Fonctions numériques : Intervalles, Images, Antécédents, Courbes représentatives

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonctions numériques : Intervalles, Images, Antécédents, Courbes représentatives"

Transcription

1 Fonctions numériques : Intervalles, Images, Antécédents, Courbes représentatives A Nombres et Ordres L ensemble des réels IR est un ensemble infini de nombres dits «ordonnés», dans les équivalences suivantes, a, b et c sont des réels. 1. a < b a b < 0 eemple :. 2. a > b a b > 0 eemple :. 3. si a < b et b < c alors a < c eemple :.. 4. si a b alors a + c < b + c pour toute valeur c réelle < eemple : 5. a c < b c si c > 0 si a < b alors eemples... a c > b c si c < si a > 0 et b > 0 alors a < b a² < b² eemple : 7. si a < 0 et b < 0 alors a < b a² > b² eemple : 8. si a > 0 et b > 0 alors a < b a < b eemple :.. 9. si 1 1 a > 0 et b > 0 alors a < b < eemple :.. b a Remarque : toutes ces équivalences sont vraies avec les symboles ñ et ú Retenir : quand on multiplie ou divise les membres d une inégalité par un nombre négatif, l inégalité change de sens. Eemple : si 2 < 8 alors en divisant par 2 on obtient > 4 Application : déterminer l encadrement d une epression algébrique - Si un nombre est compris entre deu autres nombres a et b, on dit que a et b encadrent ; 4 cas sont possibles : a < < b ou a < b ou a < b ou a b Grace au propriétés du A, on peut encadrer une epression dépendant de en partant du propre encadrement de, par eemple : Supposons que nous souhaitions connaître l encadrement de 7 ² 3 sachant que 1 5 La résolution se fait ainsi : 1 5 donc 1² ² 5² c est-à-dire 1 ² 25 et on poursuit 7 1 7² ² ² conclusion : L idée est donc de «reconstruire» l epression étudiée à partir de l encadrement de mais en respectant les propriétés vues dans le A 1

2 Eercice 1 : trouver les encadrements des epressions données en partant de ceu de 4 ² + 1 si 1 3 : si 5 < < 10 : 1 2 si 1 < 2 : ² 3 si 4 1 : si 3 < < si 20 < 10 ² 2

3 B Intervalles de réels Un encadrement du type a b où a, b et sont des nombres réels peut se représenter simplement sur la droite réelle orientée de à : est dans cet intervalle a b Les huit possibilités d encadrements ou d inégalités sont alors les suivants : Inégalité Intervalle Représentation a b [ a ; b ] a b a < b [ a ; b [ a < b ] a ; b ] a < < b ] a ; b[ a [ a ; [ a < ] a ; [ a ] ; a ] < a ] ; a [ a b a b a b a a a a Application : représentation des solutions d une inéquation Eemple : on souhaite résoudre 3 2 > > > 3 > 4 L ensemble des solutions Solutions 3 4 3

4 Eercice 2 : Résoudre, comme dans l eemple ci-dessus, chaque inéquation et représenter les solutions sur la droite réelle. Inéquation Résolution Représentation des solutions < > 5 7 Intersection d intervalles Définition : Notons I et J deu intervalles réels. L intersection des intervalles I et J est l ensemble des réels appartenant à la fois à I et à J : l intersection est généralement un nouvel intervalle, on le note I I J (lire I «inter» J ) A Une intersection A I B : c est tout ce qui est dans A et qui est dans B en même temps Sur le dessin précédent, hachurer l intersection des rectangles A et B B 4

5 Pour les intervalles, on procède de la même façon : Eemple : déterminons [ 3;10 [ I ]1;15 ] Méthode : Sur une même droite réelle, repérer ou colorier les deu intervalles considérés, puis déterminer la partie de la droite, si elle eiste, contenant les deu intervalles simultanément La partie de la droite contenant les deu intervalles simultanément est la zone comprise entre 1 (eclus) et 10 (eclus), on peut donc conclure : [ 3;10 [ I ]1;15 ] = ]1;10 [ Eercice 3 : à l aide de la droite réelle, déterminer les intersections proposées Enoncé Graphique Solution [ 7 ; 2[ I ] 3; 6 ] ] 4 ; 8[ I [ 0 ; 9[ ] 0 ; 9 ] I [ 2 ;10 [ [ 4 ; 4[ I ] 3; 3[ Cas particuliers Intersection vide : lorsque deu intervalles I et J n ont aucun réel en commun, on dit que leur intersection est vide, on note I I J = φ NB : φ est appelé «l ensemble vide» Eemple : [ 3; 1[ I ]10 ;12[ = φ Ici, aucune des deu parties ne se «chevauche», l intersection est vide. 5

6 Intersection réduite à un réel : lorsque deu intervalles I et J ont un unique réel a en I I J = a [ 4 ;1] I [1; 2[ = 1 commun, on dit que leur intersection est un singleton, on note { } Eemple : { } Ici les deu parties se «chevauchent» en l unique réel 1. Eercice 4 : définir les intersections suivantes Enoncé Solution [ 4 ; 2[ I ]3 ; 6 ] ] 4 ; 1] I [ 1; 9[ ] 5 ; 7 [ I ] 7 ;10 [ [ 4 ; 4[ I [4 ; 5[ Réunion d intervalles. Définition : Notons I et J deu intervalles réels. La réunion des intervalles I et J est l ensemble des réels à I ou à J : la réunion de deu intervalles n est pas nécessairement un intervalle, on note la réunion I U J (lire I «union» J ) Eemple 1 : déterminons [ 3;10 [ U ]1;15 ] Méthode : Sur une même droite réelle, on repère les deu intervalles. Pour être dans d être dans I ou dans J I U J, il suffit 1 15 Ici, I U J va pouvoir se simplifier en un seul intervalle : [ 3;10 [ U ]1;15 ] = [ 3 ;15 ] Eemple 2 : [ 3; 1[ U ]10 ;12 [ ne peut se simplifier

7 Eercice 4 : Simplifier si possible, les réunions suivantes Enoncé Graphique Solution [ 7 ; 2[ U ] 3; 6 ] ] 4 ; 8[ U [ 0 ; 9[ ] 1;1] U [ 5 ;10 [ [ 4 ; 4[ U ] 4 ; 5[ Eercices 54 à 57 p 43 du Transmath B Fonctions numériques B-1 Découverte du vocabulaire Dans un document de travail d une superette, on présente le graphique suivant qui indique le nombre moyen de client dans le magasin en fonction de l heure de la journée. On a placé les heures sur l ae des abscisses, le nombre de clients sur l ae des ordonnées. Le graphique représente une fonction f qui associe à chaque heure un nombre de clients 7

8 Répondre au questions suivantes : Questions Réponses Vocabulaire mathématique Ensemble de définition : Quels sont les horaires d ouverture de la superette? Images par f : Quel est le nombre de clients à 10h? à 15h? Quelle est l image de 13 par f? Quelle est l image de 16 par f? Indiquez la valeur de f (10) Antécédents par f : A quelle(s) heure(s) a-t-on 10 clients? A quelle(s) heure(s) a-t-on 40 clients? Quels sont les antécédents de 50 par f? Maimums et Minimums de f Quel est le nombre de clients maimum? Pour quelle(s) valeur(s) est-il atteint? Quel est le minimum de f sur [8 ;17]? A quel(s) antécédent(s) correspond-il? Quel est le maimum de f sur [13 ; 17]? A quel(s) antécédent(s) correspond-il? Quel est le minimum de f sur [12 ; 15]? A quel(s) antécédent(s) correspond-il? Résolution graphique d une équation Résoudre «graphiquement» f ( ) = 50 Epliquez votre démarche 8

9 Résolution graphique d une inéquation Résoudre «graphiquement» f ( ) 50 Epliquer la démarche Sens de variation d une fonction Complétez avec les mots «croissante» ou «décroissante» Sur [6 ;12] la fonction f est Sur [12 ;13] la fonction f est Sur [13 ;14] la fonction f est Sur [14 ;17] la fonction f est Tableau de variation d une fonction Compléter le tableau de variation avec des flèches h f (h) B2 Définitions Fonction : Si I est un intervalle de IR, définir une fonction f sur I, c est associer à chaque réel f : I IR I un unique réel noté f (). On note a f ( ) Vocabulaire : le réel est appelé la variable. I est appelé l ensemble de définition de la fonction f 9

10 Image et antécédents : Si a est un élément de l ensemble de définition I et si b ou f (a) est l image de a par f f a) = b (, on dit que Eemples : Eemple 1 : on donne sur I = IR, la fonction f définie par f ( ) = 3 5 Compléter : l image de 0 par f est ; l image de -3 par f est L antécédent de 10 par f est. ; Eemple 2 : on donne sur D = ] 1; + [, la fonction g définie par 2 1 g ( ) = + 1 Compléter : l image de 0 par g est ; l image de -5 par g est L antécédent de -2 par g est. ; Eemple 3 : on donne sur J = [ 0; + [, la fonction h définie par h ( ) = 2 + Compléter : l image de 1 par h est ; l image de 16 par h est Eemple 4 : on donne sur I = IR, la fonction m définie par m ( ) = 4² 25 Compléter : l image de 1 par m est ; l image de -5 par m est Les antécédents de 0 par m sont. ; B-3 Représentation graphique d une fonction Rappel sur les repères : On repère un point M dans un repère orthonormé grâce à ses coordonnées : Son abscisse que l on place sur l ae horizontal = l ae des abscisses Son ordonnée y que l on place sur l ae vertical = l ae des ordonnées Le couple ( ; y) définit les coordonnées du point M : on note M ( ; y) Eercice : dans le repère suivant, placer les points suivants A(1 ;3) ; B(-2 ; 3) ; C(0 ; -2) 10

11 Définition : pour toute fonction f,définie sur son domaine de définition D, on appelle courbe C f = M ( ; y) tel que y = f ( ) ; représentative de f, l ensemble des points du plan : { D } Eemple : considérons la fonction f : ² 2 3 définie sur [ - 1,5 ; 3,5] Compléter le tableau suivant à l aide la machine à calculer -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 f () Points A B C D E F G H I J K Dans le repère ci-dessous, placer les points A,B,C de coordonnées ( ; f ( ) ) de du tableau. pour chaque valeur Relier ensuite les points par un tracé courbe : nous obtenons la représentation graphique de la fonction sur l intervalle sur [ - 1,5 ; 3,5]. Retenir: Quand dans un repère, on représente graphiquement une fonction : les antécédents par f sont représentés sur l ae des les images par f sont représentés sur l ae des... Lecture graphique : grâce à la représentation graphique, d une fonction on peut obtenir des renseignements sur les antécédents ou les images d une fonction, sans connaître l epression de la fonction Sur le graphe suivant, on peut lire facilement : L image de 3 par la fonction est :. Les antécédents de 1 par la fonction sont : Par contre, peut-on lire facilement les antécédents de 5?.. Donner une approimation des antécédents de 5 :. 11

12 Eercice 1: Lire graphiquement les valeurs demandées l image de -1 est. L image de 1 est. L antécédent de -4 est. Donner des approimations f(-1,5) =.. f(-0,5) =.. si f()= - 2 alors =. si f() = 1 alors =. Eercice 2 : résolution graphique d équations ou d inéquations On considère la fonction g définie sur [ - 1 ; 2,5 ] dont le graphe est le suivant : Déterminer graphiquement les solutions de : 1. g() = g() = g() = 2, g() > 1 5. g() ñ 0 12

Cours : Généralités sur les fonctions

Cours : Généralités sur les fonctions I Ensemble Y et intervalles a) Définitions L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée est appelé l'ensemble des nombres réels. On note Y l'ensemble de tous ces nombres. Remarques : On note

Plus en détail

x < 6 ou x > 1 ( 2. Le point A 0; 3 )

x < 6 ou x > 1 ( 2. Le point A 0; 3 ) Seconde 8/09/0 Devoir surveillé de mathématiques n o. Eercice n o (7,5 points) On donne ci-dessous la courbe d une fonction f. 7-6 -5 - - - - 0 5 6 7 8 -. Donner le domaine de définition de f. - -. Lire

Plus en détail

Table des mati` eres 1

Table des mati` eres 1 Table des matières 1 Chapitre 1 Populations, proportions I Proportions, fréquences Exercice. TP 1 p 6 (Foucher) Définition (Fréquence). La fréquence (ou proportion) f d une sous-population A au sein d

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01 (voir réponses et correction) Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01 (voir réponses et correction) Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Règle Table de valeurs Représentation graphique

Règle Table de valeurs Représentation graphique Faire le point Pages 5, 6, 7 et 8 du manuel La fonction quadratique La fonction quadratique, aussi appelée «fonction polnomiale de degré», est une fonction dont la règle est un polnôme de degré à une variable.

Plus en détail

Les droites affines Les fonctions polynômes Les fonctions rationnelles... 5

Les droites affines Les fonctions polynômes Les fonctions rationnelles... 5 Les droites affines... ) Rappels... ) Eemples... ) Tangente à une courbe... Les fonctions polynômes... ) Plan d étude... ) Tableau des dérivées utiles pour les fonctions polynômes... ) Fonctions du ème

Plus en détail

Résolution graphique d équations et d inéquations

Résolution graphique d équations et d inéquations Résolution graphique d équations et d inéquations I) Equations. Soit une fonction définie sur un domaine inclus dans et à valeurs dans. Soit, un nombre réel. On suppose qu on doit résoudre une équation

Plus en détail

Chapitre 10 : Fonctions affines

Chapitre 10 : Fonctions affines Chapitre 10 : Fonctions affines I Fonctions affines Définition Une fonction f est affine s il eiste deu nombres réels a et b tels que pour tout réel f() = a+b. On peut toujours définir une fonction affine

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

1) a) Les nombres réels : Il existe des nombres qui n appartiennent à aucun des ensembles IN,!, ID ou!

1) a) Les nombres réels : Il existe des nombres qui n appartiennent à aucun des ensembles IN,!, ID ou! 2 nd Fonctions 1 Objectifs : IR, les intervalles. Traduire le lien entre deux quantités par une formule. Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : _ identifier la

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Droites des réels Intervalles de R 2 1.1 Définitions................................................. 2

Plus en détail

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes Comment faire pour Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes86 Repérage 88 Dérivation90 Comportements asmptotiques et étude de fonctions9 5 Calcul vectoriel et barcentre 96 6 Produit scalaire

Plus en détail

Liaison Collège Lycée Rentrée Lycée Le Corbusier Lycée Charles de Gaulle

Liaison Collège Lycée Rentrée Lycée Le Corbusier Lycée Charles de Gaulle Liaison Collège Lycée Rentrée 04 Lycée Le Corbusier Lycée Charles de Gaulle Pour réussir son début de seconde La clef de la réussite c est bien sûr un travail régulier et approfondi tout au long de l année.

Plus en détail

CH V Le second degré :

CH V Le second degré : CH V Le second degré : I) Les fonctions polynômes (Rappels) : 1) Développer, factoriser : Rappels : Pour tout réels a, b et c a( b + c) = ab + ac On dit que l on lorsque l on passe de a( b + c) à ab +

Plus en détail

Systèmes d équations et d inéquations linéaires. Un système de deux équations à deux inconnues x et y a pour forme

Systèmes d équations et d inéquations linéaires. Un système de deux équations à deux inconnues x et y a pour forme CHAPITRE Sstèmes d équations et d inéquations linéaires I. Sstèmes d équations linéaires.. Définition. Un sstème de deu équations à deu inconnues et a pour forme a+ b = c a, a, b, b, c, c sont des réels

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions I) L'ensemble et les intervalles : Généralités sur les fonctions Tous les nombres étudiés jusqu'à présent peuvent être rangés sur une droite graduée. 7 3, 6, 0 Tous les nombres entiers, décimau, rationnels,

Plus en détail

La fonction carré est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=x 2

La fonction carré est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=x 2 Lcée JANSON DE SAILLY I FONCTION CARRÉ DÉFINITION La fonction carré est la fonction définie pour tout réel par f)= 2 PROPRIÉTÉS Un carré est toujours positif ou nul. Pour tout réel, on a 2 0. Un nombre

Plus en détail

Seconde Exercices sur le chapitre «Les fonctions naturelles» Page 1 sur 5

Seconde Exercices sur le chapitre «Les fonctions naturelles» Page 1 sur 5 Seconde Eercices sur le chapitre «Les onctions naturelles» Pae 1 sur 5 Eercice 1 Les correspondances entre les randeurs décrites par les phrases suivantes permettent elles de déinir des onctions? 1) est

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

Leçon 5 Les fonctions numériques

Leçon 5 Les fonctions numériques Leçon 5 Les fonctions numériques Cette leçon en contient 3 en fait : les généralités, la dérivation et les limites. Il y a beaucoup de théorèmes à apprendre et de méthodes à mémoriser. Voici quelques eercices

Plus en détail

EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES

EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES Chapitre 7 EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 7.1 Equation linéaire à deux inconnues L équation de la forme ax + by + c = 0, avec a, b, c IR est une équation linéaire à deux inconnues. L ensemble

Plus en détail

180, 2π 9, 9π 14π M 1

180, 2π 9, 9π 14π M 1 Page / 6 Fiche de révisions Seconde Eercice. Convertir les cinq mesures suivantes en radians : 57,, 55, 5 et 88.. Convertir les cinq mesures suivantes en degrés : π, 8π 8, π 9, 9π π et 5 5 rad.. Déterminer

Plus en détail

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y.

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. L ensemble des point tel f(x)=y est représenté

Plus en détail

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako A- / Ensemble de définition d une fonction : - / Définition : Soit f : A B une fonction. On appelle ensemble de définition D f

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2012 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2012 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2012 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) L attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

Plus en détail

Fonctions numériques d une variable réelle Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Fonctions numériques d une variable réelle Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Fonctions numériques d une variable réelle Site athstice de Adama Traoré Lcée Technique Bamako I Opérations sur les fonctions Soit f et g deu fonctions d ensembles de définitions respectives D f et D g.

Plus en détail

calcul intégral Table des matières 1 intégrale d une fonction activité à retenir exercices évaluations...

calcul intégral Table des matières 1 intégrale d une fonction activité à retenir exercices évaluations... calcul intégral Table des matières intégrale d une fonction. activité.................................................... à retenir.................................................. 7. eercices...................................................

Plus en détail

Équations, inéquations et systèmes du premier degré

Équations, inéquations et systèmes du premier degré Équations, inéquations et sstèmes du premier degré Échauffez-vous! Dans les eercices. à., reliez par un trait les points correspondants. + = 9 < Égalité + = - > - H 0 Inégalité stricte < 0 Égalité = 0

Plus en détail

Dérivée d une fonction

Dérivée d une fonction Dérivée d une fonction I Tangente en un point de la courbe : 1 - Rappel : ( Notion de fonction ) Coefficient directeur d une droite passant par 2 points : Soient deu points M 1 ( 1, f( 1 )) et M 2 ( 2,

Plus en détail

FONCTION INVERSE ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ASSOCIÉES

FONCTION INVERSE ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ASSOCIÉES FONCTION INVERSE ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ASSOCIÉES PRÉREQUIS : Développement, factorisation Équations et inéquations du second degré (tableau de signes) Généralités sur les fonctions (variations et lectures

Plus en détail

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août 2014 1 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le

Plus en détail

Chapitre 7 : Hyperboles HYPERBOLES. La fonction inverse est définie pour tout, on dit :.

Chapitre 7 : Hyperboles HYPERBOLES. La fonction inverse est définie pour tout, on dit :. Chapitre 7 HYPERBOLES ANALYSE 1 ) La fonction inverse. Ensemble de définition : La fonction inverse est définie pour tout, on dit :. Sur la représentation graphique, l ensemble de définition est la projection

Plus en détail

Exercices supplémentaires Second degré

Exercices supplémentaires Second degré Exercices supplémentaires Second degré Partie A : Forme canonique, équations, inéquations, factorisation Mettre sous forme canonique les trinômes suivants 8 ; 3 1 ; 5 ; 3 4 Exercice On considère : 5 6

Plus en détail

Études de signes et inéquations, cours de seconde

Études de signes et inéquations, cours de seconde Études de signes et inéquations, cours de seconde F.Gaudon 16 février 2009 Table des matières 1 Étude du signe des fonctions affines 2 2 Études de signes de produits et de quotients 2 2.1 Exemple d étude

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Dossier Synthèse. Faites votre bilan! Généralités sur les fonctions I-Etrait du programme officiel de BEP/CAP. a) Eemples de modes de générations de fonctions. Eemples de description d une situation à

Plus en détail

2 ) = 0 sin ( π 2 ) = 1. la fonction «tangente». a) Quel est l ensemble de définition de la fonction tangente?

2 ) = 0 sin ( π 2 ) = 1. la fonction «tangente». a) Quel est l ensemble de définition de la fonction tangente? Transition 1 ère S Terminale S 1] Trigonométrie Dans toute la suite on admettra que : cos ( π { 2 ) = 0 sin ( π 2 ) = 1 1) Déterminez la valeur de cos ( π 4 ), sin (π 4 ), cos (π 8 ) et sin (π 8 ). 2)

Plus en détail

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit Exercice 1 : On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB] comme l indique la figure ci-dessous. 1) Existe-t-il

Plus en détail

Fonction Cube. 1 fonction cube activité corrigé activité à retenir exercices corrigé exercices...

Fonction Cube. 1 fonction cube activité corrigé activité à retenir exercices corrigé exercices... Fonction Cube Table des matières 1 fonction cube 2 1.1 activité............................................... 2 1.2 corrigé activité.......................................... 4 1.3 à retenir..............................................

Plus en détail

y = f(x), y est l'image du nombre x par la fonction f et x est un

y = f(x), y est l'image du nombre x par la fonction f et x est un Seconde Chapitre I : Lectures graphiques et généralités sur les fonctions Année scolaire 202/203 I) Rappels de troisième sur les fonctions : ) Définitions, exemples et notations : a) Fonction : On considère

Plus en détail

Chapitre 7. Etudes de fonctions

Chapitre 7. Etudes de fonctions . Dérivée première et croissance.. Croissance et décroissance Chapitre 7. Etudes de fonctions Au début de ce cours d analyse, nous avons défini la croissance et la décroissance d une fonction. Pour rappel

Plus en détail

Représentations graphiques

Représentations graphiques Représentations graphiques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2010/2011 Table des matières 1 Courbe représentative d une fonction 2 1.1 Lecture d image.............................................. 2

Plus en détail

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour

Plus en détail

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born Devoir de Mathématiques : corrigé Exercice. Résolutions d inéquations (a) Disjonction de cas selon le signe de x. Si x [, ] alors x = x. Dans ce cas : x x

Plus en détail

1S Le 19 septembre 2014 Corrigé du D.S de Mathématiques n 1 Calculatrice autorisée Durée : 1 h 45

1S Le 19 septembre 2014 Corrigé du D.S de Mathématiques n 1 Calculatrice autorisée Durée : 1 h 45 1S Le 19 septembre 14 Corrigé du D.S de Mathématiques n 1 Calculatrice autorisée Durée : 1 h 45 EXERCICE 1 Le barème est donné à titre indicatif sur 5 (1 points) A compléter sur l énoncé La courbe (C)

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Étude de fonctions. A. Rappels utiles. 1- Ordre des nombres et opérations

Étude de fonctions. A. Rappels utiles. 1- Ordre des nombres et opérations Étude de fonctions La connaissance des variations de quelques fonctions simples (affines, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue) permet d'étudier les variations de fonctions plus complees. A. Rappels

Plus en détail

NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE

NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE CLSSE DE STG NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE. Nombre dérivé.. Définition. Soit une fonction représentée par la courbe C On considère la tangente T, au point d abscisse Le coefficient

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

Fonctions d une variable réelle

Fonctions d une variable réelle Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier.......................................... Fonctions affines............................................

Plus en détail

MATHEMATIQUES TRAVAIL PREPARATOIRE

MATHEMATIQUES TRAVAIL PREPARATOIRE FONCTIONS NUMERIQUES F 01 1. ETUDE DE LA CHUTE LIBRE D UN OBJET. TRAVAIL PREPARATOIRE Un objet est lâché sans vitesse initiale, d une altitude de 30 m par rapport au sol. L altitude h, en mètres, à laquelle

Plus en détail

Les fonctions numériques

Les fonctions numériques CHAPITRE Les fonctions numériques A Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Étude de fonctions. Fonctions de référence et 3. Connaître les variations de ces fonctions et leur représentation

Plus en détail

Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction Table des matières I Eercices I-1 1................................................

Plus en détail

Table des matières. 1- Limites en l'infini- Asymptotes LIMITES- CONTINUITÉ

Table des matières. 1- Limites en l'infini- Asymptotes LIMITES- CONTINUITÉ Table des matières - Limites en l'infini- Asmptotes... -- Limite finie en l'infini... --- Définition... --2- Interprétation graphique:... 2 --3- Eemple:... 2-2- Limite infinie en l'infini... 2-2-- Définition...

Plus en détail

FONCTIONS GÉNÉRALITÉS

FONCTIONS GÉNÉRALITÉS MAT H S -COU R S.FR - COU R S E T E XE R CICES D E MAT H É MAT IQU E S SECONDE COURS FONCTIONS GÉNÉRALITÉS 1. NOTION DE FONCTION Une fonction f est un procédé qui à tout nombre réel x d une partie D de

Plus en détail

Nouvelles fonctions de référence

Nouvelles fonctions de référence Nouvelles fonctions de référence I. Fonction valeur absolue Abs : x 1. Valeur absolue et distance Soit un axe (O ; ) et soient les points A et A d abscisses respectives 3 et 3 sur cet axe. Les distances

Plus en détail

CHAPITRE 1 : FONCTION

CHAPITRE 1 : FONCTION CHAPITRE : FONCTION Ensemble de nombres et intervalles.. Ensemble de nombre. N est l ensemble des entiers naturels :,,,... Z est l ensemble des entiers relatifs :...,,,,,,... D est l ensemble des nombres

Plus en détail

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N Lycée Dominique Villars ECE COURS ETUDE des SUITES RECURRENTES On appelle suite récurrente toute suite (u n ) n N telle qu il existe une fonction réelle f : I R telle que : n N, u n+ = f(u n ) On va voir

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

Concours externe pour le recrutement de contrôleurs stagiaires de l INSEE

Concours externe pour le recrutement de contrôleurs stagiaires de l INSEE Concours externe pour le recrutement de contrôleurs stagiaires de l INSEE Exercice 1 Partie A Correction (non officielle) de l épreuve de Mathématiques et de Statistiques du 29/01/2013 Nicolas ZERR 1)

Plus en détail

Leçon 5 Les systèmes d équations et d inéquations

Leçon 5 Les systèmes d équations et d inéquations Leçon 5 Les systèmes d équations et d inéquations Cette leçon ne figure pas eplicitement au programme mais, comme nous rencontrons de plus en plus de systèmes dans les eercices, j ai pensé qu il était

Plus en détail

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Introduction La fonction eponentielle est continue strictement croissante de R à valeurs dans ]0; + [. Le théorème des valeurs intermédiaires permet donc d affirmer que : Pour

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Partie A : Avec les fonctions de référence Dans chacun des cas, comparer et sans utiliser la calculatrice ) =,40 et =,4 ) = 7 et = 4 ) = 0,5 et = 4) =,4 et

Plus en détail

Leçon : Les fonctions

Leçon : Les fonctions Leçon : Les fonctions 1. Notion de fonction et généralités 1.a) Fonction Soit D une partie R. Définir une fonction sur un ensemble D, c est associer à chaque réel x de D, un unique réel, appelé image de

Plus en détail

Les fonctions affines

Les fonctions affines TABLE DES MATIÈRES 1 Les fonctions affines Paul Milan Professeurs des écoles le 29 septembre 2009 Table des matières 1 Définition et représentation d une fonction 2 1.1 Définition..................................

Plus en détail

Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50]

Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50] Fonctions du second degré - Exemple d étude d un problème. Activité. La recette R(x) d un spectacle dépend du prix x de la place suivant la relation R(x) = 450x 9x². Pour chaque spectacle, les frais fixes

Plus en détail

ETUDE QUALITATIVE DES FONCTIONS

ETUDE QUALITATIVE DES FONCTIONS ETUDE QUALITATIVE DES FONCTIONS I. Variations d'une fonction numérique sur un intervalle: ) Sens de variation : a) Fonction croissante sur un intervalle : Une fonction f est dite croissante sur un intervalle

Plus en détail

Chapitre 2 : Fonctions (Généralités) 1 Définitions et Notations. 1.1 Point de vue intuitif

Chapitre 2 : Fonctions (Généralités) 1 Définitions et Notations. 1.1 Point de vue intuitif Chapitre : Fonctions (Généralités) Définitions et Notations. Point de vue intuitif En 667 le mathématicien James Gregory donnait cette définition : Définition (provisoire) : Une fonction est une manière

Plus en détail

Titre du dossier : Calculs de dérivées. Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction. Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine

Titre du dossier : Calculs de dérivées. Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction. Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Titre du dossier : Calculs de dérivées Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Société : Ecole de la deuième Chance Marseille Mots clés

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M "pour x assez grand"

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M pour x assez grand Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page I) Limites ) Limites à l infini a) Limite finie Définition : Etant donnée une fonction f et un réel α, on dira quelle tend vers α

Plus en détail

Chapitre 2. Dérivation (rappels) Convexité. 2.1 Dérivation (rappels) Sommaire Fonctions affines. Tracés

Chapitre 2. Dérivation (rappels) Convexité. 2.1 Dérivation (rappels) Sommaire Fonctions affines. Tracés hapitre Dérivation (rappels) onveité Sommaire. Dérivation (rappels)..................................... 9.. Fonctions affines..................................... 9.. Nombre dérivé......................................

Plus en détail

Fonctions dérivées. est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 2].

Fonctions dérivées. est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 2]. 3 Fonctions dérivées Échauffez-vous! est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 2]. 2 et sont les tangentes à au points d abscisses 2 et. Les tangentes et à au points d abscisses et

Plus en détail

Définition d une fonction

Définition d une fonction Définition d une fonction I) Bien définir une fonction. Pour définir une fonction, on a besoin de trois données : - Un ensemble de départ, aussi appelé domaine de définition. - Un ensemble d arrivée -

Plus en détail

Correction devoir de mathématiques n 3

Correction devoir de mathématiques n 3 Page1 Correction devoir de mathématiques n 3 Calculatrice autorisée. Le sujet contient 4 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer pour l attribution des points. Le barème

Plus en détail

Leçon 7 Les fonctions numériques en économie

Leçon 7 Les fonctions numériques en économie Leçon 7 Les fonctions numériques en économie Connaissant les fonctions numériques de base, nous pouvons faire quelques eercices sur des fonctions classiques que nous rencontrons dans les problèmes à caractère

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques à variables réelles

Généralités sur les fonctions numériques à variables réelles «I» : Définitions 1/ Fonction Généralités sur les fonctions numériques à variables réelles Une fonction numérique à variable réelle f est une «machine mathématique» qui associe à chaque réel, soit un unique

Plus en détail

EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Eercice 1 : Intégrer les équations différentielles suivantes y 1) y 5y = 0 ; y = ; 3y + 5y = 0 ; 9y =(y

Plus en détail

DERIVATION PROBLEMES ECONOMIQUES

DERIVATION PROBLEMES ECONOMIQUES 1 Un artisan fabrique des objets et vend toute sa production. On appelle () le coût total de fabrication et R() la recette totale eprimée en fonction du nombre d objets fabriqués. () et R() sont eprimés

Plus en détail

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé TS. Contrôle 4 -Correction 8 points ) Sur le graphique de l annee, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque DÉRIVÉE I Nombre dérivé - Tangente Eemple Considérons la fonction carré f() = 2, et effectuons avec une calculatrice un zoom de sa représentation graphique au voisinage de son point 0 d'abscisse 0 = 2

Plus en détail

Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques ère STID I - Cercle trigonométrique - Mesure des angles orientés Définition Dans le plan muni d un repère ; i, j, le cercle trigonométrique est le cercle de centre et de rayon

Plus en détail

CHAPITRE 5 Généralités sur les Fonctions

CHAPITRE 5 Généralités sur les Fonctions CHAPITRE 5 Généralités sur les Fonctions A) La notion de Fonction 1) Définition Soit Df un intervalle ou une réunion d'intervalles de ℝ. On appelle fonction de Df dans ℝ une règle qui à tout élément x

Plus en détail

NOM : DERIVATION 1ère S

NOM : DERIVATION 1ère S Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x g(x) = 3x x 3 + 5x h(x) = ( x ) x k(x) = x + 5 x + D. LE FUR /?? Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x 3x + g(x) = (x + 3)(3x 7) h(x) =

Plus en détail

Fonction exponentielle 1

Fonction exponentielle 1 Fonction eponentielle 1 Unicité de la solution de l équation différentielle Conséquences 1. Si f est une solution de l équation différentielle y = y, y(0) = 1, alors, pour tout réel, f( )f() = 1 et f()

Plus en détail

Fonction dérivée. Table des matières

Fonction dérivée. Table des matières Fonction dérivée Table des matières fonction dérivée. activité................................................... corrigé activité............................................... à retenir.................................................

Plus en détail

Variations des fonctions associées

Variations des fonctions associées Variations des fonctions associées Année scolaire 2014/2015 Table des matières 1 Quelques rappels 3 1.1 Sens de variation d une fonction..................................... 3 1.2 Fonctions affines.............................................

Plus en détail

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses Résolution graphique d inéquations Méthode \ Explications : Pour résoudre l inéquation (ou ) On regarde les portions de la courbe qui sont en-dessous de la droite d équation. L ensemble des solutions est

Plus en détail

2. Remplissage du tableau Quelle démarche adopter pour trouver les résultats attendus? Le détail des calculs n est pas demandé.

2. Remplissage du tableau Quelle démarche adopter pour trouver les résultats attendus? Le détail des calculs n est pas demandé. Eercice (6,5 points) Mathématiques Bac Pro juin 28 proposition correction. Nombre d électeurs Soit N le nombre d électeurs de la communauté de communes. 85 85% des électeurs (inscrits), soit 394, se sont

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS T ale S LIMITES DE FONCTIONS Analyse - Chapitre 6 Table des matières I Limite d une fonction à l infini 2 I Limite finie à l infini........................................ 2 I a..........................................

Plus en détail

( ) Exercice 1. Exercice 5

( ) Exercice 1. Exercice 5 Exercice 1 1. Effectuer : A 11 5 4 B F + 5 4 6 7 C G 7 1 + 7 Exercice 5 1 5 5 5 5 D 1 6 1+ 6 E 1 H 18 0. Compléter alors le tableau suivant en utilisant le symbole ou. A B C D E F G H IN On donne Ax x

Plus en détail

Ch.2 : Continuité sur un intervalle

Ch.2 : Continuité sur un intervalle T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 1 sur Rappels 1 : Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur I, et a un élément de I. Ch. : Continuité sur un intervalle Supposons que pour

Plus en détail

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés Limites et comportement asymptotique Eercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Eercice 1 : détermination graphique d une limite et d une équation d asymptote à une courbe (asymptote verticale et

Plus en détail

BBBBBBBBBNNNVVRRVVNNNBBBBBBBBB

BBBBBBBBBNNNVVRRVVNNNBBBBBBBBB S Devoir n 7 lundi 9 mars 05 Eercice : ( points) Soient A, B,C et D des points situés sur le cercle trigonométrique associés respectivement au réels:. a. Déterminer les réels de qui correspondent au points

Plus en détail

Cours de Seconde : Généralités sur les fonctions. E. Dostal

Cours de Seconde : Généralités sur les fonctions. E. Dostal Cours de Seconde : Généralités sur les fonctions E. Dostal août 206 Table des matières Généralités sur les fonctions 2. Deux façons de regarder la notion de fonction......................... 2.2 Définitions.............................................

Plus en détail

Chapitre 3 Variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 3 Variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 3 Variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Variations d une fonction Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

2015 Géneralités sur les Fonctions Numériques 2nd9

2015 Géneralités sur les Fonctions Numériques 2nd9 0 Géneralités sur les Fonctions Numériques nd9 I Notions de fonctions I. Définition Une fonctionf d un ensemblei dans un ensemblej est un objet mathématique qui à tout élément dei associe un unique élément

Plus en détail

1, x R (Très utilisés dans les exercices).

1, x R (Très utilisés dans les exercices). Leçon 04 : La fonction eponentielle (f() = e ) L eponentielle naturelle (à base e). f() = e est définie pour tout réel. C est une fonction positive, R, e > 0. e 0 = 1 et e 1 = e.718. Si < 0 alors 0< e

Plus en détail

5. Microéconomie et mathématiques

5. Microéconomie et mathématiques 5. Microéconomie et mathématiques Le «monde» de la concurrence parfaite qui sera le nôtre en première année, est facilement modélisable par des relations mathématiques. En effet, l absence de contraintes

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques.

Généralités sur les fonctions numériques. Chapitre 2 Généralités sur les fonctions numériques. I Introduction sur des exemples. 1 Le nombre de chômeurs en France. Le graphique ci-dessous donne le nombre de chômeurs en France métropolitaine (au

Plus en détail

Etude des fonctions usuelles

Etude des fonctions usuelles Etude des fonctions usuelles 1. Introduction Soit f une fonction réelle de la variable réelle, on a vu que ces fonctions sont souvent définies par des formules, c est-à-dire définies par des epressions

Plus en détail