TD : Oscillateur harmonique

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1 TD : Oscillateur harmonique Observation du chromosome X par microscopie à force atomique. À gauche : nanoparticules observées par microscopie à force atomique (AFM, SP1-P2). Image du Dr. K. Raghuraman de l University of Missouri-Columbia. Questions de cours SP1-Q1 Donner le modèle de l oscillateur harmonique non amorti? Quel est l énergie potentielle associée? Que dire de son énergie mécanique? SP1-Q2 Savoir retrouver la période des oscillations d un pendule élastique non amorti. SP1-Q3 Savoir résoudre l équation différentielle d un oscillateur harmonique compte-tenu des conditions initiales. SP1-Q4 Savoir représenter et commenter le portrait de phase de l oscillateur harmonique. Exercices SP1-E1 Oscillation des molécules diatomiques La distance qui sépare les atomes des molécules diatomiques oscille autour d une valeur d équilibre. Pour l étude de telles vibrations moléculaires, on utilise le modèle de l oscillateur harmonique mécanique (ressort de longueur à vide l 0 et de constante de raideur k). Pour le bromure d hydrogène (HBr), où le rapport entre la masse de l atome de brome et celle de l atome d hydrogène est élevé, on peut admettre que l atome de brome est fixe dans le référentiel d observation et que l atome d hydrogène oscille autour de sa position d équilibre, laquelle se trouve à la distance de 141 pm de l atome de brome. Calculer la constante de raideur k de l oscillateur harmonique correspondant sachant que sa fréquence propre est f 0 = 7, Hz et que la masse de l atome d hydrogène est m H = 1, kg. SP1-E2 Diapason Un diapason vibre à la fréquence du La 4 soit f = 440 Hz. On mesure sur une photo l amplitude du mouvement de l extrémité des branches : A = 0, 5 mm. Quelle est la vitesse maximale de l extrémité du diapason? Quelle est l accélération maximale de ce point? SP1-E3 Oscillateur élastique vertical Reprendre le pendule élastique ressort étudié en cours (masse accrochée à un ressort dont l autre extrémité est fixe), mais en considérant désormais que l ensemble est vertical dans le référentiel terrestre. En particulier, exprimer la période propre du système. Commentaire.

2 PTSI Exercices Oscillateur harmonique SP1-E4 Masse d un astronaute La photographie ci-contre montre un astronaute utilisant un engin de mesure de la masse corporelle. Conçu pour les véhicules spatiaux en orbite, cet instrument permet aux astronautes de mesurer leur masse dans les conditions d apesanteur qui existent quand ils sont en orbite autour de la Terre. Le dispositif se compose d un siège installé sur un ressort : l astronaute mesure sa période d oscillation sur le siège qui se comporte comme une oscillateur élastique. 1) Si M est la masse de l astronaute et m est la masse effective de la partie du dispositif, établir le lien entre M, m, T, période d oscillation et k la constante de rappel. 2) Lors de la mission Skylab 2, la constante de rappel du dispositif était k = 605, 6 N.m 1 ; la période d oscillation du siège non occupé était de 0, s. Calculez la masse effective du siège. 3) Lorsqu un astronaute prend place sur le siège, la période d oscillation est de 2, s. Calculez la masse de l astronaute. SP1-E5 Point matériel relié entre deux ressorts horizontaux Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Un point matériel M de masse m est attaché à deux ressort (1) et (2) horizontaux de raideurs k 1 et k 2, et de longueurs à vide l 01 et l 02 reliés à deux points fixes A et B distants de (l 01 + l 02 ). Le point M glisse sans frottement le long de l axe (Ox) à partir de sa position d équilibre. Il est repéré sur cet axe par son abscisse x = OM. 1) Justifier la position d équilibre en O du point M. ey ez A ex l 02 l 01 k 2 k 1 2) Établir l équation différentielle du mouvement de M. En déduire la période T des oscillations et la raideur k du ressort équivalent à cette association. 3) À l instant t = 0, le point matériel est abandonné sans vitesse initiale du point M 0 d abscisse x 0. Déterminer l équation horaire du mouvement x(t). 4) On suppose maintenant que les deux ressorts sont identiques et que la masse m = 1, 00 kg est déplacée de 5, 00 cm vers la droite avec une force horizontale de 10, 0 N. a) Quelle est la période des oscillations une fois la masse lâchée? b) Quelle sera sa position au bout de 0, 200 s? c) Un des ressort se casse. Quelle est la fréquence des nouvelles oscillations? m Rép : 2) T = 2π ; 3) x(t) = x 0 cos(ω 0 t) ; 4.b) x(0, 200 s) = 4, 76 cm ; 4.c) f 0 = 1, 59 Hz k 1 + k 2 SP1-E6 Association de ressorts et ressort équivalent On cherche à représenter l ensemble de deux ressorts, de constantes de raideur k 1 et k 2, de longueurs à vide identiques, par un ressort unique équivalent. 1) Les deux ressorts sont associés en série, c est-à-dire mis bout à bout l un à la suite de l autre. a) Exprimer la raideur k du ressort équivalent, en fonction de k 1 et k 2. b) Les ressorts sont ceux de deux dynamomètres identiques, qui s étirent de 10 cm sous l effet d une traction de 10 N. Que vaut k? c) On substitue au second ressort, un ressort de raideur k 2 k 1. Commenter la valeur de k ainsi obtenue. 2 (2) O M (1) B x

3 Exercices Oscillateur harmonique PTSI d) On scinde un ressort de raideur k 1 en n fragments identiques. Quelle est la raideur de l un de ces ressorts? En s inspirant du résultat précédent, établir, pour un type de ressort donné, une grandeur caractéristique formée à partir de sa raideur et de sa longueur à vide. 2) Les ressorts sont désormais associés en parallèle, assemblés en sorte que leurs allongements respectifs soient toujours identiques. a) Trouver la relation liant k à k 1 et k 2. b) Calculer k pour les valeurs précédentes de k 1 et k 2. Que devient k si on choisit k 2 k 1? 3) Une masselotte, de masse m = 100 g, est attachée à un ressort horizontal dont l autre extrémité est fixe. Elle peut glisser, pratiquement sans frottement, sur un plan horizontal, et oscille ainsi avec une période T = 2, 4 s. a) Le même ressort, toujours disposé horizontalement, mais ses deux extrémités étant fixes et distantes de la longueur à vide, on fixe la masselotte au milieu du ressort : quelle est la nouvelle période T des oscillations? b) En vous servant de l exercice E3, le ressort étant disposé verticalement, trouver la période. SP1-E7 A linear simple harmonic oscillator A block whose mass m is 680 g is fastened to a spring whose spring constant k is 65 N/m. The block is pulled a distance x = 11 cm from its equilibrium position at x = 0 on a frictionless horizontal surface and released from rest at t = 0. 1) What force does the sping exert on the block just before the block is released? 2) What are the angular frequency, the frequency, and the period of the resulting oscillation? 3) What is the amplitude of the oscillation? 4) What is the maximum speed of the oscillation block? 5) What is the magnitude of the maximum acceleration of the block? 6) What is the phase constant ϕ for the motion? 7) What is the mechanical energy of the linear oscillator? 8) What is the potential energy of this oscillator when the block is halfway to its end point, that is, when x = ± 1 2 x m? 9) What is the kinetic energy of the oscillator when x = 1 2 x m? SP1-E8 A linear simple harmonic oscillator (2) At t = 0, the displacement x(0) of the block in a linear oscillator like that of Fig. is 8, 50 cm. Its velocity v(0) then is m.s 1, and its acceleration a(0) is +47, 0 m.s 2. 1) What are the angular frequency ω 0 and the frequency f 0 of this system? 2) What are the phase constant ϕ and the amplitude of the motion? Rép : 1) ω = 23, 5 rad.s 1 ; f = 3, 74 Hz ; 2) x m = 9, 36 cm ; ϕ = 155 SP1-E9 Déphasage La figure représente un écran d oscilloscope avec deux signaux sinusoïdaux de même fréquence s 1 (t) (en noir) et s 2 (t) (en gris). La ligne en tireté représente le niveau zéro pour les deux signaux. Une division de l axe des temps correspond à 20 ms. 1) Déterminer la fréquence des signaux. 2) Caculer le déphasage de s 2 par rapport à s 1. 3) Quelle est la phase de s 1 au point le plus à gauche de l écran? 3

4 PTSI Exercices Oscillateur harmonique Problèmes SP1-P1 Mesure du champ de pesanteur terrestre Peut-on, à l aide d une masse et d un ressort, accéder à la mesure du champ de pesanteur terrestre? SP1-P2 Microscopie à force atomique (*) Dans un microscope à force atomique AFM (pour Atomic Force Microscope), une pointe d exploration, portée par l extrémité d un levier, est placée à très faible distance de la surface à observer : La pointe est soumise, de la part des atomes de cet échantillon, à une force qui varie fortement en fonction de la distance. Cette force atomique, à une distance de 1 nm, dont l origine est essentiellement électrostatique. est attractive. Lorsque la pointe se déplace devant le matériau, la variation de cette force permet d analyser la surface de ce dernier. Mécaniquement, on peut représenter la pointe A de l AFM par un pendule élastique, de masse m, à l extrémité d un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. Quant à la force atomique qu exercent les atomes sur elle, on montre qu elle peut se mettre sous la forme : F a (x) = F c + k f (x l c ) e x - x étant la coordonnée de la pointe selon la verticale descendante, - l c une longueur constante, - F c, une force constante (supposée verticale) - et k f un coefficient de force atomique positif qui dépend très fortement de la distance qui sépare la pointe de la surface à analyser. En effet, la constante K f vaut 1, 3 N.m 1 à 1 nm et 10 N.m 1 à 0, 5 nm. La constante de raideur k du ressort équivalent au levier est généralement comprise entre 0, 1 et 40 N.m 1. Comment ce système permet-il de remonter à la topographie de la surface étudiée? À gauche : pointe A d un microscope à force atomique. Observation d une surface de cuivre ( nm 2 ) par microscopie AFM (Université de Basel). 4

5 Exercices Oscillateur harmonique PTSI Sol.SP1-P2 La loi fondamentale de la dynamique appliquée à la pointe A donne : m a = m g k(x l 0 ) e x + F c + k f (x l c ) e x avec e x le vecteur unitaire de la verticale descendante Ox. En projetant cette équation sur l axe Ox descendant, on obtient : À l équilibre, on a : mẍ = mg k(x l 0 ) + F c + k f (x l c ) m ẍ e = mg k(x e l 0 ) + F c + k f (x e l c ) 1 2 La position d équilibre de la pointe est donc : x e = mg + kl 0 + F c k f l c k k f En exprimant 1 2, il apparaît l écart de la position x à la position d équilibre, qu on note X = x x e, et on trouve : mẍ = (k k f)x Ẍ + k k f m X = 0 Ẍ + ω 2 0 X = 0 On reconnaît l équation différentielle d un oscillateur harmonique de pulsation propre ω 0, soit : ω 0 = k k f m = ω0 2 k f m Soit encore : ω 0 = ω 0 1 k f k k avec : ω 0 = m Non seulement ω 0 < ω 0, mais ω 0 dépend de k f et donc de la distance qui sépare la pointe de la surface. Ainsi, l interaction entre la pointe et la surface influence la fréquence propre en la diminuant : lorsqu on mesure la fréquence d oscillation du levier, on constate que sa fréquence propre lorsque la pointe est à proximité de la surface (f 0 ) est plus petite lorsque elle en est éloignée (f 0 = ω 0 2π ). On peut remonter ainsi à la topographie de la surface. 5

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