ROPRIÉTÉS DES PARALLÉLOGRAMMES

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1 É 1 : ÉÉ É ÉÉ É 1 Vocabulaire Écris tous les noms possibles du parallélogramme ci-contre.,,,,,,,. b. ur la figure ci-contre, repasse en vert le côté opposé à [], en bleu un côté consécutif à [], en rouge l'angle opposé à et en violet un angle consécutif à. c. Écris cinq phrases concernant le parallélogramme. hacune des phrases doit contenir au moins un des mots suivants : opposés, consécutifs, diagonales, côtés et angles. [] et [] sont deux côtés opposés du parallélogramme. et sont deux angles consécutifs du parallélogramme. [] et [] sont les deux diagonales du parallélogramme. et sont deux angles opposés du parallélogramme. [] et [] sont deux côtés consécutifs du parallélogramme. 2 ans la figure ci-dessous, les droites d'un même gris sont parallèles. omme tous les parallélogrammes de cette figure.,, sont les parallélogramme de cette figure b. ourquoi peux-tu affirmer que ce sont des parallélogrammes? n sait que si un quadrilatère a les côtés opposés parallèles deux à deux alors c'est un parallélogramme. 3 ode le parallélogramme selon les consignes et complète la dernière colonne du tableau. igure onsigne Justification ode les côtés de même longueur. est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur donc = et =. olorie d'une même couleur les angles de même mesure. est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés sont de même mesure donc = et =. ode les longueurs égales sur les diagonales. est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se croisent en leur milieu donc est le milieu de [] et de []. 90 É : 3

2 É 1 : ÉÉ É ÉÉ É 4 u nom de la rose omplète les étiquettes sachant que est un parallélogramme. 4 cm b. Justifie tes réponses. 3 cm 4 cm n sait que est un parallélogramme or si un 6 n considère le parallélogramme. Quelle est la mesure de l'angle? = = 113 b. ourquoi? n sait que est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. 67 quadrilatère est un parallélogramme alors les diagonales se coupent en leur miieu donc = = 4cm et = = 3cm. 7 n considère le parallélogramme VW. Quelle est la longueur W? W X V 6 cm 5 e grand bleu a figure est dessinée à main levée. W = 6cm b. ourquoi? 4 cm 55 omplète les étiquettes sachant que est un parallélogramme. b. Justifie ta réponse pour l'angle. n sait que est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors les angles opposés ont la même mesure donc = = 55 6 cm 55 6 cm c. Justifie ta réponse pour la longueur. n sait que est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même mesure donc 4 cm n sait que VW est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur donc W = V. 8 est un parallélogramme de centre. Justifie que est le milieu du segment []. n sait que est un parallélogramme de centre or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se croisent en leur milieu donc est le milieu de []. 9 est un parallélogramme. Justifie que () // (). n sait que est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux donc () // (). = = 6cm. 3 : É 91

3 É 2 : ÉÉ É ÉÉ É 1 ode les longueurs égales et les angles droits, sachant que le quadrilatère est : 12 n considère le losange. un rectangle ; b. un losange ; Quelle est la mesure de l'angle? ourquoi? 50 c. un carré ; d. un parallélogramme. = 50 n sait que est un losange or si un quadrilatère est un losange alors ses angles opposés ont la même mesure donc = b. Justifie que les droites () et () sont perpendiculaires. n sait que est un losange or si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires donc les droityes () et 10 ans justifier, complète les étiquettes sachant que est un losange et est un carré tel que = 7 cm. 6cm 11 n considère le rectangle. Quelle est la longueur? ourquoi? n sait que est un rectangle de centre or si un quadrilatère est un rectangle alors les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur donc = 2 = 2 4 = 8 cm cm 6 cm 60 b. Quelle est la longueur? ourquoi? cm () sont perpendiculaires. 13 n considère un carré de centre et tel que = 2,7 cm. ais une figure à main levée ci-contre. b. Quelle est la mesure de l'angle? ourquoi? n sait que est un carré or si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales sont perpendiculaires donc = 90. c. Quelle est la longueur? ourquoi? n sait que est un carré or si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales se croisent en leur milieu et sont de même longueurdonc est le milieu de [] et de [] et =. n en déduit que = = 2,7cm. n sait que est un rectangle de centre or si un quadrilatère est un rectangle alors les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur donc = = 8 cm. É : 3

4 É 3 : É É 1 ur la figure ci-contre trace à main levée : en bleu, le point tel que soit un parallélogramme, en vert, le point tel que soit un parallélogramme, en rouge, le point tel que soit un parallélogramme. 2 lace les points, et, pour que, et J soient des parallélogrammes. b. c. J 3 vec l'équerre et la règle non graduée, place dans chaque cas le point pour que soit un parallélogramme. b. c. 4 vec le compas, place dans chaque cas le point pour que soit un parallélogramme. b. c. 5 ans chaque cas, place les points et tels que soit un parallélogramme de centre. c. b. 3 : É

5 É 3 : É É 6 onstruis chaque parallélogramme en tenant compte des données indiquées sur les figures race une figure à main levée sur laquelle tu reporteras les données puis construis un parallélogramme qui convient. de centre avec = 133 et = 5,8 cm. chéma : 133 5,8 cm igure : b b. avec = 5,4 cm et = 3,8 cm. chéma : 3,8 cm 5,4 cm igure : 7 race une figure à main levée sur laquelle tu reporteras les données puis construis le parallélogramme demandé. avec = 5 cm, = 4 cm, = 52. chéma : 4 cm igure : 52 5 cm c. avec = 4,5 cm et = 5,6 cm. chéma : 5,6 cm igure : 4,5 cm É : 3

6 É 3 : É 9 lein de parallélogrammes onstruis le parallélogramme. b. onstruis dans l'ordre les parallélogrammes :,, et. 11 eproduis en vraie grandeur la figure ci-contre à partir des points et déjà placés, sachant que, et sont des parallélogrammes et que toutes les dimensions sont en centimètres. 3 6,5 6 2,4 5 c. arque d'une même couleur toutes les droites qui sont parallèles. d. n peut en déduire que certains points sont alignés. esquels?,, et sont alignés.,, et sont aussi alignés e. ode les segments qui ont la même longueur. 10 vec la symétrie centrale onstruis les points, J et symétriques respectifs de, et par rapport au point. 12 onstruction astucieuse race une droite (d) et un point n'appartenant pas à (d). À l'aide uniquement d'une règle graduée, construis la parallèle à la droite (d) passant par. (d) b. efais la figure de la question, puis, en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas, trace de nouveau la parallèle à la droite (d) passant par. (d) J J b. ite tous les parallélogrammes ayant pour sommets quatre points de la figure. J, et J sont les parallélogrammes de la figure. 3 : É

7 É 4 : É É 1 onstruis : le point tel que soit un carré, en utilisant un compas et une règle non graduée ; b. le point tel que soit un rectangle, à l'aide d'une règle graduée uniquement ; c. le point tel que soit un losange, en utilisant une équerre et une règle non graduée. 2 n te servant du quadrillage, construis : le carré de centre ; b. le rectangle V de centre ; c. le losange de centre. V 3 ans chaque cas, complète les phrases par les mots «côté» ou «diagonale» puis construis le quadrilatère demandé à partir du segment déjà tracé : le rectangle tel que = 3 cm ; [] est un côté b. le losange tel que = 3 cm ; [] est une diagonale. [] est une diagonale. c. le carré ; [] est un côté d. un rectangle ; [] est une diagonale. e. le losange tel que = 63 ; [] est un côté 63 f. le carré. [] est une diagonale. É : 3

8 É 4 : É É 4 eproduis les figures ci-dessous en tenant compte des indications. le rectangle 28 6,3 cm 5 onstruis un rectangle dont le périmètre est égal à 20 cm et dont un côté mesure 3,5 cm. alculs : e demi périmètre est de 10 cm donc le second côté mesure 6,5 cm. (10 3,5) b. le losange 40 6 cm 6 n considère le losange tel que = 124 et = 5,6 cm. race une figure à main levée codée ,6 cm b. Quelle est la mesure de l'angle? Justifie. n sait que est un losange donc = et c. le rectangle 7cm 36 le triangle est isocèle en. n triangle isocèle a les angles à la base de même mesure donc = deplus la somme des angles d'un triangle est de 180 donc = 2 = 28 c. onstruis alors ce losange. d. le carré de diagonale mesurant 5,2 cm : É

9 É 4 : É É 7 n considère le rectangle tel que = 36 et = 3 cm. race une figure à main levée codée. 23 b. onstruis les points et, symétriques respectifs des points et par rapport à la droite (). c. race le quadrilatère. Quelle semble être sa nature? semble être un rectangle. 3 cm d. race le polygone. omment appelle-t-on un tel polygone? est un hexagone. b. ffectue et justifie les calculs nécessaires pour pouvoir construire ce rectangle. n sait que est un rectangle donc le triangle est rectangle en. r si un triangle est rectangle alors ses angles aigus sont complémentaires donc = 90 = = 67 9 Écris un programme de construction pour la figure ci-contre sachant que : = 2,5 cm ; = 3,3 cm ; = 5,5 cm. c. onstruis alors ce rectangle. 8 n polygone régulier onstruis un rectangle tel que = 2,5 cm et = 3,3 cm. onstruis le triangle tel que = et = 5,5 cm. onstruis le point tel que soit un losange. race le carré. 10 onstruis la figure de l'exercice précédent. onstruis un rectangle tel que = 5 cm et = 30. É : 3

10 É 5 : É (É) 1 ans chaque cas, les quadrilatères sont-ils forcément des parallélogrammes? éponds par Vrai ou aux puis illustre chaque réponse par une figure à main levée codée. Je suis un quadrilatère vrai faux igure Je suis un quadrilatère vrai faux igure qui a deux côtés opposés parallèles. x d. qui a ses côtés opposés parallèles. x b. qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. x e. non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur. x c. qui a ses côtés opposés deux à deux de même longueur. x f. qui a deux côtés opposés et deux côtés de même longueur. x 2 dentification 3 émontre que le quadrilatère J est un parallélogramme.... J n sait que est le mileu de [] et de [J] or si un quadrilatère a ses diagonales qui se croisent en omme tous les parallélogrammes de la figure ci-dessus, en sachant que les droites tracées en épais sont parallèles.,, et b. our chacun, cite la propriété qui t'a permis de l'identifier. : i un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c'est un parallélogramme. : si un quadrilatère a ses diagonales qui se croisent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. et : si un quadrilatère non croisé a leur milieu alors c'est un parallélogramme donc J est un parallélogramme. 4 émontre que le quadrilatère est un parallélogramme.... n sait que = et = or si un quadrilatère a les angles opposés de même mesure alors c'est un parallélogramme donc est un parallélogramme. deux côtés parallèles de même longueur alors c'est un parallélogramme. 3 : É

11 É 5 : É É É (É) 5 est un parallélogramme de centre tel que = 5 cm, = 8 cm et = 5,8 cm. onstruis une figure à main levée codée. 8 cm 5 cm 5,8 cm b. Quelle est la longueur du segment []? Justifie. n sait que est un parallélogramme or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu donc est le milieu de [] d'où = 2 = 5 = 2,5 cm. 2 c. Quelle est la longueur du segment []? Justifie. [] est une diagonale du parallélogramme de centre donc est le milieu de [] d'où = 2 = 8 2 = 4 cm. 6 V est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en W tel que W = W et W = VW. n donne V = 11 cm. omplète la figure. V b. alcule. Justifie. n sait que les diagonales du quadrilatère V se coupent en W tel que W = W et W = VW donc W est le milieu de [] et de [V] or si un quadrilatère a ses diagonales qui se croisent en leur milieu alors c'est un parallélogramme donc V est un parallélogramme. i un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur donc = V = 11 cm. W 11 cm 7 est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en tel que = et =. n donne = 8 cm. omplète la figure. d. onstruis cette figure en vraie grandeur et explique comment tu procèdes ci-dessous. 8 cm b. alcule. Justifie. n sait que = et = or si un quadrilatère a les côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme donc est un parallélogramme. n trace le triangle puis le point tel que soit le milieu de [] et le point tel que soit le milieu de []. i un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu donc est le milieu de [] d'où = = 8 cm. É : 3

12 É 6 : É (É ) 1 À l'aide du codage, indique si possible la nature de chaque quadrilatère. b. c. d. losange parallélogramme? rectangle e. f. g. h. losange carré carré rectangle 2 onstruis : un quadrilatère qui a ses diagonales de même longueur et qui n'est pas un rectangle ; 4 e quadrilatère Q est un parallélogramme de centre. es côtés [Q] et [] sont perpendiculaires. ontre que le quadrilatère Q est un rectangle. Q b. un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires et qui n'est pas un losange ; n sait que Q est un parallélogramme de plus ses côtés [Q] et [] sont perpendiculaires or si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un c. un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur mais qui n'admet pas de centre de symétrie. 3 e quadrilatère Q est un parallélogramme de centre. es diagonales [] et [Q] sont perpendiculaires. ontre que le quadrilatère Q est un losange. Q rectangle donc Q est un rectangle. 5 e quadrilatère Q est un rectangle de centre. es diagonales [] et [Q] sont perpendiculaires. race une figure à main levée codée correspondant à cet énoncé. b. ontre que le quadrilatère Q est un carré. n sait que Q est un rectangle or si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même Q n sait que Q est un parallélogramme de centre de plus ses diagonales [] et [Q] sont perpendiculaires or si un parallélogramme a les diagonales perpendiculaires alors c'est un losange donc Q est un losange. longueur donc [] et [Q] sont de même longueur et ont le même milieu de plus [] et [Q] sont perpendiculaires or si un quadrilatère a les diagonales de même longueur, perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu alors c'est un carré donc Q est un carré. 3 : É

13 É 6 : É É É (É ) 6 est un parallélogramme de centre dont les diagonales [] et [] ont la même longueur et sont perpendiculaires. onstruis une figure à main levée. b. émontre que est un losange. n sait que est un parallélogramme et ses diagonales [] et [] sont perpendiculaires or si un parallélogramme a les diagonales perpendiculaires alors c'est un losange donc b. émontre que est un parallélogramme. n sait que =, () // () or si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme donc est un parallélogramme. c. émontre que est un losange. n sait que est un parallélogramme et que () () or si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange donc est un losange. est un losange. c. émontre que est un rectangle. 8 onne la nature des quadrilatères et. Justifie. n sait que est un parallélogramme et ses diagonales [] et [] sont de même longueur or si un parallélogramme a les diagonales de même n sait que = et = or si un quadrilatère a ses longueur alors c'est un rectangle donc est un rectangle. d. onclus. est à la fois un rectangle et un losange donc c'est un carré. 7 est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en. n donne : =, () // () et () (). onstruis une figure à main levée. côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme donc est un parallélogramme. e plus () () or si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle donc est un rectangle. n sait que est le milieu de [] et de [] or si un quadrilatère a ses diagonales qui se croisent en leur milieu alors c'est un parallélogramme donc est un parallélogramme. e plus () () or si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange donc est un losange. 102 É : 3

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