Variables aléatoires (Corrigé des indispensables).

Transcription

1 Variabls aléaoirs Corrigé ds idissabls Loi d u variabl aléaoir sérac variac oos G l évém : «6 sor au ièm lacr» Alors : * G G G O a ar aillurs : Ω {56} uisqu ls lacrs so idédas o a doc : G G sui bi la loi géomériqu G 6 G G G G éa à valurs das { } s égalm à valurs das { } D lus : {S } doc : { } Aurm di sui la loi biomial B a oos ou d abord qu l uivrs «aurl» d c xéric s { } smbl ds couls d irs r corrsoda aux facs suériurs ds dés rdus discrabls D lus la variabl aléaoir S vérifi : SΩ { } L évém S i our : i corrsod aux couls do la somm ds éléms fai i aurm di aux couls i avc : : i soi : i Il y a doc i ls couls la robabilié uilisé das c modélisaio éa uiform o i dédui qu : S i b D mêm our : i l évém S i corrsod aux couls i avc : Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - - : i soi : i i Il y a : i i ls couls : S i c ar réuio disoi ou évéms icomaibls : U S S : S S i i oos : * B l évém : «la ièm boul iré s Blach» O o our commcr qu : Ω * uis : * B B B Alors : * B B B B B B ar idédac ds irags D lus : * B uisqu ava l ièm irag la boî coi bouls Blachs sur u oal d!! Doc :! 5 Il suffi d vérifir qu : * c qui s l cas c qui s aussi l cas uisqu la séri s élscoiqu avc : * L héorèm 5 garai alors qu il xis bi u variabl aléaoir discrè do la loi d robabilié s

2 doé ar la famill * 6 Il ous fau doc dérmir : : Or o sai qu : E i i i : E E i i i O s amé à résoudr l sysèm : soi : : Efi s obi ar l fai qu la somm ds robabiliés doi dor soi : 7 a Tous ls valurs roosés so osiivs : l l l l Doc * s bi la loi d robabilié d u variabl discrè b adm u sérac si sulm si la séri s absolum covrg Or : * qui s l rm gééral d u séri géomériqu covrg l Doc adm u sérac : E l l l c Comm focio affi d adm u sérac : E l E s doc u variabl cré 8 a La famill s cosiué d réls osiifs : Doc s bi la loi d robabilié d u variabl discrè b A ouvau adm u sérac si sulm si la séri covrg c qui s l cas car : qui d vrs du fai du héorèm ds croissacs comarés uis : E c our la mêm raiso qu au-dssus la séri covrg doc adm u sérac ar l héorèm d rasfr adm u variac uis : E Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - -

3 5 O dédui qu : V E E 6 9 oos ou d abord qu : Ω { } uis : oos B l évém : «o ir u boul Blach au ièm irag» Alors : B B B Doc ar la formul ds robabiliés comosés : B B B B : B B B B B ra u ombr fii d valurs ll adm u sérac u variac : E d où à l aid d somms classiqus : E 6 uis : E : 6 E d où : 6 V x E E a a Il s immédia qu : Ω :! a a a E comm : doc :! Doc : a! a b adm u sérac si sulm si la séri s absolum covrg Or d vrs quad d vrs héorèm ds croissacs comarés doc adm a a a a a a u sérac : E a a a!! c La variabl aléaoir adm u variac si sulm si adm u sérac ar l héorèm d rasfr cla rvi à éudir la covrgc d qui covrg our u raiso similair à cll d la qusio b uis : a a a a a a a a a E a a a a!!!!! a a a doc : E a a a a Efi : V E E a a a a a oos qu : Ω osos : La sui vérifi u rlaio d récurrc doubl d équaio caracérisiqu : r r do ls racis so Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - -

4 Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - - Doc : αβ β α D lus la séri doi êr covrg d somm doc : α Efi : doc o doi rdr : β La loi d s doc doé ar : b La séri covrg car d vrs doc adm u sérac D mêm covrg our u raiso similair ar l héorèm d rasfr adm u sérac adm u variac uis : 9 E D mêm : E soi : 9 7 E fi : E E V a Ava l irag la boî coi bouls oirs boul Blach au oal L smbl ds valurs ossibls d s * soi : Ω * oos sui our : * l évém «o ir u boul oir au irag» uis : * :! D mêm : ZΩ * : * Z : Z b adm u sérac car :! d vrs covrg uis :!!!!! E avc la séri xoill : E c uisqu : * Z la variabl aléaoir Z adm as d sérac a La loi d s assz siml c s la loi du rmir succès das u sui d xérics d Broulli idédas soi la loi géomériqu Doc : Ω * : * q où o a oé : q O u aussi dir oa S l évém : «A s réalis au ièm ssai» qu : S S S d où l mêm résula ar idédac ds ssais car : S

5 Das c cas la séri covrg doc adm u sérac : E q q b O a : Ω {} la loi d u s obir avc la formul ds robabiliés oals : our : : Or : corrsod à la robabilié d obir u succès au ièm ssai arès l ièm c qui s idiqu à obir u succès au ièm ssai rara du débu soi : x doc : q q q q O u égalm écrir : S S S S S S S S ls évéms d c réuio éa dux à dux icomaibls o obi l mêm résula uilisa à ouvau l idédac ds lacrs uis la séri covrg doc adm u sérac : E q q c O cosa évidmm qu : E < E Coul famill d variabls aléaoirs a oos ou d abord qu s à valurs das * qu our u ir o ul corrsod à : F F F doc ar idédac : F F F corrsod fai à u variabl aléaoir suiva la loi géomériqu G Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls F F F D mêm corrsod à : F F F : b L coul rd ss valurs das * lus récisém our : i * o a : si : i alors i uisqu o u obir il Fac au mêm irag si : i : o a cor : i car o a obu il ou Fac au rmir irag si : i : alors : i F F F : i F F F i i F Fi F i d mêm si : i o a : c Ls variabls so as idédas uisqu : : d Z rd ss valurs das l smbl ds irs aurls suériurs ou égaux à uis : si : alors : Z Z : si : Z U i i i i ar icomaibilié : i i Z uisqu c so ls dux suls rms o uls

6 D lus o a : doc : Z 5 a oos qu ous ls rms so bi osiifs D lus : la séri i covrg car : ~ i i i i rm gééral i d u séri d Rima covrg uis : S i séri élscoiqu classiqu i i i i : S Doc i i i *² défii bi la loi d robabilié d u coul d variabls aléaoirs discrès b La loi d s obi ar : i i i i i i i i i D faço idiqu ou ar syméri : c uisqu o a alors : i i i ls variabls i i so bi idédas 6 a O rmarqu ou d abord qu ous ls a i so osiifs uis qu : a i i si : S qu : S ai i i D lus la séri S covrg car : o : S Doc {ia i i } s bi la loi d u coul d variabls aléaoirs discrès b rd ss valurs das sa loi s obi ar : i i i i i i rd ss valurs das - {} : i i Ls variabls aléaoirs so as idédas car : a : c Soi doc : Alors : i i si : i : i i sio U u comm u rsricio d robabilié uiform sur - 7 O commc ar or qu adm u sérac aisi qu U V car : Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - 6 -

7 U α β β avc u xrssio similair our V Doc U V adm aussi u sérac : cov U V E U E V E U V Or : E U α E β E V γ E δ : E U V E α γ α δ β γ β δ α γ E α δ E β γ E β δ soi : cov U V α γ E E E E α γ cov uis : V U V α β V α α V soi : σ U α σ d mêm : σ V γ σ O doi alors suosr qu α γ so o uls our ouvoir arlr d ρ U V α γ cov E fialm : ρ U V ± ρ l sig éa clui d αγ α σ γ σ 8 our chaqu irag ous ls uméros o la mêm robabilié d sorir i sui doc la loi uiform sur our ou ir i Doc : i * E i : V i ar liéarié d l sérac o a doc : * E S E uis ls variabls i éa muullm idédas : V S 9 ar liéarié d l sérac o a : E E m V uis : V V V cov i v v v i< Lois usulls modélisaios aroximaios a sui ici la loi uiform sur { 6} U6 ls résulas éa équirobabl dé équilibré b Ici la robabilié à chaqu irag d obir u boul Roug s cosa égal à : Il s agi doc d u succssio d 8 éruvs d Broulli avc u robabilié d succès égal à sui doc la loi biomial B8 c Ici il s agi d u xéric où o ad «l rmir succès» doc sui la loi géomériqu d aramèr : soi G d L lacm d chaqu boul s u éruv d Broulli avc robabilié d succès égal à idéda ds aurs lacms O vu simr l ombr d succès : sui doc la loi biomial B uisqu ls cars so mélagés au hasard la lac d la Dam d Cœur s équirobabl armi ous ls lacs ossibls doc sui la loi uiform sur { } soi U f C siuaio s oalm idiqu à la récéd o aurai u imagir qu ls cars éai irés u à u du aqu ou du sac éalés sui sur la abl sui doc loi uiform sur { } soi U g Il s agi ici d u xéric où o ad «l rmir succès» sui doc la loi géomériqu d aramèr soi G Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - 7 -

8 h Ici il s agi d u succssio d éruvs d Broulli idédas d aramèr : doc la loi biomial B r sui r a Il s immédia ar récurrc qu :! Comm d lus la somm ds robabiliés doi valoir o a doc : soi : fialm :!! sui doc la loi d oisso O dédui qu : E V b La sui * s u sui vérifia u rlaio d récurrc liéair doubl d équaio caracérisiqu : r r qui a our racis A B A B Doc : AB * uisqu la séri doi êr covrg o a : A d somm o a alors : B B B : B Fialm : sui la loi géomériqu G E ariculir : E : V a L smbl ds valurs riss ar s uis s égal à l uio disoi U doc : U D aur ar : * doc : Efi la séri covrg car : * o : E b L smbl ds valurs riss ar s cor comm das la qusio récéd : U doc : λ λ λ λ λ λ λ sh λ! λ λ D aur ar : *! Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - 8 -

9 λ λ Efi adm u sérac car : o la séri! covrg : λ λ λ λ λ λ λ λ λ E ch' λ!! Chaqu assagr a u robabilié d résc d 95 au déar d l avio O a doc u succssio d 9 xérics d Broulli d aramèr 95 soi u variabl aléaoir doa l ombr d assagrs réss au déar d l avio qui sui la loi biomial B9 95 La robabilié qu il y ai u roblèm au déar ro d rsos réss corrsod doc à : Si d aur ar o cosidèr la variabl aléaoir doa l ombr d assagrs abss au déar d l avio soi : 9 c variabl sui la loi biomial B95 O u alors arochr c loi biomial ar la loi d oisso d aramèr : λ car o a : 9 éléms cocrés valur assz grad u rodui : 7 doc assz faibl Das c cas la robabilié qu il y ai u roblèm as assz d abss au déar s doc : ! La loi d oisso roosé smbl doc u bo aroximaio ici d la loi biomial récéd La loi d s ici clairm la loi biomial B uisqu l fai d rmr la boul iré arès chaqu éa fai qu o a affair ici à u succssio d xérics d Broulli idédas d aramèr : Or lorsqu d vrs uisqu : o u arochr c loi ar la loi d oisso E ariculir o a : doc :!! Rmarqu : fai o a :! la formul d!! Sirlig do : ~! π π ~! ~! ~! 5 O a ar liéarié d l sérac : * E E E ar aillurs : V V V V L iégalié d Biaymé-Tchbychv do alors : ε > E ε soi ici : ε ε > ε ε Or si o éudi la focio : a sur [] o cosa qu ll y rs osiiv qu ll ai so maximum : où ll vau c qui raî bi : ε ε a oos ou d abord qu sui la loi biomial B : E : V uis l iégalié d Biaymé-Tchbychv do : Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - 9 -

10 V ε > E ε ε 6 ε 5 5 soi our : ε b O cosa sui qu : * Doc : < Efi corrsod à la fréquc d aariio du au cours c ds lacrs si doc o vu qu c fréquc soi das l irvall 6 6 avc u risqu d rrur ifériur à 5 cla corrsod à u robabilié d 95 d rouvr das c irvall c qui s garai dès qu : soi : > 7777 ou cor : a L résula dmadé s immédia uisqu il s agi d la loi faibl ds grads ombrs rmarqua simlm qu : v σ où σ s l écar-y commu à ous ls variabls aléaoirs 6 6 b Il suffi doc d rouvr l qu : soi : : covi Focios géérarics 8 Au ravail doc Si sui la loi uiform U o a : G la drièr égalié éa valabl our : Si sui la loi d Broulli B o a : G Si sui la loi biomial B o a : G Si sui la loi géomériqu G o a : G c séri a our rayo d covrgc : R la focio éa ll défii sur Si sui la loi d oisso λ o a : λ λ λ λ G!! λ Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - - λ λ 9 Tou d abord si sui la loi B alors : G m D mêm si sui la loi Bm alors : G uis éa idédas o a : G m G G

11 sui la loi biomial Bm a Vérifir la cohérc d c défiiio rvi à vérifir qu o défii bi aisi u variabl aléaoir discrè x Or ous ls valurs riss so osiivs : ch x ch x! ch x Doc o vi bi d défiir aisi la loi d robabilié d u variabl aléaoir discrè x La focio gééraric chrché s doé ar la séri ièr : ch x! x! x Or : *! x la règl d d Almbr garai qu l rayo d covrgc d la séri ièr s doc : R x Esui : G doc : ch x! si : G ch x x! ch x : ch x x cos x si : < G ch x! ch x b Comm séri ièr G s d class C sur doc adm u sérac D lus : sh x x x sh x > G ' d où : E G ' : ch x ch x > G ch x x sh x x '' : ch x ch x O u alors rrouvr : G V '' G '' x sh x x ch x E E E soi : x sh x x x sh x x sh x E E G '' G ' G ' x x sh x ch x soi arès simlificaio : V ch x ch x ch x ch x Chair : Variabls aléaoirs Exrcics corrigé ds idissabls - -