TD n 1 Convolution et Corrélation Eléments de CORRIGE

Transcription

1 UNIVERSITE DE LA ROCHELLE - IUP GI IUP Mol Acqisiion Traimn Sinal - TD n Convolion Corrélaion Elémns CORRIGE Exrcic : Soi l sinal échlon E U, ampli E. Rprésnr raphiqmn calclr l proi convolion par li- mêm aoconvolion. Pas problèm pariclir. Si <, il n'y a pas rcovrmn. Si >, il y a rcovrmn nr. On obin : * + E por > EU EU por < * Exrcic : On éini la oncion Rc par : /, / si + Rc / sinon. Ainsi, por n rcanl cnré sr «cnr», har n larr onné par «larr», on ilisra la noaion : cnr Rc larr Soi ls oncions éinis par : 3 Rc-/+Rc-/ Rc/ Trovr la convolion *.

2 la convolion * * ; on a l choix éplacr n impor qll oncion par rappor à l ar. Il s pls évin éplacr par rappor à. L proi -. s nl por <-, onc l proi convolion s nl sr c inrvall. Por -<<, l chvachmn s proi ans l inrvall à +. Dans c inrvall, la oncion - la oncion 3, l proi convolion s : Por <<, l chvachmn s proi assi ans l inrvall à +. Dans c inrvall, la oncion -, mais la oncion s éini iérmmn sr x paris l inrvall chvachmn : 3 por << por < <+. onc l proi simpl oi êr évalé assi par inrvall l proi convolion s par conséqnc somm x inérals : Por << l chvachmn s proi ans l inrvall - à +. Dans c inrvall, la oncion -, mais la oncion s éini iérmmn sr x paris l inrvall chvachmn onc l proi simpl oi êr évalé assi par inrvall l proi convolion s par conséqnc somm x inérals : Por <<4, l chvachmn s proi ans l inrvall - à 3. Dans c inrvall, ls oncions valn. L proi convolion s : L proi s nl por >4, onc l proi convolion s nl sr c inrvall. Enin, l proi convolion s : por <- 3+ por -<< 3+ por << 6- por << 4- por <<4 por > où la rprésnaion raphiq la convolion. Exrcic 3 : Soi ls oncions éinis par :

3 aillrs por U < < Donnr ls xprssions analyiqs la convolion ans ls 3 réions éiniion. L proi convolion s nl por la réion < : Qan épass zéro nos vons consiérr la réion <<: La convolion ans c réion s : U La rnièr réion à consiérr s > où nos avons : La convolion s : + U Rmarq : c résla s imméia n rmarqan q l'air rianl B * H/ * /. Exrcic 4 : Soi ls oncions éinis par : / por por > Rc Rprésnr pis onnr ls xprssions analyiqs la convolion ans ls iérns réions éiniion. Prnons l'xponnill por air l éplacmn :

4 Il y a rois réions éiniion por la convolion. Por <, l'xponnill rcovr o l rcanl. L'inéraion covr << où l rcanl va, où - s éal à. Dans c réion éiniion, Por <<, l'xponnill covr parillmn l rcanl : L'inéral sra onc à por c réion : Qan >, il n'y a pas rcovrmn nr -, onc la convolion s nll.

5 Exrcic 5 : Esimaion la ircion n sorc Soi n sorc q l on p consiérr comm éan à l inini. Il s possibl, à l ai x caprs C C c. i. simr la ircion θ c sorc. L θ C CC Fir ir C Soin x x, ls sinax rçs par ls caprs C C. On p consiérr q l sinal rç par l capr C s iniq à cli rç par l capr C mais raré mps mis par l on por parcorir la iérnc raj. Trovr la rlaion qi prm xprimr n oncion, V θ. Avc : : isanc nr ls caprs V : viss l on θ : ircion la sorc L V. cos θ L /

6 où.cosϑ V V son conns. Por érminr θ, il si calclr On sppos q la sorc s n sinal x ayan la orm : x a sin ω + ϕ On pos : x x x x- Solion : Calclr la oncion inrcorrélaion R nr ls sinax x x. x. x + R. x. x +. R a. sin ω + ϕ. asin ω + + ϕ. a sin ω + ϕ. sin ω + ω + ϕ. a R cos ω. cosω + ϕ + ω. car sina.sinb.5. cosa-b cosa+b Comm cos ω + ϕ + ω. a R.cos ω.. a.cos ω On obin onc R cos ω Solion :. Commn la oncion inrcorrélaion nos prm-ll érminr la valr? La oncion inrcorrélaion s sinax s o simplmn la oncion aocorrélaion sinal x écalé. R R x - On p onc simr n calclan l maximm la oncion R Dans nor xmpl :

7 cos ω - prn comm valr maximal lorsq. Lorsq s conn, on p n éir θ n ilisan la orml.cosϑ V