Recherche des extremums d une fonction

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1 DOCUMENT 32 Recherche des etremums d une fonction 1. Introduction De nombreuses situations issues des mathématiques, des sciences epérimentales ou de la vie économique et sociale conduisent à la recherche et à l étude des etrémums d une fonction. Parmi de nombreu eemples on peut citer : En mathématiques (élémentaires), le tracé de la courbe représentative d une fonction est précédé d une détermination de ses etrémums, certaines définitions font intervenir des bornes inférieures ou supérieures (distance d un point à une partie du plan,...), des configurations peuvent être caractériser à l aide d etrémums (le triangle équilatéral est le triangle qui pour un périmètre donné possède une aire maimum,...) En mécanique l étude de la stabilité d un système est liée à des etrémums. Par eemple, un théorème classique concernant ce problème, le théorème de Lejeune-Dirichlet, a pour hypothèse que la fonction de force possède un maimum local strict. En économie, il est important de minimaliser les coûts et de maimaliser les profits. En optique, les lois de la réfraction et de la réfletion de la lumière correspondent à des minimalisations du temps de parcours. Dans tout le document on suppose que si une fonction f est deu fois dérivable en a alors f est dérivable en tout point d un voisinage de a (En général, l eistence de f (a) suppose seulement que a est un point non isolé dans l ensemble des points où f est dérivable.) 2. Définitions et généralités Soit f une fonction définie sur D f R et à valeurs dans R. La fonction f possède en 0 D f un maimum (resp. un minimum) si D f, f() f( 0 ). (resp. D f, f() f( 0 ).) Un etrémum est un maimum ou un minimum. Un etrémum en 0 est dit strict si D f et 0 impliquent f() f( 0 ). Soit V un voisinage de 0 D f. Si la restriction de f à D f V possède en 0 un etrémum alors on dit que la fonction f a un etrémum local en 0. Tout etrémum est un etrémum local. Remarquons que f possède en 0 un maimum si et seulement si f possède en ce point un minimum. Les etrémums de f et f en 0 sont de même nature (stricts, locau,...). Eemples. (1) La fonction de R dans R, 2, possède en 0 un minimum strict. (2) La fonction de R dans R, cos, possède en 0 un maimum local strict. 343

2 RECHERCHE DES EXTRÉ EMUMS D UNE FONCTION (3) La fonction de R dans R, E(), possède en 0 = 1 un minimum et un maimum 2 local non strict. (4) La fonction de [ 1, 1] dans R, 1 2, admet en 1 et -1 des minimums locau et un maimum strict en 0. (5) La fonction f, définie sur R par f() = 1 si Q et f() = 0 sinon, est une curiosité : elle n est constante sur aucun intervalle et elle possède un etrémum en chaque point. 3. Le cas général et le cas des fonctions continues Proposition Soit f : D f R et 0 D f. S il eiste α > 0 tels que [ 0 α, 0 + α] D f et si f n a pas le même sens de variation sur [ 0 α, 0 ] et [ 0, 0 + α] alors f possède un etrémum local en 0. C est un maimum si f est croissante sur le premier intervalle et l etrémum est strict si f est strictement monotone sur chacun des deu intervalles. Ce résultat ne demande pas de démonstration et c est pourtant celui qui est le plus souvent utilisé en pratique. Dans son application, le calcul différentiel joue, en général, un rôle essentiel pour déterminer le sens de variation de la fonction f. La proposition précédente n est qu une condition suffisante. Eemple. Considérons la fonction f : R R définie par f(0) = 0 et f() = 4 (sin( 1 ) + 2) si 0. Comme, pour tout R, 4 f() 3 4 la fonction f a un minimum strict en 0 mais, comme on va le voir, l eistence de ce minimum ne peut pas être obtenu en utilisant la proposition précédente. La fonction f est de classe C 1 avec f () = 4 3 (sin( 1 ) + 2) 2 cos( 1 ) si 0 et f (0) = 0. Soit, pour n > 0, n = 1 2nπ et y n = 1. On a lim 2nπ + π/2 n = lim y n = 0 et n n f ( n ) = 1 nπ ( 1 n 2 π ) < 0, f (y n ) = 12 (2nπ + π/2) 3 > 0, ce qui montre qu il n eiste aucun intervalle [0, α], α > 0, sur lequel f est monotone. On montre facilement le même résultat pour les intervalles du type [α, 0]. En remplaçant dans la définition de f, 4 par 2 on obtient une fonction ayant la même propriété mais qui n est pas C 1. Le remplacement de 4 par 2n permet d obtenir, pour tout n, une fonction de classe C n 1. Proposition Soit f : D f R et 0 D f. S il eiste α > 0 tel que [ 0 α, 0 [ D f =, [ 0, 0 + α] D f et si f est monotone sur [ 0, 0 + α] alors f possède un etremum local en 0. C est un minimum si f est croissante sur cet intervalle, il est strict si f est strictement croissante. Il suffit d appliquer la définition d un etremum local avec V =] 0 α, 0 +α[ et la proposition possède une version à gauche de 0. Ce résultat, fort utile pour montrer l eistence d un etremum au bornes de l ensemble de définition d une fonction, n est encore qu une condition suffisante comme le montre la restriction de la fonction f de l eemple précédent à R +. Supposons maintenant la fonction f continue. On a alors le résultat classique suivant (Voir le document 27 Image d un intervalle par une fonction continue ) :

3 4. LE CAS DES FONCTIONS DÉRIVABLES 345 Proposition Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]. La fonction f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes. Remarques. 1) Une fonction continue sur un intervalle borné mais non fermé n a pas toujours d etrémum sur cet intervalle. C est le cas de la fonction ] π/2, +π/2[ tan. 2) Il eiste quelques cas où la proposition 32.3 permet de conclure. Considérons, par eemple, la fonction f : R R définie par f() = [( 1) 2 ] 1/3. La fonction f est continue sur [0, 1], dérivable sur ]0, 1[, f(0) = f(1) = 0 et f() > 0 si ]0, 1[; La fonction f atteint donc son maimum sur [0, 1] en un point de ]0, 1[. On a, pour ]0, 1[, f () = 1 ( 1)(3 1)[( 3 1) 2 ] 2/3 et donc le maimum est atteint pour = Le cas des fonctions dérivables On dit que 0 R est un point intérieur de la partie X de R s il eiste α > 0 tel que ] 0 α, 0 + α[ X. L ensemble des points intérieurs à X est appelé l intérieur de X. Notons que si X = [a, b] alors l intérieur de X est ]a, b[. Proposition Soit f : D f R et 0 un point de l intérieur de D f. Si f possède un etremum local en 0 et si f est dérivable en 0 alors f ( 0 ) = 0. En remplaçant éventuellement f par f, on peut supposer que f possède un maimum local en 0. Soit α > 0 tel que ] 0 α, 0 + α[ D f et soit β > 0 tel que la restriction de f à D f ] 0 β, 0 + β[ ait un maimum en 0. Posons γ = min(α, β) > 0. Si ] 0 γ, 0 [ alors 0 < 0 et f() f( 0 ) 0 d où f() f( 0) 0. De même si ] 0, 0 + γ[ alors f() f( 0) Il en resulte que f g( 0 ) 0 et f d ( 0) 0 d où f ( 0 ) = 0. Remarques. 1) La proposition précédente peut être fausse si 0 n est pas un point intérieur à D f. Par eemple, f : [0, 1] R définie par f() = possède un maimum en 0 = 1 et f (1) = 1. 2) La réciproque de la proposition est fausse. Par eemple, f : [0, 1] R définie par f() = 3 verifie f (0) = 0 et f ne présente pas d etremum en 0 bien que ce point soit intérieur à D f. La proposition 32.4 n est donc pas une condition suffisante. 3) Cette proposition est le principal argument utilisé dans la démonstration habituelle du théorème de Rolle. 4) En utilisant une preuve analogue à celle de la proposition 32.4, on voit que si f : D f R possède un etrémum local en 0 situé dans l intérieur de D f et si f est dérivable à droite et à gauche en 0 alors ces dérivés sont de signes contraires. Ce résultat généralise la proposition Pour essayer d améliorer la proposition 32.4 en vue d obtenir une condition nécessaire et suffisante, on fait des hypothèses supplémentaires sur la dérivabilité de la fonction. Proposition Soit f : D f R et 0 un point de l intérieur de D f où f est dérivable avec f ( 0 ) = 0. S il eiste un plus petit entier p 2 tel que f soit p fois dérivable en 0 avec f (p) ( 0 ) 0 alors f possède un etremum local strict en 0 si et seulement si p est pair. Lorsque p est pair alors l etremum est un maimum si f (p) ( 0 ) < 0 et un minimum sinon.

4 RECHERCHE DES EXTRÉ EMUMS D UNE FONCTION En remplaçant éventuellement f par f, on peut supposer que f (p) ( 0 ) > 0. La fonction f étant p fois dérivable en 0 il eiste α > 0 tel que les (p 1) fonctions dérivées de f soient définies sur ] 0 α, 0 + α[. Pour D f posons h() = f() f( 0 ). La fonction h est (p 1) fois dérivable sur ] 0 α, 0 + α[ et 0 n p 1 implique h (n) ( 0 ) = 0. La fonction h (p 1) (= f (p 1) ) étant dérivable en 0 elle possède un développement limité d ordre 1 au voisinage de ce point et pour tout ] 0 α, 0 + α[ on a : h (p 1) () = f (p 1) () = ( 0 )(f (p) ( 0 ) + ɛ()) avec lim 0 ɛ() = 0. Il eiste η α tel que si ] 0 η, 0 + η[ alors f (p) ( 0 ) + ɛ() > 0 d où le tableau suivant dans lequel les flèches indiquent une croissance ou une décroissance stricte: h (p 1) h (p 2) h (p 3) On voit que du point de vue des signes la première ligne du tableau est identique à la troisième et, de plus h (n) ( 0 ) = 0 pour tout n [0, p 1]. Il en résulte que si on continue le tableau vers le bas jusqu à la ligne donnant le signe de h (0) () = h() = f() f( 0 ) alors le tableau est périodique et de période 2. En particulier : si p est pair, h() a le signe de h (p 2) (), c est-à-dire si ] 0 η, 0 +η[ alors h() 0 et 0 implique f() f( 0 ). Cela signifie que la fonction f possède un minimum local strict en 0 ; si p est impair, h() a le signe de h (p 1) (), c est-à-dire si ] 0 η, 0 [ alors h() < 0 et si [ 0, 0 + η[ alors h() > 0. La fonction f ne présente pas d etrèmum en 0. (Si p = 2 le tableau ne comporte que deu lignes et on obtient la même conclusion que dans le cas p pair.) Notons que dans la preuve précédente le minimum devient un maimum si l on suppose f (p) ( 0 ) < 0. On peut représenter les différents cas par le tableau suivant.

5 4. LE CAS DES FONCTIONS DÉRIVABLES 347 p pair p impair f p ( 0 ) > 0 f p ( 0 ) < 0 Par eemple, si on considère la fonction f : R R définie par f() = cos( 2 ) alors ses trois premières dérivées sont nulles en 0 et f (4) (0) = 12. On a donc un maimum local pour = 0. π π (L étude du sens de variation de f sur [ 2, ] conduit au moins aussi rapidement à ce 2 résultat.) Remarques. 1) La proposition précédente donne une condition nécessaire et suffisante pour qu une fonction ayant une dérivée n-ème non nulle en un point 0 à l intérieur de son ensemble de définition ait en ce point un etrémum. Cependant ce résultat ne résout pas entièrement le problème de la caractérisation des etrémums à l aide des dérivées même pour les fonctions de classe C. En effet, il eiste des fonctions de classe C dont toutes les dérivées sont nulles en un point 0, certaines ayant un etrémum en 0 et d autres n ayant pas d etrémum en ce point. Par eemple, considérons la fonction f de R dans R (dite fonction de Cauchy) défine par f(0) = 0 et f() = e 1 2 si 0. Pour 0, il est clair que f est indéfiniment dérivable (f est sur ], 0[ et ]0, + [ composée de deu fonctions de classe C ). On a pour 0 : f () = 2 3 e 1 2 = P 1 ( 1 )e 1 2 avec P 1 () = 2 3 ; f (2) () = ( 1 2 P 1( 1 ) P 1())e 2 = P 2 ( 1 1 )e 2 avec P 2 () = 2 P 1 () P 1 (). Plus généralement, par une récurrence simple, f (n) () = P n ( 1 1 )e 2 où P n est un polynôme vérifiant la relation de récurrence P n+1 () = 2 3 P n () 2 P n(). Pour tout entier n et tout 0, ( 1 1 )n e 2 = ( )n/2 e 2 1 =. ( ) n/2 e 2

6 RECHERCHE DES EXTRÉ EMUMS D UNE FONCTION Si tend vers 0 alors 1 tend vers + d où lim 2 ( ) n/2 e 2 = + et lim( )n e 2 = 0 ( ). Soit H n la propriété : f est C n sur R et f (n) (0) = 0. Il est clair que H 0 est vrai. Si H n est vrai alors f (n) est continue sur R et, en utilisant ( ) et la proposition (Proposition 23.4) donnant la limite d une combinaison linéaire de fonctions, lim f (n+1) () = lim P n+1 ( )e 2 = 0 L utilisation de la proposition 31.4 du document 31 achève la preuve de H n+1. Le principe de récurrence entraine que f est C avec, pour tout entier n, f (n) (0) = 0. On a f(0) = 0 et, pour 0, f() > 0. La fonction f a donc un minimum strict en 0 mais l eistence de ce minimum ne peut pas être montrée en utilisant la proposition précédente. Considérons maintenant la fonction g : R R définie par g() = f() si 0 et g() = f() si 0. La fonction g est indéfiniment dérivable sur R, ne présente pas d etrémum en 0 et toutes ses dérivées sont nulles en 0. Notons aussi que la fonction f est un bon eemple de fonction de classe C sur R et qui n est pas développable en série entière au voisinage de Le calcul différentiel est aussi en échec dans le cas des fonctions ayant en un point n dérivées successives nulles et pas de dérivée (n+1)-ième. Par eemple considérons f : R R définie par f(0) = 0 et f() = 2 (2 + sin 1 ) si 0. Il est clair que f possède un minimum en 0 ( 2 f() 3 2 ) mais f (0) = 0 et f n est pas deu fois dérivable en 0. 3) En utilisant la formule de Taylor-Young on obtient une démonstration beaucoup plus courte de la la proposition En effet on a f() f( 0 ) = ( 0 ) p ( f (p) ( 0 ) + ɛ()) p! f (p) ( 0 ) avec lim ɛ() = 0. Dans un voisinage de 0, + ɛ() a le signe de f (p) ( 0 ) d où le 0 p! comportement de f dans ce voisinage en fonction de la parité de p. Plus généralement, considérons le cas d une fonction f ayant au voisinage d un point 0 un développement limité de la forme avec a p 0 et lim 0 ɛ() = 0. On a f() = f( 0 ) + a p ( 0 ) p + ( 0 ) p ε() f() f( 0 ) = ( 0 ) p (a p + ε()) et, comme dans un voisinage de 0, a p +ε() a le signe de a p on voit qu il y a un etremum en 0 si et seulement si p est pair. Cette condition nécessaire et suffisante pour avoir un etremum est l une des plus générales que l on puisse obtenir (mais elle ne s applique qu au fonctions ayant un développement limité de la forme ci-dessus). 4 ) Soit f n : R R définie par f n () = n, n N. Pour p < n, f (p) n (0) = 0 et f n (n) (0) = n!. La fonction f n présente donc un etrémum en 0 si et seulement si n est pair. Lorsqu il eiste, cet etrémum est un minimum.

7 5. CONCLUSION : RECHERCHE PRATIQUE DES EXTRÉMUMS Le cas des fonctions convees. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deu fois dérivable sur l intérieur de I. Les trois affirmations suivantes sont équivalentes : La fonction f est strictement convee sur I ; La fonction dérivée f est strictement croissante sur l intérieur de I ; Pour tout de l intérieur de I, f 0 et { f () = 0} ne contient aucun intervalle non réduit à un point. Soit f une fonction deu fois dérivable et strictement convee. Il y a deu cas : Il eiste 0 tel que f ( 0 ) = 0. La fonction f a un mimimum strict en 0 et des maimums locau stricts au bornes de I qui appartiennent à I. Ces etrémums sont les seuls possibles. La dérivée f n est jamais nulle. La fonction f est strictement monotone et possède des etrémums uniquement au bornes de I qui sont dans I. La nature de ces etrémums éventuels est donnée par le sens de variation de f. Remarques. 1) Si la fonction f est strictement concave sur I, il suffit de permuter dans les résultats précédents maimum et minimum. 2) L hypothèse importante est la stricte conveité. L hypothèse f deu fois dérivable ne fait que simplifier les preuves. 3) Si f est seulement convee on a des résultats analogues mais f pouvant alors être constante sur un intervalle [a, b], tous les points de ]a, b[ sont des etémums locau. 5. Conclusion : recherche pratique des etrémums En pratique, on recherche les etrémums d une fonction f définie sur un ensemble D f qui est une réunion d intervalles disjoints. En général la fonction f est dérivable sur D f privé de quelques points. Le calcul de la fonction dérivée de f et l étude de son signe permettent de déterminer le sens de variation de f sauf peut-être au voisinage de certains points (Penser à 2 sin 1 au voisinage de 0. ) D aprés ce qui précède les points où f présente un etrémum sont à rechercher parmi les points suivant : 1) Les bornes des intervalles constituant D f et qui appartiennent à D f. Si l eamen du tableau de variation de f montre que souvent la fonction présente un etrémum en ces points, il n en est pas toujours ainsi. Par eemple, soit f : R + R définie par f(0) = 0 et f() = 2 cos 1 si 0. La fonction f est de classe C 1 avec f () = 2 cos sin. En considérant la suite n = 1 2 n 2, on montre facilement que π2 f n a pas d etrémum en 0. 2) Les points de D f où f n est pas dérivable. Par eemple, soit f : R R définie par f() = ( 2 ( 2)) 1/3. Sur R {0, 2} on a f 3 4 () = 1/3 1/3. La fonction f n est pas dérivable en 0, est croissante sur ], 0] ( 2) 2/3 et est décroissante sur[0, 4 3 ]. Elle possède donc un maimum local en 0. Au point = 2, la fonction f n est pas dérivable mais il n y a pas d etrémum en ce point.

8 RECHERCHE DES EXTRÉ EMUMS D UNE FONCTION 3) Les points de l intérieur de D f où f est dérivable et de nombre dérivé nul. Pour chacun de ces points, l eamen du tableau de variation permet en général de conclure. Sinon on peut essayer la proposition Remarque. Dans les eemples issus d une situation concrète, il est très important de bien préciser l ensemble de définition de la fonction f que l on considère ainsi que l ensemble des points où cette fonction est dérivable. On fait ensuite la liste, en général courte, des points où f est susceptible de présenter un etrémum et on étudie chacun de ces points. L eamen du tableau de variation de f est souvent suffisant pour conclure. 6. Eemples Eemple 1 Soit a, b, α et β quatre nombres réels vérifiant a < b et β < 0 < α. On considère un plan affine euclidien muni d un repère orthonormé (O, u, v) et on désigne par A et B les points de ce plan de coordonnées (a, α) et (b, β). Un mobile va de A à B. Son mouvement est rectiligne uniforme, de vitesse v 1, dans le demi-plan y 0 et de même dans le demi-plan y 0 avec la vitesse v 2. Montrer qu il eiste un unique point M de l ae O tel que la trajectoire AMB corresponde au temps minimum pour aller de A à B. Solution. Soit l abscisse d un point M de O. La durée du trajet pour aller de A à B suivant la trajectoire AM B est d() = AM + MB ( a) = 2 + α 2 ( b) β 2 v 1 v 2 v 1 v 2 La fonction d : R R est de classe C sur R et donc ses etrémums éventuels sont obtenus pour des valeurs de qui annulent sa fonction dérivée. En posant u() = ( a) 2 + α 2 on a : (u 1/2 ) = 1 2 u u 1/2, (u 1/2 ) = 1 2 u 3/2 (u u 1 2 (u ) 2 ) Or (u u 1 2 (u ) 2 )() = 2α 2. Donc (u 1/2 ) > 0 et d > 0. La fonction d est strictement croissante sur R. On a : d a () = v 1 ( a) 2 + α + b 2 v 2 ( b) 2 + β 2 et donc d (a) < 0 et d (b) > 0. Il eiste 0 ]a, b[ unique tel que d ( 0 ) = 0. Comme d ( 0 ) > 0, la fonction d possède un unique etrémum, qui est un minimum, obtenu pour = 0. Soit M 0 le point de O d abscisse 0. On a d ( 0 ) = 0 d où 0 a v 1 (0 a) 2 + α = 0 b 2 v 2 (0 b) 2 + β 2 c est-à-dire, en notant A 1 et B 1 les projections M 0 A 1 de A et B sur O, v 1 M 0 A = M 0B 1 ou encore v 2 M 0 B v 2 = sin( M 0 BB 1 ) v 1 sin( M 0 AA 1 ).

9 6. EXEMPLES 351 L angle M 0 BB 1 étant égal à l angle de M 0 B avec la perpendiculaire en M 0 à O et l angle M 0 AA 1 étant égal à l angle de M 0 A avec cette même perpendiculaire, ce résultat est aussi une démonstration de la loi de la réfraction de la lumière (loi de Snell van Royen). On peut ausi écrire : d() = AM + BM d où d AM () = ( v 1 v 2 v 1 AM + BM v 2 BM ) dm d donc d AM () = 0 ( v 1 AM + BM v 2 BM ) dm d. Comme v 2 dm d est colinéaire avec u on a donc 1 v 1 AM 0 AM 0. u + 1 v 2 BM 0. u = 0 ou encore cos( AM 0 A 1 ) BM 0 cos( BM 0 B 1 ) ce qui est le résultat précédent sachant que cos = sin(π/2 ). v 1 = Eemple 2 Une statue de hauteur b est située au sommet d une colonne dont la hauteur dépasse d une quantité a la hauteur de l œil d un observateur. A quelle distance cet observateur doit-il se placer pour voir la statue sous un angle maimum? Solution Soit β l angle sous lequel est vue la statue, α l angle sous lequel est vue la partie de la colonne située plus haut que l œil de l observateur et la distance entre l observateur et le pied de la colonne. Si = 0 alors la statue est vue sous un angle nul. On suppose donc > 0. On a tan α = a et si tan β = y alors d où y = b 2 + a(a + b). tan(α + β) = a + b = tan α + tan β 1 tan α tan β = a + y 1 ay = a + y ay b Considérons la fonction f définie pour > 0 par f() = 2. La fonction tangente + a(a + b) étant strictement croissante sur ]0, π/2[, l angle β est maimum si et seulement si tan β est maimum. On doit donc étudier les maimums de f qui est une fonction de classe C sur R +. On a f () = b2 + ba(a + b) ( 2 + a(a + b)) 2 et donc f () = 0 équivaut à = a(a + b) = 0. La fonction f est positive sur ]0, 0 ] et négative sur [ 0, + [ et f est donc croissante sur le premier intervalle et décroissante sur le second. Elle possède un maimum strict en 0 (car croissance et décroissance sont strictes). Eemple 3 Etudier les etrémums de la fonction f de R dans R définie par f() = [( 1) 2 ] 1/3. Solution abrégée. Les théorèmes générau sur les fonctions dérivées entrainent que la fonction f est dérivable sur R {0, 1} et sur cet ensemble f 1/3 () = 2/3 ( 1) 1/3. On a f () = 0 si et seulement si

10 RECHERCHE DES EXTRÉ EMUMS D UNE FONCTION = 1/3 et donc les etrémums sont a rechercher pour les valeurs de dans {0, 1/3, 1}. L eamen du tableau de variation montre qu il y a un maimum relatif pour = 1/3, un minimum relatif pour = 1 et pas d etrémum pour = 0.