1 Première étape : le cas des processus simples, bornés

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1 Univerité Deni Diderot Pari 7 Martingale onentielle Rappelon le cadre de l exercice, et on objectif. Dan la uite, B t ) t déigne un mouvement brownien relativement à une filtration F t ) t. Par ailleur, H t ) t déigne un proceu progreivement meurable relativement à la filtration F t ) t tel que ] t, H d < +. Pour tout t, nou poon M t H) = H db 1 ) H d. L objectif 1 de l exercice et de déterminer que la condition ) ci-deou et uffiante pour que le proceu M t H)) t oit une F t )-martingale relativement à la filtration F t ) t. Remarque.1. Le réultat rete vrai ou la condition plu fine obtenue par Novikov : 1 H d < +. Rappelon l hypothèe du premier exercice ε > : t. 1 + ε) H d < +. ) 1 Première étape : le ca de proceu imple, borné Dan cette partie on uppoe que H et un proceu imple, borné, i.e. il exite p N, = t < t 1 <... < t p, et, pour i =,..., p 1, une variable aléatoire H i qui et F ti -meurable, tel que p 1 H ω) = H i ω)1 ti,t i+1 )). Pour commencer on fera l hypothèe uivante i= : i p 1, P H i > ) =. 1) 1. On ne uivra pa préciément le quetion de l exercice, on e contente d adopter un cheminement naturel pour obtenir le réultat final que M t H) et une F t )-martingale. Si le lecteur le ouhaite, il lui era enuite facile d utilier ce élément de preuve pour répondre préciément à chaque quetion. 1

2 Par définition, l intégrale tochatique d un tel proceu et licite : p 1 H db = H i B ti+1 t B ti t). i= On a alor H db = H i B ti+1 t B ti t) ) i= = H i B ti+1 t B ti t) ) F tp 1 i= p = H i B ti+1 t B ti t) ) H p 1 B tp t B tp 1 t) ) ] F tp 1, i= où, à la dernière ligne, on a utilié la F tp 1 -meurabilité de variable H i, B ti+1 t B ti t), i p. De plu, comme H tp 1 et F tp 1 -meurable, et B tp t B tp 1 t) et indépendante de F tp 1 on peut utilier l exercice IV.1 de la feuille 1 pour calculer avec H p 1 B tp t B tp 1 t) ) F tp 1 ] = φhtp 1 ), ) φx) := xb tp t B tp 1 t) x = tp t t p 1 t )). Sou l hypothèe 1), il va de oi que φh p 1 ) t p t t p 1 t) et donc ) p H db t p t t p 1 t) H i B ti+1 t B ti t) ). Par un raionnement identique en tout point, on pouruit enuite le calcul en conditionnant ucceivement à F tp, F tp 3,..., F t pour obtenir l inégalité ouhaitée : i= ), H db ) t i+1 t t i t) i= ) = t.

3 Noton que i a >, en appliquant l inégalité ci-deu au proceu ah, on obtient ) a ah db t. 3) Fixon déormai < t, et Z une variable intégrable, F -meurable. On ouhaite calculer Z H r db r 1 Hr dr. Afin de ne pa trop urcharger le formule on introduit pour i =,..., p, r i := t i t), de orte que H r db r 1 p 1 Hr dr = H i B ri+1 B ri ) 1 p 1 H i r i+1 r i ) où, il exite, k et le plu grand entier tel que t k, et par convention, il et égal à p, le omme ci-deu ont égale à noton que pour tout i k, r i = ). Pour calculer l epérance ci-deu, on fait comme précedemment un raionnement par conditionnement ucceif vi-à-vi de tribu de plu en plu groière F tp 1,...F tk, F où, il exite, k et le plu petit entier tel que t k >. Détaillon le premier conditionnement Z H i B ri+1 B ri ) 1 ) H i r i+1 r i ) = Z H i B ri+1 B ri ) 1 ) H i r i+1 r i ) F tp 1 p = Z H i B ri+1 B ri ) 1 ) H i r i+1 r i ) H i B rp B rp 1 ) 1 ) H i r p r p 1 ) F tp 1 ]. D aprè ), l epérance conditionnelle ci-deu et égale à 1 et on obtient Z H i B ri+1 B ri ) 1 ) H i r i+1 r i ) p = Z H i B ri+1 B ri ) 1 ) H i r i+1 r i ) et, aprè p 1 k conditionnement upplémentaire, on trouve finalement que Z H r db r 1 Hr dr = Z]. On vient de montrer que i H et un proceu imple atifaiant 1), alor M t H)) t et une F t )-martingale. 3

4 Deuxième étape : H M, borné On fixe dan cette partie H M, et on uppoe que 1) et atifaite. On ait qu il exite une uite H n ) de proceu imple, vérifiant également 1), qui converge ver H au en L. Fixon t >. Quitte à extraire, on peut même uppoer que M t H n ) M t H) preque ûrement. Soit η > et t. De l inégalité 3), on déduit en particulier que M t H n )) n N et bornée dan L +η par 1 + η)) T)). Si Z L +η et, comme plu haut, F -meurable, on a donc que ZM t H n )) n et bornée dan L 1+η en utiliant Cauchy-Schwarz), et et donc uniformément intégrable. On a finalement Z] = ZM t H n n ZM t H. On a établi en particulier l égalité pour Z = 1 A, A F, et on l a fait pour tout t. On conclut que M t H) et une F t )-martingale. Grâce à la décompoition uggérée dan la quetion 3), on a enfin que pour un tel proceu H, et pour p >, = 1 + p) 1 + p) H db 1 + p H db 1 + p) H db 1 + p)3 1 + p)4 H d ) 1 H d 1 + p)3 1 + p)) H d 1 1 p + )1 + p) ) H d où on a utilié l inégalité de Hölder d oant 1 + p, 1 + p)/p. Le premier terme du produit n et autre que M t 1 + p) H et vaut donc 1 d aprè ce qui précède. Pour conclure cette partie, on a finalement obtenu que lorque H M atifait 1), M t H) et une F t )-martingale, et pour p >, 1 + p) H db 1 + p H d H d 1 t p p + )1 + p) ) H d.. Il erait facile d utilier un argument de clae monotone pour déduire que l égalité rete vraie pour tout Z intégrable et F -meurable. p 4

5 3 Troiième étape : H vérifiant ) Dan cette partie on fixe H M vérifiant ). Il va de oi que le proceu H de fini par i H t ω) < t H t ω) := H t ω) i H t ω) < i H t ω) > vérifie quant à lui 1), et bien ûr H H dan L. De plu on a évidemment pour tout >, et pour tout t T, H ) d H d. Choiion p > uffiamment petit de orte que +p)) 1 + ɛ où ɛ > et le paramètre qui intervient dan )). D aprè l inégalité finale de la partie 3, la famille M t H )) > et bornée dan L par 1 t p p + )1 + p) ) H d 1 + ɛ) H d la dernière quantité étant finie grâce à l hypothèe ). On en déduit que la famille M t H )) > et uniformément intégrable, et donc que pour A F, on a PA) = 1 A M t H 1 A M t H. Le raionnement étant valable pour tout t on conclut que M t H)) t et bien une F t )-martingale. 4 Complément, remarque p Cette méthode n et pa la eule poible. On fournit ici quelque complément pour de idée de preuve poible. 4.1 M t H)) Surmartingale Suppoon acqui le réultat de la première partie et conidéron H n H M, avec H n de proceu imple, et enfin uppoon que H n, H vérifient tou 1). Il et alor immédiat de montrer que M t H)) et une urmartingale : M H) = lim n M H n ) = lim n M t H n ) F ] M t H) F ], où on a utilié Fatou pour obtenir la dernière inégalité. La méthode et à retenir, c et en effet avec une idée imilaire qu on établit qu une martingale locale et toujour une urmartingale. 5

6 4. Borne L p licite immédiate pour M t H) lorque H M et borné Fixon p >. n utiliant Cauchy-Schwarz, p H db = ph db 1 p H db p H d + p H d 1/ 1/ ph ) d p H d p t) Pour la dernière ligne ci-deu, on a utilié que le premier terme du produit n et autre que M t H, et puique M t ph) et une urmartingale il et donc majoré par 1. Le deuxième terme du produit et, d aprè l hypothèe 1), borné par t). On peut affiner ce etimée en utiliant une inégalité de Hölder adéquate comme dan la partie 3 ci-deu, mai l inégalité ci-deu et ouvent uffiante pour établir de réultat imple. 4.3 Une condition plu proche de Novikov L exerice 1 de la feuille 4 permet de démontrer que la condition plu fine 1 + ε t ε >, t H d < +, ) et également uffiante pour que M t H)) oit une F t )-martingale. La preuve et plu technique, mai elle ne contient pa vraiment d idée nouvelle. On fait en effet la même approximation par la uite de proceu H, mai on optimie un peu mieux l utiliation de l inégalité de Hölder. Le détail ont laié au lecteur, l exercice 1 étant uffiamment guidé. 6

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