Pilotage technique d'un régime de rentes viagères : identification et mesure des risques, allocation d'actif, suivi actuariel.

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1 N d ordre : Année 006 THESE présenée devan l UNIVERSITE CLAUDE BERNARD - LYON ISFA pour l obenion du DIPLOME DE DOCTORAT (arrêé du 5 avril 00) présenée e souenue publiquemen le 0//006 par Frédéric PLANCHET Piloage echnique d'un régime de renes viagères : idenificaion e mesure des risques, allocaion d'acif, suivi acuariel. Direceur de hèse : Pr. Jean-Claude AUGROS JURY : Pr. Jean-Paul LAURENT (Présiden) Pr. Jean-Pierre AUBIN (Rapporeur) Pr. Jean-Claude AUGROS (Direceur) Pr. François DUFRESNE (Rapporeur) Version.7a / Novembre 006

2 Sommaire Inroducion... 5 Parie : Le passif, analyse des risques e modélisaion... 6 A. Présenaion générale... 9 Caracérisiques du porefeuille de renes... 9 Problémaique e méhodologie... 9 B. Revalorisaion, inflaion e aux echnique Conséquences financières d un choix de revalorisaion Lien enre le aux de croissance, le aux d inflaion e les aux d inérê... 6 C. Quanificaion du risque sysémaique de moralié pour un régime de renes en cours de service Risque associé aux flucuaions auour de la endance Cas d une moralié déerminise Modèle de moralié Applicaions numériques Cas d une moralié sochasique Modèle de moralié Applicaions numériques Un modèle alernaif Conclusion Mesure de l inceriude endancielle sur la moralié Modèle de moralié Applicaions numériques Tables prospecives Applicaion au régime de renes viagères Parie : L acif, analyse des risques e modélisaion D. Modélisaion de l inflaion Approche de Kaufmann e al Résoluion par les moindres carrés ordinaires Résoluion par la méhode des moindres carrés généralisés Modèle de Wilkie Descripion du modèle Exemple numérique : le cas du Royaume Uni Modèle de Ahlgrim e al E. Prise en compe des saus boursiers dans les problémaiques d'assurance Modélisaion de l acif risqué... 80

3 0. Présenaion du modèle Esimaion des paramères Méhode des momens Maximum de vraisemblance Tess de la validié du modèle Tes d adéquaion du Chi Tes «up and down» Tes du rappor de vraisemblances Applicaions Ajusemen du modèle à saus sur des cours boursiers Prix d une opion d acha européenne Solvabilié : impac sur le capial cible Absence de saus Prise en compe des saus Applicaion numérique Conclusion... 0 Parie 3 : Analyse des risques acif-passif F. Prise en compe du risque financier dans la gesion d un fonds collecif de reraie Modèle proposé Applicaions numériques Engagemen du régime Financemen via un fonds collecif... G. Renes en cours de service : un nouveau crière d allocaion d acifs Caracérisiques du porefeuille de renes Modèle proposé Dynamique du bilan de l assureur Descripion du marché financier Gesion des acifs... 7 Flux de presaions déerminises Probabilié de ruine Maximisaion des fonds propres économiques Conraines réglemenaires Fonds propres économiques Eude de sensibilié Flux de presaions aléaoires Analyse du risque Allocaion d acifs... 38

4 8.. Probabilié de ruine Maximisaion des fonds propres économiques Conclusion sur la prise en compe du risque de moralié Revalorisaion des renes Modélisaion de l inflaion Allocaion d acifs Probabilié de ruine Maximisaion des fonds propres économiques Conclusion Conclusion générale Annexe n : le disposiif Solvabilié Modèles proposés par le proje Solvabilié Elémens de solvabilié exisans Hisorique du proje Solvabilié Principes de Solvabilié Processus d élaboraion Mesurer le risque Value a Risk (VaR) Condiional Tail Expecaion e TVaR Comparaison des risques Provisions echniques Niveau des fonds propres Mise en perspecive avec les normes IFRS Analyse globale de la solvabilié : choix d un modèle acif/passif Applicaion numérique... 7 Annexe n : Normes IAS / IFRS Cadre général Norme IFRS Normes IAS 3 e Norme IAS Annexe n 3 : Organigrammes (moralié sochasique)... 8 Table des illusraions Bibliographie... 86

5 INTRODUCTION Les bouleversemens du conexe démographique e économique L espérance de vie à la naissance a progressé d environ un rimesre par an depuis une cinquanaine d années, e en 006 elle a franchi en France, pour les femmes, le seuil symbolique des 80 ans. Le ableau e le graphique suivan ci-dessous illusren ce mouvemen sur les dernières décennies : Femmes Hommes TV73/77 TV88/90 TV99/0 TD73/77 TD88/90 TD99/0 Espérance de vie à la Naissance 76,5 80, 8, 68,6 7,0 74,7 Espérance de vie à 60 ans 0,9 3,5 5 6, 8,3 9,9 Taux de décès à 60 ans 0,77% 0,57% 0,48%,90%,57%,8% Tab. : Evoluion de l espérance de vie Fig. : Evoluion de l espérance de vie à la naissance depuis 50 ans Tableaux de l Economie Française 006, INSEE

6 On consae en pariculier que l espérance de vie des femmes à 60 ans a augmené de 0 % sur la période , e celle des hommes de 3 %. Ces évoluions on des conséquences direces sur la charge financière que supporen les régimes de reraie, e, plus généralemen, les régimes de renes viagères. D une par le coû direc d une rene viagère s en rouve majoré en proporion de la majoraion de l espérance de vie e, d aure par, dans le cas des régimes de reraie publics, le rappor démographique diminue, augmenan ainsi a priori la charge du financemen des reraies pour les acifs. Rien n indique aujourd hui une aénuaion de ces endances, e l INSEE 3 prévoi ainsi que le nombre d acifs de moins de 60 ans rapporé au nombre d inacifs de plus de 60 ans, aujourd hui égal à, devrai progressivemen diminuer pour s éablir à,4 à l horizon 050. Par ailleurs, l environnemen économique s es égalemen modifié e, si pendan la période de fore croissance des «rene glorieuses», la dynamique économique associée à la gesion par répariion des régimes de reraie publics a pu compenser l évoluion démographique e, en un cerain sens, «masquer» le coû d un régime de reraie, la siuaion acuelle ne le perme plus. De plus, pour ce qui concerne les régimes de reraie d enreprises les conraines compables 4 on progressivemen condui à clairemen idenifier dans les compes la charge financière associée au régime, ce qui a conribué à la prise de conscience du coû de ces insrumens de gesion des ressources humaines. La maîrise des coûs des régimes de reraie supplémenaire e, plus largemen, de la proecion sociale complémenaire, es ainsi devenue un enjeu majeur de la «bonne gesion» de l enreprise. De la même manière, les réformes de la compabilié publique amènen l Ea à quanifier le monan des engagemens qu il pore envers les populaions de foncionnaires pour les presaions de reraie 5. On reiendra à ce suje que le monan de ces engagemens es esimé à environ 000 Md pour la seule foncion publique d Ea 6, ce qui représene un monan de l ordre de grandeur d une année de PIB. Enfin, les conraines réglemenaires auxquelles son soumis les assureurs on condui à des majoraions régulières e significaives des provisions consiuées en représenaion des Rappor des effecifs d acifs aux effecifs de reraiés. 3 Insee Première n 09 - juille 006 (hp:// 4 Avec l applicaion de la norme IAS 9. On pourra se reporer noammen à PLANCHET e THEROND [004b]. 5 Norme 3 de la compabilié publique. 6 E environ auan pour la foncion publique errioriale

7 engagemens pris dans le cadre de conras de renes viagères 7. On peu reenir comme ordre de grandeur des majoraions liées au seul changemen de able de moralié d environ 0 % en 993 e comprises enre 0 e 5 % au 0/0/007 (cf. C). Les bouleversemens de l environnemen législaif, réglemenaire e compable Les évoluions rappelées brièvemen ci-dessus se son accompagnées de nombreuses modificaions des environnemens législaif, réglemenaire e compable. Ces évoluions se poursuiven, e condiionnen de manière décisive les réflexions relaives au piloage d un régime de renes viagères. Les évoluions législaives : la Loi Fillon 8 du 5/08/003 a profondémen bouleversé le paysage des reraies en France ; elle inrodui pour la première fois sur ce suje la noion de piloage dynamique d un régime de reraie public en fixan comme objecif de mainenir consan le rappor de la durée de la vie acive à la durée de reraie 9 (avec /3 de la vie en période d acivié e /3 en période de reraie). D un poin de vue opéraionnel dans le conexe du présen ravail, on reiendra les aricles 5 e 6, le premier définissan sans ambiguïé le périmère des régimes d enreprise e le second organisan le ransfer des anciens «régimes spéciaux» (IRS) vers des conras d assurance. Ces deux aricles incien foremen à l exernalisaion des engagemens de reraie 0 e on des conséquences direces sur les praiques en maière de conras de reraie collecive qui seron décries supra. Les évoluions compables : L enrée en applicaion des normes IFRS a en premier lieu condui les enreprises à évaluer e à compabiliser de manière sysémaique la charge associée aux régimes de reraie supplémenaire (norme IAS 9) ; les organismes assureurs son quan à eux direcemen concernés par la norme IFRS 4 qui a des conséquences direces sur l évaluaion des provisions pour les conras de renes viagères qu ils assuren. On peu noer qu au ravers de la 7 Ar. A 335- du Code des Assurances. 8 Loi n du aoû 003 : loi poran réforme des reraies. 9 Ar. 5 de la Loi Fillon. 0 Voir par exemple l aricle de P. JUNGHANS dans la Tribune du 0/06/004 sur «La Loi Fillon pousse à l'exernalisaion». Inernaional Financial Reporing Sandard

8 norme 3 de la compabilié publique, l Ea connaî une évoluion comparable à celle des enreprises, avec la nécessié d évaluer les engagemens de reraie au ire des régimes de foncionnaires. Une présenaion sommaire des normes IAS / IFRS es fournie en annexe. Les évoluions réglemenaires : le disposiif prudeniel es en cours d harmonisaion au niveau européen dans le cadre du proje «Solvabilié» ; les nouvelles règles conduisen à revoir en profondeur les méhodes de provisionnemen e, surou, de déerminaion des fonds propres («capial de solvabilié», ou SCR 3 ). Compe enu de l imporance du proje Solvabilié, une présenaion déaillée en es proposée en annexe. On reiendra que, an pour l IFRS 4 que pour Solvabilié, le conexe d évaluaion des engagemens d un régime de rene passe d une logique acuelle de calcul de provisions sur la base d hypohèses prudenes auxquelles s ajouen des fonds propres direcemen proporionnels (e égaux à 4 % du monan des provisions mahémaiques) à une logique dans laquelle les provisions son évaluées sur la base d hypohèses «réalises» avec une quanificaion explicie des marges de risque, que ce soi au niveau de la provision ou au niveau des fonds propres 4. En praique, la déerminaion d une hypohèse de moralié réalise pour un régime de rene n es pas aisée, e le corollaire de ce changemen de poin de vue es la nécessié de la mise en place d un vériable piloage echnique du régime. Au surplus, le principe de base posé par le proje Solvabilié pour la déerminaion du niveau des fonds propres es le conrôle d une probabilié de ruine (à un an) ; ainsi, les événemens exrêmes, an au passif qu à l acif, prennen une imporance qu ils n avaien pas jusqu à présen. On sera donc condui à s inerroger sur la prise en compe d événemens els que les disconinuiés observées dans l évoluion du cours des acifs : cf. COMMISSION EUROPEENNE [003], [004], AAI [004] e CEIOPS [006]. 3 «Solvency Capial Requiremen». 4 cf. PLANCHET e al. [005]

9 Fig. : Evoluion disconinue du ire Mercer au mois d ocobre 004 On peu ajouer à ces évoluions, pour ce qui concerne les organismes d assurance, des évoluions parallèles sur le plan de la communicaion exerne avec la Loi sur la Sécurié Financière 5 (LSF) e sur le plan de la communicaion financière avec les démarches 6 d «European Embedded Value» (EEV) e de «Marke Consisen Embedded Value» (MCEV). Les évoluions sur les différens regisres, prudeniel, compable, de communicaion exerne e de communicaion financière son bien enendu inerconnecées. Les novaions assuranielles Les aricles 5 e 6 de la Loi Fillon, par leur inciaion à l exernalisaion des engagemens de reraie, ainsi que la norme IAS 9 qui perme d en déerminer les conséquences compables au niveau du bilan de l enreprise, on indui un cerain nombre de novaions au niveau des conras d assurance collecifs de reraie. Ces novaions poren sur la garanie de able, la garanie de revalorisaion e le ransfer inégral du risque vers l assureur. La garanie de able La garanie de able de moralié consise à prévoir conracuellemen une able de moralié unique d évaluaion des provisions mahémaiques quelles que soien les évoluions réglemenaires applicables aux organismes assureurs. Cee conracualisaion perme au souscripeur de ransférer à l organisme assureur oue évoluion défavorable de la moralié de la populaion assurée, conre le versemen d une prime addiionnelle à déerminer par 5 Voir par exemple l aricle de F. LUSSON dans la Tribune du 0/07/006 sur «Le conrôle inerne» e le décre du 3/03/ Voir le sie du CFO Forum à l origine de ces démarches hp://

10 l organisme assureur. La arificaion d une elle clause es délicae. En praique la prime unique ou la valeur acualisée des chargemens prélevés pourra êre déerminée par l inermédiaire d un abaemen applicable sur les aux de décès de la able de moralié conracualisée (ou, plus généralemen, d un posiionnemen par rappor à la able conracualisée). La problémaique es ramenée à reenir un abaemen ou un posiionnemen «adéqua» en foncion de la populaion à assurer. La garanie de revalorisaion On rappelle ou d abord que l organisme assureur s engage, dans un conra de reraie collecive, sur la base d un monan de rene déerminé. Néanmoins, de nombreux régimes de reraie d enreprises promeen a priori une revalorisaion des renes versées, ce engagemen reposan sur une référence «exérieure» don l employeur n a pas la maîrise (valeur de service du poin ARRCO, AGIRC, évoluion de la pension Sécurié Sociale, aux d inflaion ). Dans le cas où l enreprise souhaierai dès à présen obenir la garanie de revalorisaion des renes au niveau de l inflaion, un adossemen de l échéancier des presaions probables pourra êre réalisé à parir d acifs financiers don le rendemen réalisé es corrélé précisémen avec l inflaion. Les acifs financiers pourron êre des obligaions indexées sur l inflaion ou des produis srucurés composés d obligaions, d acions e de ou aure acif permean un adossemen des flux. L adossemen (e les évenuelles garanies associées) doi prendre en compe que les régimes prévoien généralemen que l évoluion des renes ne peu êre négaive (conrairemen à l inflaion au cours d une année donnée). Par ailleurs, l adossemen es difficilemen compaible avec un échéancier de presaions don le erme peu aller au-delà de 50 ans du fai de l absence d acifs financiers pour ces mauriés. La mise en place de elles garanies (basées sur un indice de référence) es nécessairemen condiionnée par la présence sur les marchés d acifs financiers corrélés avec le même indice (OATi, OAT i, )

11 Le ransfer inégral des risques La norme IAS 9 prévoi que les conras d assurance souscris par les enreprises au ire de couverure de passifs de reraie à presaions définies viennen minorer l engagemen à reenir dans les compes consolidés des enreprises. Le ransfer des risques d assurance d une par, e des risques financiers d aure par, peu, après accord des commissaires aux compes, permere de supprimer l engagemen exernalisé des compes de l enreprise. Ce ransfer peu s éendre, en plus de la populaion des allocaaires, à des préreraiés ne rendan plus de service à l enreprise. On remarquera que ce ransfer de risque n es a priori pas possible pour des acifs pour lesquels l enreprise pore in fine la responsabilié du paiemen des renes ou du capial consiuif de la rene au momen du dépar en reraie. En effe, de nombreux élémens de poliique sociale de l enreprise que l assureur ne maîrise pas (évoluion des rémunéraions, poliique de recruemen / licenciemen, ec.) peuven impacer foremen le niveau de l engagemen e le renden de ce fai difficilemen assurable. L assureur l inervien classiquemen en phase de consiuion que comme un gesionnaire financier. Il ne pore le risque viager qu une fois le capial consiuif de la rene prélevé dans le fonds des acifs pour êre ransféré dans le fonds des reraiés. Ces élémens renforcen le besoin de maîriser l évaluaion de l engagemen d un régime de renes viagères, au-delà du simple calcul «réglemenaire» effecué jusqu alors. L analyse des risques L un des appors sans doue majeur an de l IFRS 4 (au moins dans sa phase ) que de Solvabilié es d avoir conribué à srucurer la réflexion auour de la segmenaion des risques d une acivié d assurance (e donc en pariculier d une acivié d assurance-vie). L analyse des risques es dorénavan déclinée selon quare caégories principales : Le risque de marché («marke risk») modélise l inceriude associée au rendemen e à la valeur des acifs financiers, - -

12 Le risque de souscripion («underwriing risk») concerne esseniellemen l inceriude associée à la mesure des engagemens pris par le régime, Le risque de crédi («credi risk») s aache à prendre en compe le risque de défau des conre-paries (réassureurs e émeeurs d obligaions), Le risque opéraionnel («operaional risk») prend enfin en considéraion les risques associés aux procédures de gesion inernes de l assureur e aux conséquences d un dysfoncionnemen à ce niveau. Le présen ravail aborde le risque de marché pour ce qui concerne les placemens effecués par le régime e le risque de souscripion pour ce qui concerne l analyse du passif du régime. Le risque de crédi fai l obje d une approche générique qui n es pas propre aux problémaiques de renes, il ne sera pas abordé ici 7 ; il en es de même pour le risque opéraionnel. En ce qui concerne le risque de crédi on pourra noer que les echniques uilisées présenen de nombreuses similiudes avec la consrucion d une able de moralié, le défau pouvan êre analysé comme l éude du emps d aene avan le défau. On noera à ce sade que an l approche compable que l approche prudenielle privilégien via l évaluaion des provisions e des fonds propres la noion d engagemen au sens d un monan évalué à la dae d invenaire e «résuman» en un cerain sens l ensemble des flux fuurs promis par le régime. Dans cee approche le raisonnemen es condui sur la base de la populaion arrêée à la dae d invenaire («groupe fermé»). Dans le cas d un régime de rene, il apparaî souven perinen de prendre en considéraion la suie des flux fuurs e de raisonner dans le cadre d une approche «dépenses / ressources». Cee approche peu êre développée en groupe fermé ou en «groupe ouver», en enan compes des nouveaux enrans dans le régime. On noera d ors e déjà qu une adéquaion dépenses / ressources en groupe fermé es une condiion a minima de la pérennié du régime 8. Ce poin de vue sera noammen reenu dans le cadre de la déerminaion de l allocaion sraégique d acifs du régime (Parie 3). 7 LE PAGE [000] propose une synhèse assez complèe sur ce suje. On pourra aussi consuler JEANBLANC e RUTOWSKI [999]. 8 Des projecions de ce ype sur les régimes de reraie publics monren depuis rès longemps leur déséquilibre echnique. - -

13 Dans ce conexe on es amené à considérer dans le cas d un régime de renes viagères en cours de service, qui sera l esseniel du périmère de ce ravail, les élémens suivans : Les risques «classiques» de aux, de valeur de suppors de ype «acions» pour le risque financier ; Les risques de moralié (associé aux flucuaions d échanillonnage), de survie (pour l inceriude aachée à la durée résiduelle de survie) e d inflaion (qui doi êre prise en considéraion dans le cadre des disposiifs de revalorisaion des renes) pour le risque de souscripion. Le périmère de l éude On le voi, les évoluions démographiques, économiques, législaives, réglemenaires e compables de ces dernières années imposen de reconsidérer l évaluaion des risques associés aux régimes de renes viagères. Le champ d éude offer par ces régimes es poeniellemen rès éendu e peu êre segmené selon différenes clés : régimes publics versus régimes d enreprises, phase de consiuion des drois versus phase de resiuion, gesion en répariion versus gesion en capialisaion, régimes à coisaions définies versus régimes à presaions définies, ec.. On a ici délibérémen choisi de se resreindre au périmère sricemen délimié des régimes de renes viagères en cours de service dans le cadre d une analyse en groupe fermé. Des acifs en phase de consiuion seron ouefois pris en compe à la secion F dans le cadre de l analyse du risque financier pour un régime géré au ravers d un fonds collecif. Ce choix es moivé par le consa que l ensemble des élémens consiuifs des spécificiés d un régime de renes viagères se rerouve dans ce conexe e que la prise en compe d un périmère plus large ne vien pas modifier subsaniellemen les élémens de base de l analyse. En praique, on concenre l éude sur le risque viager e la prise en compe des spécificiés d un régime de renes viagères pour la déerminaion de l allocaion d acifs

14 L organisaion de la hèse Le présen ravail es esseniellemen consiué par le conenu des aricles e ouvrages publiés depuis 003 dans le cadre d une acivié d enseignemen e de recherche à l ISFA ; ceux-ci on éé adapés e pariellemen réécris pour préserver la cohérence d ensemble de cee hèse. Les aricles d origine son sysémaiquemen ciés en référence 9. Ce ravail prolonge e précise dans le cas d un régime de rene les approches générales décries dans les ouvrages PLANCHET e al. [005] e PLANCHET e THEROND [006]. Il es srucuré de la manière suivane : Dans une première parie on présene de manière déaillée l analyse du passif d un régime de reniers ; le risque sysémaique de moralié fai l obje d une aenion pariculière, compe enu de son appariion récene dans les problémaiques d évaluaion d engagemen d un régime de reraie e du peu de liéraure exisane dans ce conexe. On n aborde pas la problémaique du posiionnemen d une populaion par rappor à une référence de moralié donnée, qui relève de echniques classiques de modèles de durée qui dépassen le cadre de ce ravail. La seconde parie es consacrée à la présenaion des risques d acif ; compe enu de l abondane liéraure sur ce regisre, on se borne à présener quelques élémens imporans moins souven mis en avan, à savoir l imporance de la prise en compe d une modélisaion perinene de l inflaion (dans la perspecive de la prise en compe des disposiifs de revalorisaion) e le regain d inérê pour les modélisaions d acifs risqués non coninus 0, conséquence direce des réflexions en cours auour du disposiif Solvabilié. Enfin, la roisième parie présene les conséquences que l on peu irer des analyses précédenes en erme d adossemen acif / passif e, noammen, de déerminaion de l allocaion sraégique. Elle es égalemen l occasion d évoquer le cas d un régime en phase de consiuion e les problémaiques de financemen des renes. 9 La plupar des références ciées dans ce documen son disponibles en ligne sur le sie hp:// 0 On pourra sur ce suje consuler l ouvrage de vulgarisaion MANDELBROT [005] qui propose de nombreux exemples illusraifs

15 La liéraure e les ravaux, an académiques que professionnels, sur le hème des reraies son exrêmemen nombreux, e nous avons choisi ici de ne pas présener les élémens les plus classiques, préféran renvoyer aux références bibliographiques. Le présen ravail s efforce de présener un ensemble de réflexions e leurs conséquences en erme de modélisaion dans la perspecive d une mise en œuvre effecive, e non pour seulemen démonrer des résulas qualiaifs. Aussi, les approches par simulaion son privilégiées au dérimen de la recherche de formules fermées, celles-ci n éan accessibles que dans des versions rès simplifiées des modèles concernés. La monée en puissance des normes IFRS (en pariculier de l IFRS 4 phase ) e, demain, de Solvabilié, rend en effe indispensable la refone d une parie imporane des modélisaions uilisées jusqu à présen, e nous espérons que les réflexions présenées ici seron uiles dans ce cadre

16 PARTIE : LE PASSIF, ANALYSE DES RISQUES ET MODELISATION La modélisaion du passif d un régime de reraie es un suje classique d acuaria vie qui rouve son expression de base la plus connue dans la formule a x lx h h = + v ; cee l expression de l engagemen oal associé à une rene uniaire non réversible servie à une êe d âge x à la dae des calculs repose sur les hypohèses suivanes : x Le groupe es supposé de aille suffisane pour que les flucuaions d échanillonnage soien négligées ; Les aux de décès q x (ou, dans une version prospecive q x ) son déerminises e connus ; Enfin, le aux d acualisaion i el que v = + i es consan e déerminise. Le relâchemen des hypohèses de muualisaion parfaie e de aux d acualisaion déerminise es classique e condui à des analyses de la répariion du risque d assurance (associé aux flucuaions d échanillonnage) e du risque de aux au ravers de l équaion de décomposiion de la variance. Ce suje sera développé à la secion F. Après avoir fixé les grandes lignes du cadre d analyse à la secion A, on rappelle à la secion B quelques considéraions de naure macro-économique qu il es uile d avoir à l espri pour assurer la cohérence de long erme de la modélisaion en ce qui concerne les liens exisans enre le aux d inflaion, le aux d inérê e le aux de croissance de l économie. Les modélisaions du aux d inflaion propremen dies son présenées à la secion D de la parie suivane. La déerminaion des aux de décès supposés déerminises fai appel dorénavan de manière quasi-sysémaique aux modèles de moralié prospecifs don l ambiion es d aniciper, dans Cf. BOWERS e al. [986] pour des considéraions générales e PLANCHET e MAGNIN [000] pour un modèle comple e des exemples numériques

17 la mesure du possible, les évoluions fuures du aux de décès, q x es abondane.. La liéraure sur ce suje Plus récemmen cerains aueurs 3 on fai observer que les aux de décès brus calculés sur de rès grands groupes q x présenen des irrégulariés (comme foncion de ) qui conduisen à ne plus les supposer connus mais à considérer que le aux à une dae donnée es le résula d un irage aléaoire. Les conséquences de cee propriéé son exploiées dans de nombreux aricles pour la consrucion de modèles de arificaion de dérivés de moralié 4. Touefois, la prise en compe du caracère inrinsèquemen sochasique des aux de décès dans le cadre d un régime de renes viagères n es pas souven abordée ; cee quesion es évoquée dans Delwarde e Denui 5. La secion C propose des approches adapées au cas des renes viagères pour quanifier, dans une perspecive «Solvabilié», le risque sysémaique indui par le comporemen sochasique des aux de décès. Il es précisé que l on s inéresse ici à la déerminaion du passif au sens du monan de l engagemen oal du régime, sans considérer la quesion de la compabilisaion e donc la déerminaion de ce monan enre la par affecable au passé e la par représenaive de droi à acquérir dans le fuur 6. En effe, la déerminaion du monan à provisionner compore schémaiquemen deux éapes : L évaluaion de l engagemen oal, qui représene la conreparie financière de la globalié de la promesse faie par le régime ; La répariion de ce engagemen oal enre une par affecable au passé, représenaive de drois acquis, e la par complémenaire représenaive de drois fuurs, resan à acquérir. Voir noammen sur le modèle de Lee-Carer LEE e CARTER [99], LEE [000], SITHOLE e al. [000] e sur les modèles poissoniens BROUHNS e al. [00]. PLANCHET e THEROND [006] propose une présenaion e une discussion de ces modèles, e on pourra égalemen se reporer à DELWARDE e DENUIT [006] pour une présenaion complèe. 3 CURRIE e al. [004]. 4 Cf. CAIRNS e al. [004], DAHL [004] e SCHRAGER [004]. 5 DELWARDE e DENUIT [006]. 6 Voir sur ce poin PLANCHET e THEROND [004b]

18 La première éape relève de la compéence de l acuaire e me en jeu des echniques de projecion des monans financiers aléaoires associés au régime considéré. Elle condui à la noion de «valeur acuelle probable oale» (VAP oale) du régime, qui sera considérée ici. La seconde éape fai appel à un référeniel compable permean de fixer les modaliés de répariion de cee VAP oale enre le passé e le fuur ; elle condui en IAS 9 à la noion de «projeced benefi obligaion» (PBO), représenaive des drois passés. Il es à ce sade imporan de noer que la noion de VAP oale es déerminée en foncion de méhodes e de echniques esseniellemen indépendanes du référeniel compable uilisé, alors que la noion de PBO découle direcemen de l applicaion d un référeniel compable pariculier. Dans le cas de renes en cours de service les noions de VAP oale e de PBO coïnciden, l acquisiion de drois fuurs éan nulle. Au surplus, que l on considère un salarié en phase de consiuion des drois ou un renier en phase de resiuion, la VAP oale rese la mesure la plus objecive du coû mis à la charge du régime (indépendammen de la problémaique du financemen de cee charge)

19 A. PRESENTATION GENERALE CARACTERISTIQUES DU PORTEFEUILLE DE RENTES Dans la suie, nous uiliserons pour les applicaions numériques un porefeuille 7 consiué de 374 reniers de sexe féminin âgés en moyenne de 63,8 ans au 3//005. La rene annuelle moyenne s élève à 5,5 K. Le graphique infra présene les flux de presaions espérés en foncion du emps obenu à parir de la able de moralié TV k 000 k 500 k 000 k 500 k 0 k Fig. 3 : Flux de presaions espérées Avec un aux d escompe des provisions de,5 %, la provision mahémaique iniiale calculée avec la able prospecive consruie à la secion 5.., s élève à 38,0 M. On peu noer que dans Planche e Thérond 8, les calculs menés avec la able du momen féminine TV 000 conduisaien à une provision de 3,8 M. Cela me incidemmen en évidence l imporance d une approche prospecive de la moralié pour déerminer le niveau de l engagemen sans le sous-esimer exagérémen. PROBLEMATIQUE ET METHODOLOGIE Nous noerons dans la suie de ce chapire : 7 Les données uilisées pour les applicaions numériques son reprises de PLANCHET e THEROND [004]. 8 PLANCHET e THEROND [004]

20 L0 le monan des provisions mahémaiques à la dae iniiale, F ~ le flux de presaion (aléaoire) à payer à la dae, ( Φ ) la filraion décrivan l informaion disponible à la dae, i le aux (discre) d escompe des provisions mahémaiques, J l ensemble des individus, x(j) l âge en 0 de l individu j e r j le monan de sa rene annuelle, Π une surface de moralié, c es à dire la donnée d une famille de foncions de risque indicée par l âge à la dae des calculs μ x ( ). Le porefeuille es exclusivemen consiué de renes en cours de service supposées non réversibles. En 0, l assureur esime la suie de flux probables de sinisres que nous noerons ( ) F : avec : = ~ [ ] F E F, j J Φ 0 ~ F = r *, j ] [( T ) ; x( j) où T x(j) désigne la dae de décès (aléaoire) de la êe d âge x(j). Avec les noaions classiques de l assurance vie 9 : l F = r *. x( j) + j j J lx ( j) A parir de cee esimaion, l assureur déermine la provision mahémaique L 0 : = 0 = ( + ) L F i. Dans la suie on analysera le monan aléaoire de l engagemen, soi la variable aléaoire : Λ= F + i = r * T. ( ) = = ( + i) j J ] ; [( ( )) j x j 9 Cf. PETAUTON [996]

21 Cee variable aléaoire es elle que E( Λ ) = L0. Pour une analyse déaillée de la loi de Λ lorsque la moralié es connue (avec évenuellemen des aux d inérê sochasiques), on se reporera à Planche e Magnin 30. La loi de Λ n es pas simple dans le cas général. Son analyse peu êre simplifiée en observan que Λ= rjλx( j) avec : j J Λ x = = ( + i) ] ; [( Tx ) désignan l engagemen associé au versemen d une rene viagère uniaire à une êe d âge x à E Λ = a, la dae des calculs. Avec les noaions classiques de l assurance vie 3 on a ( ) annuié viagère sur une êe d âge x. Condiionnellemen au aux d inérê e à la surface de moralié, les variables Λx( j) son classiquemen supposées indépendanes. x x Le modèle peu êre égalemen écri dans une version coninue, qui simplifie l obenion de cerains résulas, mais ne sera pas développé ici, la version discrèe se prêan mieux à la mise en œuvre numérique via des echniques de simulaion, ce qui es le choix que nous avons effecué. On a alors : + Tx rtx e Λ = = = r r r e d e d { }. x Tx 0 0 On en dédui après quelques manipulaions simples que, condiionnellemen à la surface de moralié, on a : + x+ E Λx Π = r+ u du d 0 x exp μx+ u( ). 30 PLANCHET e MAGNIN [000]. 3 Cf. PETAUTON [996]. - -

22 avec μ x () le aux insanané de moralié pour un individu d âge x à l origine3. En d aures ermes le aux d acualisaion e le aux de hasard on des rôles complèemen symériques dans l expression de l engagemen condiionnel. Cee propriéé es uilisée de manière inensive dans les modèles de valorisaion de dérivés de moralié. Incidemmen l expression de l espérance condiionnelle ci-dessus fourni une expression de la ransformée de Laplace de la durée de vie résiduelle à parir de la foncion de risque, puisque rt ( x ) x ( ) ( ) E e = re Λ r. On soulignera ouefois que cee symérie formelle dissimule une asymérie imporane dans la naure des risques associés : le risque financier résule d une consrucion humaine 33 alors que le risque de moralié compore une composane biologique «objecive» essenielle. Les propriéés de Λ seron examinées dans un premier emps avec l hypohèse classique que la moralié fuure es connue (déerminise), via l uilisaion d une able prospecive, puis, dans un second emps, dans un conexe de moralié sochasique. Dans ce second cas on aura donc à considérer des surfaces de moralié sochasiques Π (la moralié fuure n es donc plus supposée connue avec ceriude) e, une surface éan donnée, la loi condiionnelle de l engagemen ΛΠ. Nous aurons recours aux echniques de simulaion, bien adapées au conexe éudié ici. Nous ne développerons pas la présenaion des echniques uilisées, en airan ouefois l aenion du leceur sur l imporance d un choix judicieux des méhodes. On pourra se reporer pour des développemens sur ce suje à Planche e Jacquemin, Planche e Thérond e Tenam 34. Il es imporan de simuler les durées de survie de manière efficace ; on uilise donc ici la «méhode d inversion» dans le conexe discre, qui repose sur le consa que si on défini la variable T par : T=0 si U < p0 T= si p0 U < p0 + p 3 Cee formule rese valable avec un aux d inérê non consan. 33 Voir sur ce poin e sur la perinence de la modélisaion financière l analyse de BERNSTEIN [996]. 34 PLANCHET e JACQUEMIN [003], PLANCHET e THEROND [005b] e TENAM [004]. - -

23 . T=j si j p U < p i i= 0 i= 0 j i avec U une variable uniforme sur [ 0, ], alors T es disribuée selon la loi (p n ) n 0. Le lien enre les probabiliés p i e les aux de décès déerminés précédemmen es donné par i ( ) p = q q i x+ i x+ j j= 0. Par rappor à l approche direce consisan à décider de la survie de chaque renier par un irage à chaque période, en comparan le résula obenu au aux de décès à l âge considéré, le emps de simulaion es divisé par un faceur de l ordre de l espérance de vie résiduelle à l âge moyen du groupe (soi dans nore exemple de l ordre de 0). Cee opimisaion es indispensable pour conserver un caracère opéraionnel au modèle dans le conexe de la moralié sochasique, examiné infra. La méhode reenue consise alors à simuler les durées de survie des reniers, à calculer : Λ= ( + i) = j J r *, j ] ; [( Tx( j) ) Tx( j), j J puis sur la base des réalisaions des Tx ( j ), j J obenues. On obien ainsi des réalisaions λ,..., λ n de Λ e on déermine la foncion de répariion empirique de l engagemen : N F ˆ ( λ ) = ( λ ) N., λn n= On calcule égalemen facilemen les esimaeurs empiriques des différenes grandeurs d inérê (espérance, variance e VaR pour l esseniel). On noera que dans le cas le plus général, le monan de la rene r j peu égalemen dépendre de. C es noammen le cas lorsque l on prend en compe une revalorisaion des presaions (cf. la secion 9)

24 B. REVALORISATION, INFLATION ET TAUX TECHNIQUE 35 Les bénéficiaires de renes viagères viven dans la sociéé parallèlemen aux acifs. Simulanémen, ils doiven au cours des années faire face à des acquisiions de biens de consommaion divers don le prix évolue au cours du emps. Dans ces condiions, se pose la quesion de ce qui doi apparaîre comme l objecif de revalorisaion des renes qu ils perçoiven. Deux soluions son envisageables selon que l on reien plus précisémen le premier ou le second des posiionnemens évoqués ci-dessous : Une revalorisaion qui soi corrélée avec les revenus des acifs, ce qui mainien la siuaion financière relaive des reraiés par rappor aux acifs, e se radui par une revalorisaion corrélée avec l évoluion des salaires nominaux, Une revalorisaion qui vise à mainenir le pouvoir d acha des reraiés, quie à ce que celui-ci régresse par rappor aux salaires nominaux versés aux acifs lorsque ces derniers obiennen des gains de pouvoir d acha suie aux effes de la croissance économique. Il s agi des deux formes de revalorisaions que l on observe le plus fréquemmen dans les régimes de pensions de reraie. Ainsi, les réformes de 993 sur le régime général des pensions on condui à une modificaion de l objecif de revalorisaion des pensions de reraie du régime général de Sécurié Sociale : celui-ci es passé d un objecif d évoluion corrélée avec les salaires à un objecif d évoluion corrélée avec le niveau des prix. A long erme, ce genre de disposiif n es pas neure puisque, pour auan que la croissance économique perdure, l évoluion des prix es généralemen inférieure à l évoluion des salaires nominaux. Donc, si l objecif assigné es un mainien de pouvoir d acha, cela se radui par une baisse du niveau de revenu relaif des pensionnés par rappor aux acifs comme cela devrai êre le cas en ce qui concerne les reraiés dans les années à venir par rappor aux acifs. 35 Ce exe es iniialemen paru dans PLANCHET e THEROND [005]

25 En erme d ordre de grandeur, on pourra reenir qu avec un aux annuel d inflaion de %, un panier de biens de valeur 00 à la dae de liquidaion de la rene voi son prix majoré de 50 % en 0 ans. Ainsi, l exisence d un disposiif de revalorisaion es un élémen cenral d un régime de renes viagères qui souhaie ne pas voir se dégrader rès sensiblemen le pouvoir d acha de ses bénéficiaires. 3 CONSEQUENCES FINANCIERES D UN CHOIX DE REVALORISATION Une fois l objecif de revalorisaion défini, se pose la quesion de la prise en compe echnique e financière de celle-ci au ravers des arifs e des provisions mahémaiques de renes à consiuer. On rappellera que les provisions mahémaiques se doiven de raduire, le plus fidèlemen possible, le poids financier des engagemens pris par la compagnie d assurance ou le régime 36. Deux approches son a priori possibles. La première consise simplemen à modifier les flux de rene pour les faire croîre au fil du emps en raison du aux de la revalorisaion aribuée. C es cee approche que l on reien par exemple à la secion 9. Elle présene l avanage de clairemen disinguer, dans le monan de la provision, ce qui relève de la revalorisaion e ce qui es à aribuer au «niveau aein» de le rene à la dae d invenaire. Mais les usages on mis en avan une seconde approche, consisan à diminuer le aux d acualisaion dans la mesure du aux echnique, sans modifier le monan de la rene. L idée sous-jacene es que la revalorisaion aribuée es in fine financée par les produis financiers réalisés au-delà du aux d acualisaion. Cee seconde approche présene l avanage de mere en évidence simplemen un cerain nombre de conraines sur les capaciés du régime à servir la revalorisaion prévue : Si l objecif assigné au régime es d assurer le mainien du pouvoir d acha des renes, alors le aux d inérê d acualisaion que l on peu reenir dans le calcul des provisions mahémaiques de renes ne peu pas êre supérieur au aux d inérê réel dans l économie sur une longue période. A ce ire, il convien de noer que sur longue période en France, la croissance économique annuelle es d environ % à,5 %. Sur ces bases, si un régime de renes a pour objecif de mainenir le pouvoir 36 Cf. Ar. R33-3 du code des assurances

26 d acha des reniers on ne saurai édicer un principe d acualisaion des provisions mahémaiques donc un aux echnique sur la base d un aux supérieur à % ou,5 %. On peu noer que ce niveau es aujourd hui cohéren avec la conraine de 60 % du TME imposée aux organismes assureurs pour le provisionnemen des engagemens de renes viagères. Si l objecif assigné au régime de renes viagères es d assurer une évoluion du pouvoir d acha des reniers parallèle à celle des salariés acifs, les principes d acualisaion ne sauraien conduire à préconiser un choix de aux d acualisaion supérieur à 0 %. Dans le foncionnemen d un régime de renes, il es indispensable de définir a priori les objecifs que l on assigne au régime en ermes de raiemen des reraiés par rappor aux acifs. On ne peu occuler le fai qu il enre dans ce choix une noion d équié enre différens groupes sociaux e enre les généraions successives d acifs e de bénéficiaires qui nécessie que des principes soien posés après une réflexion approfondie. Si les opions financières e echniques qui en découlen ne son pas univoques, il convien néanmoins de noer que la revalorisaion fuure des renes a un coû relaivemen élevé surou si l on a pour objecif de respecer les engagemens déjà pris, qu il s agisse d une évoluion en ermes de pouvoir d acha ou en ermes de niveau de vie relaif par rappor aux acifs. 4 LIEN ENTRE LE TAUX DE CROISSANCE, LE TAUX D INFLATION ET LES TAUX D INTERET A long erme, il es généralemen considéré qu il exise un lien éroi enre le aux d inérê nominal prévalan sur les marchés financiers, le aux d inflaion, c es-à-dire l évoluion de l indice des prix, e le aux d inérê réel. Plus précisémen, le aux d inérê nominal es égal à la somme du aux d inérê réel e du aux d inflaion : Taux d inérê Nominal = Taux d Inflaion + Taux d inérê Réel Simulanémen, il exise un lien éroi à long erme enre le aux d inérê réel e le aux de croissance réel de l économie. On considère ainsi que le aux d inérê réel ne peu êre longuemen rès différen du aux de croissance de l économie sauf à provoquer des arbirages - 6 -

27 enre acivié financière e acivié réelle d une par, enre invesissemen dans un pays e invesissemen dans d aures pays d aure par. On peu donc écrire : Taux d inérê réel à long erme = Taux de croissance réel à long erme Dans la mesure où ces deux règles fondamenales son observées sur une longue période, c es-à-dire l horizon sur lequel se pose la quesion de la revalorisaion des renes viagères, l objecif assigné au régime de reraie doi conduire à des règles de arificaion e de provisionnemen qui soien adapées. Le déba doi alors se porer sur le aux d acualisaion qui perme d éablir les liens enre flux présens e fuurs e surou de donner un arif e une valorisaion aux provisions echniques. On peu observer que l on a la conraine suivane : Taux d inérê echnique d acualisaion Taux d inérê réel à long erme En effe compe enu des règles évoquées ci-dessus, les invesissemens effecués dans le cadre du régime obiendron un rendemen qui sera généralemen proche des aux d inérê nominaux. Si le aux d inérê d acualisaion es égal au aux d inérê réel, cela signifie qu il es pré compé e qu il ne pourra donc pas êre servi une seconde fois, la paricipaion aux bénéfices aribuables aux iulaires de renes ne pourra donc excéder l évoluion de l indice des prix. Cela signifie qu il y aura mainien du pouvoir d acha de ceux-ci. Si l on ene de mainenir le pouvoir d acha relaif des acifs e des reraiés, l évoluion annuelle du pouvoir d acha des salariés acifs doi êre proche de celle des aux d inérê nominaux auxquels seron placés, en oue logique, les acifs représenaifs des provisions mahémaiques. On ne peu aendre une revalorisaion voisine de ce aux d inérê nominal fixé comme objecif que si le aux d acualisaion pris en compe, c es-à-dire pré compé, n es pas supérieur à 0 %. Si l on considère en ermes financiers ces deux principes de revalorisaion, les résulas pour l organisme gesionnaire ne son pas neures. On rappellera d ailleurs qu à l heure acuelle, les organismes d assurance son dans l obligaion de consiuer les provisions mahémaiques des renes viagères avec des aux d acualisaion qui ne doiven pas excéder,5 %. Cela signifie que lorsque le aux maximum es choisi par l organisme, sur une longue période, les renes viagères servies bénéficien d une revalorisaion équivalene à celle de l indice des - 7 -

28 prix 37 sauf performance excepionnelle de la gesion financière, ce qui ne saurai êre considéré comme une règle. Enfin, on soulignera que le poids financier d un disposiif de revalorisaion es rès imporan. Afin de mesurer ce poids financier, on considère à ire illusraif le cas d une rene en cours de service (non réversible) à un conjoin survivan de 55 ans ; une rene annuelle de 00 condui à une provision (au aux echnique de,5 % e en uilisan les ables TPG 993) de 45. En foncion des aux de revalorisaion, le coû de ce disposiif, exprimé en pourcenage des provisions mahémaiques, es le suivan : Taux de revalorisaion fuure % % 3% Coû (en ) Coû (en % de la provision) 7% 38% 65% Tab. : Poids de la revalorisaion cas d une rene de conjoin On peu illusrer graphiquemen l incidence de la revalorisaion sur les flux de presaions : Fig. 4 : Coû de la revalorisaion des renes Taux de revalorisaion = % Renes non revalorisées Renes revalorisées Impac de la revalorisaion fuure sur les flux de presaions On reiendra que pour des presaions de durée poeniellemen imporane la revalorisaion consiue une par imporane des provisions mahémaiques. 37 Cela a jusifié la consiuion de provisions de revalorisaion des renes dans le passé chez cerains organismes assureurs

29 C. QUANTIFICATION DU RISQUE SYSTEMATIQUE DE MORTALITE POUR UN REGIME DE RENTES EN COURS DE SERVICE 38 Depuis une quinzaine d années, les ables de moralié uilisées pour le provisionnemen e la arificaion des renes viagères s aachen à prendre en compe la dérive endancielle de la moralié, qui se radui par une croissance régulière de l espérance de vie. On consae ainsi en France depuis une renaine d année une augmenaion de l espérance de vie à la naissance d environ un rimesre par an. La nécessié d uiliser des ables de moralié prospecives inégran ce phénomène de dérive a éé prise en compe par le législaeur e des ables «de généraion» on éé homologuées 39 en 993. Ces ables 40, obenues sur la base de la moralié de la populaion féminine sur la période , serven depuis le er juille 993 à la arificaion e au provisionnemen de conras de renes viagères (immédiaes ou différées). De nouvelles ables 4 on éé consruies en 006 e on éé homologuées pour le 0/0/007. Des éudes récenes 4 fon ouefois apparaîre que l évoluion du aux insanané de moralié présene, aux différens âges, des variaions erraiques auour de la endance qui se dégage, variaions non expliquées par les flucuaions d échanillonnage ; Cairns e al. 43 fourni une analyse déaillée de ce phénomène. Sur les données INED uilisées dans le présen ravail (cf. la secion 5.. infra pour le descripif de ces données) on consae le même comporemen : 38 Ce exe es adapé de PLANCHET e al. [006] e PLANCHET e JUILLARD [006]. 39 Décre du 8 juille 993 (JO du 30/7/993) e Ar. A335- du Code des Assurances. 40 La consrucion de ces ables es présenée dans HIDALGO [99] qui les a consruies. 4 Voir la noe de présenaion de ces ables consruies par D. SERANT dans PLANCHET [006]. Elles son homologuées par l arrêé du 0/08/ CURRIE e al. [004]. 43 CAIRNS e al. [004]

30 Fig. 5 : Flucuaions des aux de décès auour de la endance de long erme Ces variaions affecen de manière sysémaique l ensemble des individus d âge fixé e ne se muualisen pas ; elles fon donc courir un risque poeniellemen imporan à un régime de renes, don l équilibre echnique es consrui sur la muualisaion du risque de survie de ses membres. On es donc condui à rechercher une modélisaion capable de rendre compe de ces flucuaions auour de la valeur endancielle e d en irer des conséquences sur le niveau des provisions mahémaiques que doi consiuer le régime pour assurer son équilibre echnique. De manière plus précise, il impore de quanifier la par dans le risque oal auquel es exposé le régime (selon une mesure à définir) de la composane non muualisable. Les modèles sochasiques de moralié fournissen un ouil bien adapé à cee analyse. Ils proposen en effe de considérer que le aux de moralié fuur μ ( x, ) es lui-même aléaoire, e que donc μ ( x, ) es un processus sochasique (comme foncion de à x fixé). Le aux de moralié effecivemen observé pour un âge e une année donnés es alors la réalisaion d une variable aléaoire : on peu noer l analogie avec les méhodes de lissage bayésiennes 44. Dans la liéraure, les modélisaions sochasiques des phénomènes de moralié son nombreuses. On ne considère pas ici les modèles d inspiraion financière nés de la 44 Sur ces méhodes de lissage, on pourra consuler TAYLOR [99]

31 problémaique de arificaion de dérivés de moralié 45. On noera simplemen que l ajusemen de ces modèles, qui exploien la symérie des rôles du aux d inérê e du aux de décès insanané dans l expression d un engagemen de rene (cf. ), à des données de moralié n es pas immédia e que, pour la siuaion qui nous préoccupe ici, la non prise en compe des dépendances enre les âges es problémaique (ces modèles proposen une dynamique d évoluion en foncion du emps pour chaque âge sans prendre en compe les corrélaions exisan enre les âges proches). Plusieurs modèles classiques son de fai des modèles sochasiques ; en premier lieu, les lissages bayésiens, e en pariculier le modèle de Kimeldorf-Jones 46 enren dans cee caégorie. Touefois, ils son élaborés esseniellemen dans la perspecive du lissage d une able du momen, sans inégrer naurellemen la dimension prospecive essenielle dans l analyse de l engagemen d un régime de renes. Les modèles récens de consrucion de ables prospecives, comme le modèle de Lee-Carer 47 ou les modèles poissoniens 48, son égalemen des cas pariculiers de modèles sochasiques, bien qu ils soien à l origine élaborés pour consruire des exrapolaions (emporelles) de la surface μ ( x, ) déerminise. Après un ajusemen des aux passés, les aux de moralié pour les années fuures se déduisen direcemen de l exrapolaion de la composane emporelle (paramérique ou non paramérique) du modèle prospecif reenu 49. On peu évidemmen criiquer cee approche puremen exrapolaive 50. Des ravaux s appuyan sur des considéraions biologiques, environnemenales ou économiques pourraien évenuellemen permere de proposer des approches alernaives 5. Ils ne seron ouefois pas abordés ici. On reien dans cee éude le modèle de Lee-Carer, qui perme aisémen de produire des surfaces de moralié sochasiques e es par ailleurs devenu un sandard pour la consrucion de ables prospecives. La variane log-poisson 5 condui à des résulas rès proches. 45 Le leceur inéressé par ces approches pourra consuler DAHL [004] e SCHRAGER [004]. 46 KIMELDORF e JONES [967]. 47 Voir noammen LEE e CARTER [99], LEE [000], SITHOLE e al. [000]. 48 Cf. BROUHNS e al. [00] e PLANCHET e THEROND [006] pour une présenaion e une discussion de ces modèles. 49 DELWARDE e DENUIT [006] proposen une descripion rès complèe des approches sochasiques dans ce conexe. 50 On pourra par exemple consuler GUTTERMAN e VANDERHOOF [999] sur ces quesions. 5 Voir le rappor du Populaion Council CAREY e TULAPURKAR [003]. 5 Cf. BROUHNS e al. [00]

32 Après avoir consrui un jeu de ables prospecives sur des données naionales à l aide de ce modèle, nous l uilisons pour calibrer la composane aléaoire pour le risque sysémaique e appliquons le modèle ainsi obenu pour déerminer le niveau de l engagemen d un régime de renes. 5 RISQUE ASSOCIE AUX FLUCTUATIONS AUTOUR DE LA TENDANCE 5. CAS D UNE MORTALITE DETERMINISTE 5.. Modèle de moralié On choisi de modéliser les aux insananés de sorie (aux de hasard) ; le lien avec les données discrèes (annuelles) disponibles es fai sous l hypohèse classique de consance du aux de hasard sur chaque carré du diagramme de Lexis 53, qui condui à poser ( q ) μ =ln. x x Le modèle reenu pour consruire les ables prospecives es le modèle de Lee-Carer. Il s agi d une méhode d exrapolaion des endances passées iniialemen uilisée sur des données américaines, qui es devenue rapidemen un sandard 54. La modélisaion proposée par ces aueurs pour le aux insanané de moralié es la suivane 55 : ln μ, = α + β k + ε x x x x en supposan les variables aléaoires ε x indépendanes, ideniquemen disribuées selon une loi ( 0, ) N ; l idée du modèle es donc d ajuser à la série (doublemen indicée par x e ) des logarihmes des aux insananés de décès une srucure paramérique (déerminise) à laquelle s ajoue un phénomène aléaoire ; le crière d opimisaion reenu es la maximisaion de la variance expliquée par le modèle, ou, de manière équivalene, la minimisaion de la variance des erreurs. 53 Cf. PLANCHET e THEROND [006]. 54 Voir l aricle original LEE e CARTER [99]. 55 Une variane de ce modèle dans laquelle la variable modélisée es le logi du aux de décès es en cours d éude

33 Le paramère vérifie par ailleurs que α x s inerprèe comme la valeur moyenne des ( μ x ) d ln( μ ) dk d x = β x d ln au cours du emps. On e on en dédui que le coefficien β x radui l élasicié de la moralié insananée à l âge x par rappor à l évoluion générale k, au sens où ( ) d ln μ dk x = β emps de cee sensibilié. x. En pariculier, le modèle de Lee-Carer suppose la consance au cours du Afin de rendre le modèle idenifiable, il convien d ajouer des conraines sur les paramères ; on reien en général les conraines suivanes : x M x= xm β x M = e k = 0. = m On obien alors les paramères par un crière de moindres carrés (non linéaire) : ( ˆ α ) ( ) x, ˆ βx, kˆ = argmin ln μx αx βxk * x, Il convien donc de résoudre ce programme d opimisaion, sous les conraines d idenifiabilié. Le nombre de paramères à esimer es élevé, il es égal à ( x x + ) + M m M m. Les algorihmes de résoluion ne son pas repris ici, le leceur inéressé pourra consuler les nombreux aricles décrivan ce modèle, par exemple Brouhns e Denui 56. Une discussion des limies de ce modèle es proposée dans Planche e Lelieur e dans Seran 57. Une fois ajusée la surface de moralié sur les données passées, il rese à modéliser la série ( k ) pour exrapoler les aux fuurs ; pour cela, on uilise en général un modèle ARIMA 58, mais oue aure modélisaion de série emporelle peu êre uilisée. Touefois, compe enu de l allure obenue sur les données disponibles : 56 BROUHNS e DENUIT [00]. 57 PLANCHET e LELIEUR [006] e dans SERANT [005]. 58 En suivan la démarche de Box e Jenkins

34 Fig. 6 : Evoluion du paramère k() avec le emps la modélisaion la plus simple que l on puisse imaginer es une régression linéaire de ces coefficiens en supposan une endance affine : * k = a + b + γ, avec ( γ ) un brui blanc gaussien de variance γ. On obien ainsi des esimaeurs â e ˆb qui permeen de consruire des surfaces projeées en uilisan simplemen k ˆ = a ˆ + b ˆ. C es ce modèle qui sera uilisé par la suie 59. Il es précisé que l objecif du présen ravail éan de quanifier dans le risque oal auquel es exposé un régime renier la par issue de l inceriude sur la moralié fuure, nous privilégions le choix d un modèle sochasique simple e opéraionnel. Les limies du modèle de Lee- Carer si elles peuven en effe avoir un impac sur le niveau absolu de la provision obenue doiven avoir un impac moindre sur la répariion enre la par muualisable e la par non muualisable du risque de moralié. On noera égalemen que, compe enu de la répariion acuelle par âge du groupe éudié, la méhode de fermeure de la able n es pas déerminane dans la formaion du résula. Plus 59 L uilisaion d un modèle plus complexe pour k() n appore pas d informaion supplémenaire perinene ; une approche «série emporelle» plus formelle condui à ajuser un processus AR(4) sans que les résulas soien ensuie sensiblemen modifiés

35 généralemen on peu considérer que l imporance du choix d une méhode de fermeure peu êre relaivisée dans le cas d un régime de renes 60. La quesion de la fermeure des ables es égalemen discuée dans Denui e Quashie 6 avec un poin de vue sensiblemen différen. 5.. Applicaions numériques On présene ici les résulas obenus ou d abord sur la famille de ables prospecives proposée puis, dans un second emps, les conséquences en erme de valorisaion de l engagemen du régime de renes. La able prospecive uilisée dans cee éude es consruie à parir des ables du momen fournies par l INED 6 ; le lien enre les aux de décès discres e la version coninue nous perme d obenir les aux de hasard à ajuser à parir des données de base : ( qˆ ) ˆ μ =ln. x L ajusemen sur les données hisoriques condui à la surface de moralié suivane : x Fig. 7 : Surface de moralié ajusée par Lee-Carer En ce qui concerne le vole prédicif du modèle, nous obenons sur nos données ˆb = 4059,94439, â = -,05775 e ˆ γ = 3, Voir sur ce poin PLANCHET e THEROND [006] 6 DENUIT e QUASHIE [005]. 6 Ces ables son disponibles sur hp:// e on éé uilisées dans MESLE e VALLIN [00]

36 Au-delà des momens d ordre un e deux de la disribuion de Λ, qui peuven êre obenus expliciemen 63, on obien la disribuion de l engagemen du régime par simulaion. On présene ci-dessous le résula dans le cas de simulaions :.80%.60%.40%.0% Fréquence.00% 0.80% 0.60% 0.40% 0.0% 0.00% Monan Fig. 8 : Disribuion empirique de l engagemen La provision L 0 es approchée par N N ( λ L ) N λ = λ N n = n. La variance de l engagemen es esimée par n 0 ; on s inéresse plus pariculièremen au coefficien de variaion n= empirique : cv = N N n= N N ( λ L ) n= n λ n 0, qui fourni un indicaeur de la dispersion de l engagemen e dans une ceraine mesure de sa «dangerosié». On obien pour ces différens indicaeurs les valeurs suivanes : 63 Cf. PLANCHET e MAGNIN [000]

37 Déerminise Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion,66% Tab. 3 : Caracérisiques de la disribuion de l engagemen On noe malgré la aille modese de la populaion que l engagemen es évalué avec une précision relaive de plus ou moins 6, % (rappor de la demi-largeur de l inervalle de confiance à l espérance). Le risque démographique es de ce poin de vue assez bien maîrisé. 5. CAS D UNE MORTALITE STOCHASTIQUE On inègre ici au modèle une composane de risque sysémaique au ravers d une inceriude sur la surface de moralié fuure, la surface consruie à la secion précédene définissan alors la endance de référence auour de laquelle la moralié observée sera supposée flucuer. 5.. Modèle de moralié On uilise l équaion de régression qui a permis d obenir la endance de moralié fuure : * k = a + b + γ, e l on obien des réalisaions de la moralié fuure en effecuan des irages dans la loi du résidu ( ) γ, N ( 0, γ ). La variable * réalisaions des aux insananés de sorie via : k es elle que ( * E k ) = k. On obien ainsi des ( k ) * * x exp x x μ = α + β. βx γ E μx = E αx + βxk = exp αx + βxk + * * On noe que dans cee approche ( ) exp ( ) donc : E βx γ μx = μx exp > μx. * ( ) e

38 Le modèle sochasique a donc endance à suresimer les aux de sorie. Mais, comme l illusre le graphique suivan, en praique ce biais es faible e peu pénalisan pour le modèle, * E ( μ ) car peu significaif aux âges élevés. On représene ci-après x μ x : Fig. 9 : Analyse du biais relaif en foncion de l âge Incidemmen, on peu remarquer qu il n es pas immédia de calculer le biais qui en résule sur les aux discres x q. En effe, l inégalié de Jensen ( f ( EX ) Ef ( X ) * * ( ) =( ) condui à E( qx ) exp ( Eμx ) f x e x ) appliquée à, ce qui ne perme pas de conclure simplemen sur le sens du biais. Cela indique ouefois que la relaion enre q x e n amplifie pas le biais, e donc le biais sur le aux discre doi êre égalemen faible. μ x On observera que la volailié γ es un paramère permean de conrôler simplemen le degré d inceriude aaché à la moralié fuure. Dans le cas pariculier γ = 0 on rerouve le modèle déerminise analysé à la secion précédene. Le biais généré sur les aux de sorie par le mode de simulaion des surfaces de moralié, s il s avère peu pénalisan au voisinage de la volailié γ esimée sur les données disponibles, pourrai êre poeniellemen gênan dans des siuaions de plus fore volailié : ce poin sera illusré par une applicaion numérique. Aussi, nous uiliserons dans la suie une version corrigée du biais du modèle proposé définie par :

39 μ α β * βx γ * x = exp x + xk * Cee version du modèle saisfai par consrucion E ( μx). = μ. Elle apparaî donc plus cohérene avec l objecif recherché de «perurber» la surface de moralié, mais sous l hypohèse que celle-ci définie correcemen la endance fuure des aux insananés de décès. x Dans ce conexe, l engagemen du régime inègre deux «sources de risque», e on es donc amené à définir un crière pour l analyse de la répariion du risque pour le régime de renes. On reien comme mesure du risque la variance de la somme des flux fuurs acualisés Λ. En condiionnan par la surface de moralié Π e en uilisan l équaion de décomposiion de la variance on obien : [ Λ ] = ( Λ Π ) + ( Λ Π) V E V V E. Le second erme du membre de droie de l expression ci-dessus représene le risque sysémaique associé au régime de renes ; le premier erme le risque echnique, i.e. le risque de moralié muualisable. En praique on reiendra comme indicaeur la par de variance expliquée par la composane de risque sysémaique, soi : ( ) ω γ V = E V ( Λ Π) [ Λ] L éude a priori des propriéés de l indicaeur de risque relaif ω ( γ ) n es pas riviale, comme on pourra s en convaincre à parir de l expression de E ( Λ Π) à la secion. Lorsque la aille du groupe end vers l infini, ω ( γ ) converge vers. En d aures ermes pour un groupe parfaiemen muualisé, oue la variance es expliquée par la composane sysémaique. Le calcul direc de ω ( γ ) n es pas aisé, aussi on uilise ici une approche par

40 simulaion : on sélecionne dans un premier emps, au moyen d un irage dans une loi N ( 0, γ ) une surface de moralié (en praique les réalisaions de la gaussienne son obenues par inversion de la foncion de répariion en uilisan l approximaion de Moro 64 ; puis, condiionnellemen à cee hypohèse de moralié, on simule la survie des reniers («le passif»). De manière plus formelle, si λ n,m es la réalisaion de Λ résulan de la n ème rajecoire de la moralié e de la m ème rajecoire du passif, noons : M n = n m M e N N M λ = λ n λ n, m m = N = NM. n= n= m= λ λ, Les quaniés ci-après son des esimaeurs sans biais e convergean respecivemen de E V ( Λ M ) e de ( Λ M ) V E : N E ˆ ( M ) ( λ λ ) V Λ = n,m n N M, M n= m= Vˆ ( M ) ( λ λ) E Λ = n. N N n= Le calibrage du nombre de simulaions es effecué de manière empirique en arrêan l algorihme lorsque les résulas se sabilisen (écar enre deux résulas successifs < 0 3 ). 5.. Applicaions numériques Les applicaions numériques proposées son à deux niveaux : dans un premier emps on analyse l impac de la prise en compe de la moralié sochasique sur la loi de l engagemen du régime considéré ; puis, dans un second emps, on déermine l évoluion en foncion de la 64 Ce algorihme es présené dans PLANCHET e al. [005]

41 volailié de la surface de moralié (e donc de l inceriude aachée à la prévision de cee dernière) de la par de variance expliquée par cee source de risque dans la variance oale. On déermine ou d abord pour la valeur esimée de la volailié de la surface de moralié ( γ = 394, ) la disribuion empirique de l engagemen, définie par : M N F ˆ = NM. ( λ ) ( λ ), λ nm, m= n= On la représene ici avec la disribuion de référence obenue précédemmen dans le cas déerminise (avec irages) :,00%,80%,60%,40% Fréquence,0%,00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,0% 0,00% Déerminise Monan Sochasique Fig. 0 : Disribuion empirique de l engagemen : approche déerminise VS approche sochasique On peu noer que le coefficien de variaion de la disribuion de l engagemen es esimé à,79 %, dans les deux siuaions (moralié déerminise e moralié sochasique) : alors que l on aurai pu s aendre à ce que la prise en compe de ce faceur de risque supplémenaire augmene sensiblemen la dispersion, e donc la «dangerosié» de l engagemen, on consae ici une quasi-sabilié. Les résulas déaillés son repris ci-après : - 4 -

42 Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion.66%.66% Tab. 4 : Caracérisiques de la disribuion de l engagemen modèle sochasique Dans le cas présen, les données de référence uilisées pour calibrer la moralié de référence flucue faiblemen, ce qui condui à un risque associé marginal au regard du risque d échanillonnage. Ceci es d auan plus marqué que la populaion concernée es d effecif relaivemen faible. Dans une approche «valeur à risque» (VaR), on rouve que le quanile à 75 % de la disribuion de l engagemen es de 37, M dans le cas sochasique, ce qui es quasimen idenique à la valeur obenue dans le cas déerminise. Ces résulas son la conséquence direce de la rès faible volailié esimée sur la série k ; dans le cas où cee volailié augmene, la disribuion de l engagemen inégran le risque sysémaique diverge rapidemen de la siuaion de référence consiuée par le modèle déerminise. A ire d illusraion, on présene ci-après les résulas avec une volailié mulipliée par 0 (le nombre de irages rese fixé à 0 000) : - 4 -

43 ,00%,80%,60%,40% Fréquence,0%,00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,0% 0,00% Monan Sochasique Déerminise Sochasique x 0 Fig. : Disribuion empirique de l engagemen : approche déerminise VS approche sochasique On peu remarquer que le coefficien de variaion de la disribuion de l engagemen dans le cas de la prise en compe d un caracère sochasique de la moralié à fore volailié es esimé à,06 %, conre,66 % dans la siuaion de référence : le modèle, comme on pouvai s y aendre, es rès sensible à la volailié de processus de généraion des surfaces de moralié sochasiques. Les résulas déaillés son repris ci-après : Déerminise Sochasique Sochasique x0 Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion.66%.66%.06% Tab. 5 : Caracérisiques de la disribuion de l engagemen en foncion de la volailié Bien enendu, oues choses égales par ailleurs, l impac sur la loi de l engagemen de la prise en compe de la composane non muualisable du risque es d auan plus imporan que les flucuaions d échanillonnage son faibles, e donc que le groupe es de aille imporane. Afin d illusrer ce poin, les calculs de la disribuion de l engagemen on éé menés sur un groupe ficif composé de 00 répliques du groupe de base, ce qui consiue ainsi un groupe de reniers. On obien le graphique suivan :

44 0,08 0,06 0,04 0,0 Fréquence 0,0 0,008 0,006 0,004 0, , , , , , , , , ,5 383 Monan (en millions d'euro) Déerminise Sochasique Fig. : Disribuion empirique de l engagemen (aille du groupe x00) On consae sur le graphique l aplaissemen de la disribuion de l engagemen, illusran une siuaion a priori plus risquée pour le régime lorsque la par non muualisable du risque es prise en compe. Les résulas synhéiques son déaillés ci-dessous : Tab. 6 : Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Quanile à 5% Quanile à 95% Coefficien de variaion 0.67% 0.05% Caracérisiques de la disribuion de l engagemen effe de aille du groupe On consae que si l espérance de l engagemen es bien simplemen mulipliée par 00 par rappor à la siuaion de référence, on voi apparaîre une différence sensible enre l approche déerminise classique e l approche sochasique : l écar-ype augmene en effe de 3 % lorsque l on prend en compe le risque non muualisable. On peu ouefois noer que le risque démographique, même en présence du faceur de risque sysémaique, rese bien maîrisé, l inervalle de confiance à 95 % pour le niveau de

45 l engagemen éan (en millions d euros) [ 3 778; 3 807], ce qui donne une précision dans la mesure de l engagemen supérieure à 99 %. Dans une approche «valeur à risque» (VaR), on rouve que le quanile à 75 % de la disribuion de l engagemen es de M dans le cas sochasique, conre M dans le cas déerminise : là encore on noe un rès faible impac absolu sur le régime. Dès lors que la volailié du processus de moralié sous-jacen devien significaive, la correcion de biais s avère indispensable. Le graphique suivan, qui représene la disribuion empirique avec une volailié égale à 0 fois, puis 0 fois la volailié de référence du modèle sans correcion du biais illusre ce poin :,00%,80%,60%,40% Fréquence,0%,00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,0% 0,00% Monan Sochasique Sochasique x 0 Sochasique x 0 Déerminise Fig. 3 : Disribuion empirique de l engagemen : approche déerminise VS approche sochasique On noe que la disribuion inégran le risque sysémaique se rouve décalée vers la gauche du fai du biais sur les aux de sorie e qu elle condui ainsi à une vision minorée de l engagemen

46 Comme les résulas précédens l on monré, le comporemen de l engagemen es foncion de la volailié du processus sochasique de moralié sous-jacen, qu il impore donc de quanifier. Les esimaeurs présenés supra nous permeen d obenir le graphique d évoluion de la par du risque sysémaique dans le risque global ω ( γ ) en foncion de la volailié γ du généraeur de ables prospecives. 00% 80% Par de variance sochasique 60% 40% 0% 0% Sigma Fig. 4 : Evoluion de la par du risque sysémaique dans le risque global en foncion de γ On consae (ce qui es inuiif) que la par de risque sysémaique es croissane en foncion de la volailié γ. La croissance de la courbe es lene au débu e ne s accélère que pour les valeurs de la volailié imporanes. Avec la volailié esimée sur nos données, on obien une par rès faible de variance associée au risque sysémaique de 0,56 %. A γ fixé, la par de variance expliquée par la composane sochasique de la moralié augmene avec la aille du porefeuille ; afin de mesurer ce effe, on consrui un porefeuille ficif en répliquan le porefeuille de base n fois. En observan que l on obien ainsi une décomposiion de l engagemen oal Λ en la somme de n variables i.i.d. () ( n) Λ,.., Λ on rouve que ( ) () V E ΛΠ = n V E Λ Π condui, avec des noaions évidenes, à : () Λ Π = ne V Λ Π e E V( ) ce qui

47 ωn = + n ω. On obien ainsi (la aille du porefeuille es exprimée en nombre de fois la aille du porefeuille de référence) : 40% 35% Par de variance sochasique 30% 5% 0% 5% 0% 5% 0% Taille du porefeuille Simulé Théorique Fig. 5 : Evoluion de la par du risque sysémaique dans le risque global en foncion de la aille du porefeuille On noe une croissance relaivemen lene 65 de cee source de risque dans la variance oale, le seuil d un iers éan par exemple aein pour un régime de plus de reniers ; pour des régimes de cee aille les flucuaions d échanillonnage son rès faibles, e la variance associée es donc peie. Incidemmen on observe sur ce graphique la rès grande proximié des valeurs héoriques e des valeurs simulées, ce qui illusre la perinence d une approche par simulaion dans ce ype de problémaiques : pour de peies valeurs de n, la aille réduie du porefeuille ne pénalise pas la perinence du résula obenu, e pour de grandes valeurs de n, les emps de simulaion resen praicables (sur donc un porefeuille de plus de reniers). 65 Quasi linéaire, la courbure de l hyperbole héorique es rès faible

48 5..3 Un modèle alernaif 66 Le modèle de moralié proposé ici s appuie sur le consa que la endance exrapolée de l analyse de la série ( k ) es quasi-linéaire, ce qui condui en 5.. à proposer pour les perurbaions auour de la endance un brui blanc gaussien. Touefois, une analyse plus fine de la série ( k ) monre (en uilisan par exemple le es de Dickey & Fuller) que la non saionnarié de la série n es pas correcemen modélisée par le modèle linéaire e condui à proposer une modélisaion plus élaborée. En praique on obien l équaion auo-régessive suivane : k 3 = μ + a k + ε i i i= La mise en œuvre de ce modèle alernaif sur les données présenées en 5.. perme de consruire une surface de moralié prospecive rès proche de la surface obenue dans le cadre d une simple régression linéaire ; en effe, on observe que : modèle Série emporelle linéaire Fig. 6 : Comparaison des k() ajusés avec un modèle linéaire e un modèle AR(3) 66 Ce modèle es proposé par JUILLARD [006] auquel le leceur pourra se reporer pour le déail de l analyse de la série emporelle

49 Ainsi les deux approches conduisen à des endances linéaires rès proches l une de l aure. Touefois, les deux modèles se comporen différemmen lors de la simulaion de surfaces de moralié. En effe, dans le cas du modèle de régression linéaire, une perurbaion à la hausse sur la dérive emporelle es en moyenne compensée l année d après, ce qui a pour conséquence direce une rès faible volailié des surfaces ainsi consruies. Dans le cas du modèle auo-régressif, si en moyenne le résula change peu, la volailié globale induie sur les surfaces de moralié par la «mémoire» du processus de dérive es sensiblemen supérieure. Les surfaces de moralié générées son incluses, à 95 % dans le «volume de moralié» suivan : Fig. 7 : Volume de moralié à 95 % dans le cadre du modèle auo-régressif Cee volailié supplémenaire a pour conséquence immédiae d augmener la par de risque sysémaique supporée par le régime de renes : Dérive AR(3) Déerminise Sochasique Dérive linéaire Ecar AR(3) / linéaire Espérance ,73% Ecar-ype ,89% Borne inférieure de l'inervalle de confiance ,8% Borne supérieure de l'inervalle de confiance ,59% Coefficien de variaion,64%,0%,66% 6,96% Tab. 7 : Comparaison de la disribuion de l engagemen modèle AR(3) e modèle linéaire L imprécision sur la mesure de l engagemen, mesurée par la demi-longueur de l inervalle de confiance à 95 % passe ainsi de 3, % à 4, %. Le ableau ci-dessus fai clairemen apparaîre que si, en moyenne, les deux modélisaions son rès proches, la composane de risque

50 sysémaique es plus imporane dans la modélisaion auo-régressive 67. Touefois, au global, l effe pour le régime rese limié. Cee approche perme de mere en évidence le fai que si le modèle de régression linéaire es a priori suffisan pour consruire une surface prospecive perinene, il doi êre affiné dans le cadre d une uilisaion pour la quanificaion du risque sysémaique de moralié. 5.3 CONCLUSION On a mis en œuvre dans la présene secion un modèle opéraionnel pour quanifier la par de risque sysémaique de moralié dans l engagemen d un régime de renes. Les résulas obenus enden à monrer qu en-deçà d un effecif de quelques dizaines de milliers de êes ce risque es négligeable, les flucuaions d échanillonnage expliquan alors l esseniel de la variance. Pour les gros porefeuilles, si le risque sysémaique devien significaif d un poin de vue relaif, le risque muualisable diminuan avec l effecif concerné, le niveau absolu de risque rese faible. Au global la largeur de l inervalle de confiance à 95 % pour l esimaion de l engagemen es décroissane avec la aille de la populaion sous risque, même en inégran le risque sysémaique. La principale limie du modèle proposé es la conséquence direce d une limiaion de la modélisaion de Lee-Carer (ou des modèles poissoniens) : les aux de moralié aux différens âges son en effe supposés parfaiemen corrélés, la composane aléaoire ( k ) ne dépendan que du emps 68, e le aux de sorie insanané éan obenu par la formule ln μ x = α x + β x k. Ceci es en praique conredi par la figure Fig. 5 : Flucuaions des aux de décès auour de la endance de long erme. Touefois l approche proposée dans le présen ravail peu êre aisémen adapée à l ensemble des modèles reposan sur une modélisaion de la endance emporelle au ravers d une série emporelle (évenuellemen sur plusieurs paramères). On peu noammen imaginer de se fonder sur des approches uilisan les logis des aux de décès Ceci es une conséquence direce de la «mémoire du processus», un choc sur la surface de moralié voi ses effe prolongés sur plusieurs années, alors que dans la modélisaion linéaire, il es compensé l année d après. 68 Cee composane es modélisée par un processus ARIMA. 69 Voir ces modèles dans PLANCHET [005] e dans SERANT [005]

51 Il nous semble uile de préciser que ce ype d approche fourni un cadre opéraionnel pour répondre aux exigences des fuures disposiions Solvabilié (e égalemen dans le conexe de l IFRS 4 phase, quoi que sur ce poin les normes compables soien moins exigeanes). On soulignera ouefois que, si ces approches permeen de quanifier le risque associé au caracère inrinsèquemen aléaoire de la moralié fuure, auour d une endance supposée prévisible, elles n apporen pas pour auan de réponse à une évenuelle erreur de spécificaion sur la endance de référence. On consae ainsi par exemple que les modèles prospecifs consruis par le passé on sysémaiquemen sous-esimé l augmenaion de l espérance de vie des reniers, e donc le niveau des provisions d un régime de renes. Des modèles sricemen exrapolaifs peuven donc apparaîre limiés de ce poin de vue. On peu envisager, face aux inceriudes sur l évoluion de la moralié fuure, d inroduire dans les modèles une conraine exogène permean d inégrer une opinion a priori que l on peu avoir sur la moralié fuure, indépendammen de la endance passée. Une pise, en cours d exploraion e qui donnera lieu à un prochain ravail, consise à imposer une conraine sur l espérance de vie à un âge de référence e à conrôler son évoluion de manière exogène. Une seconde pise consise à modéliser l erreur dans l appréciaion de la dérive e de quanifier l impac de cee erreur sur la disribuion de l engagemen : cee analyse es menée à la secion 6 du présen chapire. En effe, le régime considéré ici es en fai soumis à deux risques disincs : le premier, don l éude occupe la présene secion, es la conséquence des flucuaions aléaoires des aux de moralié fuurs auour de la endance définie par la able prospecive. Le second es quan à lui associé à l inceriude sur cee endance. Plus précisémen, cee inceriude a elle-même deux sources : l erreur de modèle e l imprécision associée à la déerminaion des coefficiens de l inerpolaion. Il es délica d évaluer a priori l erreur de modèle ; une première approche consise par exemple à eser la robusesse du modèle proposé en effecuan les esimaions sur différenes - 5 -

52 plages emporelles. Ces esimaions conduisen à des esimaions de la moralié fuures qui peuven êre sensiblemen divergenes. L imprécision aachée aux coefficiens de l inerpolaion eux même es plus aisée à quanifier. En effe, dans le modèle : * k = a + b + γ, les coefficiens a e b son esimés par la méhode des moindres carrés ordinaires, qui condui à ce que le couple ( ˆ, ˆ) ab soi un veceur gaussien. On peu donc simuler différenes droies d exrapolaion e inégrer cee source de variabilié dans le modèle. Il es imporan de considérer l exisence de cee seconde source de risque, poeniellemen beaucoup plus imporane pour le régime, les écars de pene sur la droie d exrapolaion conduisan à des aux de survie de plus en plus divergens au cours du emps. 6 MESURE DE L INCERTITUDE TENDANCIELLE SUR LA MORTALITE Les analyses prospecives de moralié conduisen à aniciper les évoluions fuures des aux de décès aux différens âges. Dans les modèles mainenan classiques de consrucion de ables prospecives, comme le modèle de Lee-Carer ou les modèles poissoniens, la dérive de moralié fuure es anicipée à parir des observaions passées. Même en admean qu il es légiime de prolonger dans les années à venir les endances observées par le passé 70, plusieurs sources d inceriude viennen perurber la déerminaion de la endance fuure : choix de la période d observaion, flucuaions sochasique des aux de moralié, événemens excepionnels, ec.. Par exemple, selon la période d observaion reenue pour l ajusemen du modèle de Lee-Carer (ou de ses varianes) on obien des esimaions de la série ( k ) sensiblemen décalées, comme l illusre le graphique ci-dessous : 70 On pourra se reporer à CAREY e TULAPURKAR [003] pour des analyses inégran des considéraions biologiques e environemenales, ainsi que GUTTERMAN e VANDERHOOF [999] pour une discussion sur ce poin

53 [ ] [ ] [ ] [ ] Fig. 8 : Comparaison des séries k() en foncion de la plage d observaion Cee inceriude fai peser sur les assureurs de renes viagères e les régimes de reraie un risque sysémaique (non muualisable) don l impac financier peu êre rès imporan. Ainsi, sur l exemple du régime éudié ici on rouve :,60%,40%,0%,00% Fréquence 0,80% 0,60% 0,40% 0,0% 0,00% Monan [ ] [ ] [ ] Fig. 9 : Impac de la plage d observaion sur la disribuion de l engagemen

54 La récene acualisaion des ables uilisées en France par les assureurs pour le provisionnemen des renes viagères illusre égalemen les difficulés d une elle anicipaion e les enjeux financiers associés : par rappor aux ables TPG en vigueur jusqu au 3//006, les nouvelles ables 7 TGH 05 e TGF 05 qui enren en vigueur le 0/0/007 (ces ables son présenées en déails dans une noe de présenaion de l Insiu des Acuaires 73 ) conduisen à des majoraions de provision parfois supérieures à 0 %, comme l illusre le ableau suivan : Age Généraion TPG 993 Femmes Femmes / TPG Hommes Hommes / TPG ,8647 8,4055 5,9% 6, ,% ,6368 5, ,0% 4, ,8% ,5083 3,3085 8,3%,588 -,% ,534 0, ,0% 8,6 -,7% , ,89,3% 5,0877 -,0% ,5679 4, ,9%, ,6% ,3594 0,967 7,% 9,890 -,4% , ,5548 8,5% 6,6487-3,4% ,9330 5, ,5% 4, ,9% , ,9408 3,8% 3,4009 -,9% Tab. 8 : Comparaison des coefficiens de provisionnemen TPG 993 e TGH/TGF 05 Dans ce conexe il apparaî opporun de rechercher à mesurer le risque associé à cee erreur d anicipaion e de quanifier son impac en erme de provisions pour un régime de reniers. On uilise pour cela comme précédemmen le modèle de Lee-Carer 74 pour consruire une surface de moralié μ ( x, ). Après un ajusemen des aux passés, les aux de moralié pour les années fuures se déduisen classiquemen de l exrapolaion de la composane emporelle. A parir de ce modèle de référence, on propose un modèle sochasique de moralié en considéran que le aux de moralié fuur μ ( x, ) es lui-même aléaoire, e que donc μ ( x, ) es un processus sochasique (comme foncion de à x fixé). L aléa es inrodui de manière à capurer l inceriude sur l esimaion de la endance fuure de la composane emporelle des aux de moralié. 7 Tables obenues sur la base de la moralié de la populaion féminine sur la période , uilisées depuis le er juille Homologuées par l arrêé du 0/08/ Cf. PLANCHET [006]. 74 Voir noammen LEE e CARTER [99], LEE [000], SITHOLE e al. [000]

55 Après avoir consrui un jeu de ables prospecives sur des données naionales à l aide de ce modèle, nous l uilisons pour calibrer l inceriude sur la dérive anicipée e appliquons le modèle ainsi obenu pour déerminer la disribuion de l engagemen d un régime de renes. Les conséquences en erme d analyse du risque pesan sur le régime e de provisionnemen son examinées. 6. MODELE DE MORTALITE Le modèle reenu pour consruire les ables prospecives es un modèle sochasique adapé du modèle de Lee-Carer don les principales caracérisiques son rappelées à la secion 5... Dans ce cadre, une fois ajusée la surface de moralié sur les données passées, il rese à modéliser la série ( k ) pour exrapoler les aux fuurs ; pour cela, on uilise la modélisaion la plus simple que l on puisse imaginer, une régression linéaire en supposan une endance affine : * k = a + b + γ, avec ( γ ) un brui blanc gaussien de variance γ. On obien ainsi des esimaeurs â e ˆb qui permeen de consruire des surfaces projeées en uilisan simplemen * ˆ ˆ k = a+ b. Afin de simplifier l écriure des formules à venir, on pose τ = + m e T = M m +, ce qui condui aux expressions : aˆ = T + k k T τ τ T e ˆ T + b = k aˆ, avec k = kτ = k T T. De plus, le veceur ( ˆ, ˆ) d espérance ( ab, ) e de variance : ab es disribué selon une loi normale

56 T + γ Σ=. T( T ) T + ( T + )( T + ) 6 On peu donc consruire des réalisaions de la moralié fuure en effecuan des irages dans la loi du veceur ( ˆ, ˆ) ab. La variable des réalisaions des aux insananés de sorie via : k * ainsi obenue es elle que ( * E k ) ( k ) * * x exp x x μ = α + β. = k. On obien alors Comme * ˆ ˆ k = a+ bes une variable gaussienne d espérance k = a+ b e de variance : γ τ ( ) ( T+ )( T+ ) = τ τ( T+ ) +, TT on noe que : ( ) * * ( ) ( ) β exp exp x E μ x = E αx + βxk = αx + βxk +, e donc : E * ( ) β exp x μ x = μ x > μx. Le modèle sochasique a donc endance à suresimer les aux de sorie par rappor à la surface de référence fournie par le modèle de Lee-Carer. Compe enu du nore objecif de «perurber» la surface de moralié, mais sous l hypohèse que celle-ci définie correcemen

57 la endance fuure espérée des aux insananés de décès cee propriéé du modèle es poeniellemen pénalisane e il convien d adaper l approche proposée. A la secion 5 on a uilisé une version corrigée du biais du modèle définie par : μ α β * β * exp x x = x + xk * Cee version du modèle saisfai par consrucion E ( μx). = μ. Elle apparaî donc cohérene avec l objecif recherché. Touefois, on peu lui reprocher de déformer de manière arbiraire la disribuion des aux sochasiques ; en effe, si le modèle k * = a ˆ + bˆ es perinen, alors les aux de sorie * * * μ x réellemen observés seron bien issus du modèle μx exp ( αx βxk ) non de la version corrigée du biais. x = + e On uilise ici une approche différene e a priori plus naurelle consisan à uiliser comme surface de référence déerminise la surface moyenne du modèle sochasique, soi E * ( ) β exp x μ x = αx + βxk +. En effe, si le mécanisme aléaoire don son issus les aux de décès es bien associé à k * ˆ ˆ = a+ b, alors la moralié de référence déerminise es bien définie par la surface moyenne ci-dessus, e non plus par la surface de Lee-Carer. 6. APPLICATIONS NUMERIQUES On présene ici les résulas obenus ou d abord sur la famille de ables prospecives proposée puis, dans un second emps, les conséquences en erme de valorisaion de l engagemen du régime de renes

58 6.. Tables prospecives La able prospecive uilisée dans cee éude es comme précédemmen (cf. 5..) consruie à parir des ables du momen fournies par l INED 75 dans Mesle e Vallin 76 e condui à la surface de moralié Lee-Carer suivane : Fig. 0 : Surface de moralié ajusée par Lee-Carer La surface de référence ajusée de nore modèle sochasique es présenée sur le graphe cidessous : Fig. : Surface de moralié de référence du modèle sochasique 75 Ces ables son disponibles sur hp:// 76 MESLE e VALLIN [00]

59 On remarque que la différence enre les deux graphes es rès faible. En effe l écar enre les β deux surfaces es donné par β exp x x = don la valeur es proche de un compe enue de la faible volailié des données. Nous obenons en effe les valeurs suivanes des paramères : ˆb = 4059,94439, â = -,05775 e ˆ γ = 3, , b =. 8058, a = e = ˆ Une cenaine de irages de rajecoires de k perme d obenir le graphe suivan : Année Fig. : Simulaion de rajecoires de la endance On consae sur le graphe que les différenes rajecoires de k son presque parallèles. Ceci es du à la faible volailié de l esimaeur â. Ainsi le modèle ire la plus grande parie de sa volailié de la consane ˆb. Si l on cherche à comparer la volailié de la dérive emporelle modélisée dans cee secion avec celle du modèle uilisé pour quanifier le risque de flucuaion auour de la dérive, on obien le graphe suivan :

60 K Fig. 3 : «couloir de variaion» de la endance Alors que précédemmen (secion 5) le modèle uilisé ne prenai en compe que l oscillaion de la dérive emporelle k auour de sa moyenne, le modèle acuel simule l erreur d ajusemen qui a pu êre faie sur la dérive emporelle passée. Si précédemmen les différenes rajecoires de k éaien siuées enre deux droies parallèles délimian le couloir de variaion de la endance à 95 %, on consae sur le graphique ci-dessus que les rajecoires de la dérive emporelle son siuées enre deux droies s éloignan l une de l aure avec le emps (la volailié augmene ici avec le emps). Les variaions de la endance emporelle e celles du aux insanané de moralié éan comparables, le graphique ci-dessus radui l hypohèse de base du modèle : la composane sochasique de la moralié ire, dans cee modélisaion, sa volailié non pas des flucuaions annuelles qui, comme nous l avons monré supra son faibles, mais pluô de la dérive aléaoire de la moralié. 6.. Applicaion au régime de renes viagères Lorsque la moralié fuure es connue (déerminise), l analyse de la loi de Λ (cf. ) revien à mesurer les flucuaions d échanillonnage qui es associé au «risque de volailié» el que décri dans la modélisaion proposée par le QIS par exemple 77. Dans le conexe d une 77 Cf. CEIOPS [006]

61 moralié sochasique (la moralié fuure éan alors inconnue), cee analyse nous fourni un moyen de quanifier le risque sysémaique qui vien s ajouer à ce risque de base : nous pourrons donc mesurer ainsi le risque associé au choix de la dérive. La méhode reenue consise à simuler les durées de survie des reniers, Tx ( j ), j J, à calculer des réalisaions λ,..., λ n de Λ puis à déerminer la foncion de répariion empirique de l engagemen. Les algorihmes uilisés son présenés en annexe. La provision L 0 es approchée par N N ( λ L ) N λ = λ N n = n. La variance de l engagemen es esimée par n 0 ; on calcule égalemen le coefficien de variaion empirique : n= cv = N N n= N N ( λ L ) n= n λ n 0, qui fourni un indicaeur de la dispersion de l engagemen e dans une ceraine mesure de sa «dangerosié». On considère la disribuion empirique de l engagemen calculé avec un aux echnique de,5 %. La disribuion empirique de l engagemen, représenée ici avec la disribuion de référence dans le cas déerminise (avec irages) es présenée ci-dessous : - 6 -

62 .00%.80%.60%.40% Fréquence.0%.00% 0.80% 0.60% 0.40% 0.0% 0.00% Monan Sochasique deerminise Fig. 4 : Disribuion empirique de l engagemen Les résulas déaillés son repris ci-après : Déerminise surface Lee Carer Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion.65%.65%.70% Tab. 9 : Caracérisiques de la disribuion de l engagemen On remarque ou d abord que la modificaion de la surface de référence uilisée n a pas β d impac. Ceci es du au fai que pour ou x e pour ou exp x es proche de. Sur un porefeuille de peie aille, l impac de la moralié sochasique sur l engagemen ne semble pas rès imporan. En effe le coefficien de variaion de l engagemen sochasique n es que,9 % plus élevé que celui de l engagemen déerminise. On obien des résulas rès proches de ceux obenus précédemmen

63 Ainsi an que le porefeuille n es pas correcemen muualisé, l impac du risque sysémaique es rès faible comparé à celui du risque muualisable. Si l on muliplie la aille du porefeuille par 30 (qui condui à une populaion d environ reniers) on obien les résulas suivans : Fréquence Monan Deerminise Sochasique Fig. 5 : Disribuion empirique de l engagemen (populaion x30) Les résulas déaillés son repris ci-après : Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion 0.30% 0.49% Tab. 0 : Caracérisiques de la disribuion de l engagemen (aille du groupe x30) La prise en compe de la moralié sochasique augmene le coefficien de variaion de 63 %. Dans une approche «valeur à risque» (VaR), on rouve que le quanile à 75 % de la disribuion de l engagemen es de 4 M dans le cas sochasique, ce qui es supérieur à la valeur obenue dans le cas déerminise, soi 40 M. En d aures ermes, la prise en

64 compe du risque de dérive condui ici (en suivan une approche VaR pour le calcul de la provision) à augmener le monan provisionné de 0,7 %, ce qui n es pas significaif. La prise en compe du risque de dérive a égalemen pour conséquence de doubler l imprécision dans l évaluaion de l engagemen 78 qui, au niveau de confiance de 95 %, passe de 0,7 % environ à près de,3 %. Touefois, la marge d inceriude sur l engagemen rese faible. A la secion 5 nous avions mis en évidence le fai que l évaluaion de l engagemen d un régime de reniers, l aléa associé aux flucuaions des aux de décès fuurs auour de leur endance n a qu un faible impac que l on pouvai légiimemen négliger. Le modèle mis en œuvre ici perme de monrer que, si ces régimes son pariculièremen sensibles au risque d erreur de spécificaion de la endance fuure, l inceriude sur ce poin incluse dans les données passées ne suffi pas à expliquer les évoluions récenes observées. Incidemmen, on insisera sur le fai que l on a fai ici le choix de modéliser l aléa sur la endance fuure de moralié à parir des seules flucuaions du paramère emporel k ; cee approche es jusifiée par le fai que l on cherche à idenifier la volailié des aux de décès non associée aux flucuaions d échanillonnage. Compe enu des effecifs rès imporans du groupe uilisé pour consruire les ables uilisées ici (la populaion française), on peu en effe considérer qu il n y a plus de flucuaions d échanillonnage significaives dans l esimaion des aux brus 79 e que donc il es légiime de considérer la surface passée fixe. Une approche alernaive consiserai à prendre en compe globalemen l inceriude sur le paramère vecoriel θ ( α, β,k ) = pour générer des surfaces de moralié. Cee démarche es echniquemen simple à mere en œuvre à la condiion d uiliser la variane log-poisson du modèle de Lee-Carer, dans laquelle l esimaion de θ es effecuée par maximum de vraisemblance, puisque alors on peu déerminer l informaion de Fischer associée e uiliser la normalié asympoique de l esimaeur L imprécision es mesurée par la demi-longueur relaive de l inervalle de confiance à 95 %. 79 Sur les adapaions du modèle de Lee-Carer au cas de peis échanillons pour lesquels cee hypohèse n es plus vérifiée, on pourra se reporer à PLANCHET e LELIEUR [006]. 80 Voir par exemple HAAS [006] pour une uilisaion de cee approche dans le cas de swaps de moralié

65 Touefois, elle nous semble moins perinene dans le cas présen, nore objecif éan d isoler le risque associé à une inceriude srucurelle sur les aux e non à une inceriude d esimaion. En conclusion, on peu reenir que le régime de rene es par conre soumis à un risque de modèle imporan. Il es ainsi possible de reformuler les conséquences du passage des ables TPG 993 aux ables 8 TGH 05 évoquées en inroducion (cf. page 5) en rapprochan l évoluion anicipée de l espérance de vie à 60 ans dans les deux modèles prospecifs. On obien ainsi : 00,00 98,00 96,00 94,00 9,00 y = 0,47x + 90,396 Age 90,00 88,00 y = 0,89x + 87,46 86,00 84,00 8,00 80, Généraion TGF05 TPG993 Linéaire (TGF05) Linéaire (TPG993) Fig. 6 : Evoluion anicipée de l espérance de vie à 60 ans On observe que non seulemen les niveaux absolus diffèren sensiblemen, mais égalemen que la viesse de croissance de l espérance de vie à 60 ans a éé sensiblemen sous-esimée en 993 : alors que les TPG 993 anicipen une augmenaion de,4 mois par an, les ables TGF 05 prévoien une dérive de,8 mois par an, soi 3 % de plus. 8 On rappelle que les TPG 993 son des ables féminines

66 Ceci illusre la difficulé à aniciper la endance de dérive de la moralié fuure à parir de données hisoriques 8. Dans ce conexe, on pourrai imaginer d uiliser comme paramère de conrôle du modèle, en le fixan comme une conraine ex ane par exemple l espérance de vie à un âge donné (60 ans) e son évoluion fuure. Une elle approche permerai de quanifier par exemple l impac sur les charges du régime d une erreur de 0, mois/an sur la viesse de dérive de cee espérance e d inégrer ainsi expliciemen des indicaeurs de l impac sur l évaluaion de l engagemen du régime d une erreur de modèle. Il nous semble enfin uile de préciser que ce ype d approche fourni un cadre opéraionnel pour répondre aux exigences des fuures disposiions Solvabilié (e égalemen dans le conexe de l IFRS 4 phase, quoi que sur ce poin les normes compables soien moins exigeanes). 8 Les populaions de référence uilisées pour les séries de ables diffèren, mais on obiendrai les même conclusions en uilisan des ables prospecives INSEE à la place des TGF

67 PARTIE : L ACTIF, ANALYSE DES RISQUES ET MODELISATION La modélisaion des acifs financiers dans le cadre de l éude d un régime de renes viagères inervien principalemen en deux occasions : La modélisaion de aux d acualisaion aléaoires pour en mesure l impac sur l engagemen (au sens de «valeur acuelle») du régime ; La consrucion d un modèle plus comple dans le cadre d une éude d allocaion sraégique d acif («approche ALM»). L éude de la loi de l engagemen d un régime de renes en présence d un aux d acualisaion sochasique peu apparaîre un peu arificielle dans le cadre de l évaluaion d engagemen sur la base d hypohèses prudenes, comme c es le cas dans la réglemenaion acuelle. Elle prend ou son sens dans le cadre des réformes en cours de la solvabilié d une par, e de la norme compable IAS 9 d aure par, l acualisaion devan êre effecuée selon un aux de marché (ou une courbe de aux). La modélisaion des aux d inérê qu elle implique consiue la première éape d une démarche ALM plus large, qui permera de fixer un cadre pour la gesion financière (via l allocaion sraégique) e un ouil de piloage de la solvabilié du régime. On es ainsi condui à rechercher des modèles adapés au conexe des régimes de renes viagères pour décrire le comporemen à long erme des acifs classiquemen uilisés dans ce conexe : acions e assimilés, obligaions e produis de aux, monéaire e immobilier. Les modèles d acifs financiers risqués de ype «acions» son nombreux e la liéraure sur le suje abonde. Touefois, dans les applicaions opéraionnelles, c es le plus souven le modèle de Black & Scholes 83, reposan sur une hypohèse de rendemens i.i.d. log-normaux, qui es uilisé. Cerains modèles plus élaborés uilisen aujourd hui les varianes de modèle à 83 BLACK e SCHOLES [973]

68 «changemen de régime» proposé par Hardy 84 dans lequel le processus des cours bascule à chaque période enre deux modélisaions log-normales, chacune éan associée à un conexe économique («normal» e «crise» par exemple). Ces modélisaions présenen un handicap majeur dans le conexe de quanificaion des risques imposé par Solvabilié, don on rappelle qu il repose sur le conrôle d une probabilié de ruine (à un an) à 0,5 %. En effe, elles on endance à sous-esimer les événemens exrêmes, don la bonne appréciaion condiionne pouran direcemen la mesure perinene du niveau de capial alloué 85. Pour une descripion de Solvabilié e ses implicaions en assurance on pourra se reporer à l annexe sur ce suje (Annexe n : le disposiif Solvabilié ). On remarquera au surplus que les modèles classiques issus de la finance de marché son consruis en général dans une perspecive d analyse de l évoluion des cours à cour erme, alors que les projecions uiles pour un régime de renes viagères son des projecions de long erme. Cee problémaique emporelle es une quesion récurrene que l on rerouve sysémaiquemen lors de l adapaion à une démarche d assurance d un modèle iniialemen consrui en finance de marché 86. On propose à la secion E de recourir au modèle proposé iniialemen par Meron 87 qui es un «sur-modèle» au modèle de Black e Scholes prenan en compe le caracère inrinsèquemen disconinu des cours boursiers. La secion D es quan à elle consacrée à la présenaion des modélisaions de référence dans les approches assuranielles pour l inflaion. Cee secion vien compléer le propos de la secion B. On a choisi ici de ne pas revenir sur les modèles de aux d inérê, compe enu de l abondane liéraure sur le suje. Le leceur inéressé rouvera une synhèse rès complèe sur le suje dans les ravaux de Roncalli HARDY [00]. 85 Voir l exemple présené à la secion Les conséquences de ce poin sur l évaluaion de la VaR d un porefeuille d assurance son par exemple développées dans FEDOR e MOREL [006]. 87 MERTON [976]. 88 RONCALLI [998]

69 On noera égalemen que, au-delà de la quesion de la durée déjà évoquée supra, les modélisaions de produis financiers iniialemen conçues dans le conexe de la finance de marché doiven êre adapées aux spécificiés de l assurance (marchés incomples, mauriés longues, fréquences de réajusemen des porefeuilles basses, ec.). Ce n es pas là le suje de cee hèse e il ne sera pas développé, ouefois il semble uile de renvoyer le leceur aux aricles sur ce hème 89. Enfin, on n aborde pas ici la modélisaion d un acif immobilier, qui fai le plus souven appel dans le cadre des éudes de déerminaion de d allocaion sraégique au même modèle que celui uilisé pour les acifs de ype «acions», avec simplemen des paramères spécifiques. 89 CHENUT e al. [003], CHENUT e al. [004], DEVOLDER [00] e PLANCHET e THEROND [005] pour une synhèse

70 D. MODELISATION DE L INFLATION La modélisaion de l inflaion es, on l a vu, une problémaique essenielle de l analyse d un régime de reraie, au ravers des disposiifs de revalorisaion des renes. Au-delà des conraines macro-économiques de long erme décries à la secion B, il es indispensable de modéliser les variaions du aux d inflaion de moyen erme, noammen pour la déerminaion de l allocaion sraégique. De nombreux modèles on éé proposés dans la liéraure pour rendre compe de l inflaion ; dans le cadre de modèles acuariels 90. Trois de ces modèles son présenés ci-après. On uilisera dans la suie de cee éude le modèle d Ahlgrim (cf. la secion G pour une applicaion). 7 APPROCHE DE Kaufmann ET AL. Dans l aricle de référence «Inroducion o dynamic financial analysis» 9, la valeur du aux d inflaion (i ) es modélisée à parir de celle du aux cour erme (r ) : i = α + β r + ε où α, β e son des paramères qui peuven êre esimés à parir de données hisoriques e ε correspond à un brui blanc de variance. 7. RESOLUTION PAR LES MOINDRES CARRES ORDINAIRES Les paramères du modèle peuven êre esimés selon la méhode des moindres carrés ordinaires (MCO). La formule peu en effe se réécrire de la façon suivane : i = Xλ + ε 90 Voir par exemple KAUFMANN e al. [00], WILKIE [995] e AHLGRIM e al. [003]. 9. Cf. KAUFMANN e al. [00]

71 α avec λ = e X une marice de dimension (n, ) (n correspond au nombre d observaions, β i e ε son ainsi des veceurs colonnes de dimension n). La première colonne es l inercep e la deuxième correspond aux valeurs successives de r. Noons égalemen que ε es de marice de variance covariance égale à I n. Le coefficien λ es calculé de façon à minimiser la variance des résidus : Var( ε ) = ( i X λ )'( i X λ ) = [ i'i - λ'x'i + λ'x'xλ] n n Var( ε ) On en dédui ensuie que = [- X'i + X'Xλ ] λ l expression usuelle des esimaeurs des moindres carrés : n, ce qui perme de rouver ˆλ = - (X'X) X'i Ces esimaeurs on pour caracérisiques d êre sans biais e de variance minimum. Pour les résidus, on obien ˆε i - X ˆ n = λ e ˆ = var( ˆ ε ). n - Au moyen du es de Durbin-Wason, on peu analyser l indépendance des résidus. Plus précisémen, on ese : H0 : Non-corrélaion des résidus, conre H : Les résidus suiven un processus auo régressif 9 d ordre. Dans ces condiions, la saisique de es s écri : 9. On peu l écrire sous la forme ε i = ρ.ε i - + ui où i u sui une loi normale N (, v )

72 d = n i= ( ˆ ε - ˆ ε ) n i= i i- ˆ ε i Dans le cas où l hypohèse nulle serai refusée, on ne peu considérer que les résidus son ideniquemen disribués e que l esimaeur des moindres carrés ordinaires n es pas de variance minimale. Il fau alors faire appel à des moindres carrés généralisés. 7. RESOLUTION PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES GENERALISES Le modèle s écri dans ce conexe (en gardan les dimensions des marices uilisées au paragraphe précéden) i = Xλ + ε où ε es de marice de variance covariance Σ (symérique, définie posiive, inversible). D aure par, nous avons pris comme hypohèse que les résidus suivaien un processus auo régressif d ordre ; on peu alors écrire : ce qui fourni : Var( ε) = ρ Var( ε) + v, Var( ε ) v =. - ρ Dans ces condiions, la marice de variance covariance s écri sous la forme suivane : n ρ ρ... ρ n ρ ρ... ρ v n 3 Σ = v ρ ρ... ρ = Ω. - ρ n n n3 ρ ρ ρ... Les valeurs exaces des différens élémens de cee marice son inconnues, elles doiven donc êre esimées. La marice ˆΩ éan symérique, il en es de même pour la marice Ωˆ. Celle-ci peu alors s écrire sous la forme ˆ Ω = D'D. On muliplie ensuie i = Xλ + ε - 7 -

73 par D pour obenir Di = D X λ + Dε. On vérifie que E(Dε ) = 0 e E((Dε )( Dε )') = I. Dans ces condiions, on peu se référer à la méhode des moindres carrés généralisés e abouir, après simplificaions, à : avec ˆ - - (X' ˆ λ = Ω X ) (X' Ω ˆ i ), ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ ρ... 0 ˆ Ω = ρ + ρ ρ ρ Pour vérifier le caracère explicaif du modèle, nous pouvons nous inéresser à la saisique du R². Celle-ci fai apparaîre la valeur esimée du aux d inflaion (î ) e la valeur moyenne de l inflaion observée ( i ) : R = - ( i -i ˆ ) ( i -i). L adéquaion des données au modèle es d auan meilleure que cee saisique es proche de l unié. Afin de eser la significaivié de la régression, on uilise le fai que sous l hypohèse que β es nul, le rappor R - R (n - ) sui une loi de Fisher 93 de paramères (,n-). L hypohèse de nullié de β es donc rejeée si le rappor es rop grand. 93 SAPORTA [990]

74 8 MODELE DE Wilkie Nous présenons ici le modèle de Wilkie 94 comme un modèle d inflaion, mais il s agi en fai d un modèle plus ambiieux qui inègre égalemen les acifs e les aux d inérê. Touefois, dans le modèle de Wilkie, le aux d inflaion joue un rôle majeur, dans la mesure où la valeur de nombreux paramères économiques en découle. Taux d'inflaion Monan du dividende Taux de dividende Taux d'inérê à long erme Fig. 7 : Lien enre aux d inflaion e aux d inérê Il s agi principalemen un modèle empirique, éabli sur des données économiques du Royaume Uni de 99 à 98. L une des premières modélisaions du aux d inflaion fu celle de la «marche aléaoire» (développée par Bachelier 95 en 900). Même si ce modèle apparaî cohéren dans le cadre de l éude du cours d une acion, ces limies se fon senir lorsqu il s agi de rendre compe de l évoluion du aux d inflaion. Wilkie propose donc un modèle auo-régressif, déaillé ci-après. 8. DESCRIPTION DU MODELE Il s agi d un modèle auo régressif. L évoluion de ce processus es régie par une équaion du ype : i ()- i m = a i(-) - i m + ε, avec i() le aux d augmenaion de l indice des prix, i m le aux d inflaion à long erme, a le coefficien de reour à la moyenne, l écar ype du brui e ε une variable aléaoire disribuée selon une loi normale cenrée réduie. 94 WILKIE [995]. 95 Voir BACHELIER [900]

75 Cependan Wilkie n uilise pas ce modèle el quel ; il préfère ravailler sur le logarihme de l indice des prix. En effe, il observe que seules les variaions relaives de l indice des prix son imporanes e non les variaions absolues. En se référan à des données empiriques de plusieurs pays de l OCDE, il remarque que la variable δ () = lni() - lni(-) sui une disribuion qui peu êre approchée par une loi normale cenrée. Finalemen, le modèle proposé par Wilkie prend la forme suivane : I () I(-) ln = i m + a ln - i m + ε I ( ) I(-), où I() correspond à l indice des prix de l année. Cee même équaion peu êre réécrie de la manière suivane : [ ] [ ] ln + i() = i m + a ln + i() - i m + ε. 8. EXEMPLE NUMERIQUE : LE CAS DU ROYAUME UNI En se basan sur les données empiriques du Royaume Uni de 99 à 98, Wilkie a obenu les valeurs numériques suivanes : i m = 5,75 %, a = 0,6 % e = 0,05. Remarquons que, sur le long erme, l inflaion peu connaîre des évoluions radicalemen différenes. Il es donc imporan de bien choisir la période sur laquelle on esime les différens paramères e de faire en sore qu elle ne compore pas de phénomène économique excepionnel. 9 MODÈLE DE Ahlgrim ET AL. La modélisaion proposée par Ahlgrim 96 suppose que l indice des prix à la consommaion évolue comme sui : 96 AHLGRIM e al. [003]

76 + δ I+ δ = I*exp ( j + xs) ds, où j es le aux insanané moyen d évoluion des prix e où le processus x modélise les flucuaions aléaoires auour de la endance : I s s I s dx = a x ds + db, où B I un mouvemen brownien sandard. Dans le conexe d un sysème de revalorisaion selon l inflaion, on es amené à calculer la quanié : + δ + δ I j E + δ δ Φ = E exp ( j + xs) ds Φ = e E exp xsds Φ I. L avanage du modèle proposé es que ces grandeurs se calculen simplemen ; en effe, puisque x es un processus d Ornsein-Ulhenbeck, la variable aléaoire x s es une gaussienne don on peu calculer moyenne e variance : E x s = x0 e e plus as as e V x s = I. De a +δ xs ds es une variable gaussienne puisqu il s agi de la limie d une somme de variables aléaoires gaussiennes. L expression de la ransformée de Laplace d une variable gaussienne 97 nous perme donc d écrire : + δ + δ + δ E exp xs ds Φ = exp E xs ds Φ + V xs ds Φ. Comme Rappelons que si ε es une variable aléaoire de loi N(m,), [ exp ( z * ε) ] 98. Cf. LAMBERTON e LAPEYRE [997] pour le déail des calculs. E = exp zm + z

77 + δ aδ e E xs ds Φ = x, a e : il vien : aδ ( e ) + δ aδ V I e xs ds Φ = δ, a a a aδ ( e ) + δ aδ aδ e E exp exp I e xs ds Φ = x + δ a, a a a e enfin : aδ ( e ) aδ aδ I E + δ e exp I e Φ = jδ + x + δ I. a a a a Ce modèle sera uilisé dans une problémaique d allocaion d acif à la secion 9.. Il présene noammen l avanage d une approche cohérene en erme de modélisaion avec les modèles CIR (pour les aux) e de Meron (pour les acions, cf. secion E) e perme ainsi une présenaion homogène des modèles

78 E. PRISE EN COMPTE DES SAUTS BOURSIERS DANS LES PROBLEMATIQUES D'ASSURANCE 99 Le modèle de référence pour la modélisaion de l évoluion des acifs risqués es, dans les modèles d assurance, celui de Black e Scholes 00, qui considère que les cours peuven êre représenés par un mouvemen brownien géomérique. Les hypohèses de ce modèle son rès resricives : coninuié des rajecoires, consance de la volailié, log-normalié des rendemens, ec. Un cerain nombre d observaions empiriques 0 conredisen manifesemen ces hypohèses : les prix sauen soudainemen, les éudes empiriques monren que la volailié n es pas consane e au surplus les queues de disribuion son plus épaisses que celle d une loi log-normale. Le graphique ci-dessous 0 illusre ces consaaions : Fig. 8 : Evoluion disconinue du ire Mercer au mois d ocobre 004 Dans le conexe acuel d uilisaion du modèle de Black e Scholes en assurance, esseniellemen dans le cadre de la déerminaion d allocaions sraégiques e de l évaluaion d opions (pour des garanies plancher sur des conras en uniés de compe par exemple), cee relaive inadéquaion du modèle à la réalié s avère assez peu pénalisane. En praique elle es largemen compensée par la facilié de mise en œuvre du modèle. Touefois, le proje Solvabilié en cours d élaboraion 03 modifie profondémen les règles de fixaion du niveau des fonds propres en assurance en inroduisan comme crière explicie le 99 Ce exe es adapé de PLANCHET e THEROND [005c]. 00 BLACK e SCHOLES [973]. 0 Cf. MANDELBROT [96], [963] e FAMA [965]. 0 Evoluion fin 004 du ire de Mercer, données issues de hp://

79 conrôle du risque global supporé par la sociéé. Ce risque devra noammen êre quanifié au ravers la probabilié de ruine. Dans ce nouveau conexe, les inconvéniens principaux de modélisaions de ype «brownien géomérique» e noammen l insuffisance de l épaisseur des queues de disribuion (qui condui à une rop faible représenaion des évènemens rares) e la non prise en compe des chocs, à la hausse ou à la baisse, sur les cours (qui condui à ne pas inégrer au modèle d évènemens excepionnels e bruaux) peuven avoir des conséquences imporanes sur l appréciaion du niveau de capial nécessaire pour conrôler la ruine au niveau fixé. Ce poin es par exemple abordé dans Balloa 04 pour le cas des opions cachées d un conra d épargne, e dans Planche e Thérond 05 dans le cadre d un modèle mono périodique simplifié en assurance non-vie pour la déerminaion d un capial cible e l allocaion d acifs. Comme indiqué au débu de ce ravail, un grand nombre de soluions alernaives au modèle de Black e Scholes on éé proposées dans la liéraure : on peu noammen menionner le modèle i.i.d. α -sable 06, les modèles à volailié sochasique, comme par exemple celui de Hull e Whie 07, des processus mixes brownien Poisson 08 ou encore des maringales disconinues 09. Les méhodes saisiques associées à ce ype de processus son souven difficiles à mere en œuvre 0. Compe enu de la place privilégiée du mouvemen brownien géomérique, nous nous inéressons ici aux modèles généralisan cee approche e incluan le mouvemen brownien géomérique comme cas pariculier. Le modèle proposé par Meron es de ce poin de vue assez naurel ; c es donc le modèle que nous reiendrons ici. Nore objecif es de proposer une méhodologie saisique simple à mere en œuvre permean de décider si, dans le conexe rappelé ci-dessus, le modèle original de Black e Scholes peu êre uilisé en l éa ou si un modèle inégran des saus es mieux adapé aux 03 Cf. COMMISSION EUROPEENNE [003], [004] e AAI [004]. Voir égalemen l annexe n. 04 BALLOTTA [004]. 05 PLANCHET e THEROND [005]. 06 Cf. FAMA e ROLL [97]. 07 HULL e WHITE [987]. 08 Cf. BELLAMY [999]. 09 Cf. DRITSCHEL e PROTTER [999]. 0 Voir par exemple D ESTAMPES [003] sur ce suje. MERTON [976]

80 données disponibles. Nous reprenons le modèle de Meron e nous nous inspirons pour cela de la démarche proposée par Ramezani e Zeng pour l esimaion des paramères par maximum de vraisemblance. Après avoir décri le modèle e la procédure d esimaion proposée, nous illusrons cee approche avec pour exemple le ire Alcael. Les conséquences de la présence de saus dans le modèle d acif son prises en considéraion dans l aricle d origine de Meron e développées par Balloa 3 dans le conexe des évaluaions en norme IFRS de passifs d assurance. 0 MODELISATION DE L ACTIF RISQUE 0. PRESENTATION DU MODELE Nous reprenons le modèle proposé par Meron. Nous considérons ainsi que le prix de l acif S présene des saus log-normaux V,..,V à des insans aléaoires τ, τ,..., τ qui son les j j insans de sau d un processus de Poisson. Enre deux insans de sau on suppose que la dynamique du cours respece le modèle de Black e Scholes. Cela condui après quelques manipulaions 4 à l expression suivane du cours : où = ( B ) ( 0) N ( ) S( ) = S 0 exp μ + B + U k, k = B es un mouvemen brownien. = ( N ) ( 0) N es un processus de Poisson homogène d inensié λ. = ( U k ) ( k ) U es une suie de variables aléaoires indépendanes ideniquemen disribuées de loi une loi normale N ( 0, u ). Les processus B, N e U son muuellemen indépendans. On supposera sans pere de généralié dans la suie que S ( 0 ) =. RAMEZANI e ZENG [998]. 3 BALLOTTA [004]. 4 On pourra se reporer pour la démonsraion à LAMBERTON e LAPEYRE [997]

81 Les saus son ici, dans un souci de simplicié, supposés symériques e en moyenne nuls ; des modèles plus élaborés à saus dissymériques peuven égalemen êre proposés, comme dans Ramezani e Zeng 5. Nous ne les considérerons pas ici, l objecif éan d obenir au modèle d un niveau de simplicié proche de celui de Black e Scholes. Le modèle ainsi obenu perme d ors e déjà de représener les différenes siuaions auxquelles nous nous inéressons : u = 0 ramène au modèle classique de Black e Scholes, = 0 nous donne une évoluion puremen disconinue, e dans les aures cas le modèle inègre les deux composanes. Noons Ψ la ribu engendrée par les B s, Ns pour s e U k { k } pour j ; B es un N mouvemen brownien sandard par rappor à la filraion Ψ, N es un processus adapé à cee même filraion. De plus > s, N Ns es indépendan de la ribu Ψ s. La loi de S es connue expliciemen dans ce modèle : + n 0, S x e. n= 0 n + n! u ln x Proposiion : Pour ou [ ] ( μ ) λ ( ) λ > Pr ( ) = Φ Démonsraion : Pr x N [ S( ) x] = Pr U + ( μ ) + B ln x k k = + N = Pr U + ( μ ) + B ln x, N = n k n= 0 k = + n = Pr U + ( μ ) + B ln x Pr [ N = n] k, n= 0 k = puisque les processus N, B e U son muuellemen indépendans. Par ailleurs, les processus n U k k= n k= U e + B B éan indépendans e gaussiens, leur somme es égalemen gaussienne : ( 0; nu ) ~ N. Enfin comme N es un processus de Poisson d inensié λ, k + pour ou > 0, la variable aléaoire N es disribuée selon une loi de Poisson de paramère n λ λ e donc [ ] ( λ ) Pr N = n = e. n! 5 RAMEZANI e ZENG [998]

82 Lorsque λ = 0 (cas de l absence de saus) on rerouve la loi log-normale usuelle du brownien géomérique. Dans le cas général, l expression de la proposiion ci-dessus perme d approcher numériquemen la disribuion de l acif en ne conservan qu un nombre fini de ermes dans la somme. En praique, les 7 premiers ermes fournissen une approximaion saisfaisane. Les applicaions numériques présenées dans le présen ravail son effecuées en conservan les 5 premiers ermes. De plus, dans cee modélisaion les momens d ordre quelconque se calculen simplemen. C es l obje de la proposiion suivane. Proposiion : Pour ou p R on a : p [ ] p S( ) = exp p μ + + λ[ exp( p ) ] E u, N p Démonsraion : Soi p R, on a : E [ S( ) ] = E exp p μ + pb + p Uk. Les k = ermes aléaoires de l exponenielle son indépendans ce qui ramène le calcul au produi de [ exp{ }] E pb e Pour ou > 0, N E exp p U k. k = B es une v. a. de loi ( ; ) N 0 donc p E [ exp{ pb }] = exp, Par ailleurs on a vu (cf. la démonsraion de la proposiion ) que ( λ ) + n λ E exp p n= 0 k= N E exp p Uk = e Uk, k= n! Comme les saus son gaussiens e cenrés, e donc n n p E exp p U = u k exp, = k - 8 -

83 E exp p N k = U k = e + λ n= 0 ( ) λ n p exp u = exp{ λ[ exp( p ) ] }. n! u Ce qui perme d obenir le résula. Remarque : La paramérisaion reenue pour le modèle découle direcemen de l ajou d une composane à saus au modèle décri par l équaion différenielle sochasique ds S = μ + db ; elle condui à un rendemen espéré égal à m = μ, e non à μ. Lorsque l on sera amené à comparer le modèle sandard de Black e Scholes avec le modèle de Meron, on imposera comme conraine l égalié de l espérance e de la variance du rendemen dans les deux modèles, ce qui condui donc à ne pas uiliser le même paramère μ. En noan m la variance oale du rendemen e α la par de cee variance associée à la composane à saus ( α = U λ ) vue (, m,α,λ ) m m e non ( μ, λ, ) u, la paramérisaion «naurelle» es donc de ce poin de,. Nous uiliserons nore paramérisaion iniiale dans la présenaion des résulas héoriques, e la paramérisaion «naurelle» pour jusifier le niveau des hypohèses effecuées dans les applicaions numériques proposées. 0. ESTIMATION DES PARAMETRES La démarche d esimaion des paramères sui celle proposée dans Ramezani e Zeng 6 dans le cadre d un modèle proche. Dans un premier emps des esimaeurs son obenus par la méhode des momens. Ces esimaeurs son uilisés pour iniialiser un algorihme de maximisaion de la vraisemblance, e obenir ainsi des esimaeurs plus précis bénéfician des propriéés classiques des esimaeurs du maximum de vraisemblance : convergence, efficacié asympoique, normalié asympoique. Le rendemen de l acif sur [ + h], s écri : S S + h exp = exp ( μ ² )( + h) + B + h + + h i= ( ) μ N ² + B + U i i= N U i 6 RAMEZANI e ZENG [998]

84 ce qui condui après simplificaion à l expression : ( ) + + = h N N i h h U B B h S S μ ² exp On en dédui que, si l on dispose de n observaions des cours équiréparies aux insans n it i = sur un inervalle [ ],T 0, les variables ( ) ( ) ( ) = = i i i i S S x x ln son elles que : ( ) = = + + = n T i n it N k k N k k i U U n T i B n it B n T x ( ) μ Cela prouve que les variables aléaoires n x x,.., son indépendanes e ideniquemen disribuées. En d aures ermes les rendemens sur des inervalles disjoins son indépendans, e la disribuion du rendemen dépend de la longueur de l inervalle mais pas de sa posiion. Au prix d un changemen d échelle, on peu donc oujours supposer que le pas de la subdivision es égal à un = n T ; on es ainsi ramené à déerminer la loi de ( ) () S S r + = ln, qui es indépendane de. De plus, comme mélange de loi absolumen coninues, la loi du rendemen es absolumen coninue. On a dans ces condiions le résula suivan : Proposiion 3 : La densié de r s écri : ( ) ( ) ( ) = + μ + + λ π = λ 0 n n x n n n e x r f u u exp! Démonsraion : On uilise un argumen de condiionnemen par rappor au nombre de saus du processus de Poisson, qui nous condui à écrire, avec des noaions évidenes ( ) ( ) [ ] n N x f x f s n n r r = = = Pr 0 ; condiionnellemen au fai que le processus a saué n fois sur [ ] 0,, le rendemen sui une loi normale comme somme de variables gaussiennes : ( ) () = + + μ = n i n U i B r d après les propriéés de saionnarié des accroissemens du mouvemen brownien e du processus de Poisson ; on en dédui que :

85 f r n ( x) = π ( ) ( ) ( ( ) exp x μ + n + n u u ce qui perme d obenir le résula. Incidemmen, cela monre que la loi du rendemen es un mélange de lois normales, la loi de mélange éan la loi de Poisson. On peu avec les résulas précédens obenir une expression simple de la ransformée de Laplace de r : E βr [ ] β e = exp β μ + + λ[ exp( β ) ] u Nous n uiliserons ouefois pas cee expression dans la suie. 0.. Méhode des momens Le modèle es décri par quare paramères ; l égalisaion de quare momens empiriques avec les momens héoriques correspondans condui à un sysème de quare équaions à quare inconnues qui va nous permere d en déerminer des esimaeurs. Compe enu de la forme de la loi du rendemen, on s inéresse aux momens cenrés. Si m E[ r] k [ ] calculer m ( r m) k = = μ, on va donc = E ; un argumen de symérie condui à conclure que m 0. Il suffi donc de déerminer les momens d ordre pair. On a alors le résula suivan : = k + Proposiion 4 : Le momen cenré d ordre k de r s écri : m k = E ( r m) k = e λ ( k )! n λ k ( + n ) k k! n= 0 n! u Démonsraion : Noons = + la variance de la loi condiionnelle à N = n. D après n n u ce qui précède, on a : m k = n = 0 λ n exp n! ( λ ) + π n x k exp n ( x m) dx

86 Le changemen de variable u = x m condui à : n + π n exp, n k k ( x m) ( x m) dx = n ck avec + = k u ck u exp du. Le calcul du coefficien c s effecue simplemen par k π récurrence via une inégraion par paries e on rouve finalemen la démonsraion. ( k )! c =, ce qui ermine k k k! On peu en pariculier remarquer avec k = que la variance de r s écri [ r ] = m = + V λu, qui es une expression naurelle. Cee expression peu égalemen êre obenue direcemen par applicaion de l équaion de décomposiion de la variance. La résoluion du sysème non linéaire à quare équaions e quare inconnues pour obenir les valeurs des paramères par cee méhode peu êre effecuée par un algorihme de ype Newon-Raphson 7 e ne pose pas de difficulé pariculière. 0.. Maximum de vraisemblance La méhode des momens a permis d obenir un premier jeu d esimaeurs pour les paramères du modèle ; nous uilisons ce jeu comme valeur iniiale pour déerminer le maximum local de la vraisemblance dans son voisinage. Compe enu de la proposiion 3, on obien l expression suivane de la vraisemblance : L ( x,..., x, μ,, λ, ) n u = n i= λ x μ + i e λ n exp π n = 0 n! ( + n ) ( + n ) u u 7 Les propriéés de ce algorihme son rappelées dans PLANCHET e THEROND [006]

87 Le bu es ici de maximiser la vraisemblance (ou de manière équivalene de minimiser ( x, μ,, λ ) ln L, ). Concernan les conraines, il vien de manière évidene 0 e u u 0. Ensuie, nous allons éudier les valeurs des esimaeurs issues de la méhode des momens pour encadrer les aures paramères. Nous disposons des esimaeurs obenus par la méhode des momens. Nous considérons que ces esimaeurs approchen à plus ou moins 0 % les esimaeurs du maximum de vraisemblance. Par conséquen, nous reenons d imposer quare conraines d inégalié pour l opimisaion de la log-vraisemblance. On es ainsi amené à un classique problème de maximisaion sous conraines, don la résoluion numérique n appelle pas de remarque pariculière. 0.3 TESTS DE LA VALIDITE DU MODELE Nous reenons rois ess de base pour nous aider à reenir le modèle le plus perinen : le classique es du Chi-, le es «up and down» e le es du rappor des maxima de vraisemblance Tes d adéquaion du Chi- 8 Nore objecif es ici de vérifier que, après esimaion des paramères, l adéquaion des données à la loi héorique esimée. On divise donc la plage des rendemens en k classes. Sous l hypohèse nulle, si N i es le nombre d observaions (aléaoires) apparenan à la classe ( a i, a i + ), on a E [ N i ] = n pi où p i = [ X ( ai, ai +) ] Pr pour i =,, k. Les variables suiven des lois binomiales de paramères n e p i, e donc, sous l hypohèse nulle, on a ( N np ) i np i i ( 0, p i ) N. N i 8 Voir par exemple SAPORTA [990]

88 La saisique D ( N np i k ) ( N ) i= k = i i i es donc la somme de carrés de variables = = n np np i= i i= i aléaoires asympoiquemen normales liées par la relaion n N = n. De plus les p = 4 paramères indépendans son esimés par la méhode du maximum de vraisemblance e il es classique que la loi limie de D² es encadrée par les lois χ e r p χ r du Chi- à ( r p ) e ( ) r degrés de liberé. i= i Cee approximaion es jusifiée si n es assez grand e les p pas rop peis avec comme règle i empirique que np > e au moins 80 % des np 5 dans le souci du respec du crière de i Cochran. Si el n es pas le cas à cause d une valeur de i p rop peie, on regroupe les classes i coniguës. La p-valeur du es es encadrée par [ χ χ ] α Pr[ χ ] χobs = D. Pr avec r p > obs r > χobs 0.3. Tes «up and down» Ce es es uilisé pour vérifier l indépendance des rendemens. Soi Y,, Y une suie finie de variables aléaoires réelles elles que : Pr ( Y = Y ) = 0 pour i j i j. On souhaie eser pour un seuil α > 0, l hypohèse nulle que les variables son indépendanes e ideniquemen disribuées conre son alernaive. On inrodui, pour i =,, n, les indicarices. Z = i Y i + > Y i { } On appelle alors séquence de la suie z, z,, z n (composée de 0 e de ) une succession du même symbole (0 ou ) suivie e précédée de l aure symbole ou du vide. Soi R la variable aléaoire réelle nombre oal de séquences de 0 e de relevées dans la réalisaion Z, Z... Z n. On monre 9 que, sous l hypohèse H 0 : (i) La loi de R es indépendane de la loi commune des Y i, 9 Cf. CAPÉRAÀ e VAN CUTSEM [988]

89 = n (ii) E ( R) e ( R) = 3 R E( R) Loi N( 0, ) ( R) (iii) 6n 9 V, 90 lorsque n. Cee approximaion normale es uilisable dès que n 5. Le es «up and down» rejee naurellemen l hypohèse H 0 si on observe un nombre rop faible ou rop élevé de séquences. Sa région criique, de seuil asympoique α, es donc : W α R E( R) ( y) : > q ( R) = α / où q α / es le quanile de la loi normale. La p-valeur de ce es a pour expression : R E( R) α = Pr N( 0, ) >. ( R) Tes du rappor de vraisemblances Il s agi ici de s assurer que l échanillon sui un modèle de Meron pluô que le sous-modèle consiué par le modèle de Black e Scholes. Nous voulons donc eser H : ( λ, Ω) 0 conre : ( λ, Ω) 0 0 = H soi H 0 le modèle à saus n es pas adapé conre H les saus son pris en compe par le modèle. Pour cela, on considère la saisique :

90 = = = = n i u i u n i i k k x k k k e x L λ 0 μ λ π μ π exp! exp où les x i son les observaions de l échanillon de rendemens. La disribuion de L ln es asympoiquemen celle d un Chi- à p degrés de liberé dans l hypohèse H 0, où p es le nombre de paramères. APPLICATIONS Nous décrivons ci-après rois applicaions simples du modèle proposé. L objecif es d illusrer à la fois la simplicié de mise en œuvre du modèle, à peine plus complexe que celui de Black e Scholes, e l inérê de son uilisaion dans les problèmes d assurance que ce soi pour le provisionnemen de ceraines garanies dans les conras d épargne (exemple. cidessous) ou pour la déerminaion du capial cible dans le référeniel Solvabilié (exemple.3 ci-dessous). Nous commençons par l illusraion de la méhode d esimaion des paramères du modèle.. AJUSTEMENT DU MODELE A SAUTS SUR DES COURS BOURSIERS Pour les applicaions numériques, nous uilisons des observaions quoidiennes des cours du ire Alcael, obenues sur hp:// A parir de ces coaions, nous recalculons le rendemen quoidien de la manière suivane : ( ) = = i i i i S S x x ln

91 Nous obenons ainsi un échanillon i.i.d. à parir duquel nous calculons les esimaeurs empiriques des quare momens nécessaires à l esimaion iniiale des paramères : espérance empirique e les rois premiers momens cenrés. Nous disposons d observaions quoidiennes des cours pour la période du 5 juin 00 au janvier 005, soi 659 cours, don l allure générale es la suivane : 5 9 Cours /06/0 03/09/0 //0 7/0/03 08/04/03 0/06/03 9/08/03 07//03 /0/04 3/03/04 /06/04 0/08/04 9/0/04 07/0 Fig. 9 : Cours à la clôure du ire Alcael Le rendemen quoidien évolue de la manière suivane : 40% 30% 0% Rendemen 0% 0% -0% -0% 5/06/0 03/09/0 //0 7/0/03 08/04/03 0/06/03 9/08/03 07//03 Dae /0/04 3/03/04 /06/04 0/08/04 9/0/04 07/0/05 Fig. 30 : Evoluion du rendemen quoidien - 9 -

92 Le cours moyen du ire précéden es de 9,07, pour un écar-ype de,97. Le coefficien de variaion vau 3,70. Le rendemen (quoidien) moyen du ire es de 0, , pour un écar-ype de 0,04574 pour la période éudiée. Le coefficien d asymérie du rendemen du ire es de 0,57 (à comparer à 0 pour celui d une loi normale) e le coefficien d aplaissemen de la variable rendemen vau 9,76. Ces premières saisiques sur le rendemen nous permeen de penser que l échanillon ne sui pas une loi normale. Le caracère non gaussien des rendemens apparaî clairemen sur le graphe ci-dessous, sur lequel on a représené la disribuion empirique e la disribuion gaussienne ajusée par le maximum de vraisemblance : 0,08 0,07 0,06 Probabilié 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0-5% -0% -5% -0% -5% 0% 5% 0% 5% 0% Rendemen Fig. 3 : Disribuion du rendemen Les momens cenrés empiriques valen sur ce exemple : m = 0, m = 0, m 4 5 = 4, * 0 m6 =, 8363*

93 Les esimaeurs de la méhode des momens e ceux du maximum de vraisemblance son présenés dans le ableau suivan 0 : Méhode des momens Maximum de vraisemblance μ 0, , , ,07855 λ 0, , , , u Tab. : Esimaeurs des momens e EMV (En considéran qu une année compore 50 jours ouvrés, le rendemen annuel moyen du ire es d environ 5 % e la variance globale es égale à 45 %, soi une volailié de 67 %). On consae qu environ 50 % de la variance du rendemen es expliquée par la composane à saus, qui n es donc pas négligeable. Au surplus, le passage des esimaeurs par la méhode des momens aux esimaeurs du maximum de vraisemblance augmene ici légèremen le poids de la composane à saus. En comparan la disribuion avec les saus e la disribuion log-normale, on rouve : 0 Meron Black e Scholes 8 Densié ,0-0,6-0, -0,08-0,04 0,00 0,04 0,08 0, 0,6 0,0 Valeur Fig. 3 : Densié des deux modèles de rendemen 0 L unié uilisée es le jour

94 L analyse saisique se conclu par de faibles p-valeurs pour les ess d adéquaion de l échanillon au modèle proposé. Par conséquen, e comme on pouvai s y aendre, l adéquaion du modèle aux données es imparfaie. Touefois, nore bu éan d améliorer le modèle de Black e Scholes, il nous paraî inéressan de comparer les saisiques du Chi- pour le modèle de Meron e pour le modèle de Black e Scholes. Nous consaons que la saisique es dans le cas de Black e Scholes neemen supérieure à celle dans le cas de Meron. Cela corrobore le fai que la par de variance expliquée par la composane à saus n es pas négligeable.. PRIX D UNE OPTION D ACHAT EUROPEENNE Afin d illusrer sur un cas simplifié l impac du choix du modèle d acif sur les résulas obenus, nous nous inéressons ci-après à la valorisaion d une opion d acha européenne avec d une par le modèle classique de Black e Scholes e d aure par le modèle de Meron. Nous évaluons égalemen la probabilié d exercice de l opion. Dans le cas du modèle de Meron la mesure maringale n es plus unique e le marché es donc en siuaion d incompléude. Différenes approches peuven êre reenues pour jusifier le choix de la mesure uilisée pour arifer l opion. Nous reenons ici la soluion iniiale de Meron consisan à considérer que le risque associé à la composane à saus es non sysémaique (propre au ire) e donc diversifiable : on ne lui associe pas de prime de risque. Cela condui donc à évaluer simplemen l espérance des flux associés. Afin de réaliser une comparaison enre les deux approches, nous imposons λ = e conraignons la variance des rendemens dans les deux modèles à êre égale, ce qui condui à imposer = + λ BS u. Avec une espérance de rendemen de 8 % (en aux discre), une volailié globale de 5 % (i. e. = 0, 5 ), e une décomposiion de la volailié des BS rendemen avec saus de = 0, 5 e = 0,, on obien les lois des rendemens dans les deux modèles qui on l allure suivane : U Voir BALLOTTA [004] qui déaille ce poin

95 0, Modèle de Black & Scholes 0,09 Modèle de Meron 0,08 0,07 Probabilié 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, ,8-0,6-0,4-0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 Rendemen Fig. 33 : Densié du rendemen On remarque noammen la queue de disribuion plus épaisse obenue avec le modèle de Meron. On considère un ire coé 00 à l origine, le prix d exercice es égal à 0 e la maurié de l opion es T =. On consae alors que la probabilié d exercice es quasimen idenique dans les deux modèles, égale à 4 % ; le prix de l opion es par conre de 9,5 dans le modèle de Black e Scholes e de seulemen 5,0 dans le modèle de Meron. Plus généralemen, lorsque l on fai varier la par de variance associée à la composane à saus, la probabilié d exercice rese sable, alors que le prix de l opion varie (e es d auan plus proche de celui donné par Black e Scholes que la par de volailié associée aux saus es faible). On mesure ainsi l incidence poenielle sur le provisionnemen e la arificaion des garanies plancher des conras en uniés de compe du choix du modèle d acif..3 SOLVABILITE : IMPACT SUR LE CAPITAL CIBLE Le fuur référeniel de solvabilié européen (Solvabilié ) imposera aux sociéés d assurance de disposer d un niveau de fonds propres direcemen lié aux risques qu elles supporen (cf

96 page 53). Il s agira donc pour les sociéés de modéliser ous les risques auxquels elles son soumises e de calculer par le biais d une mesure de risque le besoin en capial. Dans un el conexe, les modèles d acifs reenus auron un impac sur l exigence de fonds propres. En pariculier, nous allons voir qu avec des caracérisiques de rendemen similaires, modéliser les cours par un brownien géomérique ou par le modèle de Meron a des conséquences imporanes sur le capial cible. Pour illusrer cela, nous reprenons le modèle de Deelsra e Janssen qui proposen de modéliser une sociéé d assurance de manière agrégée par deux processus : un pour l acif ( A ) 0 e un aure pour le passif ( L ) 0. Dans cerains cas, par exemple lorsque ces deux processus son des mouvemens browniens géomériques, cee modélisaion perme d obenir des résulas explicies concernan les probabiliés de ruine de la sociéé. Dans ce modèle, la richesse de la sociéé à la dae es égale à cee richesse es négaive. A L e la sociéé es en ruine à cee dae si Pour illusrer l impac de la prise en compe des saus, nous allons modéliser le passif par un mouvemen brownien géomérique : L L = L L 0 exp μ + L L B, e allons successivemen éudier les siuaions où le processus d acif inègre ou pas des saus..3. Absence de saus Dans cee siuaion, on se rouve dans la siuaion sandard de Black e Scholes où l acif évolue selon le processus A : A = A A A 0 exp μ + A AB. DEELSTRA e JANSSEN [998]

97 Inéressons-nous dans un premier emps à la ruine à l insan T. La sociéé es en ruine en T si sa richesse es négaive ou, de manière équivalene, si 0 < = L A a ln. Dans nore siuaion (absence de sau), le processus d adéquaion acif-passif a es un mouvemen brownien avec dérive ; en effe : L L A A L A L A B B a a μ μ =. En faisan l hypohèse courane, en assurance non-vie noammen, que les mouvemens browniens A B e L B son indépendans, on peu écrire : L A L A L A B a a 0 μ μ =. De cee expression, vien le calcul de la probabilié d êre en ruine en : [ ] < = < 0 μ μ 0 0 L A L A L A B a a Pr Pr. Comme à la dae, ( ) N B, ~ 0, il vien : [ ] + + Φ = < a a L A L A L A L A 0 μ μ 0 Pr. Les bonnes propriéés du mouvemen brownien fon que l on dispose d une formule explicie de la probabilié d êre en ruine enre 0 e. En effe, en remarquan que [ ] [ ] > = < = < s s s s s a a a s sup Pr inf Pr, Pr, il es possible d uiliser la relaion suivane 3 : 3 Démonrée dans REVUZ e YOR [999].

98 ( ) > Φ + + Φ = >. sup Pr 0 α pour 0 α pour α β β α α β βα 0 e B s Dans nore cas, 0 α L A a + = e μ μ β L A L A L A + =. En supposan que la richesse iniiale es sricemen posiive soi 0 0 L A > (le cas conraire correspondan à la ruine en 0), il vien donc : ( ) ( ) = < + a e a a L A L A L A L A a L A L A L A L A s s L A L A L A 0 μ μ 0 0 μ μ μ μ 0 0 Φ Φ inf Pr..3. Prise en compe des saus A présen nous allons voir l impac de la prise en compe des saus sur le niveau de la probabilié de ruine. L acif es mainenan modélisé par le processus suivan 4 : + + = = N k k A A A A U B A A 0 μ exp. où N es un processus de Poisson d inensié λ e où les variables aléaoires,, U U son muuellemen indépendanes e disribuées selon une loi ( ) N U 0,. En supposan oujours l indépendance enre le risque du passif modélisé par L B e les risques d acif modélisés par les processus A B N, e la suie,, U U, le processus d adéquaion acif-passif a la forme : 4 Voir la secion E pour les propriéés de ce processus.

99 = = N k k L A L A L A U B a a 0 μ μ. La probabilié de ruine à la dae es : [ ] < + + = < = a U B a L A L A N k k L A μ μ 0 0 Pr Pr, don une expression es donnée par la proposiion suivane : Proposiion 5 : Lorsque A B L B N,, e U son muuellemen indépendans, on a : [ ] ( ) + = + + = < 0 λ 0 λ μ 0 n n U a a n e n a a! Φ Pr, où μ μ μ L A L A a = e L A a + =. Démonsraion : Le résula provien de l applicaion du héorème des probabiliés oales : [ ] [ ] + = = = < + + = < 0 0 μ μ 0 n L A L A n k k L A n N a U B a Pr Pr Pr, en remarquan que ( ) = 0 U L A n k k L A n N U B, ~. La probabilié d avoir éé en ruine sur l inervalle [ ], 0 n a pas d expression explicie, e doi êre évaluée numériquemen. En praique, on pourra uiliser des méhodes de simulaion pour esimer cee quanié..3.3 Applicaion numérique Dans un conexe de ype Solvabilié, une sociéé d assurance devra disposer d un niveau de fonds propres (le capial cible) qui conrôle le risque global de la sociéé à un horizon prédéerminé. Considérons ici que la mesure du risque global de la sociéé es la probabilié de ruine qu il s agi de conrôler à horizon an avec une probabilié de %. Nous avons supposé qu au bou d une année, la sociéé doive avoir un acif assez imporan pour venir en conreparie d un passif qui vaudra, de manière ceraine, 00. L assureur

100 dispose en 0 de ce même monan en provisions, il s agi donc de déerminer le monan du capial cible γ el que : Pr N + B U k. k = ( 00 γ) exp μ , 0 Par ailleurs, nous avons uilisé les paramères suivans : μ = ln 0, 08 λ =, 5 + λu = 0, 6, Le rendemen discre du ire es donc de 8 %, il y a en moyenne,5 saus par an e l écarype du rendemen es égal à 40 %. Nous nous inéressons à la variaion du capial cible en foncion de la par de la variance expliquée par la composane à saus (α avec les noaions inroduies supra en 0.). Selon que le risque es modélisé uniquemen par la composane à saus ( α = ) ou uniquemen par le mouvemen brownien ( α = 0), les disribuions du cours du ire en son rès différenes (pour un prix d acha de 00 en 0) comme le monre le graphique suivan. Fig. 34 : Disribuions du cours de l acion en pour α = e α =

101 Lorsque oue la variabilié es représenée par les saus, on remarque qu une parie de la courbe es plae. Cee parie de la foncion de répariion correspond à la probabilié qu il n y λ, N = 0 auquel cas le rendemen es de 8 %. ai pas de sau Pr[ ] = e 0 Le graphique suivan nous indique le monan du capial cible en foncion de la par de la variabilié représenée par la composane brownienne. Rappelons que nous ravaillons à variance du rendemen consane e que la variabilié qui n es pas représenée par le brownien l es par la composane à saus. Fig. 35 : Niveau du capial cible γ en foncion de α Il ressor de cee illusraion, que l uilisaion d un modèle de ype Black e Scholes condui à sous-esimer le niveau du capial cible dans une proporion qui peu êre imporane. Ainsi si la moiié de la variabilié globale es expliquée par les saus, le capial cible issu du modèle de Black e Scholes sous-esime de 3,5 % le «vrai» besoin en capial. Ces résulas peuven êre rapprochés de résulas analogues obenus dans une problémaique d assurance nonvie 5. 5 Voir par exemple PLANCHET e THEROND [005]

102 CONCLUSION Le modèle de Black e Scholes es devenu un sandard uilisé dans de nombreuses siuaions praiques en assurance : calculs d engagemens (garanies planchers sur les conras en uniés de compes), allocaion d acifs, déerminaion de la probabilié de ruine, ec.. La principale qualié de ce modèle réside dans sa facilié de mise en œuvre (calcul des foncionnelles associées, esimaion des paramères, ec.), son adéquaion aux données éan en générale de qualié modese. Le modèle que nous présenons ici, proposé iniialemen par Meron, nous semble préserver la simplicié d uilisaion, ou en amélioran de manière sensible l adéquaion aux données. Il nous semble d auan plus inéressan qu il perme d inégrer à la modélisaion de l acif des propriéés elles que l asymérie e une queue de disribuion plus épaisse que celle d une loi normale, ces propriéés n éan pas sans conséquence sur l appréciaion du niveau du capial de solvabilié au sens de Solvabilié. Ainsi, les réflexions sur le modèle sandard 6 de Solvabilié doiven à nore sens inégrer ce ype de modèle pour garanir une appréciaion suffisane de la solvabilié dans ce nouveau référeniel. 6 Voir par exemple DJEHICHE e HÖRFELT [004], PLANCHET e THEROND [005] ou encore CEIOPS [006]

103 PARTIE 3 : ANALYSE DES RISQUES ACTIF-PASSIF L analyse des risques acif-passif d un régime de renes viagère a fai l obje de nombreux ravaux. Dans le cadre de la déerminaion de l allocaion sraégique, le modèle fondaeur de Markowiz 7 rese un sandard, malgré ses nombreuses limies e a donné lieu à de nombreuses varianes visan à prendre en compe les conraines liées à la srucure du passif 8. La variane proposée par Leibowiz e Kogelman es par exemple exploiée dans Fargeon e Nissan 9, donc nous uiliserons cerains résulas infra. Le proje Solvabilié vien bouleverser ce paysage ; en effe, jusqu à présen la réflexion sur l acif d un régime de renes viagère es posiionnée en aval de la déerminaion du niveau global du capial alloué (provision + fonds propres). L allocaion reenue, qui doi bien enendu respecer un ensemble de conraines réglemenaires assez fores 30, n a pas d incidence sur le niveau du capial alloué. Le disposiif Solvabilié, en inroduisan comme crière de déerminaion du capial de solvabilié (monan de capial à ajouer aux provisions mahémaiques) le conrôle d une probabilié de ruine, indui du même coup un lien for enre l allocaion effecuée e le monan de capial obje de cee allocaion : plus le niveau de risque de l allocaion choisie es élevé, plus le monan de capial de solvabilié es élevé. Ceci complique a priori sensiblemen la réflexion acif-passif pour un régime de renes. On noera ouefois que les grandes lignes d un modèle sandard elles que l on peu les aniciper à la lecure du QIS éluden cee difficulé en fixan le capial sans référence explicie à la probabilié de ruine 3 Nous analysons à la secion G la mise en œuvre d un crière de conrôle d une probabilié de ruine pour un régime de renes, e proposons un nouveau crière évian le recours direc à 7 MARKOWITZ [95]. 8 Parmi lesquelles on peu cier CAMPBELL e al. [00] e LEIBOWITZ e KOGELMAN [99]. 9 FARGEON e NISSAN [003]. 30 Voir pour l esseniel les aricles aricles R33- à R33-8 du Code des Assurances. 3 CEIOPS [006]

104 cee probabilié ou en éan naurellemen adapé à la chronique des flux fuurs de presaions. A la secion F, nous nous inéressons à la prise en compe du risque financier dans le cadre d un fonds collecif de reraie. Cee secion es l occasion d évoquer la prise en compe de reniers en cours de consiuion des drois e les problémaiques de financemen d un régime de reraie. On y inrodui la noion de «aux de coisaion d équilibre», qui fourni un indicaeur synhéique du coû d un régime de reraie à presaions définies, en référence au niveau de la masse salariale

105 F. PRISE EN COMPTE DU RISQUE FINANCIER DANS LA GESTION D UN FONDS COLLECTIF DE RETRAITE 3 On considère ici un régime qui garani une pension à des salariés reraiés e invalides de l'enreprise % par annuié validée appliqués au dernier salaire. Le bénéficiaire doi jusifier d'un minimum d'acivié de 5 ans, e le maximum d'annuiés es de 37,5. La pension es majorée de 0 % pour 3 enfans élevés, puis de 5 % par enfan supplémenaire. La pension majorée qui sera servie ne peu excéder le salaire de fin de carrière. L'âge d'enrée en jouissance de la pension es de 60 ans. Une pension de conjoin survivan es accordée aux conjoins de salariés décédés en acivié, ainsi qu'une pension de réversion aux conjoins survivans de salariés reraiés. Ces pensions s'élèven à la moiié de celle qu'aurai perçu le salarié au jour de son décès. La majoraion familiale es égalemen accordée pour moiié au conjoin survivan, dans la mesure où il a luimême élevé les enfans ouvran droi à cee majoraion. Le régime ainsi décri es un régime assez classique dans les organismes publics, e a servi de modèle à un cerain nombre de régimes de reraie supplémenaire d enreprise desiné à des cadres ou des cadres dirigeans. Un nombre imporan de ces régimes on éé fermés ces dernières années, du fai de leur coû rès élevé pour l enreprise. Pour les applicaions numériques, on considérera un cas réel avec un effecif de bénéficiaires du régime d environ personnes, don salariés acifs e inacifs. Les graphiques suivans monren l évoluion dans le emps des flux espérés que le régime aura à verser au ire des presaions de renes de conjoins, réversion e reraie : 3 Cee secion s appuie sur PLANCHET e MAGNIN [000]

106 Versemens Conjoin Réversion Reraie Années Fig. 36 : Flux de presaions espérés du régime On noe bien enendu la prépondérance des presaions de reraie direce. Les presaions de conjoins (associées à des décès en acivié) son rès faibles 33. La croissance iniiale des flux de presaions s explique par les dépars en reraie progressifs des acifs, que les décès des pensionnés ne compensen pas dans un premier emps. Dans une seconde phase (après environ 30 ans), les flux de presaions espérées se meen à décroîre. On s inéresse dans un premier emps à la déerminaion de l engagemen du régime (en présence d un aux d acualisaion sochasique), puis, dans un second emps, au financemen des presaions au ravers de la mise en place d un fonds collecif. Cee problémaique es classique e, dans le conexe prudeniel acuel, le choix d un aux echnique pruden (égal au maximum à 60 % du TME) associé à un choix égalemen pruden de la able de moralié inègre de fai une marge de risque dans l évaluaion 34. Aussi, dans la dynamique du fonds collecif : ( )( ) F = F P + C + τ, i i i i i 33 E en ou éa de cause du second ordre par rappor à la reraie direce e la reraie de réversion associée au décès d un reraié. 34 Pour auan qu on ne prenne pas en compe de manière implicie une revalorisaion dans la mesure de l inflaion, qui supprimerai alors la marge de risque associée au aux d inérê pruden (cf. la secion B sur ce poin)

107 avecc i = α MS i la coisaion de l année i, α le aux de coisaion supposé consan, P i le monan des presaions espérées e MS i la masse salariale, le aux de coisaion d équilibre : α eq VAP = VAP ( P) F ( MS) inclu-il lui aussi une marge de risque. Cee marge de risque rese ouefois implicie. Ces différens élémens son synhéisés dans la «able de résorerie» du régime : Année Masse Salariale Coisaions Presaions Taux Fonds % % % % % % % % % % Tab. : Table de résorerie du régime Incidemmen la formule de déerminaion de la coisaion d équilibre indique que l on raisonne ici en groupe fermé (pas de nouveaux enrans dans le régime). Les approches an IFRS que Solvabilié conduisen à revoir les hypohèses pour reenir des hypohèses «réalises». Nous laissons ici de coé l hypohèse de moralié, don l impac a éé discué supra, e nous inéressons aux conséquences du choix d un aux d acualisaion «de marché». Dans ce nouveau conexe, le aux de coisaion d équilibre du fonds collecif n inclu plus de marge de risque, e il convien donc d en déerminer une. On suppose à présen que le aux de rendemen du fonds es aléaoire e on propose donc d'inroduire un "fonds de couverure pour aléas financiers", alimené par une sur-coisaion β. Le aux de coisaion addiionnel β sera déerminé en fixan la probabilié de ruine du fonds sur l horizon de gesion du fonds. Ces élémens son présenés de manière plus formelle dans la secion suivane

108 3 MODELE PROPOSE On noe P ij la presaion servie l'année i à l'individu j à condiion qu'il soi reraié e encore en vie e π ij la probabilié de servir cee presaion. Le calcul de cee probabilié ne sera pas abordé ici, on pourra se reporer à l aricle d origine 35. On noera simplemen que pendan la phase d acivié on doi inégrer au modèle, oure le décès, d aures causes de sorie, comme par exemple le urnover, mais que cela ne change pas formellemen la modélisaion. Le processus de flux peu donc s'écrire comme sui : j {,..., Λ}, i IN F j i P = ij avec la probabilié π = Pr 0 avec la probabilié Pr ij ( Tx > i s j i) ( T > i s i) x j où T x es la variable aléaoire "durée de survie d'une êe d'âge x" e s j le nombre d années jusqu au dépar en reraie. Nous uiliserons un modèle de aux CIR pour le aux d acualisaion, égalemen uilisé pour déerminer le rendemen du fonds collecif, soi : ( r r( ) ) d+ r( dz dr ( ) = a ). Pour les applicaions numériques on uilise la discréisaion d Euler r + = r + a( r r ) + r ε avec ( ) ε un brui blanc gaussien. L engagemen associé au salarié j es dans ce cadre une variable aléaoire décrie par : VA j = Ω i i = 0 k = ( + r ) j j e la provision es calculée avec VAP = E E ( VA ri, i =,,..., Ω) k F j i. On a :, 35 Cf. PLANCHET e MAGNIN [000]

109 Le calcul de E i k= j ( i,,,..., ) Ω ij ij. i i= 0 ( + rk ) k= EVA r i= Ω = π P ( + r ) k n es pas rivial, sauf à simplifier excessivemen le processus de aux, aussi on se conenera dans les applicaions numériques de l esimaeur empirique n. La somme des engagemens individuels condui à l engagemen oal du n λ λ ( + ) i = régime. k = r k L équaion de décomposiion de la variance fourni un ouil simple pour analyser dans la variance oale de l engagemen la par de variance expliquée par le risque d assurance e celle expliquée par le risque financier. On écri pour chaque individu : Var j j j ( VA ) = Var[ E( VA r, i =,,..., Ω) ] + E[ Var( VA r, i =,,..., Ω) ] i risque de aux i risque d'assurance Le risque de aux es esimé par : n e le risque d assurance par : n λ = E VA j λ i, r i =,,... Ω VAP j n λ= j λ ( i ), =,,... Ω Var VA r i n. Pour le calcul du risque d assurance, on remarque que 36 : 36 Pour alléger l écriure on ome l indice de l individu

110 Ω j = Ω = π i + i π + + i i i= 0 ( ( + rl )) l= Ω Ω Var( VA/ r, j,.. ) ( ) P ( x, h, ) + π ( π ) P( xhp,, ) ( xh,, ) i= 0 j= i+ + i + j ( ( + r ))( ( + r )) l l= l = l + i + j i j D un poin de vue praique on se ramène donc à calculer les esimaeurs : n n λ = k ( + λ ) r k e n n λ = k ( λ + r ) +. λ k rk ( ' ) k' des espérances de : + i l= ( ( + r )) l e + i + j ( ( + r ))( ( + r )) l l= l = l. En supposan les individus indépendans enre eux (condiionnellemen à une courbe de aux), les résulas pour le groupe comple s en déduisen aisémen. Enfin, une fois l engagemen évalué, le aux de coisaion addiionnel es déerminé en conrôlan que le modèle : ( ( α β) )( ) F F P MS r i = i i + + i + i saisfasse { if 0} < avec π m la probabilié de ruine maximum admissible. Pr i π m - 0 -

111 4 APPLICATIONS NUMERIQUES 4. ENGAGEMENT DU REGIME Une fois acualisés à,5 %, ces flux représenen un engagemen d'environ 44 Md pour les acifs, e 6 Md pour les inacifs, soi 70 Md pour l ensemble du régime. Dans la suie nous ignorons les inacifs, considéran que des provisions suffisanes auron éé accumulées pour pouvoir faire face exacemen à la promesse du régime à leur égard (en d aures ermes, les reniers acuels son considérés gérés dans un fonds dédié, ce qui ne change pas fondamenalemen le raisonnemen). Au-delà de l espérance, le modèle proposé perme d obenir aisémen la disribuion empirique de l engagemen : E+0 6.5E+0 6.6E+0 6.7E+0 6.8E+0 6.9E+0 7.0E+0 7.E+0 7.E+0 7.3E+0 7.4E+0 7.5E+0 7.6E+0 7.7E+0 Fig. 37 : Disribuion empirique de l engagemen Pour ce qui concerne la décomposiion de la variance enre risque d assurance e risque financier, sur un groupe de cee aille, seul le risque non muualisable subsise e représene plus de 98 % de la variance oale. - -

112 4. FINANCEMENT VIA UN FONDS COLLECTIF Pour un régime en cours il exise a priori déjà un fonds consiué, qui consiuera nore fonds iniial, F -. Le niveau de ce fonds es conrain par des disposiions fiscales e compables : d un poin de vue fiscal, il ne doi pas êre rop élevé, car alors la charge de doaion du fonds serai considérée comme non jusifiée e donc non déducible. Du poin de vue compable, il doi êre suffisammen élevé pour faire face aux engagemens pris 37. Nous supposerons ici que le provisionnemen des engagemens a éé régulièremen effecué en conformié avec les règles de la norme IAS 9. Nous ferons ainsi l'hypohèse de croissance linéaire du provisionnemen de l'engagemen d'un individu, du débu de ses coisaions à son dépar en reraie 38 : Fig. 38 : Provisionnemen des drois passés au sens de l IAS 9 Or les acifs que nous éudions on une ancienneé moyenne de 9 ans e ils on en moyenne 43 ans, ils devraien donc avoir une ancienneé moyenne de 36 ans au momen de leur dépar en reraie. Le rappor de 9 sur 36 es environ 53 %, e c'es donc la proporion de l'engagemen pour les acifs (44 Md ) que nous reiendrons pour consiuer le fonds iniial, soi 3 Md. Le aux de coisaion résulan es de 5,3 % (incidemmen, la valeur de ce aux de coisaion d équilibre fourni une illusraion du coû rès élevé du régime éudié, qui es en praique rès largemen financé par l employeur). Ce aux condui par consrucion à un fonds équilibré : 37 Les principes généraux du provisionnemen des engagemens sociaux en norme IAS 9 son décris dans PLANCHET e THÉROND [004b]. 38 Nous suivons en cela la convenion de l «acquisiion prorae» de la norme IAS