Mesure d'une grandeur physique Détermination de l'incertitude

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1 I) Mesure d'une grandeur : Scences Physques Mesure d'une grandeur physque Détermnaton de l'ncerttude De nombreux phénomènes physques dont la compréhenson est ntutve sont susceptbles d'une représentaton mathématque. On assoce alors à ces phénomènes des grandeurs physques dont la représentaton mathématque dffère selon les caractérstques physques de la grandeur. ) Grandeurs mesurables : On consdère, par exemple, la résstance d'un résstor. On sat réalser la somme de deux résstances (par mse en sére des résstors) et la multplcaton d'une résstance par un scalare (à l'ade d'un rhéostat, par exemple). On dt qu'une résstance est une grandeur mesurable. Mathématquement, une telle grandeur est un élément d'un espace vectorel. Dans cet espace vectorel (à une dmenson), on chost une base e, toute résstance s'écrt alors R = R. e où R est un réel, R est la mesure de la résstance dans la base e. Ic, e est l'unté de résstance, donc l'ohm. Dans la pratque, on confond la résstance R, élément d'un espace vectorel à une dmenson que l'on note R, avec sa mesure R dans une base donnée. On écrt R = 3 Ω, par exemple. L'ntensté du courant, le traval d'une force, le pods d'un corps, la vtesse d'un pont sont des exemples de grandeurs mesurables. ) Grandeurs repérables et grandeurs mesurables : Une date d'un nstant, un potentel, une alttude, une température sont des grandeurs physques d'une nature tout à fat dfférente des précédentes. On ne peut pas défnr la somme de deux dates ou leur multplcaton par un scalare : de telles grandeurs ne sont donc pas mesurables au sens précédent. On dt qu'un nstant τ est repérable par un pont sur une drote. Mathématquement, un tel être est un élément d'un espace affne. Par contre, s on consdère deux nstants τ et τ on peut construre le vecteur durée D = τ τ qu est un élément de l'espace vectorel des durées, à une dmenson, assocé à l'espace affne des nstants. La somme de deux durées et la multplcaton d'une durée par un scalare ont un sens. On peut chosr un nstant partculer τ 0 (dans l'espace affne des nstants) comme orgne des nstants et une durée e comme unté (dans l'espace vectorel des durées). A un nstant quelconque τ, on fat correspondre la durée D 0 = τ0 τ = t. e. t est la date de l'nstant τ. On pourra défnr l'ntervalle de temps t = t' t comme la dfférence entre deux dates. De même, la dfférence d'alttude ou hauteur, la dfférence de potentel ou tenson sont des grandeurs mesurables. On parle souvent, à tort, de temps, d'alttude ou de potentel. La température est, de la même façon, une grandeur repérable seulement, mas, dès que l'on chost une orgne (température de la glace fondante sous atmosphère) et une unté ( C), on appelle encore à tort température ce qu est en réalté un ntervalle de température, grandeur mesurable. Page

2 II) Précson, erreur et ncerttude : ) Précson d'une mesure : Scences Physques Le mot précson mplque habtuellement l'exacttude. Dans le domane de la mesure, pourtant, le mot précson est assocé à nexacttude. Lorsqu'une grandeur physque est décrte au moyen d'une valeur numérque et de certanes untés, la valeur numérque dépend d'un certan nombre de facteurs, tels que le type partculer d'apparel utlsé pour fare la mesure, le genre et le nombre de mesures fates, et la méthode utlsée par l'expérmentateur pour extrare le nombre de l'apparel. A mons que la valeur numérque ne sot accompagnée d'une autre valeur qu donne la précson de la mesure, le nombre ans noté est auss bon qu'l est nutle. La précson sur la mesure d'une grandeur physque, nous permet de défnr le nombre de chffres sgnfcatfs assocés à la mesure de cette grandeur. Par exemple, s une mesure donne une valeur 64,54389 à % près, cec sgnfe que l'ncerttude est aux envrons de 6,4. On ne devra donc conserver dans le nombre exprmant la mesure de la grandeur que les chffres vrament sgnfcatfs. Dans le cas précédent, on ndquera 64 à % près ou encore : 64 ± 6 D'une façon générale pour exprmer un résultat, quand on effectue une sére d'opératons mathématques en utlsant des nombres d'une précson donnée, le procédé le plus smple est de fare les opératons une à une sans se préoccuper du problème des chffres sgnfcatfs jusqu'à la fn de l'opératon. On ramène alors le résultat fnal à un nombre ayant le même nombre de chffres sgnfcatf (c'est-à-dre la même précson) que le mons précs des nombres de départ. ) Erreur et ncerttude : Sot g v la valeur vrae de la grandeur G à mesurer et g m la valeur trouvée au cours d'une mesure. On appelle erreur absolue la dfférence δg = g m g v (δg R). La valeur exacte de δg n'est pas plus connue que celle de g v, snon le problème de la mesure n'exsterat pas. Tout ce que l'expérmentateur peut évaluer, c'est la lmte supéreure de δg dont on gnore également le sgne. L'ncerttude absolue est un majorant de δ g : g = δ g g s'exprme avec la même unté max que g m. La détermnaton de l'ncerttude absolue g lors de la mesure g d'une grandeur G dépend de pluseurs facteurs qu, sans entrer dans les détals et à travers quelques exemples, peuvent se résumer à : - l'mperfecton de la défnton même de la grandeur à mesurer (type de relaton entre la température et longueur d'une colonne de mercure...). - l'apparel de mesure utlsé (voltmètre électromécanque ou électronque et calbres...). - l'expérence de l'opérateur et la méthode utlsée (montage "amont" ou "aval"...). 3) Incerttude relatve : L'ncerttude relatve est le rapport g g m de l'ncerttude absolue à la valeur mesurée. C'est un nombre ndépendant des untés choses, ce qu lu confère un caractère plus général et une sgnfcaton plus profonde que g. L'ncerttude relatve est donnée sous la forme d'un rapport ou sous la forme d'un pourcentage. L'ncerttude relatve exprmée en pourcentage est auss appelée précson. Page

3 Scences Physques III) Détermnaton de l'ncerttude sur la mesure d'une grandeur : On consdère une grandeur G qu dépend de tros autres grandeurs X, Y et Z (la généralsaton à plus de tros varables se fat sans autres complcatons) par une relaton de la forme G = f(x, Y, Z) qu peut être une lo physque à vérfer ou tout autre relaton (P.V = n.r.t, U = R.I, ou même ΣF = m. a...). Sot x, y et z les mesures de X, Y et Z au cours de l'expérence et x, y et z les ncerttudes absolues, supposées détermnées, sur ces mesures. g = f(x,y,z) est alors une valeur calculée de la mesure de G. Suvant la méthode expérmentale utlsée l exste dfférentes façons de détermner la précson sur la mesure de G : ) Calcul d'ncerttude : On peut consdérer que les erreurs absolues sont des nombres petts devant les valeurs des grandeurs, on peut donc assmler l'erreur absolue à une pette varaton de la grandeur. Mathématquement on posera : δg = dg, ans que δx = dx, δy = dy et δz = dz. a) Dérvée partelle : On consdère une pette varaton de g dont la valeur est détermnée en dfférencant la f(x,y,z) f(x,y,z) f(x,y,z) foncton g = f(x,y,z), on obtent : dg =.dx +.dy +.dz où f(x,y,z) est la dérvée partelle de f(x,y,z) par rapport à x de même pour y et z. dg est la dfférentelle de f(x,y,z). Un majorant de dg est obtenu en majorant chaque terme de la somme, en partculer en prenant les valeurs absolues des dfférentes valeurs des dérvées partelles, d'où : g = f(x,y,z). x + f(x,y,z). y + f(x,y,z). z Après avor détermné numérquement l'ncerttude absolue g, on peut calculer l'ncerttude relatve. b) Dérvée logarthmque : Une autre façon de procéder est d'exprmer ln(g) = ln(f(x,y,z)) et de prendre la dfférentelle des deux membres de l'équaton en remarquant que ln(g) est une foncton de foncton. dg d(ln(g)) = = d[ln(f(x,y,z))] =.dx +.dy +.dz g dg sot =.dx +.dy +.dz g On arrête c le calcul théorque. L'ncerttude relatve s'obtent en majorant l'expresson. g = g. x +. y +. z S on poursut le calcul dfférentel, en remarquant que ln(f(x,y,z)) est auss une foncton de foncton, on a : dg f(x,y,z) f(x,y,z) f(x,y,z) =..dx +..dy +..dz g f(x,y,z) f(x,y,z) f(x,y,z) Page 3

4 Scences Physques et en remplaçant f(x,y,z) par g on obtent : f(x,y,z) f(x,y,z) f(x,y,z).dg =. g.dx +.dy +.dz g ce qu montre, en smplfant par g (g 0), l'équvalence avec la méthode défne au a). c) Exemple théorque : Afn d'envsager tous les cas possbles de relaton (produt, rapport, somme, dfférence et varable apparassant pluseurs fos), on consdère la grandeur fctve G qu dépend des grandeurs X, Y et Z par la relaton (tout auss fctves) : (Y X).(Z + X) G = f(x,y,z) = (Z X) G, X, Y et Z sont, dans ce cas, des grandeurs de même nature. Une expérence a donné les résultats suvants : x = 500 u, y = 600 u, z = 650 u exprmés en une certane unté u commune. Les ncerttudes absolues sont x = y = z = 0, u = n (y x).(z + x) La mesure de G est obtenue par un calcul : g = f(x,y,z) = = 766,7 u. (z x) On veut détermner l'ncerttude (absolue ou relatve sur) g. - méthode des dérvées partelles : f(x,y,z).z.(y x) (z x ) 45 = = < 0 (z x) 5 f(x,y,z) (z x ) 5 = = > 0 (z x) 5 f(x,y,z).x.(y x) 000 = = < 0 (z x) 5 Etant donnés les sgnes des dérvées partelles, on dot prendre : (.z.(y x) + (z x )) + (z x ) +.x.(y x) g =. n (z x) z + x y x g =.. n z x z x Sot, tous calculs fats : g =,4 u - méthode de la dérvée logarthmque : (y x).(z + x) On prend la dfférentelle de ln(g) = ln = ln(y x + ln(z + x) ln(z x) (z x) dg dy dx dz dx dz dx Sot = g y x y x z + x z + x z x z x dg et = + +.dx +.dy + +.dz g y x z + x z x y x z + x z x On vérfe par un calcul numérque que les coeffcents de dx et dz sont négatfs et que celu de dy est postf. En passant aux ncerttudes, on a : g =. x +. y +. z g y x z + x z x y x z x z + x Page 4

5 Scences Physques g On obtent =, , % g d'où l'on tre g =, ,4 % Les deux méthodes aboutssent au même résultat. On emploe plutôt la méthode des "dérvées partelles" pour détermner l'ncerttude absolue et la méthode de la "dérvée logarthmque" pour détermner drectement l'ncerttude relatve. ) Calcul statstque : On peut être amené à consdérer un grand nombre de résultats g de la mesure d'une grandeur G effectuée dans des condtons données d'expérence. a) Exemple : Prenons un exemple concret : on détermne la concentraton c en une espèce chmque X dans une soluton donnée. N = 50 mesures ont été effectuées dans les mêmes condtons d'expérence, et ont donné les résultats c suvants exprmés en 0 3 mol.l : 3, 3,8 3,5 3,3 3,3 3,6 3,33 3,30 3,4 3,7 3,33 3,8 3,5 3, 3,0 3,7 3,8 3,0 3,8,98 3,7 3,5 3,35 3,33 3,38 3,58 3,0 3,00 3,3 3,08 3,7 3,35 3,63 3,5 3,38 3,00 3,5 3,7,90 3,7,97 3,8 3,8 3,8 3,37 3,8 3,45 3,8 3,7 3,0 D'après le tableau, l n'exste aucune concentraton en l'espèce X défne pour la soluton. On peut prendre pour mesure de la concentraton la valeur moyenne des 50 c détermnés : c = c = = N c = 3,5.0 3 mol.l N = Pour détermner l'ncerttude absolue c sur ce résultat on pourrat, a pror, calculer pour chaque résultat l'écart à la moyenne c c et en calculer la valeur moyenne sur tous les résultats. Certans écarts peuvent être postfs d'autres négatfs, l faut donc prendre la moyenne de la valeur absolue des écarts : c = c c = = N c c = 0,.0 3 mol.l N = Nous allons vor qu'l serat plus logque de prendre pour ncerttude absolue c sur la mesure de c la valeur de l'écart quadratque moyen sur les c. On peut construre, à partr des c, un hstogramme où l'on porte la dstrbuton des fréquences des dfférentes valeurs de c trouvées (exprmées en 0 3 mol.l ). En fat dans cet exemple d'échantllonnage, on suppose que la varable mesurée est une varable dscrète. En réalté le résultat de la mesure d'une concentraton est plutôt une varable contnue : nous devons donc "regrouper" les dfférentes valeurs en classe (par exemple toutes les valeurs c telles que 3,0 < c < 3,4). Page 5

6 Scences Physques Il y a un désordre apparent dans le nombre de fos où une valeur se reprodut. Cependant s on fat de plus en plus de mesures, une fgure défne commence à prendre forme, ndquant que la fréquence avec laquelle une valeur donnée apparaît, est d'autant plus fable que son écart avec la valeur moyen est plus grand. L'analyse montre que la courbe dans laquelle s'nscrt de meux en meux l'hstogramme, au fur et à mesure que croît le nombre de mesures, a la forme analytque appelée dstrbuton de Gauss et représente la lo normale de probablté. Une conséquence de cec est qu'une autre façon d'exprmer la précson de la mesure consste à utlser l'écart type ou écart quadratque moyen : c = ( c c) = = N (c c) = 0,5.0 3 mol.l N = En supposant que la dsperson qu apparaît dans la sére de mesures provent unquement des fluctuatons normales, l'écart quadratque moyen ndque que /3 des mesures envron se trouvent dans ce domane d'écart autour de la valeur moyenne. b) Conclusons : Il exste un certan nombre de los de dstrbuton classques : lo bnomale, lo de Posson, lo normale... La lo normale est celle que l'on rencontre dans la plupart des stuatons de mesure d'une grandeur physque. Le calcul statstque est un calcul à posteror qu permet de trer proft des nformatons contenues dans une sére de mesures ndépendantes d'une même grandeur. Nous retendrons que : - la melleure estmaton de la valeur x d'une grandeur X effectuée par échantllonnage de N mesures x est : x = x = = N x N = - la melleure estmaton de l'ncerttude absolue x sur cette valeur est : x = ( x x) = = N (x x) N = 3) Détermnaton graphque : On consdère mantenant une expérence dans laquelle on se propose de vérfer une lo physque ou de détermner la mesure d'une grandeur physque en analysant graphquement les résultats de l'expérence dans laquelle on fat varer une grandeur et on observe les varatons concomtantes d'une autre. a) Exemples : On prépare dfférentes solutons contenant les deux partenares d'un couple acde-base A/B. Pour chaque soluton on détermne, par un calcul, les concentratons [A] et [B] et on mesure le ph. On cherche à vsualser la relaton qu exste entre le ph d'une soluton et le rapport [B] /[A]. S on trace le graphe de la relaton ph = f([b]/[a]) on obtent une courbe dont l est mpossble, a pror, de précser la nature. On sat que la relaton devrat être de la forme : ph = ln([b]/[a]) + pk a. Page 6

7 Scences Physques On dot donc tracer le graphe de la relaton ph = f(ln([b]/[a])) et s la lo est vrae on dot trouver une drote. D'une façon générale : Graphquement on ne peut démontrer que la lnéarté d'une relaton entre deux grandeurs b) Détermnaton graphque d'une mesure et de l'ncerttude : On envsage 3 expérences qu vsent à vérfer la lnéarté de la relaton entre deux grandeurs et à mesurer graphquement la "pente" de la drote représentatve de cette relaton : F = k.(l l 0 ) pour un ressort, U = R.I pour un résstor et ph = ln([b]/[a]) + pk a pour le mélange de deux solutons acde-base conjuguée. On consdère une grandeur X dont on détermne pluseurs valeurs x, sot en les mesurant (allongement d'un ressort l l 0 ) sot en les mposant dans un montage expérmental (ntensté du courant I, mélange de solutons dont on mpose la valeur de ln([b] /[A] )) et une grandeur Y dont on détermne les valeurs correspondantes dans l'expérence, sot en les mposant dans le montage expérmental (mesure de la tenson du ressort F ), sot en les mesurant (tenson aux bornes du résstor U, ph du mélange). On obtent un tableau de résultats. A chaque valeur x de la grandeur X on peut assocer une ncerttude absolue x qu peut être la même pour tous les x, ou varer d'un x à un autre (changement de calbre sur un apparel de mesure électromécanque); de même, à chaque valeur y de la grandeur Y on peut assocer une ncerttude absolue y. On peut alors placer dans un système d'axes les ponts représentatfs des dfférentes mesures. Le pont M aura pour coordonnées x et y. On peut "entourer" ce pont d'un cadre de largeur. x et de hauteur. y dont l'ntéreur représente en fat la zone d'ncerttude où peut se trouver le pont expérmental. Pour que la lo sot vérfée, les ponts expérmentaux dovent être sensblement algnés. On peut donc tracer la drote moyenne. Le tracé rgoureux de cette drote fat ntervenr des consdératons mathématques que nous ne développerons pas (drote des carrés moyens); nous retendrons que cette drote dot lasser des ponts au-dessus et audessous d'elle. Pour détermner la mesure de la pente de la drote, on utlse des ponts stués sur la drote en "oublant" les ponts expérmentaux. Les cadres d'ncerttude servent à tracer de la même façon les drotes extrêmes et d'en dédure les lmtes du coeffcent drecteur. a On alors amax amn =. a et a = max amn Page 7

8 Scences Physques IV) Exemples de détermnaton de l'ncerttude, en guse de concluson : ) Mesure d'un volume prélevé : - Lorsqu'on prélève 0 ml de lqude à l'ade d'une ppette jaugée, la précson est de l'ordre du volume d'une goutte ( 0,05 ml) : on prendra V = 0,05 ml. - lors de la mesure d'un volume à l'ade d'une fole jaugée on estme que V = 0,5 ml, les volumes mesurés étant plus grands qu'avec une ppette jaugée on à la même précson. - avec une éprouvette graduée l'ncerttude est plus grande : V ml. - la détermnaton de la précson d'un volume à "l'équvalence" dépend de la méthode utlsée. La "zone de vrage" peut être plus ou mons précse, en général V 0,5 ml. ) Mesure d'une surface : On consdère le calcul de la surface S d'une plaque par détermnaton de la mesure de sa longueur L et de sa largeur l. Sot une plaque presque carrée avec L = 0 cm et l = 9,6 cm mesurés avec un double décmètre à mm près ( L = l = mm). On trouve : S = 96 cm. S L, 0, + = ll 0 0 Or = + 0,0 sot S = 96x0,0 cm d'où S = 96 ± cm S L 9, 6 Sot mantenant une plaque très rectangulare avec L = 64 cm et l =,5 cm mesurés avec un double décmètre à mm près ( L = l = mm). On trouve : S = 96 cm. S L,, + = ll Or = + 0,07 sot S = 96x0,07 6,7 cm d'où S = 96 ± 6,7 cm S L, 5 Dans ce deuxème cas on vot que c'est la mesure de la largeur qu fat perdre de la précson : on aura ntérêt dans ce cas à changer d'nstrument de mesure. Avec un ped-à-coulsse pour mesurer l à 0,3 mm près, on aura : L = mm et l = 0,3 mm. S L, 0,03 + = ll 64 Sot S = L 0 +, 5 0,0 sot S = 96x0,0 cm d'où S = 96 ± cm 3) Mesure de l'ndce de réfracton d'un prsme : Le calcul de l'ndce n d'un prsme au "mnmum de dévaton" est donné par sn ((D + A)/ ) n = en foncton de l'angle A au sommet du prsme et de l'angle de dévaton sn( A / ) D, tous deux détermnés expérmentalement. La méthode des dérvées partelles donne : A D + A dd + da D + A A da D + A D sn.cos. sn.cos. cos sn dn = = dd da.. A A A sn sn sn Les deux erreurs da et dd étant ndépendantes, on obtent comme ncerttude : n = D + A D cos sn D. + A sn A sn A.!!! Page 8