I Variables aléatoires discrètes. Plan de cours. A Définition

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "I Variables aléatoires discrètes. Plan de cours. A Définition"

Transcription

1 Variables aléatoires discrètes «Ce calcul délicat s étend aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité.» Pierre-Simon, marquis de Laplace (82) Plan de cours I Variables aléatoires discrètes A Définition B Loi d une variable aléatoire C Fonction de répartition D Opérations sur les variables aléatoires (complément) II Moments d une variable aléatoire A Espérance B Variance et écart-type III Lois usuelles A Loi certaine B Loi uniforme C Loi de Bernoulli D Loi binomiale E Loi géométrique F Loi de Poisson IV Vecteurs aléatoires discrets A Couples de variables aléatoires réelles discrètes B Indépendance et lois conditionnelles C Espérance, variance et covariance D Exemples de sommes de variables aléatoires V Fonctions génératrices VI Convergence et approximations A Approximation d une loi binomiale B Loi faible des grands nombres VII Lois usuelles Synthèse I Variables aléatoires discrètes A Définition On lance simultanément deux dés discernables et on choisit comme univers Ω =, 6 2, que l on munit de la probabilité uniforme. Notons alors X la somme des valeurs des dés et Y le maximum des deux valeurs. Quelles sont les valeurs possibles pour X et pour Y? X peut prendre toutes les valeurs entières entre 2 et 2 ; Y entre et 6. On peut voir X et Y comme des fonctions : X : Ω et Y : Ω ω ω + ω 2 ω max(ω, ω 2 ) où ω = (ω, ω 2 ) On peut alors écrire X (Ω) = 2, 2 et Y (Ω) =, 6. Tout comme on note plus généralement f (E) l image de E par f pour f : E F...

2 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Notons A l événement «la somme des valeurs obtenues vaut 5». On a A = {(, 4), (2, 3), (3, 2), (4, )} (Ω). Donc : P(A) = P(X = 5) = 4 36 = 9 Dans l égalité précédente, on a noté (X = 5) l événement A. Il convient de voir (X = 5) comme une abréviation pratique de X ({5}) = {ω Ω X (ω) = 5}. De manière plus générale, (X = i) = X ({i}) = {ω Ω X (ω) = i} pour i X (Ω) désigne ici un événement (une partie de Ω) dont on peut calculer la probabilité. Définition. : Variable aléatoire discrète Soit (Ω, ) un espace probabilisable. On appelle variable aléatoire réelle discrète toute application X : Ω telle que : X (Ω) est un ensemble fini ou dénombrable ; Si x X (Ω) alors X ({x}) = (X = x) est un événement, c est-à-dire : x X (Ω) X ({x}) Cette définition appelle plusieurs remarques : Malgré son nom, une variable aléatoire n est pas une variable (c est une fonction) et elle n est pas aléatoire. X (Ω) est l image (directe) de Ω par X. Si Ω est un univers fini, il en va de même pour X (Ω). Si A, X (A) désigne l image réciproque de A par X : X (A) = {ω Ω X (ω) A} Notons que la notation X (A) ne sous-entend aucunement la bijectivité de X. Comme dans l exemple précédent, on souhaitera calculer la probabilité de l événement X (A) encore noté (X A). Encore faut-il que cette partie de Ω soit bien un événement, c est-à-dire qu elle soit contenue dans la tribu. C est finalement ce que nous assure la définition mais nous reviendrons sur ce point plus tard. Rappel sur les images réciproques : Exercice Notons f (resp. g) la fonction définie sur + (resp. ) par f (t) = ln(t) et g(t) = t2. Déterminer les ensembles suivants : f () ; f ( + ) ; f ( + ) ; f ([0, [) ; g ([0, a]) ; g (] a, a[) ; g ( + ) Dans le cadre de ce chapitre, nous aurons recours aux notations suivantes (pour x et A ) : (X A) = X (A) = {ω Ω X (ω) A}; (X = x) = X ({x}) = {ω Ω X (ω) = x}; (X x) = X (], x]) = {ω Ω X (ω) x}; (X < x) = X (], x[) = {ω Ω X (ω) < x}; (X x) = X ([x, + [) = {ω Ω X (ω) x}; (X > x) = X (]x, + [) = {ω Ω X (ω) > x}. Remarquons que si le premier ensemble constitue un événement, ce sera le cas de tous les autres. 2

3 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Exercice 2 Dans le cadre du lancer de dés précédent, expliciter les événements suivants : (X > 0) ; (X ) ; (X = 4) ; (X ) ; (Y = 3) ; (Y {, 2}) La définition d une variable aléatoire impose à (X = x) pour x X (Ω) quelconque d être un événement. Mais c est également le cas pour (X A) avec A X (Ω) quelconque. Proposition.2 Soient (Ω, ) un espace probabilisable et X une variable aléatoire discrète sur cet espace. Soit A un sous-ensemble quelconque de. L ensemble X (A), noté (X A), est un événement. Tout d abord, remarquons que X (A) = X (A X (Ω)) car : X (A) = {ω Ω X (ω) A} = {ω Ω X (ω) A X (Ω)} Donc seule l intersection de A et de X (Ω) nous intéresse. Or, A X (Ω) est au plus dénombrable donc on peut le décrire sous la forme : A X (Ω) = {x n n } Ainsi, (X A) = X ({x n }) = (X = x n ). (X A) est donc la réunion dénombrable d événements n (par définition d une variable aléatoire), c est donc un événement. n On pourra noter que lorsque Ω est lui-même dénombrable, c est automatiquement le cas pour X (Ω). Dans ce cas, on munira alors Ω de sa tribu naturelle (Ω). Toutes les parties de Ω seront alors des événements. Il n y aura donc pas à «vérifier» que X est bien une variable aléatoire : toute application de Ω dans sera une variable aléatoire. Il se peut cependant que Ω ne soit pas dénombrable mais, en pratique, on demandra rarement de prouver que X est bien une variable aléatoire. Ce sera souvent l énoncé d un problème qui l admettra ou bien qui n abordera même pas la question... Cette année, toutes les variables aléatoires seront supposées finies ou discrètes. Dans les deux cas de figure, X (Ω) sera au plus dénombrable ce qui nous autorise désormais à l écrire sous la forme X (Ω) = {x n n }. Théorème.3 Soient (Ω, ) un espace probabilisable et X une variable aléatoire discrète sur cet espace. Avec les notations précédentes, la famille ((X = x n )) n est un système complet d événements. Justifions le fait que + (X = x n ) = Ω. Montrons que les événements [X = x n ] sont deux à deux incompatibles, en supposant les x n deux à deux distincts. Soient i, j avec i j et ω (X = x i ) (X = x j ). On a alors X (ω) = x i = x j. Absurde, donc (X = x i ) (X = x j ) =. On a + (X = x n ) Ω. De plus, si ω Ω alors il existe i tel que X (ω) = x i et on a donc ω (X = x i ). D où Ω ce qui prouve que + + (X = x n ), (X = x n ) = Ω. Ω [X = x 0 ] [X = x ] [X = x 2 ] [X = x 3 ] ((X = x n )) n est un s.c.e. 3

4 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exercice 3 Décrire le système complet d événements associé à la variable aléatoire Y introduite dans l exemple précédent. B Loi d une variable aléatoire On munit désormais l espace probabilisable (Ω, ) d une probabilité P. Définition.4 : Loi d une variable aléatoire Soit X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω,, P). On appelle loi de probabilité de X (ou plus simplement loi de X ) et on note P X l application : P X : X (Ω) x P(X = x) Notons qu une loi de probabilité est une fonction numérique à variable réelle. On peut étendre P X à car si x / X (Ω), (X = x) = qui est de probabilité nulle. On peut représenter une loi de probabilité par un tableau ou par un diagramme en bâtons. Exemple Représenter graphiquement la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le cas du lancer de dés. On munira pour cela (Ω, (Ω)) de la probabilité uniforme. x i P(X = x i ) P(X = x) 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 / x Faire de même avec la la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. Exercice 4 Une pièce amène pile avec la probabilité p et face avec la probabilité p, 0 < p <. On la lance n fois de suite. Soit X le nombre de fois où pile apparaît au cours de ces lancers. Chercher la loi de X. D après le théorème précédent, x X (Ω) P(X = x) = P(X = x n ) =. Le théorème suivant, dont on admet la preuve, constitue une sorte de réciproque et permet surtout de définir une variable aléatoire par sa loi de probabilité sans avoir à étudier l expérience aléatoire sous-jacente. 4

5 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Théorème.5 Soient {x n n } un ensemble infini dénombrable, les x n étant deux à deux distincts, et (p n ) n une famille de réels positifs telle que p n =. Alors il existe une variable aléatoire discrète X sur un espace probabilisé (Ω,, P) à valeurs dans {x n n } telle que : n P(X = x n ) = p n Exemple À quelle condition sur α les réels p n = α λn (n 0) sont-ils les coefficients d une loi de probabilité? n! λ n Comme n! = eλ, on en conclut que p n = si et seulement si α = e λ. On a bien alors p n 0. Deux variables aléatoires X et Y ont même loi si X (Ω) = Y (Ω) et si pour tout x X (Ω), P(X = x) = P(Y = x). Attention, cela ne signifie pas que X = Y, c est-à-dire que X (ω) = Y (ω) pour tout ω Ω. Exercice 5 On considère une pièce équilibrée que l on lance 4 fois. On note X le nombre de piles obtenus et Y le nombre de faces obtenues. X et Y ont la même loi mais ne sont pas identiques. C Fonction de répartition Définition.6 : Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω,, P). On appelle fonction de répartition de X et on note F X l application : F X : x P(X x) On notera que la fonction de répartition est définie sur et pas seulement sur X (Ω). Exercice 6 Déterminer la fonction de répartition dans le cas où X (Ω) = {0, } et P(X = 0) = P(X = ). Proposition.7 : Propriétés de la fonction de répartition Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω,, P). (i) L application F X est croissante. (ii) lim F X (x) = 0 et lim F X (x) =. x x + (i) Soient x, y tels que x < y. Comme (X x) (X y), par croissance de P,F X (x) = P(X x) P(X y) = F X (y). (ii) L application F X étant croissante et majorée, elle admet une limite en +. Il suffit alors de calculer lim P(X n) en utilisant le théorème de la continuité croissante appliqué à la suite croissante n + d événements ((X n)) n : lim F X (n) = lim P(X n) = P n + n + + (X n) = P(Ω) = On procède de même pour montrer que lim F X (x) = 0. x 5

6 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Remarquons que F X (y) F X (x) = P(x < X y). Si l on connaît la fonction de répartition d une variable aléatoire, on peut retrouver sa loi de probabilité. Ceci fait l objet du théorème suivant : Théorème.8 : Lien entre fonction de répartition et loi de probabilité Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω,, P). On pose X (Ω) = {x n n } où l on suppose les x i ordonnés dans le sens croissant. Alors, P(X = x 0 ) = F X (x 0 ). n P(X = x n ) = F X (x n ) F X (x n ). Remarquons simplement que pour n, (X x n ) = (X < x n ) (X = x n ) = (X x n ) (X = x n ) Donc, De plus, P(X = x 0 ) = P(X x 0 ) = F X (x 0 ). P(X = x n ) = P(X x n ) P(X x n ) = F X (x n ) F X (x n ) F X (x) La probabilité P(X = x n ) correspond donc au «saut entre deux marches». x n P(X = x n ) x n Le graphe ci-contre laisse penser que la fonction de répartition est une fonction en escalier, ce qui est bien le cas. Elle est continue à droite en chaque x n et discontinue à gauche mais ces propriétés ne figurent pas au programme. Il faut savoir que dans certains cas, il est plus facile de trouver la fonction de répartition d une variable aléatoire que de déterminer directement sa loi. Exercice 7 Reprendre l exemple du lancer de dés et déterminer la loi de probabilité de Y en ayant au préalable déterminer sa fonction de répartition. D Opérations sur les variables aléatoires (complément) Soit X une variable aléatoire discrète sur l espace probabilisé (Ω,, P). Posons X (Ω) = {x n n }. Considérons maintenant l application ϕ : X (Ω) et l application Y = ϕ X traditionnellement notée ϕ(x ). D une part, Y : Ω. D autre part, Y (Ω) = ϕ(x (Ω)) = {ϕ(x n ) n }. C est un ensemble au plus dénombrable. Il ne reste plus qu à prouver que Y est une variable aléatoire. En effet, y Y (Ω), (Y = y) = (X = x n ) n ϕ(x n )=y car ω (Y = y) si et seulement si Y (ω) = y, c est-à-dire si et seulement s il existe n tel que X (ω) = x n et ϕ(x n ) = y. Cela revient à dire que ω (X = x n ) avec ϕ(x n ) = y. (Y = y) est donc la réunion au plus dénombrable d événements, c est un événement. Ceci nous assure que toute fonction d une variable aléatoire est encore une variable aléatoire. Résultat que l on peut généraliser dans le cas de fonctions à plusieurs variables. Exemples Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes sur l espace probabilisé (Ω,, P), il en va de même pour X 2, X + Y, X Y, sin(y ), min(x, Y ). 6

7 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Remarquons que dans le cas où Y = ϕ(x ), on obtient facilement la loi de Y à partir de celle de X : Exercice 8 y Y (Ω) P(Y = y) = P n ϕ(x n )=y (X = x n ) = n ϕ(x n )=y P(X = x n ) Déterminer la loi de X 2 où X est une variable aléatoire dont la table de probabilité est : x i P(X = x i ) Exercice 9 Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur l espace probabilisé (Ω,, P) telle que X (Ω) = et α P(X = ) = pour tout entier naturel non nul. ( + )( + 2). On pose u = 2 2( + ). Montrer que pour tout, on a : En déduire la valeur de α. u u + = ( + )( + 2) 2. Montrer que Y = X + est une variable aléatoire réelle discrète et déterminer sa loi. 3. Montrer que Z = X 2 4X + 4 est une variable aléatoire réelle discrète et déterminer sa loi. II Moments d une variable aléatoire A Espérance L an dernier, toutes les variables réelles étudiées étaient finies. En notant X une telle variable, on pouvait alors écrire X (Ω) = {x,..., x n }. L espérance de X était ensuite définie par : E(X ) = x X (Ω) x P(X = x) = n x P(X = x ) L espérance correspond à la moyenne des valeurs prises par X pondérées par leur probabilité d apparition. n De plus, si X est à valeurs dans, n, X (Ω) = {,..., n} et E(X ) = P(X = ). Exemples Voici deux exemples classiques qui permettent d illustrer l espérance comme le gain espéré à un jeu donné. On lance une pièce équilibrée et on note X la variable aléatoire qui prend la valeur si l on obtient pile, 0 si on obtient face. On a X (Ω) = {0, }. La pièce étant équilibrée, on munit Ω = {P, F} de la probabilité uniforme. E(X ) = x X (Ω) = = x P(X = x ) = = 2 7

8 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES On lance deux dés non truqués dont les faces sont numérotées de à 6 et on note X la somme des chiffres obtenus. La loi de probabilité de X est donné par le tableau suivant : x i P(X = x i ) L espérance de X vaut alors : E(X ) = Pour donner un sens à deux difficultés : x X (Ω) x X (Ω) x P(X = x ) = = 7 x P(X = x) dans le cas d une variable discrète, nous sommes confrontés à X (Ω) étant au plus dénombrable, on peut l écrire sous la forme {x n n }. Dans le cas où X (Ω) est dénombrable, la série x n P(X = x n ) converge-t-elle? n La somme ne dépend-elle pas du choix de la bijection entre X (Ω) et, autrement dit de l ordre de sommation? La réponse à la deuxième question est non, du moment que la série est supposée absolument convergente. Définition.9 : Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire discrète sur l espace probabilisé (Ω,, P). On pose X (Ω) = {x n n }. X est dite d espérance finie si la série x n P(X = x n ) converge absolument. n Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note E(X ) le réel : E(X ) = x n P(X = x n ) On remarquera que toute variable aléatoire finie admet une espérance. Exercice 0 Dans un concours de saut, la probabilité qu un sauteur passe la n e barre est /n, et est indépendante des sauts précédents. On note X la dernière barre que le sauteur a franchi avant d échouer et A n l événement «le sauteur a franchi n e barre».. Déterminer la probabilité de l événement «le sauteur a franchi une infinité de barres». On pose alors X (Ω) =. 2. Calculer P(X n) puis déterminer la loi de X. 3. En déduire l espérance de X. Calculer l espérance d une variable aléatoire nécessite de savoir a priori déterminer sa loi, ce qui peut s avérer délicat lorsque la variable est de la forme ϕ(x ). Le résultat suivant permet de calculer l espérance de ϕ(x ) à partir de la loi de X.. Le résultat, loin d être évident, est admis dans le cadre du programme. On se référera au chapitre «Séries numériques». 8

9 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Théorème.0 : Théorème de transfert Soient X une variable aléatoire à valeurs finies sur l espace probabilisé (Ω,, P) et f : X (Ω). On note X (Ω) = {x n n }. Alors, f (X ) est d espérance finie si et seulement si f (x n ) P(X = x n ) converge et, dans ce cas, E(f (X )) = f (x n )P(X = x n ) n Théorème. : Propriétés de l espérance Soient X et Y sont deux variables aléatoires discrètes d espérances finies sur (Ω,, P). (i) Linéarité de l espérance Pour tout λ, µ, λx + µy est d espérance finie et E(λX + µy ) = λe(x ) + µe(y ). (ii) Positivité de l espérance Si X 0, c est-à-dire si X (ω) 0 pour tout ω Ω, alors E(X ) 0. (iii) Croissance de l espérance Si X Y, c est-à-dire si X (ω) Y (ω) pour tout ω Ω, alors E(X ) E(Y ). Nous admettons le premier résultat. (ii) En écrivant X (Ω) = {x n n } +, il vient E(X ) = série à termes positifs donc positive. x n P(X = x n ), qui est la somme d une (iii) Y X est une variable discrète à valeurs positives et d espérance E(Y X ) = E(Y ) E(X ) donc E(Y ) E(X ) 0. Remarquons que si X est positive et d espérance nulle, alors E(X ) = x n P(X = x n ) est une somme nulle de termes positifs. Ils sont donc tous nuls, ce qui implique que P(X = x n ) = 0 pour tout n dès que x n 0. Ainsi, P(X = 0) =. On notera que X E(X ) est une variable d espérance nulle par linéarité de l espérance. En effet, E(X ) et E(X E(X )) = E(X ) E(E(X )) = E(X ) E(X ) = 0. On parle alors de variable centrée. Proposition.2 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans. Si X admet une espérance finie, alors : E(X ) = n= P(X n) Comme X est à valeurs dans, (X n) = (X = n) (X n + ) pour tout n. Fixons p. p n P(X = n) = = = p n P(X n) P(X n + ) p np(x n) p (n + )P(X n + ) + p P(X n + ) (p + )P(X p + ) p P(X n + ) (téléscopage) 9

10 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Ainsi, p n P(X = n) = p P(X n) pp(x p + ). n= Par ailleurs, 0 pp(x p + ) = n=p+ pp(x = n) n=p+ np(x = n) et cette dernière quantité tend vers 0 comme reste d une série convergente (la variable aléatoire étant d espérance finie). Bref, pp(x p + ) 0 donc en faisant tendre p vers +, il vient E(X ) = P(X n). p + B Variance et écart-type Définition.3 : Moment d ordre p Soit X une variable aléatoire discrète et p. Si X p admet une espérance finie, alors on appelle moment d ordre p de X le réel E(X p ). n= Théorème / Définition.4 : Variance Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Ω,, P) admettant un moment d ordre 2. Alors (X E(X )) 2 est d espérance finie. On appelle variance de X et on note V (X ) le réel positif : V (X ) = E (X E(X )) 2 = (x E(X )) 2 P(X = x) x X (Ω) On appelle écart type de X et on note σ(x ) le réel σ(x ) = V (X ). Posons X = {x n n } et supposons que X admette un moment d ordre 2. Montrons tout d abord que X admet un moment d ordre, c est-à-dire une espérance finie. Pour n, soit x n <, soit x n et donc x n x 2 n. On a donc x n max(, x 2 n ) + x 2 n. On obtient alors : n x n P(X = x n ) P(X = x n ) + x 2 n P(X = x n) Comme P(X = x n ) converge (de somme égale à ) et que par hypothèse, x 2 n P(X = x n) converge également, par comparaison de séries à termes positifs, x n P(X = x n ) converge. On a bien établi la convergence absolue de x n P(X = x n ). (X E(X )) 2 = X 2 2E(X )X + E(X ) 2. Comme X 2 et X admettent une espérance finie, il en va de même pour (X E(X )) 2 (par linéarité de l espérance). Enfin, l écart type est bien défini par positivité de l espérance, V (X ) = E((X E(X )) 2 ) 0. La variance, qui n est rien d autre que la moyenne du carrée de la distance entre les valeurs de X et la moyenne de X, mesure la dispersion de X par rapport à son espérance. Il en va de même pour l écart type qui a l avantage d être homogène à X. Lorsque E(X ) = 0 et σ(x ) =, la variable aléatoire X est qualifiée de centrée réduite. La proposition suivante permet de calculer plus facilement la variance d une variable aléatoire. Proposition.5 : Formule de Kœnig-Huygens Si la variable aléatoire discrète X admet un moment d ordre 2, V (X ) = E(X 2 ) E(X ) 2 0

11 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* On a V (X ) = E((X E(X )) 2 ) = E(X 2 2E(X )X + E(X ) 2 ). Par linéarité de l espérance, il vient V (X ) = E(X 2 ) 2E(X ) 2 + E(X ) 2 = E(X 2 ) E(X ) 2 Exemple Reprenons l exemple du lancer de dés où l on a noté X la somme des chiffres obtenus. Que vaut l écart type de X? X 2 a pour espérance : E(X 2 ) = = D où V (X ) = = 35 6 et donc σ(x ) = ,42. Exercice Montrer que la variable aléatoire X définie dans l exercice 9 n admet pas de variance. Proposition.6 Soient λ, µ. on a alors V (λx + µ) = λ 2 V (X ). On a l égalité suivante : V (λx + µ) = E((λX + µ) 2 ) E(λX + µ) 2 On remarquera que si V (X ) 0, V réduite. La variable III Lois usuelles A Loi certaine Définition.7 : Loi certaine = E(λ 2 X 2 + 2λµX + µ 2 ) (λe(x ) + µ) 2 = λ 2 (E(X 2 ) E(X ) 2 ) = λ 2 V (X ) X σ(x ) (X E(X )) est alors centrée réduite. σ(x ) = V (X ) =, donc la variable aléatoire V σ(x ) 2 On dit qu une variable aléatoire suit une loi certaine si elle est constante. X σ(x ) est On peut alors poser X (Ω) = {a}. L événement (X = a) est certain, on a P(X = a) =. P(X = ) F X (x) x a LOI DE PROBABILITÉ a FONCTION DE RÉPARTITION

12 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES E(X ) = a P(X = a) = a, V (X ) = E(X 2 ) E(X ) 2 = a 2 a 2 = 0. Réciproquement, une variable aléatoire de variance nulle est dite quasi-certaine : elle peut prendre d autres valeurs que a mais avec une probabilité nulle. B Loi uniforme Définition.8 : Loi uniforme On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur, n si : X (Ω) =, n, n, P(X = ) = n Notation : X (, n). De même, on dira que X suit une loi uniforme sur a, b avec a < b si : X (Ω) = a, b a, b, P(X = ) = b a + Situation type : Lancer d un dé équilibré ; Tirage aléatoire de boules numérotées de à n dans une urne. P(X = ) F X (x) / LOI DE PROBABILITÉ POUR n = FONCTION DE RÉPARTITION POUR n = 3 x Proposition.9 : Espérance et variance d une loi uniforme Si X (, n) alors E(X ) = n + 2 et V (X ) = n2 2. Rappelons tout d abord que n = = n(n + ) 2 et n 2 = = n(n + )(2n + ). 6 n n E(X ) = P(X = )) = n = n + 2 ; = = n n + 2 V (X ) = E(X 2 ) E(X ) 2 = 2 P(X = )) 2 = n 2 n + 2 = n (n + )(2n + ) n + 2 = = n = 2

13 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Exercice 2 Montrer que si X (a, b) alors on a : E(X ) = a + b 2 et V (X ) = (b a)(b a + 2) 2 On s intéressera pour cela à la loi suivie par la variable aléatoire Y = X a +. C Loi de Bernoulli Définition.20 : Loi de Bernoulli On dit que la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ]0, [ si : Notation : X (p) ou X (, p). X (Ω) = {0, } P(X = ) = p On notera qu on a alors P(X = 0) = q = p. Situation type : Lancer d une pièce truquée (lancer unique) ; Tirage d une boule dans une urne avec a boules noires et b boules blanches. Si on note X le nombre de boules blanches tirées, on a alors X a a+b. P(X = ) 2/3 /3 0 2 LOI DE PROBABILITÉ POUR p = 2/3 Proposition.2 : Espérance et variance d une loi de Bernoulli Si X (p) alors E(X ) = p et V (X ) = p( p) = pq. E(X ) = 0 P(X = 0) + P(X = ) = p; V (X ) = E(X 2 ) E(X ) 2 = 0 2 P(X = 0) + 2 P(X = ) 2 p 2 = p p 2 = pq. D Loi binomiale Définition.22 : Loi binomiale On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres (n, p) ]0, [ si : X (Ω) = 0, n n 0, n, P(X = ) = p q n avec q = p Notation : X (n, p). Vérifions que nous avons bien défini une variable aléaoire : n 0, n, P(X = ) = p q n 0 n n n P(X = ) = p q n = (p + q) n = n = =0 =0 3

14 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Pour n =, on retrouve le cas particulier d une loi de Bernoulli. Une loi binomiale de paramètres (n, p) apparaît lorsqu on s intéresse à une expérience aléatoire conduisant à une situation de succès (de probabilité p) ou d échec (de probabilité q), le tout réitéré n fois de manière indépendante. En notant X le nombre de succès, on a alors X (n, p). Posons Ω = {S, E} n et notons que card(ω) = 2 n. On a X (Ω) = 0, n (au pire 0 succès, au mieux n). Les tirages favorables peuvent être représentés par des mots de la forme SES EESEE, mots contenant n lettres S et donc n lettres E. Il y en a précisément. La probabilité d apparition de chacun des mots vaut p q n par indépendance des tirages. n Donc P(X = ) = p q n. Une loi binomiale de paramètres (n, p) est la somme de n loi de Bernoulli indépendantes, de paramètre p comme nous pourrons le constater dans la prochaine partie. Situation type : Lancers successifs d une pièce truquée ; Tirages successifs avec remise de n boules dans une urne avec a boules noires et b boules blanches. Si X correspond au nombre de boules blanches tirées, on a X a n, a+b. P(X = ) P(X = ) /2 /2 /4 / REPRÉSENTATION D UNE LOI BINOMIALE DE PARAMÈTRES 6, 2 REPRÉSENTATION D UNE LOI BINOMIALE DE PARAMÈTRES 6, 2 3 Proposition.23 : Espérance et variance d une loi binomiale Si X (n, p) alors E(X ) = np et V (X ) = npq. n n n n 2 Remarquons tout d abord que = n et ( ) = n(n 2). 2 4

15 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Calcul classique pour l espérance : n n n n E(X ) = p q n = p q n =0 = n n n n = n p q n = n p + q n = =0 n n = np p q n = np(p + q) n = np =0 En ce qui concerne la variance, nous allons calculer E(X (X )) plutôt que E(X 2 ), en utilisant la formule de transfert : n n n n E(X (X )) = ( ) p q n = ( ) p q n =0 =2 n n 2 n 2 n 2 = n(n ) p q n = n(n )p 2 p q n 2 2 =2 = n(n )p 2 (p + q) n 2 = n(n )p 2 On a alors E(X (X )) = E(X 2 ) E(X ) par linéarité, et donc : E Loi géométrique V (X ) = E(X (X )) + E(X ) E(X ) 2 = n(n )p 2 + np (np) 2 = npq Définition.24 : Loi géométrique Soit p ]0, [. On dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p sur si : X (Ω) = n, P(X = n) = q n p avec q = p Notation : X (p). =0 Vérifions que l on a bien défini une variable aléatoire : n P(X = n) = q n p 0 n= P(X = n) = p n= q n = p q n = p q = Une loi géométrique apparaît lorsque l on s intéresse à une succession d épreuves de Bernoulli indépendantes jusqu à obtenir un premier succès. On parle alors de temps d attente du premier succès. Considérons une série infinie de lancers de pièce qui amène pile avec une probabilité p ]0, [ et face avec une probabilité p. Notons A l événement «pile apparaît au e lancer». Par indépendance des événements, 2 P(X = ) = P A A 2 A A = P(A ) P(A ) P(A ) = q p De plus, on a bien P(X = ) = p. 5

16 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Remarquons que dans l exemple précédent, rien ne garantit l existence d une telle variable aléatoire X! En effet, si on désigne par X le rang d apparition du premier pile, rien ne nous assure que pile va apparaître au cours des tirages. Cependant, on peut montrer qu un tel événement est de probabilité nulle. En notant B l événement «pile n apparaît jamais» et F n l événement «face apparaît constamment au cours des n premiers lancers», on a : + B = F n n= Comme la suite (F n ) n est décoissante, on a d après le théorème de continuité décroissante : P(B) = lim P(A n) = lim n + n + qn = 0 On peut alors négliger cet événement et considérer X à valeurs dans. P(X = n) Situation type : Premier pile obtenu au cours de lancers successifs d une pièce truquée ; Tirages successifs avec remise de n boules dans une urne avec a boules noires et b boules blanches jusqu à obtenir une boule blanche. /2 / n Proposition.25 : Espérance et variance d une loi géométrique Si X (p) alors X admet une espérance et une variance et : REPRÉSENTATION D UNE LOI GÉOMÉTRIQUE DE PARAMÈTRE /3 E(X ) = p et V (X ) = q p 2 = p p 2 La série npq n converge d après le théorème de dérivation terme à terme d une série entière n appliqué à la série q n avec (q ], [). De plus, E(X ) = n= np(x = n) = n= npq n p = ( q) = 2 p Pour la même raison, n(n )pq n converge donc la variance existe et : n V (X ) = E(X (X )) + E(X ) E(X ) 2 = = 2pq ( q) + 3 p p = p 2 p 2 n= n(n )pq n + p p 2 Nous avons jusqu à présent interprété une loi géométrique comme le temps d attente du er succès dans une suite d épreuves de Bernoulli indépendantes. Si un observateur commence son observation au temps n et qu il constate que l événement ne s est pas encore produit, quelle est la probabilité que l événement se produise au temps n +? Elle est en fait égale à la probabilité que l événement se produise au temps, comme si rien ne s était produit jusque là. La loi géométrique est qualifiée de «loi sans mémoire». 6

17 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Proposition.26 : Caractérisation comme loi sans mémoire Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω,, P) telle que X (Ω) =. X suit une loi géométrique sur si et seulement si : (, n) P(X > n + X > n) = P(X > ) Remarquons tout d abord que si X (p), P(X > n) = n P(X = ) = = n pq q = q n. Ceci s interprète facilement en disant que pour l événement se réalise à un temps supérieur à n, cela nécessite n premiers échecs consécutifs. = Supposons que X suive une loi géométrique de paramètre p. P(X > n + ) Pour tout (, n), P(X > n + X > n) = = qn+ = q = P(X > ). P(X > n) q n = Supposons maintenant que pour tout (, n), P(X > n + X > n) = P(X > ). Ainsi, P(X > n + ) = P(X > n + X > n)p(x > n) = P(X > )P(X > n). En posant q = P(X > ), on voit que (P(X > n)) n est une suite géométrique de raison q. = n P(X > n) = qp(x > n ) = = q n P(X > ) = q n Ainsi, P(X = n) = P(X n) P(X n ) = P(X > n ) P(X > n) = q n q n = pq n. Donc X (p). F Loi de Poisson Contrairement aux lois précédentes, il s avère difficile de donner un modèle simple qui conduise à une loi de Poisson. Celle-ci apparaît plus naturellement comme une loi limite. Cette loi a été introduite en 838 par Siméon Poisson et sert souvent à modéliser l apparition d événements rares. Définition.27 : Loi de Poisson Soit λ > 0. On dit que la variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ si : X (Ω) = n, P(X = n) = λn n! e λ Notation : X (λ). Vérifions que l on a bien défini une variable aléatoire : n P(X = n) = λn n! e λ 0 λ n P(X = n) = n! e λ = e λ λ n n! = e λ e λ = Proposition.28 : Espérance et variance d une loi de Poisson Si X (λ) alors X admet une espérance et une variance et : E(X ) = λ et V (X ) = λ 7

18 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES λn La série de terme général np(x = n) = λe λ (n )! Ainsi, X admet une espérance et : converge comme série exponentielle. E(X ) = n= np(x = n) = λe λ n= λ n (n )! = λ λn 2 Pour la même raison, le série de terme général λ 2 e λ (n 2)! converge donc la variance existe et : V (X ) = E(X (X )) + E(X ) E(X ) 2 = λ 2 e λ n=2 λ n 2 (n 2)! + λ λ2 = λ 2 + λ λ 2 = λ IV Vecteurs aléatoires discrets A Couples de variables aléatoires réelles discrètes Définition Définition.29 : Couple de variables aléatoires Soit (Ω, ) un espace probabilisable. On appelle couple de variables aléatoires discrètes toute application Z : Ω 2 ω (X (ω), Y (ω)) où X et Y sont des variables aléatoires discrètes sur (Ω, ). On note Z = (X, Y ) ce couple de variables. Z est donc une application de Ω dans 2. Avant de montrer qu il s agit bien d une variable aléatoire 2, insistons sur la différence entre Z(Ω) = (X, Y )(Ω) et X (Ω) Y (Ω). Z(Ω) = {(X (ω), Y (ω)) ω Ω} {(X (ω ), Y (ω 2 )) (ω, ω 2 ) Ω 2 } = X (Ω) Y (Ω) Exercice 3 (i) Soient X (Ω) = {, 2}, Y (Ω) = {, 3} et Ω = {a, b, c} avec X (a) = X (b) =, X (c) = 2 et Y (a) = Y (c) = 3, Y (b) =. Déterminer Z(Ω) et X (Ω) Y (Ω). (ii) On lance deux dés. On note X le maximum des valeurs obtenues, Y la valeur du deuxième dé. Que vaut X (Ω)? Y (Ω)? Z(Ω)? Proposition.30 Soient (Ω, ) un espace probabilisable et X, Y deux variables aléatoires réelles discrètes. Alors Z = (X, Y ) est une variable aléatoire discrète sur 2. On parle alors de vecteur aléatoire discret. 2. au sens plus général des variables aléatoires discrètes à valeurs dans n. Ici, n = 2. 8

19 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* X (Ω) et Y (Ω) sont au plus dénombrables. Il en va de même pour X (Ω) Y (Ω) et donc pour Z(Ω) qui est inclus dans ce dernier. Soit z = (x, y) Z(Ω). (Z = z) = {ω Ω X (ω) = x, Y (ω) = y} = (X = x) (Y = y) (Z = z) est donc l intersection de deux événements, c est un événement! On pourra utiliser les notations suivantes : (X = x i ) (Y = y j ) = (X, Y ) = (x i, y j ) = X = x i, Y = y j Proposition.3 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes sur (Ω, ). On pose X (Ω) = {x i i I} et Y (Ω) = {y j j J} avec I et J deux parties de. Alors la famille dévénements Z = (x i, y j ) i I est un système complet d événements. j J 2 Loi conjointe Définition.32 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires sur un espace probabilisé (Ω,, P). On appelle loi conjointe de X et de Y (ou loi de probabilité du couple (X, Y )) l application : P (X,Y ) : X (Ω) Y (Ω) [0, ] (x, y) P ((X = x) (Y = y)) Déterminer la loi conjointe revient à calculer p i, j = P((X = x i ) (Y = y j )) pour i I et j J. Exemple On considère une urne avec 4 boules B, B 2, B 3, B 4 et les tirages de 2 boules successifs avec remise. On note X le numéro de la boule au er tirage et X 2 le numéro de la boule au 2 ème tirage. On pose enfin Y = max(x, X 2 ) et Z = (X, Y ). Quelle est la loi conjointe de X et Y? On a X (Ω) = Y (Ω) =, 4 et : X /Y in jp Exercice 4 P X = x i, Y = y j = car les X = xi, Y = y j forment un système complet d événements. Dans une succession de piles ou faces pour laquelle la probabilité d obtenir pile est p ]0, [ et d obtenir face est q = p, on note X le rang d apparition du premier pile et Y celui du second. Déterminer la loi conjointe de (X, Y ) puis vérifier que la somme des probabilités vaut. 9

20 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 3 Loi marginale Définition.33 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes sur (Ω,, P). On appelle ère loi marginale de (X, Y ) la loi de X et 2 ème loi marginale de (X, Y ) la loi de Y. On peut facilement déduire les lois marginales de la loi conjointe : Théorème.34 Avec les notations précédentes, i I P (X = x i ) = P (X = x i ) Y = y j j J j J P Y = y j = P (X = x i ) Y = y j i I Il suffit donc de sommer les éléments le long des lignes ou le long des colonnes des tableaux de probabilités pour retrouver les lois marginales. Exemple X /Y {,..., 4} P(X = ) = 4 P(Y = ) = 6 ; P(Y = 2) = 3 6 ; P(Y = 3) = 5 6 ; P(Y = 4) = 7 6. Attention, dans la plupart des cas, on ne peut pas retrouver la loi conjointe à partir des lois marginales. Exercice 5 Déterminer les lois marginales de (X, Y ) définie dans l exercice 4. 4 Fonctions de deux variables aléatoires (complément) Nous avons que pour toutes variable aléatoire X et fonction f : X (Ω), f (X ) est encore une variable aléatoire. C est encore le cas pour Z = g(x, Y ) avec g : X (Ω) Y (Ω). En effet, (Z = z) = ((X = x) (Y = y)) (x,y) X (Ω) Y (Ω) g(x, y)=z est une réunion dénombrable d événements. De plus, Z(Ω) est au plus dénombrable. Bref, Z est bien une variable aléatoire. Mais comme la réunion précédente est disjointe, on connaît la loi de Z : P (Z = z) = (x, y) X (Ω) Y (Ω) g(x, y)=z P ((X = x) (Y = y)) Il est cependant très difficile en pratique de déterminer la loi à l aide de cette simple formule... 20

21 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* B Indépendance et lois conditionnelles Définition.35 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires sur (Ω,, P). (i) On appelle loi conditionnelle de X sachant (Y = y) pour P(Y = y) 0, l application : P (Y =y) ((X = )) : X (Ω) P ((X = x) (Y = y])) x = P (Y =y) (X = x) P (Y = y) (ii) On appelle loi conditionnelle de Y sachant (X = x) pour P(X = x) 0, l application : P (X =x) ((Y = )) : Y (Ω) P ((X = x) (Y = y)) y = P (X =x) (Y = y) P (X = x) Définition.36 : Indépendance de deux variables aléatoires Deux variables aléatoires réelles X et Y sur (Ω,, P) sont dites indépendantes si : (x, y) X (Ω) Y (Ω) P ((X = x) (Y = y)) = P (X = x) P (Y = y) Exercice 6 Comment observer l indépendance de X et de Y dans une table de probabilités? Dans le cas d indépendance, on peut retrouver la loi conjointe à partir des lois marginales. Proposition.37 Si X et Y sont indépendantes et si f : X (Ω), g : Y (Ω), alors f (X ) et g(y ) sont indépendantes. Ce résultat est admis. Exemple Si X et Y sont indépendantes, alors X 2 et Y 2 le sont également. Revenons maintenant sur le cas des fonctions de deux variables aléatoires et reprenons la notation précédemment introduite Z = g(x, Y ), où X et Y sont deux variables aléatoires discrètes et g : X (Ω) Y (Ω). Supposons de plus qu elles sont indépendantes. On peut alors écrire : Exemple P (Z = z) = (x,y) X (Ω) Y (Ω) g(x, y)=z P ((X = x) (Y = y)) = (x, y) X (Ω) Y (Ω) g(x, y)=z P(X = x) P(Y = y) Une urne contient deux boules B et n boules N. On tire toutes les boules une par une. On note X le rang du tirage de la e boule blanche tirée, Y celui de la 2 ème. Quelle est la loi du couple (X, Y )? la loi de X? la loi de Y? la loi de Y X? Ω est l ensemble des arrangements des n + 2 boules parmi n + 2. X (Ω) =, n + ; Y (Ω) = 2, n

22 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES (X = i) (Y = j) = pour i j, et pour i < j, on a : On peut alors obtenir les lois de X et Y : P((X = i) (Y = j)) = n+2 P (X = i) = P((X = i) (Y = j)) = j=2 i= n+2 j=i+ i= 2 (n + )(n + 2) P((X = i) (Y =)]) = 2 (n + 2 i) (n + )(n + 2) n+ j 2 P (Y = j) = P((X = i) (Y = j)) = P((X = i) (Y = j)) = (j ) (n + )(n + 2) (Y X )(Ω) =, n + ; les (X = i) formant un système complet d événement, on trouve : Exemple, n + P (Y X = ) = 2 (n + 2 ) (n + )(n + 2) Dans le cas d une somme X + Y avec X et Y prenant des valeurs entières et indépendantes, (X + Y )(Ω) P(X + Y = ) = (i, j) 2 i+ j= P(X = i)p(y = j) = P(X = i)p(y = i) i=0 C Espérance, variance et covariance Espérance d une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires Le théorème de transfert se généralise aux variables aléatoires fonction de deux variables aléatoires. Sous certaines conditions de convergence que nous ne préciserons pas ici, si on pose Z = g(x, Y ) et X (Ω) = {x i i I} et Y (Ω) = { y j j J} avec I et J deux parties de, alors : E(Z) = g(x i, y j )P (X = x i ) (Y = y j ) Exemple i I j J On considère une urne contenant n boules numérotées de à n. On tire successivement deux boules avec remise. On note X le numéro de la ère boule, Y le numéro de la 2 nde. Soit Z = max(x, Y ). Quelle est l espérance de Z? X (Ω) = Y (Ω) = Z(Ω) =, n ; X, Y (, n) et sont indépendantes. De plus, E(Z) = i, jn i= max(i, j)p (X = x i ) (Y = y j ) = n 2 = n i max(i, j) + n 2 = n 2 n = 2n 2 i= j= i 2 n(n + ) + 2 n 2 (n + ) + n j=i+ i(i + ) 2 n(n + )(2n + ) 6 max(i, j) = n 2 = 2n 2 n i= j= i= n max(i, j) n i i + j= n j=i+ n n(n + ) + i 2 i i= n(n + ) 2 j (n + )(4n ) = 6n 22

23 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Que se passe-t-il pour un tirage sans remise? On peut déduire la linéarité de l espérance du résultat précédent. Exercice 7 Que vaut en moyenne la somme de deux nombres pris au hasard entre et n? 2 Covariance Théorème / Définition.38 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé (Ω,, P). Si X et Y admettent un moment d ordre 2, alors la variable aléatoire (X E(X ))(Y E(Y )) admet une espérance. On appelle alors covariance de X et Y le réel noté cov(x, Y ) défini par : cov(x, Y ) = E((X E(X ))(Y E(Y )) La covariance de X et Y est l espérance du produit des variables centrées. Théorème.39 : Formule de Kœnig-Huygens Sous les hypothèses précédentes, cov(x, Y ) = E(X Y ) E(X ) E(Y ). Il s agit d un simple calcul. cov(x, Y ) = E((X E(X ))(Y E(Y )) = E (X Y E(X )Y E(Y )X + E(X )E(Y )) = E(X Y ) 2E(X )E(Y ) + E(X )E(Y ) = E(X Y ) E(X )E(Y ) On a cov(x, X ) = V (X ) et E(X Y ) = x i y j P (X = x i ) (Y = y j ). i I j J Exercice 8 Exemple de l urne avec 4 boules, Z = (X, Y ) avec Y = max(x, X 2 ). Que vaut cov(x, Y )? Proposition.40 : Propriétés de la covariance Si X, Y et Z sont trois variables aléatoires admettant un moment d ordre 2 et a, b, c, d, alors : (i) cov(x, X ) = V (X ) ; (ii) cov(x, Y ) = cov(y, X ) ; (iii) cov(ax + by, Z) = acov(x, Z) + bcov(y, Z) ; (iv) cov(ax + b, cy + d) = accov(x, Y ). Proposition.4 Si X et Y sont deux variables alatoires admettant un moment d ordre 2 et a, b, alors : V (ax + by ) = a 2 V (X ) + b 2 V (Y ) + 2abcov(X, Y ) Pour a = b =, V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) + 2cov(X, Y ). 23

24 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES On a tout simplement : V (ax + by ) = cov(ax + by, ax + by ) = acov(x, ax + by ) + bcov(y, ax + by ) = a 2 cov(x, X ) + b 2 cov(y, Y ) + 2abcov(X, Y ) = a 2 V (X ) + b 2 V (Y ) + 2abcov(X, Y ) Théorème.42 Si X et Y sont deux variables alatoires admettant un moment d ordre 2 et indépendantes, alors : (i) E(X Y ) = E(X )E(Y ) ; (ii) cov(x, Y ) = 0 ; (iii) V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ). Montrons seulement la première propriété (dans le cas fini), le reste en découle immédiatement. E(X Y ) = x i y j P (X = x i ) (Y = y j ) n p = x i P (X = x i ) y j P Y = y j in jp n p = x i P (X = x i ) i= j= i= j= y j P Y = y j = E(X ) E(Y ) La réciproque est fausse! Exemple Considérons la variable aléatoire réelle X sur (Ω,, P) telle que : x i P(X = x i ) 6 et posons Y = X 2. On vérifie que cov(x, Y ) = 0 bien que X et X 2 ne sont pas indépendantes Coefficient de corrélation linéaire Rappelons que σ(x ) = V (X ) avec V (X ) = E((X E(X )) 2 ) = E(X 2 ) E(X ) 2. De plus, σ(x ) = 0 si et seulement si la variable X suit une loi certaine. Définition.43 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé (Ω,, P) et admettant un moment d ordre 2. On suppose de plus que leur écart type est non nul. On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y le réel ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) σ(x ) σ(y ). On notera que ρ(x, Y ) est une grandeur sans unité. 24

25 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* Proposition.44 Si X et Y sont deux v.a.r. d écart-types non nuls, alors : (i) ρ(x, Y ) [, ] ; (ii) ρ(x, Y ) = ± si et seulement s il existe a, b tels que Y = ax + b. V (λx + Y ) = λ 2 V (X ) + V (Y ) + 2λcov(X, Y ). C est un trinôme en λ car V (X ) 0. De plus, V (λx + Y ) 0 donc le discriminant est négatif ou nul. Or = 4cov(X, Y ) 2 4V (X )V (Y ) donc : cov(x, Y ) V (X )V (Y ) = σ(x )σ(y ) ce qui donne ρ(x, Y ) Il y a égalité en présence d une racine double ; il existe donc λ tel que V (λx + Y ) = 0, c est-à-dire que λx + Y est une variable certaine. Il existe donc µ tel que λx + Y = µ. D Exemples de sommes de variables aléatoires Le lemme suivant n est pas au programme. Lemme.45 : Formule de Vandermonde On considère trois entiers naturels m, n, p avec p n + m. Alors, p =0 n m = p n + m p Donnons une preuve non combinatoire de ce résultat. Posons pour cela P = (X + ) n et Q = (X + ) m. n + m Le terme de degré p du polynôme PQ = (X + ) n+m a pour expression X p. p En utilisant la formule du produit de deux polynômes, on trouve également : n m X i+j = i j i+ j=p p =0 n m X p p D où l égalité par identification. Théorème.46 : Somme de variables suivant une loi binomiale (i) Si X et Y sont deux variables indépendantes définies sur (Ω,, P) suivant des lois binomiales de paramètres respectifs (n, p) et (n 2, p) alors X +Y suit une loi binomiale de paramètre (n +n 2, p). (ii) Plus généralement, si X,..., X n sont n variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant des lois binomiales de paramètres respectifs (m, p),..., (m n, p) alors X + + X n suit une loi binomiale de paramètre (m + + m n, p). 25

26 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES (i) Supposons donc que X (n, p) et Y (n 2, p) sont deux variables indépendantes. Alors X (Ω) = 0, n, Y (Ω) = 0, n 2. Alors, en posant Z = X + Y, Z(Ω) = 0, n + n 2 et en vertu du résultat précédent : 0, n + n 2 P(Z = ) = = P(X = i)p(y = i) = i=0 n + n 2 p q n +n 2 + i=0 i=0 n n2 i i p q n +n 2 + (Formule de Vandermonde) On a bien Z (n + n 2, p). (ii) On raisonne par récurrence en utilisant l indépendance des variables X + + X n et de X n+. En conséquence, la somme de n variables indépendantes qui suivent une loi de Bernoulli de paramètre p est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre (n, p). Corollaire.47 Si X (n, p) alors E(X ) = np et V (X ) = npq. Théorème.48 : Somme de variables suivant une loi de Poisson Si X et Y sont deux variables indépendantes de (Ω,, P) suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ alors X + Y suit une loi de Poisson de paramètre λ + µ. De manière générale, la somme de n variables indépendantes suivant une loi de Poisson de paramètres respectifs λ,..., λ n est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ λ n. Supposons donc que X (λ) et Y (µ) sont deux variables indépendantes. Alors X (Ω) =, Y (Ω) =. Alors, en posant Z = X + Y, Z(Ω) =. On a de plus : n P(Z = n) = = n P(X = i)p(y = n i) i=0 n e i=0 λ λi i! µn i e µ (n i)! = e (λ+µ) n! n i=0 n λ i µ n i = e (λ+µ) (λ + µ)n i n! V Fonctions génératrices Dans toute cette partie, on considérera une variable aléatoire discrète X définie sur un univers probabilisé (Ω,, P) que l on supposera de plus à valeurs dans. Définition.49 : Fonction génératrice La fonction génératrice de la variable X est définie par : G X : t E t X = P(X = n)t n 26

27 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* On appelle série génératrice la série entière associée. On rappelle que G est définie sur un intervalle de la forme ] R, R[, ] R, R], [ R, R[ ou bien [ R, R] où R est le rayon de convergence de la série entière de coefficients P(X = n). De plus, cette série converge pour t = et on a : G X () = P(X = n) = car la famille ((X = n) n ) forme un système complet d événements. D où le résultat suivant. Proposition.50 Le rayon de convergence de la série entière P(X = n)t n est supérieur ou égal à. n Dans le cas où la variable aléatoire est finie, la fonction génératrice est polynomiale et R = +. Nom Notation G(t ) Bernoulli (p) q + pt Binomiale (n, p) (q + pt) n Uniforme Géométrique (; n) (p) t t n+ n( t) pt qt Poisson (λ) e λ(t ) La fonction G X est de classe sur l intervalle ouvert ] R, R[ et on peut dériver terme à terme la somme de la série. On sait de plus que G X est la somme de sa série de Taylor : n P(X = n) = G(n) X (0) n! La connaissance de G X nous permet donc de retrouver la loi de X. On dit alors que la loi de X est caractérisée par sa série génératrice. C est également le cas de la fonction de répartition de X. Il sera dans certains cas intéressant de passer par la fonction génératrice afin de déterminer la loi de probabilité d une variable donnée. FONCTION GÉNÉRATRICE DES LOIS USUELLES C est notamment le cas pour la somme de deux variables aléatoires indépendantes. Théorème.5 : Fonction génératrice de la somme de deux variables indépendantes Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω,, P) et à valeurs dans. Notons G X et G Y leurs fonctions génératrices de rayon de convergence respectifs R X et R Y. Si X et Y sont indépendantes, la fonction génératrice G X +Y de X + Y est définie sur au moins ] R, R[ avec R min(r X, R Y ) et : t D X D Y G X +Y (t) = E t X +Y = E t X E t Y = G X (t)g Y (t) Par produit de Cauchy, G X (t)g Y (t) = = =0 P(X = n)t n P(Y = n)t n n P(X = )P(Y = n )t n = P(X + Y = n)t n = G X +Y (t) 27

28 CHAPITRE. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exercice 9 Déterminer la fonction génératrice d une loi binomiale et d une loi géométrique. Exercice 20 Retrouver la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson. Théorème.52 : Fonction génératrice et moments Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,, P) et à valeurs dans. (i) La variable aléatoire X admet une espérance E(X ) si et seulement si G X est dérivable en. Si tel est le cas, E(X ) = G X (). (ii) La variable aléatoire X admet une variance si et seulement si G X est deux fois dérivable en. Nous admettrons l équivalence demandée. Supposons que R >. Alors, d après le théorème de dérivation terme à terme de la somme d une série entière, G X est dérivable en et : G X () = n= De plus, en dérivant une nouvelle fois, G np(x = n) = np(x = n) = E(X ) X () = n(n )P(X = n) = E(X (X )) Comme V (X ) = E(X 2 ) E(X ) 2 = E(X (X )) + E(X ) E(X ) 2, V (X ) = G X () + G X ()( G X ()). L expression de la variance en fonction de G X VI Convergence et approximations A Approximation d une loi binomiale () et de G X () n est pas à retenir. Théorème.53 : Approximation d une loi binomiale par une loi de Poisson Si pour tout n, X n (n, p n ) et si lim np n = λ, alors on a : n + λ P(X n = ) e λ n +! Pour tout, n P(X n = ) = p n ( p n) n = = (n i)! i=0 n!!(n )! (np n) ( p n n ) n n (np n) ( p n ) n =! est une constante et p n 0. Ainsi, quand n +, n + i=0 i n et (np n) n + n + λ i=0 i (np n ) ( p n ) n n 28

29 Micaël PROST Lycée Chaptal PT* De plus, comme (n ) ln( p n ) np n, n + ( p n ) n = e (n ) ln( p n) n + e λ λ On a donc bien P(X n = ) e λ n +!. On peut donc approcher numériquement toute loi binomiale de paramètre (n, p) par une loi de Poisson de paramètre np mais la qualité de l approximation dépendra des valeurs de n et p. Dans la pratique, on considère l approximation valable pour n 30 et p 0.. import numpy as np 2 import matplotlib. pyplot as p l t 3 4 p = 0. 5 n = def binom (n, ) : 8 r e t urn np. math. f a c t o r i a l (n) /(np. math. f a c t o r i a l ( ) *np. math. f a c t o r i a l (n ) ) 9 0 def B( ) : return binom (n, ) *p***( p) ** (n ) 2 3 def P( ) : 4 r e t urn np. exp( n*p) * (n*p) **/np. math. f a c t o r i a l ( ) 5 6 for in range (0) : 7 p l t. p l o t ([ 0., 0.], [0, B( ) ], b, l i n e w i d t h = 6) 8 p l t. p l o t ([ +0., +0.], [0, P( ) ], g, l i n e w i d t h = 6) 9 p l t. a x i s ([ 0.2,0.5,0,0.25]) 20 p l t. g r i d ( True ) 2 p l t. x l a b e l ( ) 22 p l t. y l a b e l ( P(X= ) ) 23 p l t. legend ([ l o i binomiale, l o i de Poisson ] ) 24 p l t. show () P(X=) loi binomiale loi de Poisson APPROXIMATION D UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON B Loi faible des grands nombres Lemme.54 : Inégalité de Marov Soit X une variable aléatoire définie sur l espace probabilisé (Ω,, P), à valeurs positives et admettant une espérance. a > 0 P(X a) E(X ) a Soit a > 0. Posons D = {x X (Ω) x a}. E(X ) = x P(X = x) = x X (Ω) x D x P(X = x) + x D x P(X = x) a P(X = x) = ap(x a) x D x D x P(X = x) Proposition.55 : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit X une variable aléatoire définie sur l espace probabilisé (Ω,, P) admettant un moment d ordre 2. ɛ > 0 P ( X E(X ) ɛ) V (X ) ɛ 2 Il suffit d appliquer l inégalité de Marov à la variable aléatoire (X E(X )) 2 qui est positive et qui admet une espérance en prenant a = ɛ 2. 29

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2015/2016 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

Loi d une variable aléatoire réelle

Loi d une variable aléatoire réelle Licence Math et MASS, MATH504 : probabilités et statistiques Loi d une variable aléatoire réelle On introduit la notion de variable aléatoire dans le cas réel ainsi que la notion fondamentale de loi d

Plus en détail

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI Ω est un ensemble fini non vide. On note P(Ω) l ensemble des parties de Ω. Vocabulaire 1. Ω est l univers ou univers des possibles. 2. Toute partie A de Ω est appelée événement.

Plus en détail

Convergence des variables aléatoires

Convergence des variables aléatoires Convergence des variables aléatoires I) L inégalité de Bienaymé Tchebychev 1.1) L inégalité de Markov dans le cas discret On considère une variable discrète non négative, d espérance strictement positive.

Plus en détail

Statistique décisionnelle

Statistique décisionnelle Statistique décisionnelle Eugen Ursu Université Bordeaux IV E.Ursu (Université Bordeaux IV) L2S3 3 octobre 2012 1 / 36 Chapitre 2 : Variables aléatoires réelles 1 Introduction 2 Loi d une variable aléatoire

Plus en détail

1. Donner la loi, l espérance et la variance de X 1.

1. Donner la loi, l espérance et la variance de X 1. Exercice 1 On considère une urne contenant n boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts. Un premier joueur effectue dans l urne des tirages sans remise jusqu à ce qu il obtienne la boule

Plus en détail

n-uplets de variables aléatoires réelles

n-uplets de variables aléatoires réelles n-uplets de variables aléatoires réelles Table des matières 1 Définition d un n-uplet de variables aléatoires réelles. 2 2 Loi d un vecteur aléatoire à valeurs dans n. 2 3 Loi marginale. 2 4 Caractérisation

Plus en détail

Corrigé du Concours Blanc

Corrigé du Concours Blanc Corrigé du Concours Blanc Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x = x + 2 2 ln(e x + et on note (C la courbe représentative de f dans un repère orthonorrnal.. Etude de la fonction f. a.

Plus en détail

Exercice 7 [ ] [Correction] Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer

Exercice 7 [ ] [Correction] Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 20 Enoncés Lois usuelles Exercice [ 04020 ] [Correction] Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes. On suppose que X et Y suivent

Plus en détail

Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions)

Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) 1 Généralités On considère ici le cas particulier des v.a. à valeurs dans l ensemble N des entiers naturels. Ces v.a. interviennent souvent dans les applications.

Plus en détail

Devoir Vacances Commentaires et corrections

Devoir Vacances Commentaires et corrections Devoir Vacances Commentaires et corrections Voici quelques éléments pour vous aider à faire ce devoir et les corrections de quelques erreurs d énoncé : I) Exercice 1 Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Plus en détail

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes STS Variables aléatoires discrètes 2009/200 Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes Table des matières I Variable aléatoire I. Notion de variable aléatoire discrète................................

Plus en détail

Combinatoire et dénombrement

Combinatoire et dénombrement Exercices de probabilités 1 Combinatoire et dénombrement Exercice 1 On considère un polygone convexe à n sommets. 1. Combien de diagonales ce polygone admet-t-il? 2. En combien de points intérieurs au

Plus en détail

Couples aléatoires. 1. Loi d un couple aléatoire Un exemple. Licence MATH et MASS 3 e année. MATH504 : Probabilités et Statistiques

Couples aléatoires. 1. Loi d un couple aléatoire Un exemple. Licence MATH et MASS 3 e année. MATH504 : Probabilités et Statistiques Licence MATH et MASS 3 e année MATH54 : Probabilités et Statistiques Couples aléatoires Au chapitre précédent, nous avons étudié les variables aléatoires réelles c est à dire les variables aléatoires prenant

Plus en détail

Remarque : Dans la suite, on ne traitera que des expériences dont les univers sont finis.

Remarque : Dans la suite, on ne traitera que des expériences dont les univers sont finis. Chapitre 5 Probabilités 5.1 Rappels 5.1.1 Vocabulaire Expérience aléatoire Définition 5.1 Une expérience dont on connaît les issues (les résultats) est appelée expérience aléatoire si on ne peut pas prévoir

Plus en détail

ESPACES PROBABILISES FINIS

ESPACES PROBABILISES FINIS Lycée de l Essouriau Année 2013-2014 PCSI ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1 Langage ensembliste. Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d un panier de basket.

Plus en détail

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme.

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme. Séries numériques I) Définitions - Notions essentielles.) Séries numériques Définition Soit une suite numérique. On appelle série de terme général la suite dont les termes successifs sont : ₀ ₀ ₁ ₀ ₁ ₂

Plus en détail

Les séries numériques

Les séries numériques Les séries numériques Généralités. Séries à termes réels ou complexes.. Notion de série numérique Étant donnée une suite (u n ) n n0 de nombres réels ou complexes, on appelle série des u n et on note u

Plus en détail

0» u k» 1 et u k» u k+1 :

0» u k» 1 et u k» u k+1 : ESSEC CONCOURS D ADMISSION DE 1998 Option économique Mathématiques II Lundi 27 avril 1998 de 8h à 12h La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualitédelarédaction, la clartéetlaprécision des

Plus en détail

Chapitre 14 : Variables aléatoires finies

Chapitre 14 : Variables aléatoires finies Chapitre 14 : Variables aléatoires finies Dans tout ce chapitre, (Ω, P(Ω)) est un espace probabilisable fini. 1 Motivation Prenons un exemple : on considère l expérience aléatoire obtenue par le jet de

Plus en détail

Chapitre III : Probabilités discrètes

Chapitre III : Probabilités discrètes Chapitre III : Probabilités discrètes Extrait du programme : I. Rappels a. Définitions Prop 1 : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Prop 2 Si A est l événement certain, p(a) = 1. Si A est

Plus en détail

Correction Ecricome 2007 Voie technologique

Correction Ecricome 2007 Voie technologique ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page Correction Ecricome 27 Voie technologique La correction comporte pages. Exercice. Etude d une fonction g auxiliaire. _ (a) Soit P la fonction polynomiale

Plus en détail

Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance. E. Dostal

Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance. E. Dostal Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance E. Dostal aout 2013 Table des matières 6 Probabilités : conditionnement et indépendance 2 6.1 Généralités............................................

Plus en détail

TD-COURS

TD-COURS 19-1- 2012 J.F.C. Td-Var p. 1 TD-COURS 8 2011-2012 RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS SUR LES PROBABILITÉS ET LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. Ensemble dénombrable. Tribu, tribu engendrée, espace probabilisable

Plus en détail

TD 5 : Espérance conditionnelle Corrigé

TD 5 : Espérance conditionnelle Corrigé Processus aléatoires ENS Paris, 26-27 Thomas Budzinski Bureau V2 thomas.budzinski@ens.fr TD 5 : Espérance conditionnelle Corrigé Lundi 7 Octobre Exercice (Petits contre-exemples) Soient X et Y deux variables

Plus en détail

Correction du TD n o 2 Partie commune

Correction du TD n o 2 Partie commune Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 00/0 L MI Statistique TD de Statistique Correction du TD n o Partie commune Exercice :. N est une variable aléatoire dénombrable tel que N(Ω) N et

Plus en détail

CHAÎNES DE MARKOV. Master MIMSE Bordeaux

CHAÎNES DE MARKOV. Master MIMSE Bordeaux CHAÎNES DE MARKOV MICHEL BONNEFONT Master MIMSE Bordeaux Dans tout ce cours on se placera sur un espace d états E fini ou dénombrable. Dans ce chapitre, on va s intéresser à l étude de phénomènes aléatoires

Plus en détail

PSI Sujet de révisions n o 1 Solution Exercice On a χ A (X) =

PSI Sujet de révisions n o 1 Solution Exercice On a χ A (X) = PSI Sujet de révisions n o Solution 5-6 Exercice. On a χ A (X) = X 4 y X x = X(X x) + 4 y = X xx + 4 y; le discriminant associé est = 4(x + y 4). Si >, A possède deux valeurs propres distinctes et est

Plus en détail

Probabilités. Exemple d application 1 : On effectue un lancé de dé à six faces, numérotées de 1 à 6. On définie les quatre événements suivants :

Probabilités. Exemple d application 1 : On effectue un lancé de dé à six faces, numérotées de 1 à 6. On définie les quatre événements suivants : I- Définitions et propriétés Probabilités Exemple d application 1 : On effectue un lancé de dé à six faces, numérotées de 1 à 6. On définie les quatre événements suivants : E 1 : Avoir un chiffre pair

Plus en détail

CAPES session 2015 Épreuve 2. Problème n o 1

CAPES session 2015 Épreuve 2. Problème n o 1 CAPES session 2015 Épreuve 2 Problème n o 1 A. P. M. E. P. Problème n o 1 Notations On note N l ensemble des entiers naturels, N l ensemble des entiers naturels non nuls et Z l ensemble des entiers relatifs.

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

SUITES - RECURRENCE - SOMMES

SUITES - RECURRENCE - SOMMES SUITES - RECURRENCE - SOMMES Chapitre 1 I Généralités sur les suites Définition I.1 Une suite réelle est une fonction d une partie A de N dans R. u : A R n u(n) := u n l intervalle de définition peut donc

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Probabilités

Exercices supplémentaires : Probabilités Exercices supplémentaires : Probabilités Partie A : Probabilités simples et variables aléatoires On lance trois dés : un rouge, un bleu et un vert. On écrit un nombre de trois chiffres : le chiffre des

Plus en détail

TD2. Probabilité sur un ensemble dénombrable.

TD2. Probabilité sur un ensemble dénombrable. Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémentaires Année 2014 15 TD2 Probabilité sur un ensemble dénombrable 1 a Soit (Ω, F, P) un espace de probabilités Soit

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

SERIE 1 Statistique descriptive.

SERIE 1 Statistique descriptive. Université Abdelmalek Essaadi. Ecole Nationale des Sciences Appliquées - Tétouan - Cycle Ingénieur. S1. Module Proba-Stat. A/U: 2011-2012. M. CHERKAOUI 0 - Statistique descriptive. Contenu du module. -

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

Rappels sur les intégrales multiples

Rappels sur les intégrales multiples [L2 Stat 28/9 - Massimiliano Gubinelli, Fadoua Balabdaoui-Mohr - poly n. (r.2] appels sur les intégrales multiples Théorème. [Fubini-Tonelli, cas n2] Soit f: 2 une fonction positive, alors f(, yddy 2 (

Plus en détail

Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités

Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard. Les mathématiques interviennent pour apporter un modèle qui comporte un univers

Plus en détail

Statistique et Informatique (LI323) Cours 4

Statistique et Informatique (LI323) Cours 4 Statistique et Informatique (LI323) Cours 4 Nicolas Baskiotis nicolas.baskiotis@lip6.fr Université Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire d Informatique de Paris 6 (LIP6) auteurs: N. Baskiotis, M.R.

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X.

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X. Ch 07 Probabilités I VARIABLE ALEATOIRE ET LOI DE PROBABILITE I.1 - d une variable aléatoire On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans IR. L ensemble des valeurs prises par X,

Plus en détail

Espaces probabilisés

Espaces probabilisés Espaces probabilisés Dans ce chapitre vous retrouverez tous les résultats vus en première année sur les espaces probabilisés. Aucune démonstration ne sera faite ici, vous pouvez retrouver les démonstrations

Plus en détail

Cahier de texte mathématiques PC

Cahier de texte mathématiques PC Cahier de texte mathématiques PC Pelletier Sylvain PC, Lycée Descartes Jeudi 1 septembre Prise de contact avec la classe. Présentation de l enseignement des mathématiques et de l informatique en classe

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Les suites numériques chapitre 4 I Premier regard Définition : suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels, numérotés généralement par des indices, entiers naturels consécutifs 0,

Plus en détail

C = + B = + A i, i=5

C = + B = + A i, i=5 EXERIE 1 : On lance une pièce une infinité de fois. Pour n 1, on note i l événement le «i-ème lancer amène Pile.» 1. Décrire par une phrase les événements suivants : B = + i, i=5 = + i i=5 2. Écrire à

Plus en détail

Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires

Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires PROGRAMME DE MATHEMATIQUES CONCOURS B ENV 1. ANALYSE Le programme d analyse

Plus en détail

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005 DENOMBRABILITE P. Pansu 14 mai 2005 1 Motivation Il y a t il plus de réels dans ]1, + [ ou dans l intervalle ]0, 1[? Oui, bien sûr. Des droites passant par l origine dans le plan, il y en a-t-il autant

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES 29-3- 2011 J.F.C. Fnpv p. 1 TD 25 2010-2011 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES Lundi 28 mars 2010 Exercice 1 ECRICOME 99 n est un élément de N. (x, y) R 2, f n (x, y) = (x n y) e x y. On se propose

Plus en détail

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc DS commun Correction Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 0, I= 0 1 0, J= 1 0 0 3 1 0 0 1 3 1 0 a) Montrer qu il existe deux réels et tels que : A=aI+bJ 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Plus en détail

Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale

Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 9:0 Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale Table des matières Loi de probabilité. Conditions préalables............................ Définitions..................................

Plus en détail

Exercices pour le cours PS1

Exercices pour le cours PS1 Exercices pour le cours PS1 1. ENSEMBLES ET DÉNOMBREMENTS Exercice 1.1. Dans l ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, on considère les trois sous-ensembles Déterminer les sous-ensembles suivants A (B C) et (A

Plus en détail

Question de cours Donner la formule du crible donnant la probabilité de la réunion de trois ensembles A, B et C.

Question de cours Donner la formule du crible donnant la probabilité de la réunion de trois ensembles A, B et C. Les calculatrices sont interdites dans toutes les épreuves de mathématiques. Rédigez sur des copies doubles, laissez une marge importante pour les annotations. Changez de page à chaque exercice, et numérotez

Plus en détail

1 Théorème de convergence monotone

1 Théorème de convergence monotone Université Denis Diderot Paris 7 Compléments du cours de Probabilités 1 Théorème de convergence monotone Théorème 1.1. de Convergence Monotone (TCM) : Soit (X n, n 0) une suite croissante de v.a.r. positives,

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES Chapitre 3 VARIABLES ALEATOIRES A DEFINITION ET CARACTERISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Première approche Soit une épreuve dont les résultats possibles sont des valeurs numériques ; un exemple immédiat

Plus en détail

démonstrations exigibles au baccalauréat

démonstrations exigibles au baccalauréat démonstrations exigibles au baccalauréat fonction exponentielle (1/2) propriété : Il existe une unique fonction dérivable sur telle que ' = et (0) = 1 1 L'existence de la fonction est admise conformément

Plus en détail

x y z = 0 que l on paramètre par y pour avoir (?, 1,?) dans le générateur

x y z = 0 que l on paramètre par y pour avoir (?, 1,?) dans le générateur Corrigé EDHEC 26 Eco par Pierre Veuillez Exercice Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique B de R 3 est : A 2 7 4 3 2 8 6 On note I la matrice unité de M 3 (R) et on pose u

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail

Rappels: variables aléatoires discrètes

Rappels: variables aléatoires discrètes Rappels: variables aléatoires discrètes Samy Tindel Université de Lorraine L2 SVE - CMI Samy T. (IECL) V.a discrètes L2 SVE - CMI 1 / 39 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments

Plus en détail

Annexe précisant l article 7. Concours Ensai, spécialité «économie et gestion». Programme de l oral de mathématiques spécifique Ensai

Annexe précisant l article 7. Concours Ensai, spécialité «économie et gestion». Programme de l oral de mathématiques spécifique Ensai Annexe précisant l article 7 Concours Ensai, spécialité «économie et gestion». Programme de l oral de mathématiques spécifique Ensai 1. Nombres complexes Le plan complexe : affixe d un point ; parties

Plus en détail

Université de Franche-Comté - IREM. Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013

Université de Franche-Comté - IREM. Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013 Université de Franche-Comté - IREM Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013 1 L expérience de la pièce de Buffon Illustrons cette démarche

Plus en détail

TD n 6 : Probabilités discrètes

TD n 6 : Probabilités discrètes TD n 6 : Probabilités discrètes Exercice 1 On désigne par un entier naturel non nul. On lance fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité (avec 0 1 et "face" avec la probabilité 1. On

Plus en détail

On appelle variable aléatoire réelle discrète finie, en abrégé VARD finie, toute application

On appelle variable aléatoire réelle discrète finie, en abrégé VARD finie, toute application Chapitre 7 Variables aléatoires discrètes On considère une expérience aléatoire modélisée par un triplet (Ω,F,P). 7. Variables aléatoires discrètes 7.. Définitions 7... Variables aléatoires discrètes finies

Plus en détail

1 Loi Uniforme. 2 Loi de Bernouilli. Mathématiques TD 3. Lois discrètes. Exercice 1)

1 Loi Uniforme. 2 Loi de Bernouilli. Mathématiques TD 3. Lois discrètes. Exercice 1) Université de Nice Sophia Antipolis Licence 3 et Master 1 Miage Mathématiques 2015 2016 TD 3 Lois discrètes 1 Loi Uniforme Exercice 1) 1. On jette une pièce équilibrée. On appelle X la variable aléatoire

Plus en détail

Cours de probabilités pour les professeurs stagiaires

Cours de probabilités pour les professeurs stagiaires Centre Régional des Métiers de l Education et de la Formation, Derb Ghalef, Casablanca, Maroc Filière : Secondaire qualifiant Specialité : Mathématiques Cours de probabilités pour les professeurs stagiaires

Plus en détail

M1-Math.-Ens. UE7 : Probabilités-Statistiques

M1-Math.-Ens. UE7 : Probabilités-Statistiques UNSA-USTV-IUFM M1-Math.-Ens. UE7 : Probabilités-Statistiques Examen du 7 juin 2012 Durée : 3 h Calculatrices autorisées ; documents et tout autre matériel électronique interdits. Ne pas hésiter à traiter

Plus en détail

Eléments de probabilités

Eléments de probabilités .. Eléments de probabilités Michaël Genin Université de Lille 2 EA 2694 - Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins michael.genin@univ-lille2.fr Plan. 1 Introduction. 2 Expérience aléatoire.

Plus en détail

Exercices pour le cours PS1

Exercices pour le cours PS1 Exercices pour le cours PS1 1. ENSEMBLES ET DÉNOMBREMENTS Exercice 1.1. Dans l ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, on considère les trois sous-ensembles Déterminer les sous-ensembles suivants A (B C) (A B)

Plus en détail

1 Probabilités-Rappel

1 Probabilités-Rappel Chapitre Probabilités sur un ensemble fini-variable aléatoire 1 Probabilités-Rappel On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le nombre figurant sur la face supérieure du dé.

Plus en détail

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES CONCOURS D ADMISSION SESSION 205 FILIÈRE BCPST COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et de l ENPC

Plus en détail

Cours de terminale S Probabilités : lois à densité

Cours de terminale S Probabilités : lois à densité Cours de terminale S Probabilités : lois à densité V. B. et S. B. Lycée des EK Considérons une variable aléatoire susceptible de prendre n importe quelle valeur réelle appartenant à un intervalle donné.

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Chapitre 9 Variables aléatoires réelles Connaître les définitions, et savoir les utiliser, en particulier les notions de variables aléatoires, univers images, loi de probabilité, système complet d événements

Plus en détail

Corrigé du Devoir Surveillé n 7

Corrigé du Devoir Surveillé n 7 Corrigé du Devoir Surveillé n 7 Exercice : Série harmonique incomplète Série harmonique On considère la série harmonique n. On note pour tout entier n N n T n = n k= k = + 2 + 3 + +. Soit n N, alors T

Plus en détail

Probabilités et variables aléatoires

Probabilités et variables aléatoires Résumé Ce chapitre introduit les concepts essentielles des modèles probabilistes afin d aborder l inférence statistique : définition d un événement aléatoire, des probabilités discrètes ou continues, des

Plus en détail

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités Sujet Asie 203 EXERCICE. [5 pts] Probabilités Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Une grossiste achète des boîtes de thé chez deux fournisseurs. Il achète 80% de

Plus en détail

Généralités sur les nombres de Stirling

Généralités sur les nombres de Stirling Corrigé 206 Centrale TSI Math I /3 I Généralités sur les nombres de Stirling I.A. Premières propriétés des nombres de Stirling I.A.. a) La seule décomposition de 3 en somme de deux entiers non nuls est

Plus en détail

Devoir à la maison n 11

Devoir à la maison n 11 Devoir à la maison n 11 Exercice 1 Soit la fonction définie sur R par : Déterminer les trois premières fonctions dérivées :,,., 4, 8 1 On définit les fonctions réelles ₀,₁,₂,₃ par les relations : ₀1, ₁,

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels 1 Normes sur un espace vectoriel Espaces de Banach Définition 1.1. (Norme) Soit V un R-espace vectoriel (abrégé R-ev dans la suite). Une norme est une application définie sur V à valeurs dans R +, notée

Plus en détail

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrer une intégrale Exercice 2 : donner un encadrement

Plus en détail

Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47 Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions

Plus en détail

Ch. 5 : Echantillonnage, estimation

Ch. 5 : Echantillonnage, estimation U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 2008-2009 Ch. 5 : Echantillonnage, estimation 1 Echantillonnage et suites de variables aléatoires. Un échantillon de taille n est une partie de n éléments

Plus en détail

CHAPITRE 8 : Probabilités (1)

CHAPITRE 8 : Probabilités (1) CHAPITRE 8 : Probabilités (1) I. Généralités (rappels) 1. Vocabulaire Définitions : On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat dépend du hasard. L'ensemble des résultats (ou issues)

Plus en détail

Séries numériques. Marcotte Sébastien 1

Séries numériques. Marcotte Sébastien 1 Programme de colle : semaines 1/2 Séries numériques I. Généralités 1) Dénitions Somme partielle d'une série, convergence, divergence. Divergence grossière. Reste d'une série convergente, limite du reste.

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

N K, n 0 < n 1 < n 2 <

N K, n 0 < n 1 < n 2 < Chapitre 1 Suites réelles et complexes Dans ce chapitre, K désigne le corps R des nombres réels, ou le corps C des nombres complexes. Pour x K, nous noterons x le module de x (égal à la valeur absolue

Plus en détail

Informatique et aléatoire

Informatique et aléatoire Massih-Reza Amini Université Joseph Fourier (UJF) Laboratoire d Informatique de Grenoble (LIG) 2/20 A quoi nous servent les statistiques? Statistique d après E. Universalis Le mot statistique désinge à

Plus en détail

Probabilités. I Rappels sur les variables aléatoires discrètes. Définition 2

Probabilités. I Rappels sur les variables aléatoires discrètes. Définition 2 Probabilités I Rappels sur les variables aléatoires discrètes Définition Définition On considère E l ensemble des résultats possibles d une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire discrète

Plus en détail

TD 2 - Espaces probabilisés - probabilités - probabilités conditionnelles

TD 2 - Espaces probabilisés - probabilités - probabilités conditionnelles Université de Toulon M1 MEEF Mathématiques Le cours TD 2 - Espaces probabilisés - probabilités - probabilités conditionnelles Expériences aléatoires. Univers. Issues. Probabilité : Cas discret. Une expérience

Plus en détail

Mathématiques pour la finance

Mathématiques pour la finance Objectif du cours: Maîtriser les outils mathématiques nécessaires à la compréhension des modèles de mathématiques financières en temps discret Savoir actualiser et valoriser une obligation ; mesurer le

Plus en détail

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1.

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1. Chapitre III Séries III.a. Introduction Définition 31 (série) Soit (u n ) une suite de N dans un K-espace vectoriel normé E. La somme partielle S n = u 0 + u 1 + u 2 + + u n (1) définit une nouvelle suite,

Plus en détail

CCP Filière MP Corrigé de l épreuve Mathématiques I Nicolas Basbois & Damien Broizat Institut Stanislas, Cannes - Lycée Jules Ferry

CCP Filière MP Corrigé de l épreuve Mathématiques I Nicolas Basbois & Damien Broizat Institut Stanislas, Cannes - Lycée Jules Ferry CCP 6 - Filière MP Corrigé de l épreuve Mathématiques I EXERCICE I I Supposons que l équation différentielle E possède une solution développable en série entière sur ] r; r[ avec r >, notée y : n= a n

Plus en détail

Travaux Dirigés 1 Introduction aux probabilités

Travaux Dirigés 1 Introduction aux probabilités Université Pierre et Marie Curie LM231 Année 2010-2011 Semestre 2 Travaux Dirigés 1 Introduction aux probabilités Dans la suite, pour tout entier naturel n, nous notons N n = {0,...,n} et N n = N n \{0}

Plus en détail

EXERCICE 1. I. Recherche des valeurs propres de f a. Corrigé ECRICOME Eco 2010 par Pierre veuillez

EXERCICE 1. I. Recherche des valeurs propres de f a. Corrigé ECRICOME Eco 2010 par Pierre veuillez Corrigé ECRICOME Eco 00 par Pierre veuillez EXERCICE. Soit E un espace vectoriel et B e, e, e 3 ) une base de E. Pour tout réel a, on considère l endomorphisme f a de l espace vectoriel E dont la matrice

Plus en détail

EXERCICE I. Corrigé HEC maths III Eco 1998 par Pierre Veuillez

EXERCICE I. Corrigé HEC maths III Eco 1998 par Pierre Veuillez Corrigé HEC maths III Eco 998 par Pierre Veuillez EXERCICE I. a) Soit µ un paramètre réel. On observe les transformations souhaitées : µx + x 0 L L µx + x 0 3x i. () + µx + x 3 0 L µl L 3 x () 3 + µx 0

Plus en détail

Jour n 1. Exercice 1.1. Exercice 1.2

Jour n 1. Exercice 1.1. Exercice 1.2 Jour n 1 Exercice 1.1 Soit un entier naturel non nul. Un jardinier plante bulbes de tulipes dans son jardin. Chaque bulbe a une probabilité de donner une fleur. Lorsqu une tulipe fleurit une année, elle

Plus en détail

Chapitre 02 : Séries numériques

Chapitre 02 : Séries numériques Chapitre 02 : Séries numériques Introduction : La théorie des séries à pour but de donner si possible un sens à la somme d une infinité de nombres. Supposons que l on dispose d un gâteau et d un couteau

Plus en détail