Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω.

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1 Variables aléatoires discrètes I. Définitions 1. Définition d une variable aléatoire : Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. On appelle variable aléatoire et on note X toute application de Ω dans IR X : Ω IR On note X(Ω) l ensemble des images de Ω par l application X, ce sont les valeurs que peut prendre X. Si X prend un nombre fini de valeurs ou une quantité infinie mais dénombrable de valeurs on dit que la variable aléatoire est discrète. Exemple : 1. On jette un dé deux fois de suite, on note Ω l ensemble des éventualités. Ω est donc l ensemble des couples ( i, j) avec i entier compris entre 1 et 6,de même que j. A tout couple (i,j) on fait correspondre la somme des points obtenus i+j, on a défini une variable aléatoire par X : (i,j) i+j La variable aléatoire est discrète car elle prend les valeurs entières comprises entre et 1 soit un nombre fini de valeurs.. Dans le cas d une loi binômiale, le nombre de succès associé à la répétition de n épreuves indépendantes est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs 0,1,, n.. Loi de probabilité : Si X prend les valeurs x 1,x,..x n on note X(Ω) = { x 1,x,..x n } A tout élément x i on associe la probabilité pour que X prenne la valeur x i. On condense les résultats dans un tableau qu on appelle distribution ou loi de probabilité de la variable aléatoire. x i x 1 x.. x n P( X= x i ) p 1 p p n 1

2 Remarque : La somme des p i est égale à 1. Exemple 1 ci-dessus p(x=) = p((1,1) = 1 p(x=3) = p((1,)) + p((,1)) = = Loi de probabilité de X : x i P(X=x i ) =1 3. Fonction de répartition : Par définition c est la fonction F : IR [0 ;1] x p(x x) F est une fonction croissante, constante par intervalles. x i x 1 x.. x n P( X= x i ) p 1 p p n Pour x ]- ; x 1 [ F(x) = 0 Pour x [x 1 ; x [ F(x)= p 1 Pour x [x ; x 3 [ F(x)= p 1 +p. Pour x [x n-1 ; x n [ F(x)= p 1 +p +.p n-1 Pour x [x n ; + [ F(x)= p 1 +p +.p n-1 +p n = 1 La représentation graphique de F est une fonction en escalier :

3 Remarque : P( a < X b ) = F(b) - F(a) 4. Variables aléatoires indépendantes : Deux variables aléatoires X et Y définies sur le même ensemble Ω sont dites indépendantes si : p( [X=i] [Y=j])= p([x=i]) p( [Y=j]) Cela signifie que les événements [X=i] et [Y=j] sont indépendants. Exemple : Un joueur dispose de trois dés qu il lance simultanément. Les faces sont numérotées de 1 à 6. Il lance les 3 dés une seule fois. Son gain est attribué de la manière suivante : Si les trois chiffres sont égaux, il gagne 5 Si, parmi les trois chiffres il y a exactement deux «1» il gagne Si les trois chiffres sont consécutifs il gagne 1 Dans tous les autres cas son gain est nul. Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire correspondant à son gain. La variable aléatoire prend les valeurs 0 ; 1 ; ; 5. Soit A le résultat du premier dé, B celui du deuxième dé et C celui du troisième dé. Les variables étant indépendantes, on obtient : P( X=5)= 6 ( 1 6 )3 = 6 16 P(X=1)= 4 6( 1 6 )3 = 4 16 P(X=)= 3( 1 6 ) ( 5 15 )= 6 16 p(x= 0) = =

4 II. Espérance mathématique, variance : 1. Espérance mathématique : L espérance mathématique de la variable aléatoire X est la valeur moyenne des x i, pondérés par les coefficients p i i=n E(X)= i=0 x i p( [X=x i ]) Si E(X) = 0 on dit que la variable aléatoire est centrée. Si X est un gain associé à un jeu, on dit que le jeu est équitable. Exemple ci-dessus : E(X) = = ,39 ( cela représente le gain moyen par partie ) Propriétés de l espérance : ( admises) Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même ensemble Ω, a et b sont deux réels : E(aX+bY)= a E(X) + b E(Y) Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes: E(X.Y) = E(X). E(Y). Variance et écart-type : L espérance mathématique est une moyenne pondérée des valeurs prises par X La variance traduit la notion de dispersion par rapport à cette moyenne. La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne. V(X)= E[ ( X E(X) ) ] i=n V(X)= p( [X=x i ]) ( x i - E(X) ) i=0 4

5 Autre expression de la variance ( plus pratique pour le calcul ) V(X)= E(X ) (E(X)) i=n V(X)= i=0 p([x=x i ]) x i - (E(X)) L écart-type, note σ, est la racine carrée de la variance. σ(x) = V(X) Si E = 0 et σ = 1 on dit que la variable aléatoire est centrée réduite. Exemple ci-dessus : V(X) = !!!!!!!!!! =!! 0, Propriétés de la variance : (admises) V(kX) = k V(X) d où σ (kx) = k σ(x) Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors : V(X+Y)= V(X)+V(Y) et V(aX+bY) = a V(X) + b V(Y) 5

6 III. Applications à la loi binômiale : On répète n fois de manière indépendante une épreuve conduisant aux seuls résultats 1 et 0 c est-à-dire une épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité est : ω 0 1 P(ω) q p avec p+q = 1 Soit X 1 la variable aléatoire correspondant au résultat de la première épreuve, Soit X la variable aléatoire correspondant au résultat de la deuxième épreuve ; Soit X n la variable aléatoire correspondant au résultat de la nième épreuve. Les variables aléatoires X i suivent toutes la même loi. jn On a E(X i )= 0 q + 1 p = p et V( X i )= E(X i ) (E(X i )) = p - p = p(1-p) Soit X = X 1 +X +..X n, X représente le nombre de succès en n épreuves, les variables X i étant indépendantes. On a alors : E(X) =np et V(X)=npq Théorème : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binômiale B(n ;p) (succès : p ; échec : q),on a : E(X) = np et V(X) = npq Exemple : Une urne contient un grand nombre de boules indiscernables au toucher : les boules sont blanches ou noires. La probabilité de tirer au hasard une boule une boule blanche est 3, celle de tirer une noire est donc de 1 3. Chaque jour pendant une semaine, on tire une boule, on note sa couleur et on la remet dans l urne. On note X le nombre de boules noires obtenues dans la semaine. Quelle est la loi suivie par X? Quelle est la valeur moyenne de X et l écart-type de X? 6

7 IV. La loi de Poisson : La loi de Poisson s applique aux variables aléatoires quantitatives discrètes définies par le nombre d événements observés dans le cas où ces événements se produisent de manière aléatoire dans le temps ou l espace. Exemples d utilisation de la loi de Poisson : X est le nombre de voitures qui passent à un péage par tranche de 15 minutes X est le nombre de fautes de frappe par page de cours de maths X est le nombre de globules blancs par ml de sang Contrairement à la loi binômiale, il n y a pas ici de notion d échec ou de succès et il n y a pas de contrainte supérieure ( le comptage est illimité ) 1. Définition et propriétés : Définition : Soit λ un réel strictement positif et X une variable aléatoire. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre λ lorsque : L ensemble des valeurs prises par X est l ensemble de tous les entiers naturels : X( Ω)= IN Pour tout k IN, p(x = k) = e!!! k k! Théorème : Soit λ IR *+ et X une variable aléatoire. Si X suit une loi de Poisson de paramètres λ, alors : E(X)= λ V(X) = λ et σ X = λ Ainsi le seul paramètre d une loi de Poisson est λ soit le nombre moyen d événements 7

8 Exemple : Un zoologiste étudie les passages d une espèce de chauve-souris en lisière d un espace boisé. Il effectue un comptage d individus et répertorie en moyenne 3 individus par 30 minutes. a) Quelle est la probabilité qu il détecte 7 individus en 1 heure? X est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ= 6 car en moyenne on a 3 individus détectés par demi-heure donc 6 individus par heure. p( X=7) = e ! 0,138 b) Quelle est la probabilité qu il détecte entre et 4 individus par 15 minutes. X est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 1,5 ( on a en moyenne 3 individus détectés par demi-heures soit 1,5 par tranche de 15 minutes. p( X 4) = p(x=) +p(x=3)+p(x=4) e -1,5 ( 1,5! + 1,53 3! + 1,54 4! ) 0,44. Approximation de la loi binômiale par la loi de Poisson : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binômiale de paramètres n et p. Dans le cas où n > 50 et p < 0,1, on admet que la loi binômiale B(n ;p) peut être approximée par la loi de Poisson de paramètre λ = np soit p( X= k) e -np (np) k k! Exemple : Une fabrication en série présente en moyenne 1,5% de produits défectueux. Un contrôle est effectué sur un lot de n = 50 articles choisis au hasard. Quelles sont les probabilités d obtenir dans ce lot 0,1,,3,4 articles défectueux en utilisant : i) La loi binômiale B( 50 ; 0,015) ii) La loi de Poisson avec λ =np=50 0,015 = 0,75 (les conditions d application sont vérifiées) 8

9 Nombre d articles Probabilités (loi binômiale) Probabilités (loi de Poisson)

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