COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux variables.

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1 COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES O cosdère deux varables aléatores et. O amerat coatre s l y a fluece etre ces deux varables. I Coule de varables dscrètes : 1) Lo ote : Soet et deux varables dscrètes, à valeurs das D et à valeurs das D. La lo du coule (, ) est défe ar l esemble des robabltés : P( = x, = y) avec x D et y D. O écrt e gééral la lo du coule sous la forme d u tableau : y 1 y 2... y... x 1 1,1 1,2... 1, x 2 2,1 2,2... 2, x,1,2..., Das la remère coloe, sot scrtes x 1,x 2,.x qu sot les valeurs ossbles our la varable aléatore et das la remère lge, sot scrtes y 1,y 2,.y qu sot les valeurs ossbles our la varable aléatore. A l tersecto de la lge et la coloe o trouve la robablté ote =(=x,=y )

2 La derère coloe, obteue ar sommato des robabltés des lges doe les robabltés P(=x ) otées.. Ces robabltés sot aelées robabltés margales. De la meme faco, la derère lge, obteue ar sommato des robabltés des coloes doe les robabltés P(=y ) otées.. Ces robabltés sot auss aelées robabltés margales. 2) Focto de réartto : La focto de réartto est doée ar : P( x, y) = x x y y P( = x, = y ) 3) Lo de robablté margale : Pour : P ( = x ) = 1 ( = x, = y ) = =. Pour : P ( = y ) = ( = x, = y ) = =. O a : Atteto! A artr des los margales, o e eut as coatre ` la lo du coule. 4) Lo de robablté codtoelle : O aelle varable aléatore codtoelle sachat = y, la varable aléatore otée y La lo codtoelle de est défe ar l esemble des valeurs {x 1,, x } et les robabltés assocées x. y y

3 x y = ( x ( y ) y ). Prorétés : 1 1 x y y x = 1 y = 1 x Exemle : La lo de robablté coote de deux varables aléatores et est doée ar : P(,) (0,0)=0.4 P(,) (0,1)=0.2 P(,) (1,0)=0.1 P(,) (1,1)=0.3 1) Doer la lo de. 2) Doer la lo codtoelle de lorsque =1 1) O a P(=0) = P(,)(0,0)+ P(,)(1,0) = =0.5 Et P(=1) = P(,)(0,1)+ P(,)(1,1) = =0.5 2) red les valeurs 0 et 1 O a P(=0/=1)= P(=0,=1) / P(=1)=0.2 / 0.5 Et P(=1/=1)= P(=1,=1) / P(=1)=0.3 / 0.5 5) Idéedace de varables aléatores : Deux évèemets sot déedats quad la réalsato de l u tervet as sur la réalsato de l autre. Deux varables aléatores dscrètes et sot déedates e robabltés ou stochastquemet déedates s l ue des rorétés équvaletes cdessous est resectée. x y y x = ( = x ) = 1,, = ( = y ) = 1,, = 1,, = 1,, ( = x, = y ) = ( = x ) ( = y ) = 1,, = 1,,

4 6) Esérace codtoelle : Défto : O aelle esérace codtoelle de sachat = y la quatté E (/ = y) = =1 x x y Théorème de l esérace codtoelle : E () = Preuve : 1 ( = y) ( = y) = 1 1 x x y ( = y) x =x ( = y) = x x, y = 1 E E y x = 1 y x. = E () x = 7) Covarace du coule (, ) : La covarace du coule (, ) est otée cov(, ) ou ecore,. Elle est as défe : y, = E [( - E()). (-E()] Ou ecore, s l'o désge ar m l'esérace mathématque de (m = E()) et ar m celle de :, =,x my m', 8) Coeffcet de corrélato léare du coule (, ) : Désgos ar l'écart-tye de et ar celu de. O les suose o uls. Le coeffcet de corrélato léare du coule (, ) est le réel :,,.. Il est comrs etre -1 et 1.

5 II - Coules de varables cotues : 1) Desté de robablté coote du coule (, ) : C est ue focto f, de R 2 vers R vérfat les rorétés suvates (caractérstques d ue desté de robablté coote) : ((x, y)r 2 ) f, (x, y) 0 et 2 R f (x,y) dxdy = 1., 2) Les destés de robabltés margales : La desté de robablté margale de est la focto f as défe : (xr) f (x) = f (x,y)dy, La desté de robablté margale de est la focto f as défe : (yr) f (y) = f (x,, y)dx Remarque : la desté de robablté coote de (, ) déterme les destés de robabltés margales de et ; la récroque est fausse. 3) L déedace : et sot déedates s et seulemet s : (x, y)r 2 f, (x, y)= f (x).f (y) 4) Les los de robabltés codtoelles : O suose f (x) 0. La desté de robablté codtoelle de sachat que = x est la focto f = x as défe : yr f = x (y) = f x y, (, ) f ( x)

6 f = x est be ue desté de robablté usqu elle est ostve et d tégrale égale à 1. L esérace codtoelle est défe ar (sous réserve d exstece) : E( = x) = y.f = x (y)dy = 1 f ( x ) y.f, (x, y)dy.

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