRÉE SORTIE Trainr Solo Sport [1] Modèl CAO d un motur d modélism [2] Modélisation

Plus en détail

Fonction exponentielle 1

Fonction exponentielle 1 Fonction eponentielle 1 Unicité de la solution de l équation différentielle Conséquences 1. Si f est une solution de l équation différentielle y = y, y(0) = 1, alors, pour tout réel, f( )f() = 1 et f()

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand

Plus en détail

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque DÉRIVÉE I Nombre dérivé - Tangente Eemple Considérons la fonction carré f() = 2, et effectuons avec une calculatrice un zoom de sa représentation graphique au voisinage de son point 0 d'abscisse 0 = 2

Plus en détail

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire.

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire. 1 Recherche de l'ensemble de définition Plan d'étude d'une fonction. Fonctions rationnelles. f x existe si le dénominateur n'est pas nul. 2n Fonctions avec radical du type. f x existe si la quantité sous

Plus en détail

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes Comment faire pour Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes86 Repérage 88 Dérivation90 Comportements asmptotiques et étude de fonctions9 5 Calcul vectoriel et barcentre 96 6 Produit scalaire

Plus en détail

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h)

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h) Amerinsa - Ecole d été Dérivation : Eercices Eercice : Nombre dérivé de fonctions de base Soit 0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir 0 pour que la

Plus en détail

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août 2014 1 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le

Plus en détail

Cours et exercices de mathématiques EQUATIONS EXERCICES CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques EQUATIONS EXERCICES CORRIGES Cours et eercices de mathématiques EQUATIONS EXERCICES CORRIGES Une équation est une égalité mathématique utilisant des termes connus, et d autres inconnus, désignés par des lettres (en général ou y).

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Eo7 Fonctions usuelles Eercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Eercice **I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

Plus en détail

Terminale S Exercices limites et continuité Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x) = x.

Terminale S Exercices limites et continuité Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x) = x. Terminale S Eercices limites et continuité 0-0 Eercice : limite finie en l'infini Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f() = +. ) Soit r un réel strictement positif et I = ] r; + r[. Montrer que, si

Plus en détail

Traitement du Signal - Travaux Dirigés - Sujet n 3 : "Echantillonnage, Transformée de Fourier d un signal échantillonné"

Traitement du Signal - Travaux Dirigés - Sujet n 3 : Echantillonnage, Transformée de Fourier d un signal échantillonné raitmnt du Signal - ravaux Dirigés - Sujt n 3 : "Echantillonnag, ransormé d Fourir d un signal échantillonné" Exrcic : Sur-échantillonnag L objcti d ct xrcic st d mttr n évidnc l intérêt qu il put y avoir

Plus en détail

ANALYSE MATHEMATIQUE DU DOMAINE OSCILLANT DE LA REACTION BRAY-LIEBHAFSKY

ANALYSE MATHEMATIQUE DU DOMAINE OSCILLANT DE LA REACTION BRAY-LIEBHAFSKY ANALYSE MATHEMATIQUE DU DOMAINE OSCILLANT DE LA REACTION BRAY-LIEBHAFSKY Rodica Vilcu *, A. Dobrscu abstract: Ctt publication st consacré à l établissmnt d un modèl adéquat du domain oscillant d la réaction

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable

Plus en détail

Correction Baccalauréat S - Obligatoire Métropole - Jeudi 20 Juin 2013

Correction Baccalauréat S - Obligatoire Métropole - Jeudi 20 Juin 2013 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 Corrction Baccalauréat S - Obligatoir Métropol - Judi 0 Juin 0 www.math9.com Pour ls candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité maths Ercic. 4

Plus en détail

fonction exponentielle de base q

fonction exponentielle de base q fonction eponentielle de base q Table des matières 1 fonction eponentielle de base q : q avec q > 0 2 1.1 activités.................................................. 2 1.2 à retenir..................................................

Plus en détail

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx.

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx. EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le résultat suivant : Démontrer que lim x + xe x =. e x lim x + x = +. Partie B. Restitution

Plus en détail

Daniel Abécassis. Année universitaire 2010/2011

Daniel Abécassis. Année universitaire 2010/2011 Danil bécassis. nné univrsitair 00/0 COURS L UE Chimi Physiqu. Chapitr VII : Chimi analytiqu. Calcul du ph VII.. Transormations associés à ds réactions acido-basiqus. Dans c paragraph, nous allons étudir

Plus en détail

Chapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction.

Chapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. hapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. I Introduction : le cas de la fonction eponentielle A Approimation affine de ep au voisinage de 0 n notera f la fonction eponentielle f :

Plus en détail

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ A. Limites d'une fonction I. Limite en et en. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ où a R. DÉFINITIONS Soit l un réel.

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

DÉRIVÉES FONCTIONS CONVEXES

DÉRIVÉES FONCTIONS CONVEXES DÉRIVÉES FONCTIONS CONVEXES I Dérivées - Rappels Définition ( voir animation ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit a I et soit h non nul tel que a + h I. On appelle tau d'accroissement

Plus en détail

Cours informel sur la fonction réciproque.

Cours informel sur la fonction réciproque. Cours informel sur la fonction réciproque. Ce cours aborde de nombreuses parties du programme de terminale scientifique. Les parties qui n'appartiennent pas au programme seront signalées par le sigle hp,

Plus en détail

EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES

EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES EXERCICE 1 : Domaine de définition Déterminer le domaine de définition des fonctions eponentielles suivantes : a) f() = e - b) f() = e - c) f() = e (1/) c) f() = ep( 1

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

Exercice 1 :(15 points)

Exercice 1 :(15 points) TE/pé TL Elémnts d corrction du D. n 2 du Vndrdi 2 0ctobr 2012 sans documnt, avc calculatric 1h1min Ercic 1 :(1 points) À l occasion d un fstival culturl, un agnc d voyags propos trois typs d transport

Plus en détail

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide de la ère S à la TS. I Exercices Dérivabilité Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point demandé. f(x) = x 2 en x = 3 (Revenir à la définition du nombre dérivé) 2. f(x) = x en x =. 3. f(x)

Plus en détail

La fonction logarithme népérien, f(x) = ln(x).

La fonction logarithme népérien, f(x) = ln(x). La fonction logarithme népérien, f() = ln() L étude des fonctions est une notion fondamentale du programme de Terminale STG A l heure actuelle, les fonctions rencontrées sont celles connues depuis la seconde

Plus en détail

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0 DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

Exercices : Étude de fonctions

Exercices : Étude de fonctions Eercices : Étude de fonctions Eercice : Calculer les limites suivantes : (. lim 3 2 +(ln) 3 ) 0 + 2. lim 3. lim ln(e +) ln 3 2 + 4. lim 5. lim 6. lim 7. lim e 2 3 2 e 3+ (ln) (e 4 3 ) + e2 ln+ ln+e 8.

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS CHAPITRE 9 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dans ce chapitre, I désignera systématiquement un intervalle de R non réduit à un point. 1 Développement limité d une fonction au voisinage d un point Définition 9.1 Soient

Plus en détail

Fonction logarithme népérien.

Fonction logarithme népérien. 1. Généralités... p2 2. Propriété fondamentale de ln... p5 3. Étude et représentation graphique de la fonction logarithme népérien... p10 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Généralités

Plus en détail

LES ERREURS DE MESURE

LES ERREURS DE MESURE Chapitr 2 LES ERREURS DE MESURE OBJECTIFS Général Fair acquérir à l apprnant ls notions d rrur t d incrtitud. Spécifiqus Connaîtr ls différnts typs d rrurs t d incrtituds, ainsi qu lurs méthods d calcul.

Plus en détail

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES Exercice n. x si x Soit f la fonction numérique définie par : f( x) = 5 x si x > f est-elle continue sur son ensemble de définition? x pour x Mêmes questions avec : f (

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation Ce que dit le programme : Nouveautés par rapport à la première : Dérivée de la composée et écriture différentielle (pour la physique)

Plus en détail

CORRECTION DU DEVOIR DU 21/11/2016. Partie I. 1 cos (2t) 2

CORRECTION DU DEVOIR DU 21/11/2016. Partie I. 1 cos (2t) 2 Lycée Thiers CORRECTION DU DEVOIR DU //06 Partie I Rappelons d une part que : et d autre part que : t R, sin (t cos (t ( t [, ], cos (arcsin (t t ( La formule de linéarisation ( est bien connue. La formule

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

Fonctions usuelles réelles

Fonctions usuelles réelles Fonctions usuelles réelles fonctions polynômes et rationnelles 0. les fonctions polynômes Les polynômes seront étudiés en le détail au chapitre 7. définition 4. : n dit que p est une fonction polynôme

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Introduction La fonction eponentielle est continue strictement croissante de R à valeurs dans ]0; + [. Le théorème des valeurs intermédiaires permet donc d affirmer que : Pour

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE 1 sur 8 http://www.ilemaths.net/maths_t-sujet-bac-05-sti-electro-optique-co... BAC TECHNOLOGIQUE 2005 - SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE ÉLECTRONIQUE - GÉNIE ÉLECTROTECHNIQUE - GÉNIE OPTIQUE

Plus en détail

Exemples de questions de sujets d'oraux possibles. Session 2013.

Exemples de questions de sujets d'oraux possibles. Session 2013. Exmpls d qustions d sujts d'oraux possibls. Sssion 0. Complxs. Donnr la ou ls réponss justs. Soit A, B dux points d'affixs rspctivs : a= 5 i 5 t b = i 6 a. Soit n N;. Un argumnt d a n st n b. O appartint

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01 (voir réponses et correction) Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01 (voir réponses et correction) Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ On appelle fonction polynôme, toute fonction f définie sur IR pour laquelle, il existe un entier naturel n et des réels a 0 ; a ; a 2 ;... ; a n avec a n 0 tels que : f(x) = a 0

Plus en détail

f : I R 2x + x2 x 1 x 2 w : R R x x h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)).

f : I R 2x + x2 x 1 x 2 w : R R x x h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)). 1S1: doc 5 Dérivation 2015-2016 I Pour bien commencer I.1 Limite en 0 d une fonction Soit I un intervalle contenant 0, I = I\ {0} et f : I R D é f i n i t i o n : On dit que f admet une limite finie L

Plus en détail

L INDICE DE RÉFRACTION PAR ÉLEVATION APPARENTE; LA MÉTHODE DE CHAULNES

L INDICE DE RÉFRACTION PAR ÉLEVATION APPARENTE; LA MÉTHODE DE CHAULNES L INDICE DE RÉFRACTION PAR ÉLEVATION APPARENTE; LA MÉTHODE DE CHAULNES ) L but du travail Détrminr l indic d réfraction du vrr, du plastiqu t ds différnts liquids par élévation ) Rappls théoriqus : L indic

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES RÉSEAUX LINÉAIRES EN COURANT CONTINU

MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES RÉSEAUX LINÉAIRES EN COURANT CONTINU MÉTHODES DE ÉSOLUTION DES ÉSEUX LINÉIES EN OUNT ONTINU I. DEUX FÇONS DE POSE LE POLÈME On considèr l circuit suivant. Nous chrchons à connaîtr l état élctriqu du circuit, c st à dir connaîtr ls potntils

Plus en détail

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie Novembre 2 Nouvelle Calédonie Pondichéry Avril 2 Centres étrangers Juin 2 Amérique du nord juin 2 Inde Pondichéry avril 2ds vos annales p 6) Sujets : Novembre 2 Nouvelle Calédonie PARTIE A On considère

Plus en détail

EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. e = 4 ; 4 ) e x+3 e x 2 = e 3

EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. e = 4 ; 4 ) e x+3 e x 2 = e 3 EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Sit MathsTICE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako Ercic I résoudr das R ls équatios t iéquatios suivats : ) 5+ 3+ 3 ; ) + ; 3 ) 4 ; 4 ) +3 3 5 5 ) ; 6

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail