La diffusion thermique

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1 La diffusion thermique. Épaisseur d un igloo Quelle doit être l épaisseur minimale des murs d un igloo semi sphérique, contenant deu habitants, si la température etérieure est de Te = 0 C? La conductivité thermique de la glace sera prise égale à λ = 0,05 W.m.K, la température intérieure minimale nécessaire à la survie égale à Ti = 0 C, le rayon intérieur de l igloo à R =,5 m et on considèrera que le métabolisme humain dégage une puissance P = 50 W par personne.. Cuisson d un œuf d autruche La cuisson d un œuf de poule à la coque dure 3 min. un œuf moyen de poule a une masse comprise entre 53 g et 63 g. Quelle serait la durée pour faire cuire à la coque un œuf d autruche, sachant que la masse de celui-ci est comprise entre, kg et,8 kg? En pratique, il faut environ 35 min pour la cuisson. Commenter. 3. Double vitrage On considère une vitre d épaisseur e, de surface S et de conductivité thermique λ perpendiculaire à l ae O. La température est Te à l etérieur et Ti à l intérieur de la pièce. Les interfaces air/verre, verre/air ont le même coefficient surfacique de transfert convectif h. a. Faire le schéma de l association en série des différents dipôles thermiques auquels on associera les résistances adaptées. En régime stationnaire, à l aide du théorème de Millman thermique, déterminer T(0 + ) et T(e - ), en fonction de Te, Ti, e et α = + eh λ. Calculer numériquement T(0+ ) et T(e - ). On considère un double vitrage formé de deu vitres identiques d épaisseur e, de surface S et de conductivité thermique λ, séparées par une couche d air d épaisseur e, de conductivité thermique λ. Les interfaces air verre et verre air ont le même coefficient surfacique de transfert convectif h et on néglige la convection à l intérieur du double vitrage. b. En régime stationnaire, déterminer les epressions de T(0 + ) et de T[(e + e) - ] en fonction de Te, Ti, eh eh he ' α = + et β = +. Calculer numériquement T(0+ ), T(e), T(e + e ) et T[(e + e) - ] λ λ λ' c. Calculer le rapport des flu thermiques obtenus dans les deu cas et conclure. Données : Te = 70 K ; Ti = 9 K ; e = e = 8 mm ; λ =, W.m.K ; λ = W.m.K ; h = W.m.K.

2 4. Barre parcourue par un courant électrique Une barre conductrice latéralement calorifugée de longueur L, de section S constante, de résistivité électrique ρ et de conductivité thermique λ, est parcourue par un courant d intensité I constante et uniformément répartie. On étudie le régime stationnaire. On pose T = T(0) et T = T(L). a. Établir, à partir d un bilan thermique, l équation différentielle qui régit les variations de T(). Déterminer la température T() au sein de la barre en fonction de T, T, L,, ρ, λ, I et S. b. À quelle condition T() passe t elle par un maimum? c. Calculer l entropie volumique créée sc par unité de temps dans la barre, à l abscisse. Conclure. 5. Barreau nucléaire Une réaction nucléaire a lieu dans un barreau cylindrique de rayon a, d ae O. Elle dégage la puissance q par unité de volume. La conductivité thermique λ du barreau est constante. L air etérieur est à la température Te uniforme, le coefficient de transfert thermique à la surface barreau air est noté h. On se place en régime stationnaire. On considère le barreau suffisamment long pour que la température T ne dépende que de r, distance d un point du barreau à l ae O. La conduction thermique est radiale. Établir, à partir d un bilan thermique, l équation différentielle qui régit les variations de T(r). Après avoir défini les conditions au limites, déterminer la répartition de température T(r) au sein du barreau. Quelle est sa valeur maimale? 6. Refroidissement par ailette Une tige de cuivre, pleine, cylindrique, d ae O, O de longueur L, de rayon a et de conductivité Échangeur à T0 thermique λ est au contact par une de ses etrémités, en = 0, avec un échangeur à la température T0 et par sa surface latérale et son autre etrémité, = L, elle est en contact avec un fluide à la température constante Te, Te < T0. Elle joue le rôle d ailette de refroidissement. On se place en régime stationnaire et on suppose qu à l intérieur de la tige, le gradient local de température est suffisamment faible pour considérer que la température T() est uniforme dans la section d abscisse. L interface cuivre fluide est caractérisée par un coefficient surfacique de transfert convectif h constant. a. Établir, à partir d un bilan thermique, l équation différentielle qui régit les variations de T(). Après avoir défini les deu conditions limites, déterminer la répartition de température T() au sein de la tige. Calculer la température de la tige de cuivre à son etrémité libre, T(L). λ a On pose δ =. h L

3 b. En supposant que l interface cuivre échangeur est caractérisé par le même coefficient surfacique de transfert convectif h, calculer le rapport η des flu thermiques sortant de l échangeur à travers la surface Σ à la base de l ailette en = 0 en présence de l ailette, puis sans ailette. A quelle condition portant sur a, λ et h, η est-il supérieur à. Calculer la valeur de η. c. Déterminer la répartition de température θ() que l on aurait obtenue si on avait supposé l ailette de longueur infinie. Calculer dans ces mêmes conditions le rapport η correspondant. Comparer η et η. A.N. : λ = 389 W.m.K ; h = 55 W.m.K ; a = mm ; T0 = 340 K ; Te = 300 K et L = 0 cm. 7. Échangeur thermique Un échangeur de chaleur est modélisé par deu conduites parallélépipédiques de longueur L et de largeur l. La conduite supérieure est parcourue par un «fluide chaud» dont la température T() est supposée ne dépendre que de l abscisse le long de la conduite. On note Dm et cp les débit et capacité thermique massiques à pression constante de ce fluide : Ces grandeurs sont supposées constantes. De même, circule dans la conduite inférieure un «fluide froid» dont les caractéristiques sont données par T(), 0 L Dm et cp. Les échanges thermiques entre les deu fluides s effectuent par l intermédiaire d une plaque d épaisseur e constituée d un matériau de conductivité thermique λ. Les coefficients de transfert au interfaces plaque fluide chaud et plaque fluide froid sont notés h et h et on les supposera indépendant de. On néglige les effets de bord et toute variation d énergie cinétique. a. Eprimer le flu thermique δφ transféré du fluide chaud vers le fluide froid à travers un élément de plaque de largeur l et de longueur d. On donnera le résultat en fonction de T() T(). On posera héq tel que e = + +. h h λ h éq b. Déterminer les répartitions des températures T() et T(), les températures à l entrée de l échangeur, = 0, ayant les valeurs T0 et T0. Commenter les résultats obtenus. 8. Considérons un système isolé constitué de deu solides S et S quelconques, de températures initiales respectives T0 et T0 et de capacités thermiques respectives C et C constantes, liés par un cylindre de rayon R, de longueur l, de capacité thermique nulle et de conductivité thermique λ. a. Déterminer l équation T(,t) dans le cylindre. b. Trouver les équations différentielles vérifiées par T(t) et T(t). l e

4 9. Isolation d une gaine Un cylindre de rayon a, de température T, est protégé de l etérieur de température T par une gaine de conductivité λ et d épaisseur e. On se place en régime permanent. a. Calculer la résistance associée à la gaine par unité de longueur. En déduire les pertes en puissance. b. On désire diviser par 0 ces pertes en rajoutant une gaine d épaisseur e d un matériau de conductivité thermique λ. Calculer e. 0. Effet Joule On s intéresse à un fil électrique cylindrique, d ae de symétrie O, de longueur infinie, de rayon r, de résistance linéique R l, de conductivité thermique λ, parcouru par une intensité I constante, entouré par une gaine d isolant, de rayon etérieur r, de conductivité électrique nulle, de température de fusion Tf et de conductivité thermique λ. La température etérieure est maintenue à la température Te constante. On étudie le régime stationnaire. En coordonnées cylindriques, les différentes grandeurs ne dépendent que de r. a. Déterminer la puissance linéique dissipée par effet Joule, PJ, dans le fil de rayon r. Quelle est l unité de PJ? b. Eprimer jq, le vecteur densité de flu thermique à travers la gaine isolante, en fonction de r. On pourra appliquer le premier principe de la thermodynamique à un cylindre d ae O, de rayon r, r < r < r, et de hauteur arbitraire l entre les dates t et t + dt. c. Déterminer la température T(r) dans l isolant en fonction des données de l énoncé. d. Montrer que l intensité I ne doit pas dépasser un certain seuil Ima. Epliquer pourquoi cette condition est très sensible à toute augmentation d intensité. e. On donne l epression de la température dans le fil : Rl I r RlI r T(r) = Te + ( ) + ln( ). 4πλ r πλ r A.N. : r = 0,5 mm ; r =,5 mm ; I = 5 ma ; R l = 0,5 kω.m - ; Te = 93 K ; T(0) = 393 K ; T(r) = 343 K. Déterminer les epressions de λ et λ. Évaluer λ et λ.

5 . Température d une cave Considérons deu milieu homogènes, isotropes, semi infinis. Le milieu (), de l air, rempli le demiespace des < 0. Il est caractérisé par sa capacité thermique massique c, sa masse volumique ρ et sa conductivité thermique λ. Le milieu (), un solide, occupe le demi-espace défini par > 0. Ce milieu est caractérisé par sa capacité thermique massique c, sa masse volumique ρ et sa conductivité thermique λ. On rappelle la loi de Fourier relative à la diffusion de la chaleur : jth(,t) = λ.gradt(,t). a. En quelques mots, faire une interprétation physique de la loi de Fourier. b. A partir d un bilan d énergie associé à une tranche d air d épaisseur d, comprise entre les T abscisses et + d, établir l équation de diffusion de la chaleur : T = a. t On eprimera a, la diffusivité, en fonction des caractéristiques du milieu (). Donner la dimension physique de a. On impose une variation temporelle de la température de surface du solide, soit en = 0. Cette température varie suivant la loi : T(t) = T0 + θ.ep(iωt). T0 est la température moyenne ambiante, θ est réel. On cherche l évolution temporelle et spatiale de la température de l air T(,t), pour un régime sinusoïdalement établi. La température T est donc la somme d une solution correspondant au régiment stationnaire (indépendant du temps) et d une solution harmonique de pulsation ω, de la forme de θ().ep(iωt). θ() est complee. c. Montrer que la solution de l équation de diffusion peut se mettre sous la forme : T(,t) = {A.ep[( + i) δ ] + B.ep[ ( + i) ]}ep(iωt) + C. + D. δ On eprimera δ en fonction des caractéristiques du milieu (). d. En eplicitant très précisément les conditions au limites du problème, calculer les différentes constantes A, B, C et D. e. Que représente la quantité δ. Faire une illustration graphique. f. On souhaite isoler des variations jour nuit un espace donné. On utilise comme matériau isolant de la sciure de bois dont la diffusivité thermique abois = S.I. Quelle épaisseur faut il donner au parois contenant la sciure pour atténuer d un facteur 0 l amplitude des variations de température?. Considérons, en régime stationnaire, l association en série de deu barreau caractérisés par respectivement par leur conductivité thermique λ et λ, leur longueur L et L et leur section commune S. La température à l intérieur des deu barres ne dépend que de l abscisse. On impose : T( = 0) = T et T( = L + L) = T.

6 a. Déterminer en fonction des données la température de jonction Tc, en = L. Déterminer la fonction T() puis tracer cette fonction. b. Pourquoi faut il mieu tenir une casserole qui chauffe avec un manche en bois plutôt qu avec un manche en métal? 3. Sensation de chaud et de froid Deu barres de très grandes longueurs et de même section S ont des conductivités thermiques λ et λ, des masses volumiques µ et µ et des capacités thermiques massiques c et c. Ces deu barres, initialement de températures uniformes T et T, sont mises en contact en = 0 à l instant t = 0. Leurs surfaces latérales sont parfaitement calorifugées. a. Écrire l équation de diffusion thermique pour < 0 (barre ) et pour > 0 (barre ). Donner les epressions des diffusivités thermiques D et D des deu barres. b. On admet que la fonction fd(,t) = Dt ( ) thermique (D étant la diffusivité thermique) et que ep π 0 u.du est solution de l équation de diffusion lim f (,t) D ± = ±. D Vérifier que fd(0,t) = 0 et (0,t) =. πdt c. En cherchant le champ des températures sous la forme : T(,t) = A + B.fD(,t) pour < 0 et T(,t) = A + B.fD(,t) pour > 0, déterminer la température TJ à la jonction des deu barres. Eprimer TJ en fonction de T, T et des effusivités thermiques des deu barres E = c E = µ cλ. d. Calculer la température de contact entre la main (Tmain = 37 C) et un objet de température Tobjet = 0 C lorsque cet objet est en bois ou en acier. On donne Emain =, USI, Ebois = 0,4.0 3 USI et Eacier = 4,0.0 3 USI. Commenter. µ λ et