ENSEMBLES DE NOMBRES

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Benjamin Morin
il y a 7 ans
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1 Chpitre 01 Ensemles de nomres I- Les différents ensemles de nomres ENSEMBLES DE NOMBRES 1. Les entiers nturels Les entiers nturels sont les nomres 0 ; 1 ; ; ;... On note N l ensemle des entiers nturels, N = 0; 1; ;.... N se lit «pprtient à N». L écriture n N signifie «n est un entier nturel».. Les entiers reltifs Les entiers reltifs sont les nomres... ; ; 1 ; 0 ; 1 ; ;... On note Z l ensemle des entiers reltifs. Tous les éléments de N pprtiennent ussi à Z, on note N Z, on lit «N inclus dns Z». / N ; Z ; Z.. Les nomres décimux 0, 0 = 100 = 10 = 10 1, 7 = = = = Les nomres 0,0 ; 1, 7 ; 50 sont des nomres décimux. Un nomre déciml s écrit comme le quotient d un entier reltif pr une puissnce de 10, soit, vec Z et n N. 10n On note D l ensemle des nomres décimux. On N Z D. 4. Les nomres rtionnels ; 4 ; 7 5 = 7 5 = 7 sont des nomres rtionnels. 5 Un nomre rtionnel est le quotient d un entier reltif pr un entier reltif non nul, il s écrit donc vec Z et Z \ {0} = Z. On note Q l ensemle des nomres rtionnels. Remrque L écriture d un nomre rtionnel n est ps unique. Pr exemple, = 4 6 = Prmi ces différentes écritures du même nomre, un rôle prticulier, c est une frction irréductile, son numérteur et son dénominteur sont premiers entre eux (leur PGCD est égl à 1). Tout nomre rtionnel s écrit de mnière unique sous forme de frction irréductile. = 0, , Q mis / D. 4 = 0, 75 donc 4 Q et 4 D. 1

2 Chpitre 01 Ensemles de nomres 7 5 = 1, 4 donc 7 5 Q et 7 5 D. Tous les nomres décimux sont des nomres rtionnels mis il existe des nomres rtionnels qui ne sont ps décimux. N Z D Q. 5. Les nomres réels Soit une droite D munie d un repère (O; I). O est l origine du repère, OI = 1 (unité de longueur). D O I 0 1 x A chque point M de l droite D, on ssocie le nomre x, ppelé scisse de M dns le repère (O; I) de l mnière suivnte : x = OM si M [OI) x = OM si M / [OI) L ensemle des nomres réels est l ensemle des scisses des points de l droite D. On note R l ensemle des nomres réels. Il existe des nomres réels qui ne sont ps rtionnels, on dit qu ils sont irrtionnels. Digonle d un crré de côté 1 :, / Q. demi-périmètre d un cercle de ryon 1 : π, π / Q. M II- - Intervlles de R 1. Introduction Résoudre dns R l inéqution x 7 5. x 7 5 x 1 x 6. On représente l ensemle des solutions S sur un xe : S On noter ] ; 6] l ensemle des nomres réels inférieurs ou égus à 6. L ensemle des solutions de l inéqution est S =] ; 6].. s () Intervlles ornés Soit et deux nomres réels tels que.

3 Chpitre 01 Ensemles de nomres Nottion Ensemle des nomres réels x tels que : Représenttion [; ] ]; [ [; [ ]; ] x < x < x < < x Ces ensemles sont des intervlles ornés, et sont les ornes. [; ] est un intervlle fermé, ]; [ est un intervlle ouvert. [; [ et ]; ] sont intervlles semi-ouverts respectivement à droite et à guche. () Intervlles non ornés Soit un nomre réel. Nottion Ensemle des nomres réels x tels que : Repésenttion [; + [ ]; + [ x < x ] ; ] x ] ; [ x < + se lit «plus l infini»et se lit «moins l infini». Ces ensemles sont des intervlles non ornés. [; + [ et ] ; ] sont des intervlles fermés. ]; + [ et ] ; [ sont des intervlles ouverts. Attention : + et ne sont ps des nomres réels. [1; + [ 4 / ] ; 5] 1 / ]1; ] + [ 0 ; [ ] 7 / ; [. Intersection Soit un ensemle E et A, B deux ensemles contenus dns E, on dit que A et B sont des prties de E. L intersection des ensemles A et B, notée A B (on lit A inter B), est l ensemle des éléments de E qui pprtiennent à A et à B.

4 Chpitre 01 Ensemles de nomres E A B A B : Déterminer, en utilisnt une représenttion grphique, les ensemles suivnts : I = [1; ] [ ; ] I = [1; ] J =] ; ] [ ; + [ J = [ ; ] K =] ; [ [; + [ 0 1 K = Propriété (dmise) L intersection de deux intervlles est toujours un intervlle, ou l ensemle vide. 4. Réunion Soit un ensemle E et A, B deux prties de E. L réunion des ensemles A et B, notée A B (on lit A union B), est l ensemle des éléments de E qui pprtiennent à A ou à B, c est-à-dire qui pprtiennent à u moins l un des deux ensemles A ou B. Attention : en mthémtiques, le «ou»est toujours inclusif, on A B A B. 4

5 Chpitre 01 Ensemles de nomres E A B A B : Déterminer, en utilisnt une représenttion grphique, les ensemles suivnts : I = [ ; [ [1; 5] I = [ ; 5] J = [ 5; [ [; + [ J n est ps un intervlle, on ne peut ps simplifier son écriture. Remrque L réunion de deux intervlles n est ps toujours un intervlle. 5

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