FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES

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1 FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES Ph DEPRESLE 6 juin 05 Table des matières Fonction carré. Fonction x x Fonction x ax, a Fonctions polynôme de degré 3. Définition Variations Exemple Représentation graphique d une fonction trinôme Fonction inverse 5 3. Fonction x x Fonction x a x Fonctions homographiques 6 4. Exemple Représentation graphique d une fonction homographique Les exercices 9 6 Les exercices corrigés

2 Fonction carré. Fonction x x Définition. La fonction carré est définie sur R par : f(x) = x. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est appelée parabole d équation y = x, de sommet le centre O du repère. x 0 + x 0 3 Propriétés. La fonction carré est strictement décroissante sur ],0] et strictement croissante sur [0,+ [ Démonstration Soient x < x 0 x x = (x x )(x +x ) or x +x < 0 car x et x sont négatifs. et x x < 0 car x < x donc x x est positif comme produit de deux négatifs donc x x et la fonction carrée est décroissante sur ],0]. Même démonstration pour montrer que la fonction carrée est croissante sur [0,+ [.. Fonction x ax, a 0 Si a > 0 x 0 + ax 0 Si a < 0 x ax O O Définition. La courbe représentative de f dans un repère orthogonal est appelée parabole d équation y = ax, de sommet le centre O du repère. Si a > 0 on dit que la parabole est tournée vers le haut. Si a < 0 on dit que la parabole est tournée vers le bas. Notes de cours: Ph DEPRESLE Page sur 4

3 Fonctions polynôme de degré. Définition Définition 3. Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur R par f : x ax +bx+c, où a,b,c sont trois nombres réels tels que a 0. Exemple : f : x x + x 3 + et g : x x +5+ sont des fonctions polynôme du second degré.. Variations Propriétés. Soit f une fonction polynôme du second degré définie surrpar x ax +bx+c, où a 0. Si a > 0, alors la fonction f est d abord décroissante puis croissante. Si a < 0, alors la fonction f est d abord croissante puis décroissante. Démonstration Soit f une fonction polynôme du second degré définie surrpar f : x ax +bx+c, où a 0. Considérons les intervalles ] ; b b ] et [ a a ;+ [. Soient x et x deux nombres distincts de [ b a ;+ [ avec x > x On a x b a et x b a donc x +x b a Ce qui prouve que x +x + b 0 () a Calculons f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) = (ax +bx +c) (ax +bx +c) = a(x x )+b(x x ) = a(x +x )(x x )+b(x x ) = (x x )(a(x +x )+b) = a(x x )(x +x + b a ) On a : a > 0 car on est dans ce cas. x x > 0 car on a choisi x > x x +x + b > 0 d après () a Le produit de trois nombres positifs est positif donc f(x ) f(x ) > 0. On a supposé x > x et on a f(x ) > f(x ) donc f est croissante sur [ b a ;+ [. On démontre de la même manière que f est décroissante sur [ ; b a [. Étudions le cas ou a < 0 : Le raisonnement est le même. Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 3 sur 4

4 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques.3 Exemple Soit f : x x +4x. C est une fonction polynôme du second degré. On peut écrire f(x) sous la forme f(x) = (x+). f a pour minimum -4, atteint en -. Soit P sa représentation graphique dans le repère orthogonal (O, #» i, #» j). M(x,y) P y = f(x) y = x +4x y = (x+) y +4 = (x+) Y = X X = x+ On a posé et Y = y +4 (Ω, #» i, #» j) avec Ω(,). ce qui revient à changer de repère et à prendre pour nouveau repère Y y M j O i x j Ω i X Dans (O, #» i, #» j), M a pour coordonnées (x,y) et dans (Ω, #» i, #» j), M a pour coordonnées (X,Y). P a pour équation Y = X dans (Ω, #» i, #» j), c est donc une parabole de sommet Ω(,) et tournée vers le haut. Les variations def sont : x + f(x) et sa courbe est Ω Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 4 sur 4

5 .4 Représentation graphique d une fonction trinôme Soit f : x ax +bx+c (a 0) une fonction trinôme. Théorème. (admis) Il existe deux réels α et β tels que, pour tout x réel, f(x) = a(x α) +β. Cette expression s appelle forme canonique de f. Soit f une fonction polynôme du second degré dont forme canonique est : f(x) = a(x α) +β. Si a > 0 f(x) β pour tout x R,et β est le minimum de f atteint pour x = α. Si a < 0 f(x) β pour tout x R,et β est le maximum de f atteint pour x = α. Soit P la représentation graphique de f dans (O, #» i, #» j). M(x,y) P y = a(x α) +β y β = a(x α) Y = ax { X = x α en posant Y = y β (X,Y) sont alors les coordonnées de M dans le nouveau repère (Ω, #» i, #» j) où Ω est le point de coordonnées (α,β) dans (O, #» i, #» j). Y = ax est une équation de parabole, donc : P est une parabole de sommet Ω(α,β) et tournée vers le haut si a > 0 P est une parabole de sommet Ω(α,β) et tournée vers le bas si a < 0 Les variations de f sont alors : Si a > 0 x α + ax +bx+c β Si a < 0 x α + β ax +bx+c Propriétés 3. La représentation graphique d une fonction trinôme est une parabole. 3 Fonction inverse 3. Fonction x x Définition 4. La fonction inverse est définie sur R\{0}par : f(x) =. Sa courbe représentative x dans un repère orthogonal est appelée hyperbole. Elle admet l origine O du repère comme centre de symétrie. Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 5 sur 4

6 x 0 + x O Propriétés 4. La fonction inverse est strictement décroissante sur ], 0[ et strictement décroissante sur ]0,+ [. Démonstration Soient x < x < 0 = x x > 0 car x > x et x x produit de deux négatifs est positif donc >. x x x x x x et la fonction inverse est décroissante sur ],0[. Même démonstration pour montrer que la fonction inverse est décroissante sur ]0,+ [. 3. Fonction x a x Si a > 0 x 0 + a x Si a < 0 x 0 + a x O O 4 Fonctions homographiques Définition 5. Une fonction homographique est de la forme x ax+b cx+d, c 0. Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 6 sur 4

7 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques 4. Exemple Soit f : x x+ sur R \ {}. C est une fonction homographique. Sa forme réduite est x f(x) = + 3 x. Ses variations ont été étudiées au chapitre précédent. x x+ Soit H sa représentation graphique dans le repère (O, #» i, #» j). M(x,y) H y = f(x) y = x+ x y = + 3 x y = 3 x X = x On a posé et Y = y Y = 3 X Ce qui est revenu à changer de repère et à prendre pour nouveau repère (Ω, #» i, #» j) avec Ω(,). j y j Ω Y i X M Dans ce dessin les coordonnées de M dans (O, #» i, #» j) sont (3,) et les coordonnées de M dans (Ω, #» i, #» j) sont (,-). O i x M(x,y) dans (O, #» i, #» j) M(X,Y) dans (Ω, #» i, #» j) H a pour équation Y = 3 X dans (Ω, #» i, #» j), c est donc une hyperbole dont le centre de symétrie est Ω, et dont les asymptotes sont les axes du nouveau repère, c est à dire les droites d équation x = et y =. Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 7 sur 4

8 4 Ω Représentation graphique d une fonction homographique Propriétés 5. toute fonction homographique se met sous forme réduite x A + B x α, avec B 0. Dans les deux cas la représentation graphique est une hyperbole de centre Ω(α, A) et d asymptotes les droites d équation x = α et y = A x x α est de la forme avec u : x x α croissante surr. u Ses variations sont donc : Si B > 0 Si B < Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 8 sur 4

9 5 Les exercices. Donner le domaine de définition des fonctions suivantes : a. f : x 3x+ b. f : x 5 x x+ c. f : x 3x+ 5x +7. Soit x un nombre réel. (a) L affirmation «Si x 9 alors x 3» est-elle vraie? (b) Écrire une proposition équivalente à : x Utiliser le graphique et seulement le graphique pour résoudre les équations et inéquations suivantes : a. x = x+3 b. x +x = 0 c. x x+3 d. x x x On considère la fonction f définie sur [;] par f(x) = x +x. (a) Recopier et compléter, à l aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant : x f(x) (b) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. (c) i. Tracer sur le graphique la représentation graphique de la fonction g définie par g(x) = x. ii. Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). iii. Retrouver les solutions de l équation f(x) = g(x) par le calcul. Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 9 sur 4

10 5. QCM Questions Réponses. la fonction x est décroissante sur ] ;0] R [0;+ [. Si f(x) = x le nombre a deux antécédents un antécédent aucun 3. Si f(x) = x le nombre a deux antécédents un antécédent aucun 4. Le tableau de variations de f(x) = x n a aucune valeur interdite 5. Sur l intervalle ]0; + [ les représentations graphiques de f(x) = x et g(x) = x ont a une valeur interdite a deux valeurs interdites un point commun deux points communs aucun point commun Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 0 sur 4

11 6 Les exercices corrigés. a. f : x 3x+ x+ On doit avoir x+ 0 soit x et donc D f =R\{}. b. f : x 5 x On doit avoir x 0 soit D f = [ ; ]. c. f : x 3x+ 5x +7 On a 5x +7 0 quelque soit x R donc D f =R.. Soit x un nombre réel. (a) L affirmation «Si x 9 alors x 3» est fausse. En effet si x = 0 on a 00 9 et 0 9 (b) Une proposition équivalente à : x 9 est x 9 0 soit après avoir fait un tableau de signe x ] ;] [3;+ [. 3. a. x = x+3 y = x est la parabole rouge et y = x+3 est la droite bleue. Ces deux courbes se coupent en x = et x = 3. b. x +x = 0 cela revient à résoudre x = x+ y = x est la parabole rouge et y = x + est la droite magenta. Ces deux courbes se coupent en x = et x =. c. x x+3 y = x est la parabole rouge et y = x +3 est la droite bleue. la parabole est en dessous de la droite pour x [;3]. d. x x x+3 y = x est la parabole rouge et y = x est la première bissectrice (ici en vert ). La condition est vérifiée pour x [;0] [;3]. Notes de cours: Ph DEPRESLE Page sur 4

12 On considère la fonction f définie sur [;] par f(x) = x+x. (a) Le tableau de valeurs est : x f(x) (b) La courbe représentative de f dans un repère orthonormé est : Notes de cours: Ph DEPRESLE Page sur 4

13 (c) i. On obtient : f(x) g(x) ii. Graphiquement l équation f(x) = g(x) semble avoir pour solution x = et x =. En effet : f(x) g(x) iii. L équation f(x) = g(x) s écrit x x +x = x soit = et enfin x = 4. Les solutions de cette équation sont bien x = ou x = Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 3 sur 4

14 5. QCM Questions Réponses. la fonction x est décroissante sur ] ;0] R [0;+ [. Si f(x) = x le nombre a deux antécédents un antécédent aucun 3. Si f(x) = x le nombre a deux antécédents un antécédent aucun 4. Le tableau de variations de f(x) = x n a aucune valeur interdite 5. Sur l intervalle ]0; + [ les représentations graphiques de f(x) = x et g(x) = x ont a une valeur interdite a deux valeurs interdites un point commun deux points communs aucun point commun Notes de cours: Ph DEPRESLE Page 4 sur 4

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