Août 2015 (1 heure et 45 minutes)

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Étienne Dupuis
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1 Août 015 (1 heure et 45 miutes) 1. a) Soit A, sous-esemble o vide de IR. Défiir: - poit itérieur de A, - majorat, supremum et maimum de A (1.5 pt) b) Démotrer que la réuio d esembles ouverts de IR est u esemble ouvert de IR. (1.5 pt.) ) Compléter haque lige du tableau suivat par u esemble o vide E orrespodat au aratéristiques idiquées s il e eiste ou par. Justifier soigeusemet ue répose au hoi. Caratéristiques de E E (o vide) fermé et qui a pas de poit itérieur {} i ouvert, i fermé possédat u maimum possédat u maimum, mais pas de supremum (,3] ouvert et possédat u supremum (4,7) (.5 pts.). a) Défiir: - suite réelle overgete. - suite réelle borée (1 pt.) b) Compléter la défiitio suivate ((u ) est ue suite réelle, IN0 ): lim u... (0.5 pt.) ) Compléter les ases des deu premièrs oloes du tableau suivat par «oui» ou «o». Doer, das la troisième oloe, si elle eiste, la valeur das IR de la limite de la suite. Idiquer si elle 'eiste pas das IR. Justifier soigeusemet les réposes d ue lige du tableau au hoi (remarque : IN0 ). (u ) borée overgete lim u ( 3 ) o o o o oui oui 0 (3 pts.) 3. a) Défiir : - fotio dérivable e u poit (0.5 pt.) b) Démotrer, e détaillat le raisoemet, la formule doat la dérivée du produit de deu fotios dérivables. (1.5 pt.) ) Soit f() = l(1) si 0 si 0 Etudier la otiuité et la dérivabilité (à gauhe, à droite, bilatère) de f() e = 0. Justifier soigeusemet Doer, sas justifiatio, tous les etrema de f() e préisat s il s agit de maima ou de miima. (3.5 pts.)

2 4. Eoer le théorème des aroissemets fiis. E doer ue iterprétatio géométrique (dessi et epliatio!!). Ne pas démotrer. (1.5 pt.) 5. Doer (répose fiale uiquemet) a) pour la fotio f() = 3.l( 1). - so domaie de défiitio (-1,+ ) \ {0} - les équatios de toutes les asymptotes (vertiales, horizotales, obliques) de f(). = - 1 y = (1.5 pt.) b) pour la droite D d équatio y = 3 et le poit a (3, -6) : 1 ) l équatio de la droite perpediulaire à D passat par a y = ) la distae etre le poit a et la droite D 3 (1 pt.) ) la valeur, si elle eiste das IR, de f () si f() = l( 1) (0.5 pt.)

3 Répose questio 1 a) Soit A, u sous-esemble o vide de IR. U poit a de A est dit itérieur à A ssi il eiste u ombre η > 0 tel que l itervalle (a-η,a+η) est ilus das A. A est majoré ssi il eiste u réel b tel que b a a A; b est alors u majorat de A. Si A est majoré, il possède u et u seul plus petit majorat: le supremum de A. Si A est u esemble majoré, le réel m est u maimum de A ssi m est supremum de A et m A. Répose questio 1 b) Preuve La réuio d esembles ouverts de IR est u esemble ouvert de IR Soiet A 1,A,A 3,. des esembles ouverts. Soit A = A 1 ÈA ÈA 3 È. Soit p Î A. Motros que p est itérieur à A. Comme p Î A = A 1 ÈA ÈA 3 È., p appartiet à au mois u A i. Or, et A i est ouvert (hypothèse), do, p est itérieur à A i et il eiste u itervalle ouvert o vide, etré e p, etièremet ilus das A i. Cet itervalle est forémet ilus das A. Par oséquet, p est itérieur à A. Répose questio 1 ) Caratéristiques de E E (o vide) fermé et qui a pas de poit itérieur {} i ouvert, i fermé possédat u maimum possédat u maimum, mais pas de supremum (,3] ouvert et possédat u supremum (4,7) Justifiatio de E = (4,7) est ouvert et possède u supremum : E = (4,7) est ouvert, puisque est u itervalle ouvert. L esemble des majorats de E est [7, ). Le plus petit des majorats de E est 7, qui est do le supremum de E.

4 Répose questio a) Ue suite réelle overgete est ue suite réelle qui possède ue limite fiie (réelle). Ue suite réelle (u ) IN 0 est borée ssi il eiste deu ombres réels et d tels que IN 0 : u d Répose questio b) lim u K 0, N IN : N u K Répose questio ) (u ) borée overgete lim u ( 3 ) o o o o oui oui 0 Justifiatio pour la suite : 9 est ue suite epoetielle dot la base est supérieure à 1. Sa limite das IR est do égale à. 9 Comme sa limite est pas réelle, elle e overge pas. Elle est pas borée puisque quel que soit le réel K (aussi grad que l o veut), o pourra trouver u aturel tel que 9 est supérieur à K. Répose questio 3 a) Soit f: D IR: f() et a, u poit itérieur de D. f() f(a) f est dérivable e a ssi lim eiste das IR. a a Répose questio 3 b) Si f et g défiies au voisiage d u poit sot dérivables e, alors (f.g) est dérivable e et (f.g)'() = f '().g() + f().g'() Preuve O a lim (f.g)() (f.g)() = (défiitio de (f.g)) lim f().g() f().g() = (artifie de alul) lim f().g() f().g() f().g() f().g() = lim f().(g() g()) g().(f() f()) =

5 g() g() f() f() lim ( f(). + g(). ). De là, (1) omme g() est ue ostate, o a lim g() = g() () omme f() est par hypothèse dérivable e, elle est otiue e et o a f() et (3) omme f et g sot par hypothèse dérivables e, o a que les limites lim f() f() et lim g() g() eistet toutes deu das IR et valet respetivemet f '() et g'(), la limite lim (f.g)() (f.g)() eiste das IR et vaut f().g '() + f '().g(), d'où la thèse. Répose questio 3 ) O a f() = l(1) si 0. si 0 (a) Etude de la otiuité de f() e = 0 O a 0 lim ( l(1 )). 0 La fotio ( l(1 ) ) est otiue (et dérivable) das (-, 1) (différee de (+), fotio polyôme, otiue (et dérivable) das IR et de l(1 ), omposée de (1-), polyôme, C (et dérivable) das so domaie de défiitio IR et de l u, C (et dérivable) das so domaie de défiitio IR 0, do est C (et dérivable) das so domaie de défiitio (-, 1). Do, la fotio ( l(1 ) ) est otiue (et dérivable) e = 0 et, par oséquet, 0 lim ( l(1 )) =. 0 D autre part, o a 0 lim ( ) qui est la limite d ue fotio polyôme, otiue (et 0 dérivable) das IR, do e = 0. Par oséquet, 0 lim ( ) =. 0 Comme 0 Î IR, 0 lim f() eiste das IR et vaut. Et omme f(0) =, 0 la fotio f() est otiue e = 0. (b) Etude de la dérivabilité de f() e = 0 O a f() f(0) lim = 0 0 ( l(1)) l(1) lim lim 0 0 =?

6 O ostate que lim ( l(1 )) = 0 (similaire au raisoemet de (a)) et 0 lim 0 (lim. ft. 0 polyôme). Ce alul de limite doe do ue opératio idétermiée «0 0». O a le théorème de de l Hospital : Soiet g : D IR : g() et h : D IR : h(). Si g et h sot dérivables das u voisiage à gauhe de a et Si lim g() a a = a lim h() = 0 et g'() Si lim eiste das IR h'() g() g'() Alors lim = lim. h() a h'() a E preat g() = ( l(1)) et h() =, o ostate que les fotios ( l(1 )) et sot dérivables au voisiage gauhe de = 0 (elles sot dérivables das (-, 1) et IR respetivemet), lim ( l(1)) = 0 et 0 g'() lim = h'() 0 0 lim 0 (voir plus haut) 0 ( l(1))' lim = ()' 1 (1 ) lim Par le théorème de de l Hospital ité i-dessus, o a 0 0 (lim. ft. C e = 0), do eiste das IR. l(1 ) lim = et, par oséquet, f() f(0) lim = qui appartiet à IR, do f() est dérivable à gauhe e = 0 et f g (0) =. 0 O a f() f(0) ( ) ( ) lim lim lim lim lim ( ) qui appartiet à IR, do f() est dérivable à droite e = 0 et f d (0) =. = (lim. ft. polyôme) Comme les dérivées à gauhe et à droite e = 0 eistet et sot égales, f() est dérivable e = 0 et f (0) =. Cette fotio e possède auu etremum.

7 Répose questio 4

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