VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE Variable aléatoire sur un univers fini. Exemple Définitions et notations

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1 CHAPITRE 12 VARIABLES ALÉATOIRES On rappelle qu un espace probabilisé fini est un couple (Ω, P) où Ω est un ensemble fini et P une probabilité sur Ω, c est-à-dire une application de P(Ω) dans [0, 1] vérifiant : P(Ω) = 1 ; si A, B P(Ω) et A B =, alors P(A B) = P(A) + P(B). Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Variable aléatoire sur un univers fini 1.1 Définitions et notations Définition 12.1 On appelle variable aléatoire réelle sur Ω une application X : Ω R ω X(ω) s Définir une variable aléatoire, c est donc (en théorie) associer à chaque issue ω d une expérience aléatoire modélisée par un espace probabilisé (Ω, P) un nombre réel X(ω). Si D est une partie de R, l ensemble X 1 (D) = {ω Ω, X(ω) D} est une partie de Ω, c est-à-dire un événement. On le note [X D], ou (X D). On dispose de notations spécifiques pour les cas particuliers les plus fréquents : si a R, X 1 ({a}) est noté [X = a] ; si a, b R, X 1 (]a, b]) est noté [a < X b] (avec des notations analogues pour les autres types d intervalles bornés) ; si a R, X 1 (], a]) est noté [X a] (avec des notations analogues pour les autres types d intervalles non bornés). L ensemble des valeurs possibles pour X est X(Ω) = {X(ω), ω Ω}. Comme Ω est fini, X(Ω) l est également. Attention : X est une fonction de Ω vers R, donc «X 1» est la proposition «ω Ω, X(ω) 1» qui peut être vraie ou fausse suivant la variable aléatoire X considérée. En revanche, [X 1] est un événement (et ne peut donc être vrai ou faux) : c est l ensemble {ω Ω, X(ω) 1}. On a X 1 ([X 1] = Ω). On s intéressera à l exemple suivant tout au long du chapitre : Exemple 12.1 On lance deux dés à 4 faces et l on s intéresse à la somme des résultats obtenus. L univers Ω est donc 1, 4 2, et l on suppose donnée une probabilité P sur Ω (qui sera uniforme si les dés sont équilibrés). Lycée du Parc 851 1

2 La variable aléatoire correspondant à la somme des deux dés est : Exemple 12.2 X : Ω = 1, 4 2 R (x, y) x + y On a X(Ω) = 2, 8. On a [X = 2] = {(1, 1)}, [X = 3] = {(1, 2), (2, 1)}, [X = 4] =. Si A est un événement (i.e. une partie de Ω), alors 1 A, la fonction indicatrice de A est une variable aléatoire sur (Ω, P). On rappelle que 1 A est définie ainsi : 1 A : Ω R 1 si ω A ω 0 si ω A Théorème 12.2 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). La famille d événements ([X = x]) x X(Ω) forme un système complet d événements, et l on a donc P([X = x]) = 1 x X(Ω) On utilisera extrêmement souvent la formule des probabilités totales avec le système complet d événements ([X = k]) k X(Ω) : A Ω, P(A) = P([X = k])p [X=k] (A) Exemple 12.3 x X(Ω) Si l on reprend l exemple suivant en supposant que les dés sont équilibrés et que l on note X 1 le résultat du premier dé, on a P([X 4]) = P([X 1 = k])p [X1 =k]([x 4]). k X 1 (Ω) On a clairement X 1 (Ω) = 1, 4 et P([X 1 = k]) = 1 4 pour tout k 1, 4. De plus, P [X 1 =1]([X 4]) = 1 2, P [X1 =2]([X 4]) = 3 4 et P [X 1 =3]([X 4]) = P [X1 =4]([X 4]) = 1, d où P([X 4]) = = Ce type de technique sera largement développé (et appliqué à des exemples moins triviaux) dans le chapitre suivant. 1.2 Loi d une variable aléatoire Définition 12.3 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle loi de X l application P X : R R x P([X = x]) Lycée du Parc 851 2

3 X(Ω) étant fini, on peut le noter {x 1,..., x n }. Si x X(Ω), on a P([X = x]) = 0. Par conséquent la donnée de P([X = x i ]) pour i variant de 1 à n suffit pour déterminer la loi de X. En notant p i = P([X = x i ]) pour i 1, n, on a i 1, n, p i [0, 1] n p i = 1 i=1 La loi de X se résume à la liste des couples (x i, p i ) que l on présentera souvent sous la forme d un tableau. ([X = x i ]) 1 i n forme un système complet d événements. Dans la grande majorité des cas, la loi de X est la seule chose qui nous intéresse : Ω ne sera pas spécifié et X ne sera connu qu au travers de sa loi. Exemple 12.4 On reprend l exemple 1. Ici, Ω = 1, 4 2 est connu explicitement. On va supposer ici que les dés sont équilibrés, et donc prendre pour P la probabilité uniforme sur 1, 4 2. On souhaite déterminer la loi de X. 1. On détermine X(Ω), qui vaut ici 2, Pour chacun des x X(Ω), on détermine P([X = x]) : x P([X = x]) Loi de X 3. On peut représenter graphiquement cette loi par un diagramme en bâtons. Attention, deux variables aléatoires qui suivent la même loi n ont aucune raison d être égales : Exemple 12.5 On lance une pièce équilibrée : on pose Ω = {P, F} et l on considère la probabilité uniforme sur Ω. On peut définir deux variables aléatoires X et Y comme suit : X vaut 1 si l on obtient Face, 0 sinon ; Y vaut 1 si l on obtient Pile, 0 sinon. X et Y suivent la même loi (on a P([X = 1]) = P([Y = 1]) = 1 2 et P([X = 0]) = P([Y = 0]) = 1 2 ), et pourtant X n est pas égale à Y (on a en fait Y = 1 X) Fonction de répartition Définition 12.4 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle fonction de répartition de X l application F X : R R x P([X x]) Proposition 12.5 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)). On note X(Ω) = {x 1,..., x n } avec x 1 < < x n et l on pose p i = P([X = x i ]) pour i dans 1, n. La fonction de répartition de X est en escalier (ou constante par morceaux) : si x < x 1, F X (x) = 0 ; si x 1 x < x 2, F X (x) = p 1 ; Lycée du Parc 851 3

4 si x 2 x < x 3, F X (x) = p 1 + p 2 ;... si x i x < x i+1, F X (x) = p p i ;... si x x n, F X (x) = 1. s F X est une fonction croissante et vérifie x R, 0 F X (x) 1. On a F X (x) 0 et F X (x) 1. En réalité, F X est même constante égale à 0 au voisinage de, x x + constante égale à 1 au voisinage de +. Comme vu dans la propriété, la loi de X détermine entièrement F X. On peut procéder en sens inverse : la donnée de F X est suffisante pour retrouver la loi de X (cf exercice 12.6). Exercice 12.6 Une variable aléatoire X sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω)) a la fonction de répartition suivante : Déterminer la loi de X. Exercice 12.7 F X : R R 0 si x < si x [ 2, 0[ 1 x 2 si x [0, 7[ 3 4 si x [7, 8[ 1 si x 8 En reprenant la variable aléatoire X de l exemple 1, déterminer F X et la représenter graphiquement. 1.4 Transformation de variable aléatoire Proposition 12.6 Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)) et g : R R. g X est une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)), que l on note usuellement g(x). Sa loi est donnée par : y R, P([g(X) = y]) = P([X = x]) x X(Ω) g(x)=y g n a en fait pas besoin d être définie sur R : elle doit être définie au moins sur X(Ω). Exemple 12.8 Si g : x x 2, alors, pour tout y R, on a : si y < 0 [g(x) = y] = [X 2 = y] = [X = 0] si y = 0 [x = y] [x = y] si y > 0 et l union étant disjointe dans le dernier cas, Lycée du Parc 851 4

5 0 si y < 0 P([g(X) = y]) = P([X 2 = y]) = P([X = 0]) si y = 0 P([X = y]) + P([X = y]) si y > 0 Si g : x ax + b avec a R et b R, alors, pour tout y R, on a : ([ P([g(X) = y]) = P([aX + b = y]) = P X = y b ]) a Et si a = 0 dans le deuxième cas? 2 Moments 2.1 Espérance Définition 12.7 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle espérance de X, et l on note E(X), le réel : E(X) = xp([x = x]) s x X(Ω) En notant X(Ω) = {x 1,..., x n } et i 1, n, P([X = x i ]) = p i, on a E(X) = n x i p i. L espérance est la moyenne des valeurs prises par X, pondérée par la probabilité que ces valeurs soient prises. Si X(Ω) = {x 1,..., x n } avec x 1 < < x n, alors x 1 E(X) x n. On a aussi E(X) = X(ω)P(ω). ω Ω Si X est une fonction constante égale à un réel a (on parle de variable certaine), alors E(X) = a. En termes d «unités», l espérance de X est homogène à X : si X se mesure en mètres, son espérance aussi. Théorème 12.8 Transfert Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et g : X(Ω) R. On a E(g(X)) = g(x)p([x = x]) x X(Ω) i=1 Exercice 12.9 On considère le jeu suivant : le joueur paie 20 euros pour faire une partie puis tire au hasard un jeton dans un sac en contenant n, numérotés de 1 à n. Il gagne le carré du numéro qu il a tiré. Comment choisir n pour que le jeu soit équitable? Proposition 12.9 Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et λ R. Si X 0, alors E(X) 0 E(λX + Y) = λe(x) + E(Y) Si X Y, alors E(X) E(Y) Si X 0 et E(X) = 0, alors X = 0 E(X) E ( X ) positivité. linéarité. croissance. définie. inégalité triangulaire. Lycée du Parc 851 5

6 Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). Si E(X) = 0, on dit que X est une variable centrée. La variable aléatoire X E(X) est appelée variable centrée associée à X. X E(X) est effectivement une variable centrée : E(X E(X)) = E(X) E(E(X)) = E(X) E(X) = 0 (l avant dernière étape utilise le fait que E(X) est une constante). 2.2 Moment d ordre r Définition Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et r N. On appelle moment d ordre r le réel m r (X) = E(X r ). On appelle moment centré d ordre r le réel µ r (X) = E ( (X E(X)) r). On a m 1 (X) = E(X) et µ 1 (X) = 0. Proposition Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que 0 X Y. On a r N, m r (X) m r (Y) 2.3 Variance et écart-type Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle variance de X et l on note V(X) le réel V(X) = E ( (X E(X)) 2) s Autrement dit, la variance de X est son moment centré d ordre 2 : V(X) = µ 2 (X). Une variance est un réel positif ou nul. Si X est en mètres (en kg,...), alors V(X) est en m 2 (en kg 2,...). Mathématiquement, on peut bien sûr calculer E(X) + V(X), par exemple, mais il y a peu de chance que cela ait un sens... Exemple En reprenant le X de l exemple 1, calculer V(X). Théorème Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). Si a, b R, alors V(aX + b) = a 2 V(X). V(X) = 0 ssi X = E(X) (autrement dit ssi X est certaine). Formule de Huygens : V(X) = E(X 2 ) E(X) 2. Lycée du Parc 851 6

7 s En pratique, si l on veut calculer une variance, on le fait le plus souvent à l aide de la formule de Huygens. Attention, la variance n est pas linéaire : en particulier, la variance d une somme n est pas du tout égale à la somme des variances. En posant X(Ω) = {x 1,..., x n } et i 1, n, p i = P([X = x i ]), la formule de Huygens s écrit : V(X) = n n 2 xi 2 p i x i p i. i=1 i=1 Exercice Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et n N. On suppose que X suit une loi uniforme sur 1, n, c est-à-dire que X(Ω) = 1, n et que k X(Ω), P(X = k) = 1 n. Déterminer l espérance et la variance de X. Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle écart-type de X, et l on note σ(x), le réel σ(x) = V(X). Si σ(x) = 1 (ce qui équivaut à V(X) = 1), on dit que X est une variable réduite. L écart-type de X a même dimension que X, et donc aussi que E(X). Des expressions du type E(X) + 2σ(X) sont d ailleurs très courantes (plutôt en statistiques). Proposition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). Si a, b R, σ(ax + b) = a σ(x). σ(x) = 0 ssi X = E(X) ssi X est certaine. Exercice Soit X une variable aléatoire sur une espace probabilisé (Ω, P). On suppose que X(Ω) 0, 20 et que X n est pas une variable certaine. Montrer qu il existe f : R R affine telle que E[ f (X)] = 10 et σ( f (X)) = 4. A-t-on nécessairement f (X)(Ω) [0, 20]? Lycée du Parc 851 7

8 2.4 Inégalités classiques Théorème Soit A un événement (une partie de Ω). On a E(1 A ) = P(A). Théorème Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) telle que X 0. On a a > 0, P(X a) E(X) a Exercice Un certain chat ronronne en moyenne quarante minutes par jour. Majorer la probabilité qu il ronronne au moins deux heures un jour donné. Cette inégalité est optimale (c est-à-dire que l on peut trouver une variable aléatoire et un a R pour lesquels on a en fait égalité), mais elle est assez grossière (parce qu elle n utilise que des hypothèses très faibles sur X). Par exemple, en supposant que la taille moyenne d un Français soit d un mètre soixante-dix, elle nous permet seulement d affirmer que la probabilité que la taille d un Français choisi au hasard soit supérieure ou égale à trois mètres quarante est d au plus 1 2. Théorème Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On a ε > 0, P ( X E(X) ε ) V(X) ε 2 s Une probabilité est une grandeur sans dimension et sans unité. Il faut donc qu il en soit de même pour le membre de droite, ce qui est bien le cas puisque ε est homogène à X et V(X) à X 2. Cette inégalité est en règle générale plus précise que celle de Markov, mais l on peut souvent faire mieux si l on a plus d informations sur X (si l on connaît sa loi, en particulier). 3 Lois usuelles 3.1 Loi uniforme Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On note X(Ω) = {x 1,..., x n }. On dit que X suit une loi uniforme sur X(Ω) si On note alors X U({x 1,..., x n }). i 1, n, P(X = x i ) = 1 n Lycée du Parc 851 8

9 Exemple Si l on note X le résultat du lancer d un dé équilibré à six faces, alors X U( 1, 6 ). Proposition Soient n N et X une variable aléatoire sur (Ω, P) telle que X U( 1, n ). On a E(X) = n et V(X) = n Attention à ne pas utiliser ce résultat quand X suit une loi uniforme sur un ensemble autre que 1, n (par exemple 0, n 1 ou 0, n ). Il faut dans ce cas recalculer l espérance et la variance (cf exercice 12.15). Exercice Soient a, b Z (a b) et X U( a, b ). Calculer l espérance et la variance de X et représenter graphiquement sa fonction de répartition. 3.2 Loi de Bernoulli Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) et p ]0, 1[. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si X(Ω) = {0, 1} P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 p On note alors X B(p). L issue 1 est appelée «succès«, l issue 0 «échec». Quelques situations typiques modélisées par des variables de Bernoulli : tirer une boule dans une urne contenant une proportion p de boules blanches et 1 p de boules noires en notant X = 1 si la boule tirée est blanche, X = 0 sinon ; tirer à pile ou face avec une pièce truquée faisant «pile» avec probabilité p, en notant X = 1 si l on obtient «pile» et X = 0 sinon. Proposition Soit p ]0, 1[ et X B(p). On a E(x) = p et V(X) = p(1 p). Ces résultats restent valables si p = 0 ou p = 1, mais l on parlera plutôt de variable certaine que de variable de Bernoulli de paramètre 0 ou 1. Exemple Représenter graphiquement la loi et la fonction de répartition d une variable de Bernoulli de paramètre p ]0, 1[. Lycée du Parc 851 9

10 3.3 Loi binomiale On considère une urne contenant une proportion p de boules blanches et 1 p de boules noires, avec 0 < p < 1. On tire successivement et avec remise n boules et l on note X le nombre de boules blanches obtenues. On a alors X(Ω) = 0, n et, pour tout k 0, n, P(X = k) = ( n k) p k (1 p) n k. Définition Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P), n N et p ]0, 1[. On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p si X(Ω) = 0, n k 0, n, P(X = k) = ( ) n p k (1 p) n k On note alors X B(n, p). La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale avec n = 1. Plus précisément, X B(p) ssi X B(1, p), ce qui explique la similarité des notations. Proposition Soient n N, p ]0, 1[ et X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. On a E(X) = np et V(X) = np(1 p) k Exercice On lance un dé équilibré 100 fois. Donnez l espérance et la variance du nombre de 6 obtenus. Exercice On lance fois une pièce équilibrée et l on note X le nombre de fois que l on obtient «pile». Donner un minorant de la probabilité que ce nombre soit strictement compris entre 450 et Loi hypergéométrique On considère une urne contenant a boules blanches et b boules noires. On tire successivement et sans remise n boules, avec n a + b, et l on pose X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées. On a alors clairement X(Ω) 0, n (attention, ce n est qu une inclusion) et de plus )( b ) k 0, n, P(X = k) = ( a k n k ( a+b ) n On observe que P(X = k) 0 ssi 0 k a et 0 n k b, on en déduit donc que X(Ω) = max(0, n b), min(a, n). En posant N = a + b et p = a N (proportion de boules blanches), on a alors 1 p = b N et k X(Ω), P(X = k) = ( N p k )( N(1 p) n k ( N n) ) Lycée du Parc

11 Proposition Formule de Vandermonde Soient a, b, n N. On a n k=0 ( )( ) a b k n k ( ) a + b = n Définition Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P), N N, n N tel que n N et p ]0, 1[ tel que N p N. On dit que X suit une loi hypergéométrique de paramètres N,n et p si X(Ω) 0, n k X(Ω), P(X = k) = ( N p k )( N(1 p) n k ( N n) ) On note alors X H(N, n, p). s En posant a = N p et b = N a, on retrouve les notations vues plus haut. Si N = 1, on a nécessairement n = 1 et X suit alors une loi de Bernoulli de paramètre p. Une loi hypergéométrique est donc appropriée pour modéliser le nombre de boules blanches obtenues en tirant successivement et sans remise n boules dans une urnes contenant au total N boules dont une proportion p est blanche. Elle convient aussi si le tirage est simultané. Proposition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) suivant une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p. On a E(X) = np et V(X) = np(1 p) N n N 1 s On retrouve donc la même espérance que pour la loi binomiale mais une variance différente. Cependant, si N est grand devant n, le facteur N n N 1 est proche de 1 et la variance n est donc «pas très différente» de celle d une binomiale de paramètres n et p. On peut aller un peu plus loin : si n et p sont fixés et que N tend vers plus l infini (en étant choisi de manière à ce que N p soit entier), alors (N p k )( N(1 p) n k ) ( n ( N n) k) p k (1 p) n k. Autrement dit, la loi hypergéométrique de paramètres N, n et p «tend» vers une loi binomiale de paramètres n et p quand N tend vers plus l infini. Ce n est pas surprenant : si le nombre de boules dans l urne est grand devant le nombre de boules tirées ainsi que devant le nombre de boules de chaque couleur, le fait que le tirage soit sans remise n a que peu d importance. Exemple On tire au hasard 4 personnes parmi un groupe de 100 qui contient 5 gauchers. On souhaite déterminer la probabilité qu au moins l une des 4 personnes choisies soit gauchère. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de gauchers choisis. On a X H ( 100, 4, 20) 1. La probabilité cherchée est ) P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 ( 5 )( ( ) 0,188 Lycée du Parc

12 En utilisant l approximation binomiale, on obtiendrait : P(X 1) 1 ( ) ( ) ( ) , Que ce passe-t-il si l on essaie d estimer de la même manière la probabilité que l on ait choisi quatre gauchers? Lycée du Parc

13 Exercice Travaux dirigés On considère 5 jetons numérotés de 1 à On tire simultanément 2 jetons parmi les 5 et on note X la plus petite valeur. Déterminer la loi de X, son espérance, sa variance et représenter graphiquement sa fonction de répartition F X. Exercice On tire successivement et avec remise deux jetons parmi les 5. On note Y la plus petite valeur. Déterminer la loi de Y et son espérance. Problème du chevalier de Méré Deux joueurs jouent à un jeu se déroulant en plusieurs manches. Chacun des joueurs a misé 32 pistoles au début de la partie, et le premier joueur à gagner trois manches remporte le pot de 64 pistoles. Les manches sont indépendantes les unes des autres et chaque joueur a une probabilité 1 2 de gagner chaque manche. Les deux joueurs sont obligés d abandonner la partie alors que le joueur A mène deux manches à une. Comment répartir équitablement l argent du pot entre les deux joueurs? Exercice On lance un dé équilibré et on note X le numéro obtenu. Soient Y = X 2 et Z = (X 2) 2. Donner la loi de Y ainsi que les espérances de Y et Z. Exercice Soient n N et β un nombre réel. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1,..., n}. On suppose ( n k) 1. Déterminer β. Exercice Calculer E(X). P(X = k) = β k + 1 si 0 k n. Une urne contient N boules numérotées de 1 à N. On effectue un tirage simultané de n boules (1 n N) et l on note X le plus grand numéro obtenu. 1. Déterminer la loi de X. 2. Montrer par récurrence que N Exercice En déduire l espérance de X. k=n ( k ) ( n = N+1 n+1). Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue une série de tirages avec remise et l on s arrête dès que le dernier numéro obtenu est supérieur ou égal au numéro obtenu lors du tirage précédent. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués. 1. Déterminer X(Ω). 2. Déterminer la probabilité des événements [X 2] et [X 3], en déduire celle de [X = 2]. 3. Calculer la probabilité de [X = k] pour k X(Ω) et en déduire la loi de X. 4. Montrer que E(X) = ( n) n et déterminer sa limite quand n tend vers +. Lycée du Parc

14 Exercice Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, P) telle que : X(Ω) = {0, 1, 2,..., n} α R; k {0, 1, 2,..., n}, P(X = k) = αk(n k). 1. Déterminer α. 2. On appelle mode de la variable aléatoire X l ensemble des éléments x de X(Ω) tels que la probabilité P(X = x) soit maximale, i.e. tels que : Quel est le mode de X? 3. Calculer l espérance et la variance de X. P(X = x) = max{p(x = y), y X(Ω)}. Lois usuelles Exercice Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi de X, calculer son espérance et sa variance, puis calculer la probabilité demandée. 1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. On note X la variable aléatoire égale au nombre d objets dans le premier tiroir et on s intéresse à P(X = 20) et P(X = 10). Exercice Un enclos contient 12 lamas et 15 dromadaires. On sort un animal au hasard. On note X la variable aléatoire égale au nombre de bosses et on s intéresse à P(X = 1). 3. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les lettres de l alphabet. On en tire 5 au hasard que l on aligne afin de former un mot de 5 lettres. On note X la variable aléatoire égale au nombre de voyelles dans ce mot et on s intéresse à P(X = 1). 4. Un enclos contient 15 lamas, 15 dromadaires et 15 chameaux. On sort un animal au hasard. On note X la variable aléatoire égale au nombre de bosses et on s intéresse à P(X = 0). 5. On suppose que 1% des trèfles ont 4 feuilles. On cueille 100 trèfles. On note X la variable aléatoire égale au nombre de trèfles à 4 feuilles cueillis et on s intéresse à P(X > 0). 6. On forme un jury de 6 personnes choisies au hasard dans un groupe composé de 5 hommes et 4 femmes. On note X la variable aléatoire égale au nombre de femmes dans ce jury et on s intéresse à P(X = 3). On dispose d une pièce équilibrée. Combien de lancers doit-on effectuer pour avoir une probabilité d au moins 0,9 d obtenir une proportion de «face» comprise entre 49% et 51%? Exercice Soit p ]0, 1[. Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2,..., k,.... Une puce se déplace sur cette piste par sauts successifs de la manière suivante : à chaque saut, elle avance d une case avec probabilité p et de deux cases sinon. Au départ, elle se trouve sur la case numéro 0. On note X n la variable aléatoire égale au numéro de la case sur laquelle se trouve la puce après n sauts. 1. Déterminer la loi de la variable X 1, puis son espérance et sa variance. 2. On note Y n la variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a sauté d une case au cours des n premiers sauts. Déterminer la loi de la variable Y n, puis son espérance et sa variance. 3. Exprimer X n en fonction de Y n. En déduire la loi de X n puis son espérance et sa variance. Lycée du Parc

15 Exercice Soient n N et p ]0, 1[. On dispose d une pièce donnant pile avec la probabilité p. 1. On effectue une série de n lancers de la pièce et on note Y n le nombre de piles obtenus. Déterminer la loi de Y n, son espérance et sa variance. Exercice Agathe effectue une série de n lancers. A chaque lancer, elle gagne un euro si elle obtient pile et elle perd un euro si elle obtient face. On note A n le gain algébrique d Agathe à l issue de la série. a. Déterminer la loi de A n lorsque n = 3 puis lorsque n = 4. b. Déterminer la loi de A n dans le cas général. On commencera par déterminer avec précision l ensemble des valeurs prises par A n. c. Calculer l espérance et la variance de A n. 3. Soit a un réel strictement positif. Béatrice effectue une série de n lancers de la pièce. A l issue de la série, elle gagne a euros si le nombre de piles qu elle a obtenus est pair. Sinon, elle perd a euros. On note B n le gain algébrique de Béatrice. Déterminer la loi de B n puis son espérance et sa variance. On effectue des tirages sans remise dans une urne contenant n boules. 1. Si l on choisit a priori p boules, quelle est la probabilité de toutes les obtenir en faisant k tirages sans remise? Exercice On considère maintenant que l urne contient p boules rouges et n p boules noires. On note T la variable aléatoire égale au nombre de tirages sans remise nécessaires à l obtention des p boules rouges. a. Déterminer T(Ω) et P(T k) pour k T(Ω). b. En déduire la loi de T. c. i. Montrer que si r N et q 0, r, on a r ii. Déterminer l espérance de T. k=q ( k ) ( q = r+1 q+1). On considère une population de 2 n vaches susceptibles, avec la probabilité p, d être porteuses d un virus donné. On dispose d un test détectant, de façon certaine, ce virus dans le lait des vaches. On fixe 0 k n. On sépare les vaches en 2 n k groupes de 2 k vaches. On mélange leur lait, on fait un test sur chacun des mélanges, puis on effectue un test sur chacune des vaches des groupes contaminés. On note Y k le nombre de groupes malades et X k le nombre de tests effectués. 1. Exprimer X k en fonction de Y k, k et n. 2. Déterminer la probabilité qu un groupe donné soit contaminé. 3. Donner la loi de Y k et son espérance. 4. Donner l espérance de X k. 5. On suppose que n = 10 et p = 0,01. Déterminer numériquement la meilleure valeur de k. Lycée du Parc

16 Exercice Études La société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d écran affiche une grille à trois lignes et trois colonnes. Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons ( ) dans trois cases différentes. La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur. A B C Première partie : Étude du jeu en ligne. On définit les événements H, V, D, N par : H : «les trois jetons sont alignés horizontalement». V : «les trois jetons sont alignés verticalement». D : «les trois jetons sont alignés en diagonale». N : «les trois jetons ne sont pas alignés». 1. Justifier qu il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases. 2. Déterminer les probabilités P(H), P(V), P(D) des événements H, V, D. 3. En déduire que la probabilité de l événement N est égale à : P(N) = , La société peut s attendre à relances (parties) par jour de ce jeu. a. Pour chaque entier naturel i non nul, on note Z i le gain de la société à la i-ème relance. Donner la loi de Z i ainsi que son espérance E(Z i ). b. Quel gain journalier la société peut-elle espérer? Deuxième partie : Cas de joueurs invétérés. 1. Un joueur décide de jouer 100 parties consécutives que l on suppose indépendantes. a. Donner la loi de la variable aléatoire X égale au nombre de parties gagnées. b. Indiquer l espérance et la variance de X. c. Exprimer la perte P du joueur en fonction de X. d. En déduire l espérance et la variance de P. 2. Quel est le nombre minimum n de parties que doit jouer un joueur pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure ou égale à 50 %? (On donne ln ( 19 21) 0, 1 et ln(2) 0, 7) 3. Un autre joueur décide de jouer au plus 100 parties et de s arrêter dès qu une partie est gagnée. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois. Par convention si au cours des 100 parties le joueur ne gagne pas, la variable aléatoire Y prendra la valeur 101. a. Soient x un réel dans l intervalle [0, 1[, n un entier naturel non nul et S n la fonction définie n par : S n (x) = x k. k=0 i. Calculer la somme S n (x). ii. Dériver l égalité obtenue et montrer que : n k=1 kx k 1 = nxn+1 (n + 1)x n + 1 (1 x) 2 Lycée du Parc

17 b. Donner la loi de la variable aléatoire Y. c. Indiquer l espérance de Y. d. Pour tout entier naturel k 1, 100, montrer que la probabilité p k que le joueur joue au plus k parties avant de gagner pour la première fois, est donnée par la formule : p k = 1 ( 19 k. 21) Troisième partie : Contrôle de la qualité du jeu. On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la base (A, 1), les deux autres étant placés au hasard dans les cases restantes. On note l événement «la fonction aléatoire est déréglée» et on pose P( ) = x avec x ]0, 1[. 1. Calculer les probabilités conditionnelles P (H), P (V), P (D) des événements H, V, D sachant l événement. 2. Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d événements (, ) pour en déduire que la probabilité que les jetons ne soient pas alignés est égale à : P(N) = x Soit G la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d une partie jouée. Déterminer la valeur maximale de x pour que l espérance de gain soit positive. 4. On joue une partie. On constate que les jetons sont alignés. Quelle est la probabilité, en fonction de x que la fonction aléatoire ait été déréglée? Lycée du Parc

18 Exercice Exercices supplémentaires Une urne contient b boules blanches et r boules rouges (1 b r). On effectue des tirages successifs sans remise et l on s arrête dès que l urne devient unicolore. On note X le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de X. Exercice On dispose d un paquet de cartes constitué de deux jeux de 32 cartes qui ont été mélangés ensemble. On effectue des tirages sans remise jusqu à obtenir une carte que l on a déjà tirée auparavant. On note X le nombre de tirages effectués, déterminer la loi de X. Exercice On place au hasard n jetons numérotés de 1 à n dans n cases numérotées de la même manière. 1. Combien en moyenne sont placés dans la «bonne» case (i.e. la cases portant le numéro du jeton)? On pourra introduire des variables de Bernoulli X i valant 1 si le i-ème jeton est à la bonne place. Exercice On re-mélange les jetons. En moyenne, combien de jetons ont été correctement placés les deux fois? au moins une fois? Une urne contient 2n boules blanches et 2n boules noires. Le joueur A prélève simultanément 2n boules dans l urne, puis le joueur B prélève simultanément 2n boules. Déterminer la probabilité que le joueur A obtienne strictement plus de boules blanches que le joueur B dans les deux cas suivants : 1. les boules prélevées par le joueur A ne sont pas remises dans l urne avant le tirage du joueur B ; Exercice les boules prélevées par le joueur A sont remises dans l urne avant le tirage du joueur B. Un casino propose un jeu équitable (rêvons un peu) : pour une mise de n euros, un joueur a une chance sur deux de gagner 2 euros (et donc une chance sur deux de perdre sa mise). Un joueur pense tenir une martingale : s il gagne, il empoche le gain et s il perd, il réessaie en doublant sa mise. Il continue de même jusqu à finalement remporter une partie. Malheureusement, il ne dispose pas de fonds illimités : il a tout juste assez pour jouer au maximum n parties en suivant cette stratégie. 1. De combien d argent dispose-t-il? Exercice Déterminer la probabilité qu il gagne de l argent (c est-à-dire que le total de ses gains soit supérieur au total de ses mises). 3. En notant X son gain réel (c est-à-dire son gain moins ses mises), déterminer la loi et l espérance de X. On dispose de 2n + 1 jetons bicolores, chacun ayant une face noire et une face blanche. On lance tous ces jetons et l on observe leurs faces supérieures. L une exactement des couleurs apparaît un nombre impair de fois : on note X ce nombre. 1. Déterminer la loi de X. 2. Montrer que E(X) = 2n Montrer que V(X) = 2n+1 4. Lycée du Parc

19 Exercice Un élève répond à un QCM de 10 questions (il y a deux choix possibles par question). Pour chaque question, et de manière indépendante, il a une probabilité 4 5 de connaître la bonne réponse. Quand ce n est pas le cas, il répond au hasard. Une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise en enlève un. Sachant que les notes totales négatives sont ramenées à zéro, quelle est l espérance de la note de l élève? Exercice On tire avec remise dans une urne contenant 2n boules numérotées de 1 à 2n. Le but du jeu est d obtenir le plus grand numéro possible et l on dispose de deux chances. Cependant, on est obligé de garder le dernier numéro obtenu. Ainsi, si le joueur obtient 5 la première fois, il peut soit garder ce résultat, soit retirer. S il décide de retirer et qu il obtient 3 la deuxième fois, son score final est de 3. Exercice Le joueur A décide de systématiquement garder le premier résultat obtenu. Si l on note X A son score, quelle est la loi et l espérance de X A? 2. Le joueur B cherche à déterminer une stratégie lui permettant de maximiser son score moyen. Il décide de ne garder le premier résultat que s il est supérieur à une certaine constante k 1, 2n choisie à l avance. On note X k le score obtenu avec cette stratégie. a. Déterminer la loi et l espérance de X k. b. Quelle valeur de k faut-il choisir? soient m, n N. On considère une variable aléatoire X telle que X(Ω) = 1, mn et P(X = k) = 1 n 1 m pour tout k 1, mn. 1. Quelle condition doivent vérifier m et n? 2. Pour quelles valeurs de x a-t-on F X (x) = Déterminer E(X) et V(X). Lycée du Parc