12 Intervalles de fluctuation

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1 Leço o 12 Itervalles de fluctuatio 9 Niveau Lycée Prérequis Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi biomiale, loi ormale, foctios Référeces [34], [35], [36], [37], [38] 12.1 Le théorème de De Moivre-Laplace Éocé Théorème 12.1 Si S est ue variable aléatoire de loi biomiale de paramètres et p ]0, 1[, o a avec q := 1 p, S := S ( ) p S = pq pq p + Z, loi où Z est ue variable variable aléatoire de loi gaussiee N(0, 1) Ue démostratio das le cas p = 1/2 Pour ue démostratio complète du théorème de De Moivre-Laplace das le cas p = 1/2, voir Ressources pour la classe termiale géérale et techologique : dossier aexe, téléchargeable sur le site Web Eduscol : février U exemple d applicatio du théorème de De Moivre-Laplace Exemple 12.2 O doe u exemple d utilisatio du théorème de De Moivre-Laplace. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires suivat la loi Bi(50, 0.3), p = 15, q = 35. D après les tables, la valeur exacte pour P (X = 10) = 0, La formule d approximatio avec ue loi N(p, pq) = N(15, 10.5) doe le résultat : P ( ) 9, , 5 15 N = P ( 1.7 N 1.39) 10, 5 10, 5 L erreur d approximatio est faible. Pour P (X 10) = 0, 0789, l approximatio usuelle fourit = P (1.39 N 1.7) = 0, , 9177 = 0, P (N 1.39) = P (N 1.39) = 1 P (N 1, 39) = 0, Si ous avois pas corrigé la cotiuité de l approximatio ous aurios eu : P ( ) N = P (N 1, 54) = 1 P (N 1, 54) = 0, , 5 Cette derière valeur est assez imprécise.

2 10 Leço o 12 Itervalles de fluctuatio 12.2 Activités d itroductio e Secode À la découverte de l itervalle de fluctuatio Ue ure cotiet des boules jaues et des boules jaues. Les boules sot idiscerables au toucher. L ure cotiet 20% de boules jaues. O extrait au hasard ue boule. O ote sa couleur, puis o la remet das l ure. O souhaite étudier la fréquece d apparitio de la couleur jaue lorsque l o procède à 100 tirages successifs. O choisit de faire ue simulatio de cette expériece avec u tableur. O e coaît pas le ombre de boules de l ure. Mais l expériece reviet à simuler u tirage au sort das ue ure coteat 100 boules, dot 20 boules jaues. O attribue les ombres 1 et 20 aux boules jaues, ce qui correspod bie à ue proportio de 20%. Sur la première coloe d ue feuille de calcul, o simule 100 tirages das l ure, c est-à-dire o tire au hasard u ombre etre 1 et 100 sur 100 cellules. O tape alors ALEA.ENTRE.BORNES(1;100) etre A1 et A100. Sur la coloe suivate, o teste si la cellule AX (1 X 100) vaut u ombre etre 1 et 20. Pour cela, o tape : SI(ET(1<=A1;A1<=20);1;0). O compte esuite la fréquece d apparitio de la couleur jaue e bas de la secode coloe. Pour cela, o utilise la foctio =NB.SI(B1:B100;1). O recommece cette expériece 50 fois. O recopie les coloes A et B sur les 100 coloes suivates. O obtiet le uage des fréqueces ci-dessous : O calcule esuite : 0, = 0, = 0, 1 0, = 0, = 0, 3

3 12.3 Itervalle de fluctuatio, la théorie e Termiale S 11 O remarque que les fréqueces observés appartieet à l itervalle [0, 1; 0, 3]. Défiitio 12.3 Au sei d ue populatio, o coaît la proportio p des idividus ayat u caractère doé. Ici, das l esemble des boules, o coaît la proportio (p = 0, 20) de boules jaues. Parmi les échatillos de taille extraits de cette populatio, la fréquece d apparitio f du caractère varie avec l échatillo prélévé. O admet que, pour u échatillo de taille 25 et pour p comprise etre 0, 2 et 0, 8, la fréquece d apparitio f observée appartiet à l itervalle [p 1 ; p + 1 ] avec ue probabilité d au mois 0, 95. Cet itervalle est appelé l itervalle de fluctuatio au seuil de 95% Utilisatio de l itervalle de fluctuatio Propriété 12.4 Coaissat la proportio p d idividus das ue populatio, l itervalle de fluctuatio [p 1 ; p + 1 ] permet d étudier u échatillo doé par rapport à ce caractère. Si la fréquece observée f du caractère est e dehors de l itervalle, o «rejette» de l échatillo avec ue erreur au seuil de 5%. Ces résultats sigifiet que, das 5% eviro des cas, la décisio prise (rejet ou validatio) risque d être icorrecte. E 2007, parmi les 557 députés élus à l Assemblée Natioale, les femmes élus représetet 18, 5% des députés. Parmi les maires de 57 grades villes, o compte 4 femmes maires. La répartitio hommes-femmes au sei de la populatio est 51, 6% de femmes et 48, 6% d hommes. O peut dresser le tableau suivat : Assemblée Natioale Maires I [51, , 51, ] [51, ; 51, = [51, 56; 51, 64] = [51, 46; 51, 73] Proportio réelle 0, 185 0, 07 Les proportios établies e sot pas das les itervalles de fluctuatio. Il y a doc aucu respect de la parité e politique. 57 ] 12.3 Itervalle de fluctuatio, la théorie e Termiale S Simulatio O lace 120 fois u dé à jouer bie équilibré. O appelle N la variable aléatoire qui associe le ombre de fois que le dé affiche la face 6. O voudrait savoir la probabilité que la variable aléatoire N soit comprise das l itervalle [12, 28]. O écrit le programme ci-dessous. Ce programme effectue 100 fois ces 120 lacers. O affiche à chaque expériece I le poit (I, N) aisi que les droites y = 12 et y = 28. À la fi de ces 100 expérieces, o affiche le ombre de poits M qui se situe das l itervalle [12, 28]. Variables : A,B,I,J,M,N,X Iitialisatio Effacer dessi

4 12 Leço o 12 Itervalles de fluctuatio 0 -> M 12 -> A 28 -> B Tracer y = A Tracer y = B Traitemet Pour I de 1 à > N Pour J de 1 à 120 radit(1,6) -> X Si X = 6 N + 1 -> N FiSi FiPour Afficer le poit (I;N) Si N >= A et N <= B M+1 -> M FiSi FiPour Sortie Afficher M O trouve alors M = 96. O peut alors dire qu à 96%, le ombre d apparitio de la face 6 se situe das l itervalle [12, 28]. O omme alors cet itervalle, itervalle de fluctuatio de N au seuil de 96% Défiitio Défiitio 12.5 X est ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale Bi(, p), α u réel tel que 0 < α < 1 et a et b sot deux réels. O dit que [a, b] est u itervalle de fluctuatio de X au seuil de 1 α, si et seulemet si : P (a X b) 1 α Itervalle de fluctuatio asymptotique Théorème 12.6 Si la variable aléatoire X suit ue loi biomiale Bi(, p) alors pour tout réel α de ]0, 1[, o a : ( ) lim P X + I = 1 α où I = [ ] p u α ; p + u α u α état le ombre tel que P ( u α Z u α ) = 1 α lorsque Z N(0, 1). O appelle variable fréquece, la variable aléatoire F = X qui à tout échatillo de taille associe la fréquece f obteue.

5 12.3 Itervalle de fluctuatio, la théorie e Termiale S 13 R 12.7 Le mot asymptotique viet du passage à la limite de l itervalle I, la loi biomiale peut alors être assimilé à la loi ormale. Dv Preuve O pose Z = X p. O pourra utiliser cet itervalle de fluctuatio das les coditios de p(1 p) l approximatio ormale de la loi biomiale ( 30, p 5, (p 1) 5). D après le théorème de De Moivre-Laplace : lim P ( u α Z u α ) + suit ue loi ormale cetrée réduite de variable aléatoire Z. O sait, d après les propriétés de la loi ormale cetrée réduite que pour tout α de ]0, 1[, il existe u uique réel strictemet positif u α tel que : De plus P ( u α Z u α ) = 1 α. u α Z u α u α X p u α p u α X p + u α p u α X p + u α Doc : ( ) lim P X + I = 1 α. Propriété 12.8 Il faut coaître l itervalle I de fluctuatio au seuil de 95% correspodat à α = 0, 05 et qui doe u α = 1, 96. I = [ p 1, 96 ] ; p + 1, 96. Exemple 12.9 Si l o repred l exemple sur les 120 lacers de dé à jouer avec N comme variable aléatoire. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% (das les coditios de l approximatio ormale) est alors : p 1, 96 p + 1, 96 = 1 6 1, , 100. = , , 233. Doc I = [0, 100; 0, 233] qui correspod à la variable aléatoire fréquece N 120. Si o reviet à la variable N, l itervalle de fluctuatio est alors : [120 0, 100; 120 0, 233] = [12; 28], ce qui cofirme otre expériece.

6 14 Leço o 12 Itervalles de fluctuatio R Cet itervalle peut être simplifié par l itervalle [ J = p 1 ; p + 1 ]. E effet, la foctio x x(1 x) = x x 2 est ue foctio du secod degré qui s aule e 0 et 1, elle admet doc u maximum (coefficiet égatif devat x 2 ) e 0, 5. O a alors f(0, 5) = 0, 25. Elle est positive etre 0 et 1. O a alors : 0 0, , 25 = 0, 5. O e déduit alors que 0 1, O a alors : 0 1, O a aisi I J. O a alors das la plupart des cas P (F J ) 0, Prise de décisio Propriété Soit f obs la fréquece d u caractère observée d u échatillo de taille d ue populatio doée. O suppose que les coditios de l approximatio ormale de la loi biomiale sot remplies : 30, p 5 et (1 p) 5. Hypothèse : La proportio du caractère étudié das la populatio est p. Si f obs I, o e peut rejeter l hypothèse faite sur p. Si f obs / I, o rejette l hypothèse faite sur p. Exemple Pour créer ses propres colliers, o peut acheter u kit coteat des perles de ciq couleurs différetes (marros, jaues, rouges, vertes et bleues), das des proportios affichées sur le paquet. Aisi les perles marros et les perles jaues sot aocés comme représetat chacue 20% de l esemble des perles tadis que les perles rouges sot aocées à 10%. O veut vérifier cette iformatio. Pour cela, o choisit d observer u échatillo aléatoire de perles et de costruire u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% pour la proportio de perles marros. O costitue doc u échatillo, que l o cosidère aléatoire, de 690 perles. O a déombré 140 perles marros. La prise de décisio est la suivate : si la proportio de perles marros das l échatillo appartiet pas à l itervalle de fluctuatio, o rejette l hypothèse selo laquelle les perles marro représetet 20% des perles. 1. Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique I au seuil de 95% pour la proportio de perles marros. 2. Calculer la proportio de perles marros das l échatillo. Que peut-o e coclure? 3. Das le même échatillo, il y avait 152 perles et 125 perles rouges. Que peut-o coclure de ces résultats? Dv Preuve Solutio. 1. E ce qui cocere les perles marros, o a : = 690 et p + 0, 2, doc : 30, p = et (1 p) =

7 12.4 D autres exemples 15 Nous sommes bie les hypothèses du théorème de De Moivre-Laplace. O calcule esuite : 0, 2 0, 8 p 1, 96 = 0, 2 1, 96 0, , 2 0, 8 p + 1, 96 = 0, 2 + 1, 96 0, O a doc : I = [0, 17; 0, 23]. 2. O calcule la fréquece f m = , 203. Comme f m I, o e peut pas rejeter l hypothèse selo laquelle les perles marro représetet 20% des perles. 3. O calcule la fréquece des perles jaues : f j = , 220. Comme f j I, o e peut pas rejeter l hypothèse selo laquelle les perles jaues représetet 20% des perles. Pour les perles rouges, il faut calculer u ouvel itervalle de fluctuatio : 0, 1 0, 9 p 1, 96 = 0, 1 1, 96 0, , 1 0, 9 p + 1, 96 = 0, 1 + 1, 96 0, O a doc : I = [0, 08; 0, 13] (o pred l itervalle par excès). O calcule la fréquece des perles rouges f r = , 18. Comme f r / I, o doit rejeter l hypothèse selo laquelle les perles rouges représetet 10% des perles D autres exemples Cofiace des électeurs Mosieur Z, chef du gouveremet d u pays loitai, affirme que 52% des électeurs lui fot cofiace. O iterroge 100 électeurs au hasard (la populatio est suffisammet grade pour cosidérer qu il s agit de tirages avec remise) et o souhaite savoir à partir de quelles fréqueces, au seuil de 5%, o peut mettre e doute le pourcetage aocé par Mosieur Z, das u ses, ou das l autre. 1. O fait l hypothèse que Mosieur Z dit vrai et que la proportio des électeurs qui lui fot cofiace das la populatio est p = 0, 52. Motrer que la variable aléatoire X, correspodat au ombre d électeurs lui faisat cofiace das u échatillo de 100 électeurs, suit la loi biomiale de paramètres = 100 et p = 0, O doe ci-cotre u extrait de la table des probabilités cumulées P (x k) où X suit la loi biomiale de paramètres = 100 et p = 0, 52 k P (X k) 40 0, , , , , , , , 9941

8 16 Leço o 12 Itervalles de fluctuatio (a) Détermier a et b tels que : a est le plus petit etier tel que P (X a) 0, 025 ; b est le plus petit etier tel que P (X b) 0, 975. (b) Comparer l itervalle de fluctuatio à 95%, [ avec l itervalle p 1 ; p + 1 ]. [ a ; b ], aisi obteu grâce à la loi biomiale, 3. Éocer la règle décisio permettat de rejeter ou o l hypothèse p = 0, 52, selo la valeur de la fréquece f des électeurs favorables à Mosieur Z obteue sur l échatillo. 4. Sur les 100 électeurs iterrogés au hasard, 43 déclaret avoir cofiace e Mosieur Z. Peut-o cosidérer, au seuil de 5%, l affirmatio de Mosieur Z comme exacte? Algues toxiques Das u pays loitai, 10% des plages étaiet atteites par des algues toxiques. O a modifié le processus de rejets chimiques : o admet que le ouveau processus de rejet, très différet du précédet, pourrait augmeter ou dimiuer cette fréquece. O veut établir, puis mettre e œuvre, ue procédure statistique permettat de décider, au seuil de 5%, si le ouveau processus de rejets a, ou o, u impact sigificatif, das u ses ou das u autre, sur la fréquece d apparitio de ces algues. 1. Éocer ue règle de décisio permettat de rejeter, ou o, au seuil de décisio de 5%, l hypothèse selo laquelle 10% des plages sot touchées par ce type d algues après la mise e place du ouveau procédé, à l aide d u échatillo aléatoire de 150 plages. 2. Sur u échatillo aléatoire de 150 plages, o costat que 9 plages sot atteites. Peut-o, au seuil de décisio de 5%, rejeter l hypothèse précédete de 10% de plages polluées? Homogééité de lots das ue productio La proportio d ampoules à écoomie d éergie o-coformes das la productio d ue etreprise est p = 0, 07. L etreprise souhaite fourir des lots d ampoules pour lesquels elle puisse «garatir» qu eviro 95% d etre eux ot ue fréquece d ampoules o-coformes etre 0, 06 et 0, 08. Quelle taille miimale du lot à predre pour répodre à cette cotraite? 12.5 Avec Xcas Éocé À l aide d u logiciel, o souhaite simuler le lacer de 400 pièces de moaie équilibrées, puis calculer la fréquece d apparitio de «pile». O veut esuite répeter 2000 fois l expériece. Au résultat «pile», o associe la valeur 1 et à «face» le résultat 0. O géère doc 400 ombres aléatoires 0 ou 1 et o ote la fréquece des 1. O répète 2000 fois cette expériece. O obtiet ue série statistique de fréquece d apparitio du ombre 1. O cherche alors la proportio des valeurs situées à l itérieur de l itervalle I = [p 1 ; p+ 1 ] où p est la probabilité théorique et la taille de l échatillo.

9 12.5 Avec Xcas Expérimetatio avec Xcas O aura doc ici = 400, p = 1/2 et [ 1 I = 2 1 ; ] = [0, 45; 0, 55]. 400 Réalisatio d u échatillo de taille 400 x:=radvector(400, rad(2) ); cout_eq(1,x); cout_eq(1,x)/400 cout_eq(1,x)/400.0; Simulatio O va réaliser u programme. u:=[]; pour j de 0 jusque 1999 faire x:=radvector(400, rad(2) ); u[j]:=cout_eq(1,x)/400.0; fpour; Utilisatio de la simulatio O utilisera le mode graphique (Alt+G) f:=max(u)-mi(u); a:=1/2-1/sqrt(400) b:=1/2+1/sqrt(400) classes(u,0,f/30) histogram(classes(u,0,f/30)); purge(x) droite(x=a);droite(x=b); 2000-cout_it(a,u)-cout_sup(b,u) (2000-cout_it(a,u)-cout_sup(b,u))/2000 O obtiedra le graphique suivat (depedat des échatillos simulés) :

10 18 Leço o 12 Itervalles de fluctuatio

11 Bibliographie [1] Problème des sept pots de Köigsberg, Wikipédia, l ecyclopédie libre. [2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, wp-cotet/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf. [3] Coloratio des graphes, Appredre-e-lige, et/graphes-acie/coloratio/sommets.html [4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, fr/~olivier.garet/cours/graphes/graphes-documets_d_ accompagemet.pdf. [5] E. SIGWARD & al., Odyssée Mathématiques Termiale ES/L, Hatier, [6] Graphes probabilistes, Termiale ES spécialité. graphe/f4_graphe.pdf [7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : bacamaths.et. [8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notio, probas coditioelles et idépedace, URL : [9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : ~duvalp [10] G. COSTANTINI, Probabilités : Gééralités, coditioemet, idépedace, Cours de Première S. URL : [11] M. LENZEN, Leço o 3 : Coefficiets biomiaux, déombremet des combiaisos, formule du biôme. Applicatios., 2011, URL : php?page=lecosnew [12] G. CONNAN, Ue aée de mathématiques e Termiale S, Ch. 14, , URL : http: //tehessi.tuxfamily.org [13] G. COSTANTINI, Loi biomiale, URL : [14] C. SUQUET, Itégratio et Probabilités Elémetaires, URL : uiv-lille1.fr/~ipeis/ [15] L. LUBRANO & al., Mathématiques, BTS Idustriels - Groupemet B et C, Duod, [16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités cotiues. URL : [17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités cotiues, TS, TS cours-loiscotiues.pdf. [18] Probabilités 3 : Loi uiforme sur [a; b], Lycée de Fot Romeu. lewebpedagogique.com/cerdage/files/2013/02/02-loi-uiforme. pdf [19] Loi uiforme sur [a; b], IREM de Toulouse. URL : spip/img/pdf_loi_uniforme.pdf [20] P. TAQUET & al., Mathématiques, BTS Groupemet A, Hachette Techique, 2010.

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