Article Probabilités et espérances dans le jeu de serpents

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1 Article Probabilités et espéraces das le jeu de serpets et Probabilités et espéraces das le jeu de serpets et échelles à àdeux deux joueurs joueurs Daiel Audet Daiel Audet, départemet Collège de Bois-de-Bouloge mathématiques, Collège de Bois-de-Bouloge Itroductio Résumé Le jeu de serpets et échelles est u jeu bie cou qui cosiste à déplacer u pio sur ue Le e jeu de serpets et échelles motat est avec ules jeu échelles bie et cou e descedat qui cosiste avec les à déplacer serpets u Das pio cet sur uearticle, grille ào l aide trouve d u la probabilité dé, e motat de gager avec les échelles et e descedat avec les serpets Das fiir cet ue article, partie à odeux trouve joueurs, la probabilité das ue grille depresque gager sûremet aisi que sas l espérace partie ifiie du O ombre motre de coups s à jouer pour fiir ue partie à deux joueurs, das ue grille presque liéaires sûremet préseté sas partie sous ifiie forme matricielle O motre que pour répodre à cette questio o peut résoudre u système d équatios liéaires préseté sous forme matricielle 2 des probabilités Supposos que le jeu compte + cases La case, absete de la grille, pour la première fois et la case est celle sur laquelle o gage La figure motre la versio classique du jeu avec =, les flèches vers le haut représetet des échelles et les flèches vers le bas représetet des serpets L équatio matricielle des probabilités Figure : a =, a 2 = /6, a 3 = /6, a 4 =, a 5 = /6, a 6 = /6, a 4 = /6 et a 38 = /6 Figure Versio classique du jeu avec = Puis o pose A comme état la matrice par dot les liges et les coloes sot umérotées Supposos que le jeu et compte telle que a+ i, j i cases umérotées,, et la, coloe La j, case est la, probabilité absete de la grille, est celle sur passer laquelle de case lesi à joueurs la case j commecet u lacer de dé avat (voir figure d avoir ) Cette lacé matrice le déecode pour etièremet la première fois et Elle peut aussi ecoder la case est celle sur laquelle o gage La figure () motre la versio classique du jeu avec plusieurs variatios des règlemets =, les flèches vers le haut représetat des échelles et les flèches vers le bas représetat 28 Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22 c Associatio mathématique du Québec

2 des serpets O pose A comme état la matrice par dot les liges et les coloes sot umérotées,,, et telle que a ij, l élémet situé sur la lige i et la coloe j, est la probabilité de passer de la case i à la case j e u lacer de dé (a =, a 2 = /6, a 3 = /6, a 4 =, joueur a 5 =, /6, a 6 = état /6, doé a 4 u = jeu /6 de et serpets a 38 et = échelles, /6) Cette ous appelleros matrice sa ecode matrice etièremet A la structure la matrice du jeu caractéristique formé d ue du jeu grille, des serpets et des échelles Elle peut aussi ecoder plusieurs variatios des règlemets pourvu qu elles e requièret pas ue prise de décisio du joueur C est pourquoi, état doé u jeu de serpets et échelles, ous appelleros sa matrice A la matriceexemple caractéristique Cosidérer dula jeu grille suivate de serpets et échelles joueur, état doé u jeu de serpets et échelles, ous appelleros sa matrice A la matrice caractéristique du jeu Exemple Cosidérer la grille suivate 6 5 de 4 serpets et échelles Grille faces opposées ot le même chiffre Alors le tableau 2 des probabilités 3 de trasitio aisi que la et situé sur la lige i et la coloe j, est la probabilité de passer de la case i à la case j e u lacer de dé / 3 / 3 / Exemple Cosidéros la grille de serpets et échelles présetée ci-dessus Supposos qu o y joue avec u dé dot les faces sot umérotées,2 et 3 et tel que deux faces opposées portet le / 3 2 / 3 faces /3 /3 /3 même opposées chiffre Alors, ot le lemême tableauchiffre des probabilités Alors le detableau trasitio des aisi probabilités que la matrice de caractéristique trasitio aisi que la et /3 2/3 2 / 3 / 3 situé sur la lige i et la coloe j, est la probabilité de passer de la case i à la case j e u lacer de dé du jeu suivet Rappelos que l élémet situé surala lige i et la coloe j, est la probabilité de 2 2/3 /3 / 3 / 3 passer de la case i à la case j e u lacer de dé 3 /3 /3 /3 / 3 4 /3 2/ /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 2/3 /3 / 2/3 3 2/ 3 2 edat 2/3 /3 A = 2/3 pas 2 perdue / 3/3 car la somme de chaque lige du tableau est Cela fait aussi e A sorte /3 /3 que la somme des élémets de la 3 lige i de A doe la probabilité /3 de /3 e pas /3 passer de la case i à la case 6 / 3 /3 4 /3 2/3 O remarque aussi que das la lige, o cosidère le cas où le joueur joue à partir de la 5 pourrait élimier la lige et la coloe semblable est faisable pour la lige et la coloe 4 / 3 / 3 / 3 / 3 O remarque qu o e retiet pas la derière coloe du tableau pour former la matrice A et Ue autre chose remarquable est que la règle appliquée pour attribuer les probabilités veut que cela fait e sorte que la matrice A est pas à propremet parler ue matrice stochastique, mais biela ue case matrice 5 le passage sous-stochastique à la case 6 est assuré Cette au prochai iformatio tour Si est o désire cepedat appliquer pas ue perdue, autre car la somme derègle chaque il suffit lige de modifier du tableau les probabilités est Cela das fait la matrice aussi e A et sorte tout ce que qui la suit somme das cet des article élémets de reste valide la lige i de A doe la probabilité de e pas passer de la case i à la case 6 O remarque aussi que das la lige, o cosidère le cas où le joueur joue à partir de la case Or, si la partie a débuté à, c est impossible à cause de l échelle de à 5 E fait, o pourrait élimier la lige et la coloe sas que cela affecte la suite Ue2 remarque semblable s applique à la lige et à la coloe 4 edat pas perdue car la somme de chaque lige du tableau est Cela fait aussi e sorte que la somme des élémets de la lige i de A doe la probabilité de e pas passer de la case i à la case 6 O remarque aussi que das la lige, o cosidère le cas où le joueur joue à partir de la pourrait élimier la lige et la coloe Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre semblable est faisable pour la lige et la coloe 4 Ue autre chose remarquable est que la règle appliquée pour attribuer les probabilités veut la case 5 le passage à la case 6 est assuré au prochai tour Si o désire appliquer ue autre règle il suffit de modifier les probabilités das la matrice A et tout ce qui suit das cet article reste valide / 3 / 3

3 Ue autre chose remarquable est que la règle appliquée pour attribuer les probabilités veut qu il e soit pas écessaire d avoir la valeur exacte pour termier la partie E effet, à partir de la case 5 le passage à la case 6 est assuré au prochai tour Si o désire appliquer ue autre règle, il suffit de modifier les probabilités das la matrice A et tout ce qui suit das cet article reste valide Il existe ueil iterprétatio existe ue iterprétatio probabiliste des des puissaces de la lamatrice A A : l élémet situé sur la lige i et lige la coloe i et la coloe j de Aj de k est A k, est la la probabilité de de passer de la de case lai case à la case i àj la e case k lacers j e de kdé lacers de dé Doc Doc, lim lim k Ak A k = O (2) () k est équivalet est équivalet à dire à que, dire que, lorsque lorsque k ted k vers l ifii, la probabilité que la partie soit ecore e cours après k tours ted vers zéro cours après k tours ted vers zéro Nous feros l hypothèse que les serpets et les échelles sot disposés de telle sorte que la coditio () soit toujours satisfaite et aisi les parties sas fi, même si elles e sot pas impossibles, Nous sotferos de probabilité (2) zéro Das ce cas o dira que le jeu de serpets et échelles est presque sûremet soit toujours sas satisfait partie et aisi ifiie les parties Das sas la fi, figure même (2) si o elles présete e sot pas u impossibles, cas où la sot coditio de () probabilité zéro Das ce cas o dira que le jeu de serpets et échelles est presque sûremet sas est pas remplie partie ifiie Das la figure 2, Figure 2 : la cofiguratio des serpets et des échelles Figure 2 Cofiguratio des serpets et des échelles qui fait e sorte qu ue partie ifiie est possible o pose P, la matrice des probabilités du jeu, comme état la matrice par D autre part, o pose P, la matrice des probabilités du jeu, et telle comme que p i état j la matrice par la lige i et la coloe j est la probabilité de gager pour le joueur qui se trouve sur la case i dot les liges et les coloes sot umérotées, se, trouve, sur la, case et telle j Or, que das pcette ij, l élémet même situé sur la lige situatio, i et lades coloe j, possibilités est la probabilité est partitioé de par gager les évéemets pour le joueur E, F, F qui Fse trouve où E est sur la case i lorsqu il possède le : le trait et que so adversaire joueur e i gage se trouve et F k sur la case: j le joueur Or, das e i joue cette même situatio, de l uivers la case i des à la possibilités case k k est partitioé ) puis par les évéemets so adversaire E, F gage La, F, F, où E probabilité de E est p i j et la probabilité de F k est a ik p jk doc, comme E, F, F F est ue est l évéemet partitio, : à l issue de la partie le joueur e i gage, et F k est l évéemet : le joueur e i joue de la case i à la case k ( k ) puis, à l issue de la partie, so adversaire gage La probabilité de E est p ij et la probabilité p (22) i j deaf i k k p est j k a ik p jk Doc, comme E, F, F, F k 3 Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22 3

4 est ue partitio, p ij + a ik p jk = (2) k= E otatio matricielle, l équatio (2) deviet P + AP t = J, où J est la matrice par dot tous les élémets sot des Autremet dit, P est ue solutio e X de l équatio matricielle X + AX t = J (3) L équatio (3) costitue u système d équatios liéaires qui compte 2 équatios et 2 icoues La matrice X das (3) e semble pas pouvoir être isolée e utilisat les opératios élémetaires sur les matrices que sot l additio, la multiplicatio par u scalaire, la multiplicatio matricielle, l iversio de matrice et la traspositio D autre part, o sait que sous la coditio () il existe au mois ue solutio e X à l équatio (3), cette solutio état costituée des probabilités p ij telles que défiies précédemmet Cepedat, il reste à étudier la possibilité que (3) soit sous-détermiée, c est-à-dire qu elle possède plus d ue solutio Cette possibilité est écartée par la propositio suivate Propositio Soit A et B deux matrices carrées de même format Si lim k A k = O, alors l équatio matricielle X + AX t = B possède ue et ue seule solutio e X Autremet dit, l applicatio liéaire qui à X associe X + AX t est iversible Démostratio Cosidéros la versio homogèe de cette équatio, X + AX t = O, et motros que cette derière e possède que la solutio ulle O a alors, X = AX t et X t = XA t X = AXA t Cette derière équatio est celle d u poit fixe et peut doc être itérée X = AXA t X = A 2 X(A 2 ) t X = A k X(A k ) t X = lim k Ak X(A k ) t X = O Le théorème suivat doe ue iterprétatio de la propositio () das le cadre des jeux de serpets et échelles Théorème Si A est la matrice caractéristique d u jeu de serpets et échelles presque sûremet sas partie ifiie, alors la matrice des probabilités de ce jeu est l uique matrice P telle que P + AP t = J Das les sectios suivates, o doe deux faços de résoudre l équatio (3), la première par vectorisatio et la deuxième à l aide d ue série matricielle Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22 3

5 2 Solutio par vectorisatio La vectorisatio est ue trasformatio liéaire qui trasforme ue matrice e vecteur coloe Plus précisémet, si X est ue matrice m par, alors la vectorisatio de X, otée vec(x), est doée par vec(x) = (x, x 2,, x m, x 2, x 22,, x m2,, x, x 2,, x m ) t, où x ij est l élémet de la matrice X situé sur la lige i et la coloe j Cette opératio est reliée de près à ue opératio appelée le produit de Kroecker État doé deux matrices X m et Y p q, le produit de Kroecker, oté X Y, est ue matrice mp par q doée e bloc par X Y = x Y x Y x m Y x m Y, où x ij est l élémet de la matrice X situé sur la lige i et la coloe j Alors, o a la relatio suivate : vec(xy ) = (I q X)vec(Y ), (2) où I q est la matrice idetité d ordre q Cette derière égalité se démotre e observat que la j-ième coloe de XY est XC j, où C j est la j-ième coloe de Y Or, XC XC 2 vec(xy ) = XC q X C X C 2 = X = (I q X)vec(Y ) Puis, pour pouvoir complètemet vectoriser l équatio (3), il ous faut trouver la matrice de la trasformatio liéaire que costitue la traspositio Pour ce faire, posos T m, comme état la matrice à m liges et m coloes défiie e bloc par δ δ 2 δ T m, δ 2 δ 22 δ 2 =, δ m δ 2m δ m où δ ij est ue matrice à liges et m coloes dot tous les élémets sot uls sauf celui qui se trouve sur la lige i et la coloe j qui vaut Alors, o a la propositio suivate : C q 32 Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22

6 Propositio 2 Soit X ue matrice à m liges et coloes Alors Démostratio Posos vec(x t ) = T m, vec(x) (22) x ij comme état l élémet de la matrice X situé sur la lige i et la coloe j, 2 L i comme état la i-ième lige de la matrice X, 3 C j comme état la j-ième coloe de la matrice X, 4 E i comme état la matrice à m liges et coloe dot tous les élémets sot uls sauf celui de la i-ième lige qui vaut Alors la i-ième coloe de X t est L t i De plus, δ ji C j = x ij E j, et doc j= δ ijc j = L t i Alors vec(x t ) = L t L t 2 = L t m δ δ 2 δ δ 2 δ 22 δ 2 C C 2 δ m δ 2m δ m = T m, vec(x) C Théorème 2 Si A est la matrice caractéristique d u jeu de serpets et échelles presque sûremet sas partie ifiie, alors P, la matrice des probabilités de ce jeu, est doée par vec(p ) = (I 2 + (I A)T, ) vec(j) Démostratio P + AP t = J vec(p + AP t ) = vec(j) vec(p ) + vec(ap t ) = vec(j) (car vec est liéaire) vec(p ) + (I A)vec(P t ) = vec(j) (par (2)) vec(p ) + (I A)T, vec(p ) = vec(j) (par (22)) (I 2 + (I A)T, )vec(p ) = vec(j) vec(p ) = (I 2 + (I A)T, ) vec(j) Remarquez que la propositio () ous assure que la matrice I 2 + (I A)T, est iversible Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22 33

7 t vec( P) ( I A)vec( P ) vec( J) (par (33)), vec( P) ( I A) T vec( P) vec( J) (par (35)), ( I 2 ( I A) T )vec( P) vec( J), - vec( P) ( I 2 ( I A) T ) vec( J) Remarquez que la propositio 2 ous assure que la matrice I 2 + (I A) T, est iversible Exemple 2 Cosidéros le système formé de trois états :, et 2 L état iitial est l état, l état Exemple fial est 2 l état Cosidéros 2 Les probabilités le système formé de trasitio de trois états sot doées das le diagramme et la matrice caractéristique A suivats Les probabilités de trasitio sot doées das le diagramme et la matrice caractéristique A suivats État fial 2 /8 / 4 5/8 /8 ( A ) /8 /4 3/8 / 2 /4 A = 3/8 /2 État État /8 iitial /2 3/8 de la même faço Ceci que est ceux-ci pas u Le jeu de se déroule serpetsde etla échelles, faço suivate mais il peut Les deux cepedat joueurs être se trouvet étudié de iitialemet la même faço Le jeu se déroule de la faço suivate Les deux joueurs trouvet iitialemet das l état état Les joueurs jouet e alterace, le résultat d u coup état détermié fial 2 gage aléatoiremet Alors par selo le théorème les probabilités 3 o de trouve trasitio que, Le premier joueur qui atteit l état fial 2 gage Alors, par le théorème 2, o trouve que vec ( P) vec(p ) = 92/683 = 84/56 52/87 328/56 / 8 / 4 /8 /4 3/ 8 / 2 / 8 / 4 + 3/8 /2 /8 /4 3/ 3/8 8 / /2 2 ( ) ( ) 7 92/683 52/87, 782, 828 Doc, P = E particulier, le premier 84/56 328/56, 328, 5847 joueur a eviro 7% de chaces de gager lorsque les deux joueurs sot das l état iitial Le théorème 2 doe la solutio P cherchée Cepedat, des cosidératios pratiques ous amèet à costater que cette solutio du système de 2 équatios liéaires à 2 icoues est difficilemet calculable pour le cas classique = Puisque, das ce cas, le système d équatios liéaires est formé de équatios à icoues, la solutio exige beaucoup de calculs Cepedat, la méthode présetée das la sectio 2 doe la solutio exacte par ue méthode fiie 34 Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22

8 3 Solutio par série matricielle Das cette sectio, o développe ue méthode basée sur u calcul de série matricielle pour résoudre l équatio (3) D u poit de vue calculatoire, cette méthode a le défaut d être ifiie Mais ce défaut s accompage de la possibilité de géérer sas trop de calculs des approximatios covergetes La série de la propositio suivate a été trouvée par ue méthode de poit fixe e itérat l équatio (3) Propositio 3 Soit A et B deux matrices carrées de même dimesio Si lim k A k = O et si B est symétrique, alors la série suivate coverge vers ue matrice X telle que X +AX t = B (I A) A k B(A k ) t = (I A) ( B + ABA t + A 2 B(A 2 ) t + ) (3) k= Démostratio Posos U k = B + ABA t + A 2 B(A t ) A k B(A k ) t et V k = (I A)U k Alors U k+ = B + AU k A t = U k + A k+ B(A k+ ) t et U t k = U k Doc, V k + AVk t = (I A)U k + AU k (I A t ) (car V k = (I A)U k ) = U k AU k A t = U k (U k+ B) (car U k+ = B + AU k A t ) = B A k+ B(A k+ ) t (car U k+ = U k + A k+ B(A k+ ) t ) Or, das la propositio (), o a motré que l applicatio liéaire F qui, à la matrice carrée X associe F (X) = X + AX t, est iversible lorsque lim k A k = O Doc F (V k ) = B A k+ B(A k+ ) t (car V k + AV t k = B A k+ B(A k+ ) t ) V k = F (B A k+ B(A k+ ) t ) (car F est iversible) lim k V k = lim k (F (B A k+ B(A k+ ) t )) = F (lim k (B A k+ B(A k+ ) t )) (car F est cotiue) = F (B) (car lim k Ak = O) Doc la suite matricielle V k coverge vers ue matrice X telle que X = F (B) Autremet dit, la série coverge vers ue matrice X telle que X + AX t = B Le théorème suivat doe ue iterprétatio de la propositio 3 das le cadre des jeux de serpets et échelles Théorème 3 Si A est la matrice caractéristique d u jeu de serpets et échelles presque sûremet sas partie ifiie, alors P, la matrice des probabilités de ce jeu, est doée par P = (I A) A k J(A k ) t = (I A) ( J + AJA t + A 2 J(A 2 ) t + ) k= Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22 35

9 Démostratio La matrice P est ue solutio e X de l équatio X + AX t = Or, par la propositio, cette équatio e possède qu ue seule solutio D autre part, la propositio 3 affirme que la série coverge vers ue solutio de cette même équatio Doc la série coverge vers P Exemple 3 Cosidéros le système de l exemple 2 Alors, le théorème 3 doe ue approximatio de P calculée avec les 6 premiers termes de la série ifiie P (I A) 5 A k J(A k ) t k= (, 782, 828, 328, 5847 O costate que la répose trouvée est très près de la matrice trouvée das l exemple 2 O peut doer ue iterprétatio probabiliste à la série du théorème 3 Pour ce faire, posos X k comme état la matrice par dot les liges et les coloes sot umérotées,,, et telle que l élémet situé sur la lige i et la coloe j est la probabilité que la partie soit e cours après k tours si elle a débuté avec u joueur possédat le trait sur la case i et so adversaire sur la lige j Alors X = J et X k+ égale AX k si k est pair et à X k A t si k est impair Doc, { A m J(A m ) t, si k = 2m X k = A m J(A m ) t, si k = 2m De plus, posos P k comme état la matrice par dot les liges et les coloes sot umérotées,,, et telle que l élémet situé sur la lige i et la coloe j est la probabilité que le joueur qui se trouve sur la case i gage e exactemet k tours lorsqu il possède le trait et que so adversaire se trouve sur la case j Alors P k = X k X k et doc ) P 2m = A m J(A m ) t A m J(A m ) t = A m (J AJ)(A m ) t = A m (I A)J(A m ) t = (I A)A m J(A m ) t (32) De plus, P 2m = A m J(A m ) t A m J(A m ) t = A m (J AJ)(A m ) t = A m (I A)J(A m ) t = A m J(A m ) t (I A t ) (33) Or, P = m= P 2m, car gager pour celui qui possède le trait écessite de gager e u ombre impair de coups Doc P = (I A) m= Am J(A m ) t De plus, à l aide de (32) et (33), o motre que APk t = P k+ (34) 36 Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22

10 4 L équatio matricielle des espéraces État doé u jeu de serpets et échelles presque sûremet sas partie ifiie, o pose E, la matrice des espéraces du jeu, comme état la matrice par dot les liges et les coloes sot umérotées,,,, et telle que l élémet situé sur la lige i et la coloe j est l espérace de la somme des ombres de coups à jouer par les deux joueurs pour fiir la partie, si le joueur qui possède le trait est à la case i et que so adversaire se trouve sur la case j Alors E = k= kp k et J + AE t = J + = J + = J + kapk t k= kp k+, (car APk t = P k+ par (34)) k= ((k + )P k+ P k+ ) k= = J P k+ + (k + )P k+ k= = J (J P ) + = P + = k= (k + )P k+ k= (k + )P k+ k= mp m m= = E Autremet dit, E est ue solutio e X de l équatio matricielle X AX t = J Cette derière est de la même forme que (3) et o peut doc la résoudre e appliquat les techiques des sectios 2 et 3 Théorème 4 Si A est la matrice caractéristique d u jeu de serpets et échelles presque sûremet sas partie ifiie, alors E, la matrice des espéraces de ce jeu, est doée par ou E = (I + A) vec(e) = (I 2 (I A)T, ) vec(j) A k J(A k ) t = (I + A) ( J + AJA t + A 2 J(A 2 ) t + ), k= où J est la matrice par dot tous les élémets sot des Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22 37

11 Exemple 4 Cosidéros le système de l exemple 2 Alors, le théorème 4 doe E par vectorisatio et par approximatio calculée avec les 6 premiers termes de la série ifiie vec(p ) = = 664/ / / / /8 /4 3/8 /2 /8 /4 3/8 /2 ( ) ( ) 664/ /363 2, , 422 Doc, E = 48/363 54/2 2, 887 4, 653 et E (I + A) ( ) 5, , 3935 k= Ak J(A k Doc, ) t,8292 2, k ( I A) ,887 2, 4, , 463 A J( k k t,8252 2,3935 E e t E A ) 2,8784 4, Les probabilités et les espéraces das le cas classique Sas être l iveteur 6 Les probabilités du jeu deet serpets les espéraces et échelles, das le cas oclassique doit à Milto Bradley la cofiguratio classique des serpets et échelles pour leur jeu Chutes ad Ladders paru e 952 Depuis, cette cofiguratio ala été cofiguratio reprise par classique u grad des serpets ombre et des échelles de compagies (figure ) est due Il existe à Milto quelques Bradley variatios pour leur jeu Chutes ad Ladders e 952 Depuis, cette cofiguratio a été reprise par u grad des règlemets ombre Das de compagies otre cas, Il ous existe quelques appliquos variatios la règle des règlemets qui veut Das qu il otre ecas, soit ous pas écessaire d obteir exactemet le bo ombre pour fiir la partie Par exemple, a 99 i = pour i =, fiir la partie Par exemple, a, 99, puisqu u coup à partir de 99 la i = pour i case 99 est assuré d emmeer le pio sur la case La La figure 3 doe u résumé de la matrice P obteue figure 3 doe u résumé de la matrice P obteue umériquemet à l aide du théorème 3 umériquemet du théorème 4 " # $ % &" &# &$ &% '( ') '* '' " "+&"' "+&$" "+&#) "+&"* "+%#' "+%," "+%%& "+%$' "+",$ "+"%( "+""" "+""" # "+,'* "+&"' "+&"( "+,') "+%"' "+%$' "+%$& "+%#' "+",# "+"%& "+""" "+""" $ "+&"# "+&#$ "+&"' "+&"" "+%#$ "+%%$ "+%$* "+%$# "+",# "+"%& "+""" "+""" % "+&"' "+&$" "+&#) "+&"' "+%#' "+%," "+%%& "+%$* "+",$ "+"%( "+""" "+""" &" "+('( "+)"( "+)"% "+(') "+&#% "+&," "+&%% "+&$% "+"(' "+"&' "+""" "+""" &# "+()( "+(*( "+(*, "+()) "+,*( "+&#% "+&"( "+,'( "+"(& "+"&& "+""" "+""" &$ "+(*# "+('# "+(** "+(*# "+,'% "+&$# "+&#% "+&"% "+"(( "+"&( "+""" "+""" &% "+(*) "+(') "+(', "+(*) "+&"% "+&%# "+&$% "+&#, "+"(* "+"&* "+""" "+""" '( "+'(" "+'(# "+'(# "+'(" "+'%& "+'," "+'%' "+'%) "+()% "+(#* "+&&# "+&"" ') "+'(( "+'() "+'() "+'(( "+',& "+',' "+',* "+',) "+))( "+),$ "+('' "+(() '* #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" "+'#) "+**' "+*(# "+*%% '' #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" #+""" Figure 3 : U extrait de la matrice P das le cas classique Figure 3 U extrait de la matrice P das le cas classique 2 38 Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22

12 O costate que le premier joueur possède u faible avatage sur le secod : a = 59 De plus, si les joueurs O costate commecet que le premier leur joueur partie possède u sur faible lesavatage cases sur 2 et le secod 3 et que a = le 59 premier De à jouer se trouve sur la plus, case si les 2, joueurs alorscommecet la partieleur est partie beaucoup sur les cases plus 2 et 3 équilibrée et que le premier : aà 2 jouer 3 = se 5 trouve U autre fait surpreat est sur la que case si 2 alors les joueurs la partie est commecet beaucoup plus équilibrée leur partie a 2 3 = 5 sur les U autre cases fait surpreat et 5, avec est le trait pour que si les joueurs commecet leur partie sur les cases et 5, avec le trait pour le joueur sur la le joueur sur case la, case alors le, joueur alorssur lela joueur case a toujours sur la 3,9% case de chaces a toujours de gager 3,9% (a 5 = de 39) chaces La de gager : a 5 = 39 valeur Lap ij valeur est gééralemet p ij estcroissate gééralemet e i et gééralemet croissate décroissate e i ete gééralemet j Cepedat, il y a décroissate des e j exceptios remarquables à cela Comme par exemple, lorsque otre adversaire est sur la case 9 Cepedat, il y a des exceptios remarquables à cela Par exemple, lorsque otre adversaire est presque deux fois plus grade si o se sur la case 9 trouve et sur qu o la case possède 74 plutôt le que trait, sur la case alors 8 os (p 74 9 chaces = 494, p 8 de 9 = gager 25) Cela sotse presque compred deux fois plus grades si o se trouve sur la case 74 plutôt que sur la case 8 : p 74 9 = 494, p 8 9 = 25 Cela se compred accessible ituitivemet si o remarque que lorsqu o se trouve sur la case 74, o peut espérer gager e preat l échelle de la case 8, alors que lorsqu o se trouve sur la case 8 cette échelle est plus accessible La figure 4 doe u résumé de la matrice E La figure 4 doe u résumé de la matrice E obteue umériquemet à l aide du théorème 4 4 " # $ % &" &# &$ &% '( ') '* '' " +),)( +*,%* +*,$# +),)( %(,%& %),'+ %),&) %),"( ),&* (,&# $,%% $,"" # +*,+" +',"+ +*,*( +*,+" %(,)& %*,%) %),'' %),+) ),(+ (,&( $,%% $,"" $ +*,$% +*,*( +*,(* +*,$% %(,(+ %*,$& %),*) %),%( ),($ (,&+ $,%% $,"" % +),)( +*,%* +*,$# +),)( %(,%& %),'& %),&) %),"( ),&* (,&# $,%% $,"" &" %&,') %(,%& %(,$& %&,') $*,)$ $',*+ $',&* $',$$ (,&) &,(& $,%% $,"" &# %),(" %*,"# %),'" %),(# $','" %#,"* %",*" %",+$ (,)% &,)' $,%% $,"" &$ %),$$ %),($ %),&# %),$% $',($ %",)* %",&# %",#+ (,(' &,)& $,%% $,"" &% %(,)" %),"' %(,'' %(,)" $',$+ %",%' %",#$ $',)( (,(+ &,)# $,%% $,"" '( (,() (,)$ (,)" (,() &,)" &,*( &,*$ &,)) $,%( $,#( #,($ #,&" ') &,&* &,($ &,(# &,&* +,)( +,*' +,*( +,*$ $,"" #,*& #,+# #,%% '* #,%% #,%% #,%% #,%% #,%% #,%% #,%% #,%% #,$& #,$$ #,#' #,#) '' #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" #,"" Figure 4 : U extrait de la matrice E das le cas classique Figure 4 U extrait de la matrice E das le cas classique O costate qu e = 47,76 coups La valeur e ij est gééralemet croissate e i et gééralemet décroissate e j Cepedat, il y a des exceptios remarquables à cela Comme par exemple, lorsque otre adversaire est sur la case 9 si Cela se rouve sur la case 8 cette échelle O costate qu ue partie à deux joueurs se termie e moyee e e = 47,76 coups La valeur e ij est gééralemet croissate e i et gééralemet décroissate e j Cepedat, il y a des exceptios remarquables à cela Par exemple, lorsque otre adversaire est sur la case 9 et qu o possède le trait, alors l espérace du ombre de coups à jouer pour fiir la partie est 9,7 si o se trouve sur la case 74 alors qu elle est de 3,23 si o se trouve sur la case 8 Cela se compred ituitivemet si o remarque que lorsqu o se trouve sur la case 74, o peut espérer gager e preat l échelle de la case 8, alors que lorsqu o se trouve 3 sur la case 8 cette échelle est plus accessible 6 Coclusio Certais auteurs [] ot étudié le jeu de serpets et échelles comme ue chaîe de Markov classique Cepedat, l aalyse faite est celle d ue versio du jeu à u seul joueur L aspect Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22 39

13 possiblemet ouveau du préset texte est so étude du cas à deux joueurs O costate que la versio à deux joueurs, tout comme celle à u joueur, est u problème d algèbre liéaire E fait, la techique utilisée das cet article peut s appliquer à importe quel jeu à deux joueurs qui se présete comme ue chaîe de Markov E particulier, ces jeux doivet être des jeux de pur hasard C est-à-dire qu ils e doivet pas écessiter de prise de décisio des joueurs Nous travaillos présetemet sur ue gééralisatio das laquelle les joueurs ot des décisios à predre Référece [] Althoe, S C, Kig L et Schillig K (993) How Log is a Game of Sakes ad Ladders?, The Mathematical Gazette, vol 77, o 478, Bulleti AMQ, Vol LII, o 4, décembre 22