Loi d une variable discrète. Enoncés

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1 Loi d ue vaiable discète Loi d ue vaiable discète Eocés Execice Soit u etie atuel supéieu ou égal à. O dispose d ue ue coteat boules, dot - boules ouges et ue boule vete. U idividu effectue ue suite de tiages d ue boule au hasad pami les jusqu à ce qu il tie la boule vete. ) Détemie la loi, l espéace et la vaiace de la vaiable aléatoie X égale au ombe de tiages effectués si ceux-ci sot effectués sas emise. ) Détemie la loi et l espéace de la vaiable aléatoie Y égale au ombe de tiages effectués si ceux-ci sot effectués avec emise. Execice Ue ue cotiet des boules blaches et des boules oies, dot ue popotio p (p ]0, [) de blaches et ue popotio q (q=-p) de oies. O effectue ue suite de tiages avec emise das cette ue et l o cosidèe la vaiable aléatoie X égale au ombe de tiages écessaies à l obtetio de deux boules de même couleu cosécutivemet. ) Calcule p(x=) et p(x=3). ) Détemie, pou tout etie!,!, p(x=) (o distiguea les cas suivat la paité de ). 3) Véifie que : Que peut-o e coclue? p (X = ) = = 4) Mote que X admet ue espéace que l o détemiea. Execice 3 Soit u etie atuel o ul. O cosidèe ue pièce de moaie avec laquelle la pobabilité d obtei pile est p(p ]0, [) et la pobabilité d obtei face est q=-p. O lace successivemet cette pièce jusqu à obtei pile pou la ème fois. Soit alos X le ombe de laces écessaies à l obtetio du ème pile. ) Détemie la loi de X, e pécisat que pou tout etie, p(x=+). Page Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

2 Loi d ue vaiable discète ) Soit (s ()) N la suite défiie pa : N,s ()= C q + = 0 O admet que : lim s () = s = ) + ( q Calcule l espéace et la vaiace de X. 3) Soit maiteat Y le ombe de fois où l o a obteu face avat d obtei le ème pile. Détemie la loi de Y, so espéace et sa vaiace. Page Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

3 Loi d ue vaiable discète CORRECTION Execice ) Les tiages état effectués sas emise, il faut au miimum u tiage et au maximum tiages (toutes les valeus itemédiaies état possibles) pou obtei la boule vete. O a doc : X(Ω)=!, ". De plus, pou tout!, ", l évéemet [X=] est éalisé si et seulemet si la boule vete est tiée los du ème tiage. Cosidéos alos que le joueu tie toutes les boules de l ue successivemet. Il y a! suites de tiages possibles. De plus, pou tout!, ", il y a égalemet (-)! suites de tiages possibles tels que la boule vete soit tiée los du ème tiage. Comme les! suites de tiages possibles sot équipobables, o e déduit alos : ( )!!, ", p( X = ) = =.! O peut maiteat coclue : X U + Ω = = = = (!, " ), ie.. : X ( )!, ",!, ", p( X ) et E( X) ) Les tiages état effectués avec emise, Y epésete le temps d attete du pemie succès los de la éalisatio d essais idépedats (tete d obtei la boule vete) d ue expéiece à deux issues possibles (tie ou e pas tie la boule vete) dot la pobabilité d u succès (obtei la boule vete) est. O peut alos coclue : i.e. : Y ( Ω) =N, N, p(y Y G = ) = et E(Y) = Execice )! Pou tout i N, otos B i l évéemet «obtei ue boule blache au i ème tiage» et N i l évéemet «obtei ue boule oie au i ème tiage». Pou que l évéemet [X=] soit éalisé, il faut et il suffit de tie deux boules de même couleu los des deux pemies tiages. O a doc : [ X ] = ( B B ) ( N ) = N d où : Page 3 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

4 Loi d ue vaiable discète [ ] (( ) ( )) p X = = p B B N N soit, les évèemets (B B ) et (N N ) état icompatibles : ( B B ) + p ( N ) = p N et doc, B et B (esp. N et N ) état idépedats (les tiages s effectuat avec emise) : = p ( B ) p ( B ) + p ( N ) p ( ) et doc comme : i N, ( B ) p N i N, p( N i ) = q : ( X = ) = p q p + p i = et! De même, pou que l évéemet [X=3] soit éalisé il faut et il suffit que le toisième tiage doe la pemièe suite de deux boules blaches ou de deux boules oies cosécutives. O a doc : [ X 3] = ( N B B3 ) ( B N N3 ) p X = 3 = p ( N B B ) ( B N N ) = d où : ( 3 3 ) soit, les évèemets (N B B 3 ) et (B N N 3 ) état icompatibles : ( N B B ) + p( B N ) = p 3 N3 et doc, N, B et B 3 (esp. B, N et N 3 ) état mutuellemet idépedats: ( N ) p ( B ) p ( B ) p ( B ) p ( N ) p ( ) = p 3 + N3 d où : = qp + pq et doc, comme p+q= : =pq. p X = 3 = ( ) pq ) De même, pou tout!,!, pou que l évéemet [X=] soit éalisé, il faut et il suffit que le ème tiage doe la pemièe suite de deux boules de même couleu cosécutives. O peut doc écie : " Si est impai (=+, N). Das ce cas, ue boule oie et ue boule blache ot été tiées successivemet au cous des - pemies tiages et deux boules de même couleu aux deux deies tiages. o peut doc écie : [ X = + ] = ( ) ( ) B i Ni N + Ni Bi B + soit ces deux évéemets état icompatibles : [ p ( X = + ) ] = p ( ) + ( ) B i Ni N + p Ni Bi B + d où, les (B i ) #i#+ et les (N i ) #i#+ état mutuellemet idépedats : Page 4 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

5 Loi d ue vaiable discète p N+ ( p Bi p Ni ) + p ( B+ ) ( p ( Ni ) p ( Bi) ) soit ecoe : q d où, comme p+q= : = ( ) ( ) ( ) = ( pq) + p ( pq) =(pq). " Si est pai (=,!,!). Das ce cas, ue boule blache et ue boule oie ot été tiées successivemet au cous des - pemies tiages et deux boules de même couleu los des deux deies tiages. O peut doc écie : [ X = ] = ( ) ( ) B i Ni B B Ni Bi NK N soit ces deux évèemets état icompatibles : p(x ) = p = ( B ) + ( ) i Ni B B p Ni Bi N N d où, les (B i ) #i# et les (N i ) #i# état mutuellemet idépedats : = p ( B ) p ( B ) ( p ( B ) p ( N ) + p ( N ) p ( N ) ( p ( N ) p ( ) i i i Bi p d où: = ( p( p ) + q ( p( p ) soit ecoe : =(p²+q²)(pq) -. O peut alos coclue, le cas = ejoigat le cas gééal : p p N, ( X = ) = ( p + q )( pq) ( X = + ) = ( pq). 3)! " O a : pécédets : + N, ( X = ) = p( X = ) + p( X = + ) = = p doc d apès les ésultats = p soit ecoe : = = = ( ² + q² )( pq) + ( pq) Page 5 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

6 Loi d ue vaiable discète p = et doc, e ecoaissat la somme des pemies temes d ue suite géométique de aiso pq : = ( ² + q² + pq) ( pq) = ( p² q² + pq) ( pq) + doc comme : p²+q²-pq=-pq : pq = -(pq). Aisi, e faisat tede ves, comme lim ( pq) = 0 + p( X ) = covege doc ves. = Ν " De plus, o a : (ca pq ]0,[), la suite + N, p ( X = ) = p ( X = ) p ( X = + ) = = = ( pq). doc d apès les ésultats pécédets : Aisi e faisat tede ves, comme lim ( pq) = 0 p( X ) = covege doc ves. = Ν Les suites p( X = ) et p ( X = ) = Ν + = peut fialemet écie que la suite p( X = ) O peut doc coclue : Ν covege ves. = (ca pq ]0,[), la suite covegeat toutes deux ves, o = ( = ) = p X! Comme p( X = ) = p ( X = ) =, o peut alos coclue : = = X est bie ue vaiable aléatoie et l évéemet «obtei cosécutivemet deux boules de même couleu» est u évéemet quasi-cetai. Page 6 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

7 Loi d ue vaiable discète 4) # D apès les ésultats pécédets, o peut écie : + ( ) ( ) ( ) ( ) %, p X = = p X = + + p X = + doc d apès les ésultats = = = i.e. : = = = = ( p² + q² )( pq) + ( pq) + ( pq) = ( p² + q² + pq) ( pq) + pq ( pq) = = pécédets : Les séies de temes gééaux espectifs (pq) - et (pq) - état covegetes (ca pq <), de sommes espectives et, o peut alos écie, e faisat tede ( pq)² pq + ves das l égalité pécédete, que la suite p ( X = ) p² + q² + pq pq +. pq ² O o a : p² + q² + pq pq + pq ² pq ( ) pq p² + q² + pq + pq p²q² = ( ) ( pq)² ( p + q ) ² pq + = % soit ecoe : p²q² = et doc, comme p+q= ( pq)² pq p²q² =. pq ² ( ) Aisi, la suite p ( X = ) = % pq p²q² covege ves. pq ² ( ) covege ves " De plus, o a : + ( ) ( ) ( ) ( ) %, p X = = p X = + p X = + soit d apès les ésultats = = + ( ) ( ) ( )( ) %, p X = = p X = + pq = = O, comme pq ]0,[, o a : lim ( pq) = 0 et lim ( pq) = 0 das l égalité pécédete, o peut alos écie que la suite p ( X = ) pq p²q². pq ² ( ) pécédets :. E faisat tede ves = % covege ves Page 7 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

8 Loi d ue vaiable discète Les suites p ( X = ) pq p²q², pq ² ( ) ( ) = % + et p ( X = ) = % o peut fialemet écie que la suite p( X = ) pq p²q². O peut alos coclue : pq ² X admet ue espéace, et celle-ci vaut : pq p²q² E( X) = ( pq)² covegeat toutes deux ves covege ves = Execice 3 ) X état le ombe de laces écessaies à l obtetio du ème pile, o a claiemet : X(Ω) =!,!. De plus, pou tout N, l évéemet [X=+] est éalisé si et seulemet si le ème pile est obteu au (+) ème lace. O, pou tout N, pou détemie ue séie de laces de la pièce telle que le ème pile soit obteu au (+) ème lace, il faut et il suffit de : - choisi les - laces, pami les +- pemies laces, au cous desquels o obtiet les - pemies pile ( C possibilités), + - obtei pile à ces - laces et face à chacu des laces estats pami les +- pemies laces, (évéemet de pobabilité p - q, les laces état idépedats), - obtei pile au (+) ème lace (évéemet de pobabilité p). =, d où la coclusio : + O e déduit alos : N, p( X + ) = C p q. p X ( ), et ( = + ) = C p q p X Ω =!! N, + ) O a : N, ( ) + C = C. Comme la suite (s + + ()) N est covegete de limite s, o peut écie que la séie de teme gééal X admet ue espéace et que cette espéace vaut : = C + q covege de somme s. O e déduit alos que E( X) = p ( X = ) soit e effectuat le chagemet de vaiable =- : ( + ) p ( X = ) = + soit ecoe, d apès les ésultats pécédets : =0 Page 8 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

9 Loi d ue vaiable discète ( ) = + C p q et comme N,(+) C = C : = 0 = p C q et e ecoaissat la somme s + de la séie de teme = 0 gééal C q + : =p s soit efi, comme s = = : + + q p ( X) E = p ( ) +! O a : N, ( )( ) ( ) C C. Comme la suite (s (+)) N est + = covegete de limite s +, la séie de teme gééal C + q covege de somme s O e déduit alos que X(X+) admet ue espéace et que cette espéace vaut : E ( X ( X + ) = ( + ) p ( X = ) soit e effectuat le chagemet de vaiable =- : = ( + )( + ) = + = 0 C p q + + et comme N, ( )( ) ( ) C = + C : = ( + ) p C q et e ecoaissat la somme s de la séie de teme = 0 gééal C + q : + + =(+)p s + soit efi, comme s + = = : ( + ) = p². + + ( q) p O peut maiteat écie que X admet ue vaiace et que cette vaiace vaut : V(X)=E(X²)-E(X)² soit : =E(X(X+))-E(X)-E(X)² et doc, d apès les ésultats pécédets : + ² ( ) = p² p p² p = p² i.e. : et doc : V q ( X) = p Page 9 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07

10 Loi d ue vaiable discète 3) Comme X est le ombe de laces écessaies à l obtetio du ème pile et Y le ombe de fois où l o a obteu face avat d avoi pou la ème fois pile, o a : Y+=X, i.e. : Y=X-. O e déduit alos : Y(Ω)=N et N, p(y=)= C + p q! Comme Y=X-, o peut égalemet écie : q E = = = (pa liéaité de l espéace), et : p p % ( Y) E( X) q V = = d où la coclusio : p² % ( Y) V( X ) = V( X) q E ( Y) = et V( Y) = p q p² Page 0 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisatio, la epoductio aisi que toute utilisatio des œuves aute que la cosultatio idividuelle et pivée sot itedites. Fichie gééé pou Visiteu (), le 03/03/07