CH V : Variables aléatoires - généralités

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1 CH V : Variables aléatoires - gééralités I. Notio de variable aléatoire réelle Soit (Ω, A ) u espace probabilisable. O dit que X est ue variable aléatoire réelle défiie sur (Ω, A ) si : (i) X est ue applicatio de Ω das R (X : Ω R) (ii) x R, [X x = {ω Ω X(ω) x} A L image de X, otée X(Ω) est ommée support de X. X(Ω) cotiet l esemble des valeurs que pred la foctio X. Le terme de «variable aléatoire réelle» peut paraître trompeur : Remarque X est pas ue variable, c est ue foctio! X a rie d aléatoire, la otio de probabilité etre même pas e jeu das sa défiitio! Repreos la défiitio. X est ue variable aléatoire si : (i) X est ue foctio, (ii) X est ue machie à créer des évéemets. Das ce chapitre s opère u chagemet de poit de vue par rapport au précédet : o s itéressait précédemmet aux évéemets (des esembles), l objet de base est maiteat celui de variable aléatoire (des foctios). À terme, o se servira doc de résultats issus des chapitres d aalyse sur les foctios. Exemple ) O s itéresse à l expériece aléatoire cosistat à observer le résultat d lacer simultaé de 2 dés. Ω =, 6, 6 (o effectue u seul lacer, avec deux dés). L uivers Ω état fii, o choisit A = P(Ω). O cosidère la v.a.r. X égale à la somme des deux résultats obteus : X :, 6, 6 R (i, j) i + j Cette variable aléatoire est bie à valeurs das R. O peut préciser l image de cette v.a.r. : X(Ω) = 2, 2 R L esemble A = {ω Ω X(ω) 4} est u bie u évéemet : A : «la somme des deux dés est iférieur à 4». A = {(, ), (, 2), (, 3), (2, ), (2, 2), (3, )} (A P(Ω)) O otera : A = [X 4 = {ω Ω X(ω) 4} L esemble B = {ω Ω X(ω) > 0} est aussi u évéemet : B : «la somme des deux dés est strictemet supérieur à 0» B = {(5, 6), (6, 6), (6, 5)} (B P(Ω)) O otera : B = [X > 0 = [X 0 = {ω Ω X(ω) > 0} De même, o peut cosidérer les évéemets : [2 < X 7 = [X > 2 [X 7, [2 X < 7 = [X 2 [X < 7, [2.3 X < 7.5 = [3 X 7, [ 32 X < e 27 = [2 X 2,...

2 2) O s itéresse à l expériece aléatoire cosistat à observer le résultat de 4 lacers successifs d dé à 6 faces. Ω = {Pile, Face} 4. L uivers état fii, o choisit A = P(Ω). O cosidère la v.a.r. X égale au ombre de Pile obteus lors du lacer. L esemble C = {ω Ω X(ω) 2} est u bie u évéemet : C : «le lacer a produit, au plus, deux Pile». Des lacers tels que (Pile, Pile, Face, Face), (Face, Face, Face, Face), ou (Face, Face, Pile, Face) réaliset cet évéemet. O otera C = [X 2. O peut aussi cosidérer les évéemets : [X = 2 : «le lacer cotiet exactemet 2 Pile». [ < X 3 : «le lacer cotiet soit 2 Pile soit 3 Pile». 3) O effectue maiteat ue ifiité de lacers successifs d dé à 6 faces. Ω = {Pile, Face} N. O cosidère la v.a.r. X égale au rag d apparitio du premier Pile. Das la suite, o cosidère les évéemets : P i : «obteir Pile au i ème tirage», F i : «obteir Pile au i ème tirage». Ces évéemets permettre de décrire précisémet les évéemets costruits à l aide de X. Par exemple : [X = 3 = F F 2 P 3. Cet évéemet est réalisé par les tirages : (Face, Face, Pile, Face, Face, Face,...), (Face, Face, Pile, Face, Pile, Face,...), (Face, Face, Pile, Pile, Pile, Face,...),... i.e. par tous les tirages qui commecet par Face, Face, Pile. (e pas cofodre évéemet et tirages réalisat cet évéemet) [X 8 = F F 2... F 7. [X 2 = P (F P 2 ). (cotiet les tirages qui commecet par Pile ou par (Face, Pile)) Théorème. Soit (Ω, A ) u espace probabilisable. Pour tout I itervalle de R, {ω Ω X(ω) I} A Plus précisémet, les esembles suivats sot des évéemets : [X x = {ω Ω X(ω) x} où x R [X x = {ω Ω X(ω) x} où x R [X < x = {ω Ω X(ω) < x} où x R [X > x = {ω Ω X(ω) > x} où x R [X = x = {ω Ω X(ω) = x} où x R [x X y = {ω Ω x X(Ω) y} où (x, y) R 2... [X x est u évéemet par défiitio de v.a.r. [X x = + [ X > x. C est la seule difficulté de la démostratio. ( ) Soit ω [X x. Ceci sigifie que X(ω) x. Soit N. Comme x > x, o a : X(ω) x > x. Aisi, ω [ X > x. ( ) Soit ω + [ X > x. Ceci sigifie que : ( N, X(ω) > x ). O peut démotrer, par cotraposée, que ceci implique que : X(ω) x. [X = x = [X x [X x. [X < x = [X x \ [X = x. [X > x = [X x \ [X = x. [x X y = [x X [X y.... 2

3 II. Foctio de répartitio d ue v.a.r O appelle foctio de répartitio de X et o ote F X l applicatio : Théorème 2. F X : R R x F X (x) = P([X x) La foctio de répartitio F X vérifie les propriétés suivates. ) x R, 0 F X (x). 2) F X est croissate. 3) x F X(x) = 0 et x + F X(x) = 4) F X est cotiue à droite e tout poit x R. Autremet dit : x R, t > x F X (t) = F X (x) 5) F X admet ue ite fiie à gauche e tout poit x R. x R, t < x F X (t) = F X (x) P([X = x) = P([X < x) ) Soit x R. F X (x) = P[X x [0, par défiitio de P. 2) Soit (x, y) R 2 tel que x y. Alors [X x [X y. Par croissace des foctios probabilités, o a alors : F X (x) = P([X x) P([X y) = F X (y) 3) O démotre x + F X(x) = (même idée pour l autre propriété). La foctio F X est croissate et majorée par. Elle admet doc ue ite fiie e + et : F X(x) = x + F X() = P([X ) Or, comme ([X ) N est ue suite croissate d évéemets, le théorème de la ite mootoe permet d affirmer que : ( + ) P([X ) = P [X Il reste alors à démotrer que : + ( ) + [X est u évéemet doc + ( ) Soit ω Ω. Notos m = X(ω). Par défiitio, X(ω) X(ω) = m. Aisi, ω [X m + [X. [X = Ω. [X Ω. 3

4 4) La foctio F X est croissate sur [x, + [ et miorée par 0. Elle admet doc ue ite à droite e x et : ( F X (x) = F X x + ) = ([X P x + ) t > x Or, comme ( [ X x + ) N est ue suite décroissate d évéemets, le théorème de la ite mootoe permet d affirmer que : ([X P x + ) ( + = P [X x + ) Et efi (par double iclusio... ), o a : + [X x + = [X x. 5) La foctio F X est croissate sur, x et majorée par. Elle admet doc ue ite à gauche e x et : ( F X (x) = F X x ) = ([X P x ) t < x Or, comme ( [ X x ) N est ue suite croissate d évéemets, le théorème de la ite mootoe permet d affirmer que : ([X P x ) ( + = P [X x ) Et efi (par double iclusio... ), o a : + [X x = [X < x. Corollaire. Par défiitio : F X cotiue e x R P([X = x) = 0 F X cotiue e x R t x + F X(t) = F X (x) = t x F X(t) Or, comme vu das le théorème précédet, t x F X(t) = P([X < x). De plus, P([X x) = P([X < x) + P([X = x). (puisque [X x = [X < x [X = x et que P est additive) Aisi, F X (x) = t x F X(t) sigifie que : ce qui équivaut à : P([X = x) = 0. Propriété P([X < x) + P([X = x) = P([X < x) Soit (a, b) R 2 tel que a < b. O remarque tout d abord que : P([a < X b) = F X (b) F X (a) [a < X b = [X b \ [X a O e déduit que : P([a < X b) = P([X b) P([X a [X b). Efi, comme a < b, o a [X a [X b = [X a. 4

5 III. Loi d ue v.a.r. O appelle loi de X la doée de toutes les probabilités P(X A) où A est ue réuio au plus déombrable d itervalles de R. Théorème 3. Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles. } X et Y ot même X et Y ot même loi foctio de répartitio de probabilité Admis. Remarque Cotrairemet au v.a.r. qui sot des foctios o aléatoires, F X déped d ue probabilité P. E fait, F X doe précisémet la répartitio des images de X pour la probabilité P. Autremet dit, F X défiit la répartitio aléatoire de X et permet aisi d expliquer le terme de v.a.r. Évidemmet, ce résultat est ue équivalece. O dira alors que la foctio de répartitio caractérise la loi d ue var. 5

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