7 2 Variables aléatoires discrètes

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1 BCPST Variables aléatoires discrètes I Compléments sur les variables aléatoires discrètes A) Dénition Dénition : Variable aléatoire discrète Une variable aléatoire réelle discrète est une variable aléatoire réelle X telle que X(Ω) est un ensemble réel discret, c'est-à-dire ni ou dénombrable. Si x R et A R, on notera : et [X = x] = X 1 (x) = {ω Ω; X(ω) = x} [X A] = X 1 (A) = {ω Ω; X(ω) A} ([X = x]) x X(Ω) est un système complet d'évènements. On va reprendre pour ce cours les deux exemples du cours précédent : On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats. Ω = 1, 6 2 et X(Ω) = 2, 12 On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs eectués. Ω = {P, F P, F F P,...} {F F F F F...} }{{} ω0 X n'est pas déni si ω = ω0. Cependant, P(ω 0 ) = 0 donc X est presque partout déni et on considére que X(Ω) = N. Soient X et Y sont des variables aléatoires discrètes dénies sur un même espace de probabilité Ω et α un réel. Alors X + αy et XY sont aussi des variables aléatoires discrètes. B) Lois Dénition : Loi Soit X une variable aléatoire discrète. La loi de X est l'application : P X : X(Ω) R + x P([X = x]) C. Courant page 1

2 On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats. Ω = 1, 6 2 et X(Ω) = 2, 12. Déterminer la loi de X. On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs eectués. Déterminer la loi de X. C) Fonction de répartition Loi et fonction de répartition Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N. On a : k 1, P(X = k) = P([X k]) P([X k 1]) Soit X une variable aléatoire discrète et F sa fonction de répartion. F est constante par morceaux, les discontinuités correspondant aux valeurs de X. D) Espérance Dénition : Espérance Soit X une variable aléatoire discrète. On dit que X admet une espérance si la série x X(Ω) xp([x = x]) est absolument convergente. Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note : E(X) la somme de la série : E(X) = x X(Ω) xp([x = x]) Remarque: Cas des variables aléatoires nies Si la variable aléatoire admet un nombre ni de valeurs, alors elle admet une espérance. Remarque: Cas d'une variable aléatoire à valeurs dans N Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N. X admet une espérance si la série k 0 kp([x = k]) est convergente. Dans ce cas, E(X) = + k=0 kp([x = k]) On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats. Calculer l'espérance de X C. Courant page 2

3 On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs eectués. Calculer l'espérance de X. E) Formule de transfert Dénition : Soit X une variable aléatoire discrète. Soit φ : R R une fonction dénie au moins sur X(Ω). Alors la fonction φ X : Ω R est une variable aléatoire discrète. ω φ(x(ω)) On note en général φ X sous la forme φ(x). Soit X une variable aléatoire discrète. Soit φ : R R une fonction dénie au moins sur X(Ω). φ(x) admet une espérance si et seulement si φ(x)p([x = x]) est absolument convergente. Dans ce cas, E(φ(X)) est donnée par : E(φ(X)) = x Ω(X) x Ω(X) φ(x)p([x = x]) C. Courant page 3

4 II Loi uniforme A) Loi Dénition : Soit n un entier non nul. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur 1, n si : X(Ω) = 1, n et k 1, n, P([X = k]) = 1 n On note : X U( 1, n ). Plus généralement : soit a, b deux entiers avec a < b. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur a, b si : X(Ω) = a, b et On note : X U( a, b ). k a, b, P([X = k]) = 1 b a + 1 Un dé parfaitement équilibé est lancé. La variable aléatoire X égale au numéro qui sort suit la loi uniforme sur 1, 6. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On en tire une au hasard. La variable aléatoire X égale au numéro de la boule tirée suit la loi uniforme sur 1, n. B) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur a, b. Alors X admet une espérance et une vairance donnée par : E(X) = a + b (b a)(b a + 2), V(X) = 2 12 Cas particulier Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur 1, n. Alors X admet une espérance et une variance donnée par : E(X) = n + 1, V(X) = n Démonstration : C) Simuler une loi uniforme avec Python from random import loi uniforme randint ( a, b ) # C h o i s i t un e n t i e r e n t r e a e t b # l e s e x t r é mit é s s o n t i n c l u s e s des 2 c o t é s C. Courant page 4

5 III Loi de Bernouilli A) Loi Dénition : Soit p ]0, 1[. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de Bernouilli de paramètre p si : X(Ω) = {0, 1} et P([X = 1]) = p, P([X = 0]) = 1 p On note : X B(p) Le jeu de pile ou face est suit une loi de Bernouilli de paramètre 1 2, si la pièce est équilibrée. Toute épreuve à deux issues est représentée par une loi de Bernouilli, en notant les deux résultats possibles : 1 (succès) et 0 (échec). Si X suit une loi de Bernouilli de paramètre p alors X 2 aussi. Si X et Y suivent une loi de Bernouilli alors XY aussi (sauf si XY = 0) B) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètre p. Alors X admet une espérance et une variance donnée par : E(X) = p, V(X) = p(1 p) Démonstration : C) Simuler une loi de Bernouilli avec Python from random import Loi de Bernouilli d e f Bernoulli ( p ) : i f random ( )<p : r e t u r n 1 e l s e : r e t u r n C. Courant page 5

6 IV Loi binomiale A) Loi Dénition : Soit p ]0, 1[ et n N. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de binomiale de paramètre (n, p) si : X(Ω) = 0, n et ( ) n k 0, n, P([X = k]) = p k (1 p) n k k On note : X B(n, p) On lance n fois une pièce équilibrée. La variable aléatoire X égale au nombre de face suit une loi binomiale de paramètre (n, 1 2 ). Une urne contient des boules, la proportion des boules blanches est p et celles des noires est 1 p. On eectue n tirages avec remise. La variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale de paramètre (n, p). On considère une suite de n épreuves de Bernouilli de même paramétre p, indépendantes. La variable aléatoire X égale au nombre de succès dans ces n épreuves suit une loi binomiale de paramètre (n, p). B) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (n, p). Alors X admet une espérance et une variance donnée par : E(X) = np, V(X) = np(1 p) Démonstration : C) Simuler une loi binomiale avec python from random import Loi Binomiale d e f Bernoulli ( p ) : i f random ( )<p : r e t u r n 1 e l s e : r e t u r n 0 d e f binomial ( n, p ) : somme=0 f o r k i n range ( n ) : somme += Bernoulli ( p ) r e t u r n somme C. Courant page 6

7 V Loi hypergéométrique A) Loi Dénition : Soit p ]0, 1[ et n, N N. On suppose : 1 n N et Np N. On note q = 1 p. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) si : X(Ω) = max(0, n Nq), min(n, Np) et k max(0, n Nq), min(n, Np), P([X = k]) = ( Np )( Nq k n k ( N n) ) On note : X H(N, n, p) Une urne contient a boules blanches et b boules noires. Soit n a + b. On tire simultanément (ou successivement mais sans remise) n boules dans l'urne. La variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi hypergéométrique de paramètre (a + b, n, a a+b ). B) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire suivant une loi hypergéoétrique de paramètre (N, n, p). Alors X admet une espérance et une variance donnée par : E(X) = np, V(X) = npq N n N 1 C) Simuler une loi hypergéométrique avec python Loi hypergéométrique from random import d e f bernouilli ( p ) : i f random ( )<p : r e t u r n 1 e l s e : r e t u r n 0 d e f hypergeo ( N, n, p ) : """ s i m u l e l e t i r a g e s a n s r e m i s e de n b o u l e s parmi N b o u l e s dont l a p r o p o r t i o n de b l a n c h e s e s t p""" res = 0 a, b = p N, N p N # nombre de b o u l e s b l a n c h e s e t de n o i r e s f o r i i n range ( n ) : x = bernouilli ( f l o a t ( a/n ) ) N += 1 #une b o u l e de moins dans l ' urne i f x == 1 : e l s e : res r e t u r n a += 1 # une b l a n c h e en moins b += 1 # une n o i r e en moins += x res C. Courant page 7

8 VI Loi géométrique A) Situation On eectue une succession (éventuellement innie) d'épreuves indépendantes de Bernouilli de paramètre p et on appelle X la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier succès. On note X = 0 si on a toujours un échec. On dit que X est le temps d'attente du premier succès. On a : On remarque : + k=1 P(X = k) = 1. Ainsi, P([X = 0]) = 0. On peut donc considérer que X(Ω) = N. k N, P(X = k) = q k 1 p B) Loi Dénition : Temps d'attente du premier succès Soit p ]0, 1[. On note q = 1 p. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi géométrique de paramètre p à valeurs dans N si : X(Ω) = N et k N, P([X = k]) = q k 1 p On note : X G N (p) C) Espérance et variance Temps d'attente du premier succès Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p et à valeurs dans N. Alors X admet une espérance et une variance donnée par : E(X) = 1 p, V(X) = q p 2 Démonstration : D) Simuler une loi géométrique avec Python d e f geometrique ( p ) : res = 0 k = 0 w h i l e res == 0 : r e t u r n res = bernouilli ( p ) k += 1 k loi géométrique C. Courant page 8

9 VII Loi de Poisson A) Dénition Dénition : Soit λ R +. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ si X(Ω) = N et On note : X P(λ) k N, P([X = k]) = λk k! e λ Poisson Remarque: Ceci dénit bien une loi de probabilité car + k=0 λ k k! e λ = 1. Une loi de Poisson permet de décrire le nombre d'évènements d'un certain type se produisant dans une période de temps. On dit que la loi de poisson est la loi des évènements rares. Nombre de clients se présentant dans un magasin pendant une période T. Nombre d'appels reçus par un standard téléphonique pendant une période T λ est le nombre moyen d'évènements pendant la période T. 0.5 λ = λ = C. Courant page 9

10 B) Espérance et variance Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Alors X admet une espérance et une variance donnée par : E(X) = λ, V(X) = λ C) Simuler une loi de poisson avec Python from random import random d e f poisson ( mu ) : x = random ( ) F = 0 i = 0 w h i l e F<x : i += 1 r e t u r n F += exp( mu ) mu i/ factorial ( i ) ( i 1) Loi de Poisson Cet algorithme présente un problème : pour de grande valeur de i, l'entier i! est grand et python doit le convertir en oat pour eectuer le calcul. Cela provoque une erreur. Il vaut mieux procéder de la façon suivante : from random import random d e f poisson2 ( mu ) : x = random ( ) F = 0 i = 0 S = exp( mu ) w h i l e F<x : i += 1 F r e t u r n += S S = f l o a t ( mu ) / i ( i 1) Loi de Poisson améliorée import numpy as np Loi de Poisson toute faite np. random. poisson ( mu ) # F a i t un t i r a g e s u i v a n t l a l o i de p o i s s o n np. random. poisson ( mu, N ) # r e n v o i e une l i s t e de N t i r a g e s s u i v a n t #l a l o i de p o i s s o n Remarque: On a de même dans le module et avec la même syntaxe : import numpy as np np. random. binomial ( n, p, N ) np. random. geometric ( p, N ) np. random. hypergeometric ( a, b, n, N ) # a=nombre de b o u l e s s u c c è s, # b=nombre de b o u l e s é chec # n=nombre de t i r a g e s dans l ' urne C. Courant page 10

11 BCPST Exercices Poisson avait l'habitude de dire : La vie n'est bonne qu'à deux choses : à faire des mathématiques et à les professer Exercice 1: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad01.tex On considère un ivrogne marchant le long d'un trottoir. À chaque seconde, il avance avec probabilité un demi d'un pas, et recule d'un pas avec la même probabilité. On supposera que tous les pas sont de la même longueur. On se donne un repère le long du trottoir, gradué en pas. On note X n la position de l'ivrogne au bout de n secondes. Donner la loi de X n, son espérance et sa variance. Indication : on pourra introduire la variable aléatoire de Bernouilli qui vaut 1 si l'ivrogne avance et 0 sinon et exprimer X n à partir de celle-ci. Exercice 2: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad03.tex On dispose d'une pièce déséquilibrée, amenant pile avec la probabilité 2/3. On note X le nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux pile consécutifs. Pour tout n N, on pose a n = P [X = n]. 1 ) Calculer a 1, a 2, a 3 et a 4. 2 ) Montrer que, pour tout n 3, a n = 1 3 a n a n 2. 3 ) En déduire une expression de a n en fonction de n. Vérier que n 1 a n = 1. Qu'en conclure? 4 ) La variable aléatoire X admet-elle une espérance? Si oui, la calculer. Exercice 3: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad04.tex On a une urne avec une boule noire et une boule blanche. A chaque tirage, on note la couleur de la boule tirée et on la remet dans l'urne, en ajoutant de plus une boule noire. On note Y la variable aléatoire donnant le rang de la première boule noire tirée. 1 ) Calculer P [Y = k] pour tout k N. 2 ) Quelle est la probabilité de ne jamais tirer de boule noire? 3 ) Y admet-elle une espérance et, si oui, la calculer. 4 ) Y admet-elle une variance et, si oui, la calculer. Exercice 4: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad06.tex Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer la loi et l'espérance de la variable Y = ( 1) X. Exercice 5: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad08.tex On répète indéniment, de manière indépendante, une expérience aléatoire au cours de laquelle un événement A peut, à chaque fois, se produire avec une probabilité p ]0; 1[. On note X le rang de la première réalisation de l'événement A et Y le rang de sa deuxième réalisation. 1 ) Donner la loi de X, puis celle de Y. 2 ) Comparer E(X) et E(Y ). Exercice 6: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad09.tex Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Montrer que P [X λ 2 ] 4 λ C. Courant page 11

12 BCPST 952 Exercices : Variables aléatoires discrètes Lycée du Parc Exercice 7: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad10.tex Soit λ > 0. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. 1 Calculer l'espérance de la variable aléatoire 1 + X. Exercice 8: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad12.tex Une grenouille monte les 2n marches d'un escalier en sautant : ou bien une seule marche, avec la probabilité p. ou bien deux marches, avec la probabilité 1 p. On note X n le nombre de marches franchies après n sauts. On note Y n le nombre de fois où la grenouille a sauté une seule marche. 1 ) Déterminer la loi de Y n. Exprimer X n en fonction de Y n. En déduire la loi de X n, son espérance et sa variance. 2 ) On note Z n le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la n-ième marche. Exprimer, pour n 1 et k 1, la probabilité P [Z n = k] en fonction des probabilités des événements [Z n 1 = k 1] et [Z n 2 = k 1]. En déduire que : E(Z n ) = pe(z n 1 ) + (1 p)e(z n 2 ) ) Comment déterminer a pour que la suite de terme général u n = E(Z n ) na soit récurrente linéaire d'ordre 2? 4 ) Calculer alors l'espérance de Z n. Donner un équivalent de E(Z n ) quand n tend vers l'inni, et interpréter. Exercice 9: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad14.tex On lance n dés pipés, donnant le chire 6 avec la probabilité p ]0; 1[. A chaque lancé, on met de côté ceux qui font 6 et on relance tous les autres ; on arrête une fois que tous les dés ont fait 6. Notons X 1 la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus au premier lancer, X la variable aléatoire égale au nombre de lancers eectués et Y celle égale au nombre de dés lancés au total. 1 ) Déterminer la loi de X 1, son espérance et sa variance. 2 ) Déterminer la loi de X. 3 ) Déterminer E(Y ), puis la loi de Y C. Courant page 12

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