Variables aléatoires et distributions de probabilité (1 ière partie) & Variables aléatoires, lois et simulations en R (2 ième partie)

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1 1 Variables aléatoires et distributions de probabilité (1 ière partie) & Variables aléatoires, lois et simulations en R (2 ième partie)

2 2 Variable aléatoire, c est quoi? Variable aléatoire: est un nombre dépendant du résultat d une expérience aléatoire. Notation: X = variable aléatoire Deux types: discrète, continue

3 3 Variable aléatoire discrète Variable aléatoire discrète: une variable aléatoire est discrète si elle ne prend qu un nombre fini ou dénombrable de valeurs Exemples? Notation: X = le nombre de résultats positifs, observations, etc. Après

4 4 Variable aléatoire de Bernoulli Bernoulli Binomial L'expérience la plus simple: seulement deux résultats possibles (variable aléatoire de Bernoulli X) Expérience d'essais indépendants: deux résultats possibles pour chaque essai (essai de Bernoulli) avec X ~ Bernoulli(p) De nombreux essais de Bernoulli: variable aléatoire binomiale avec X ~ Bin(n, p) n = 1: variable aléatoire de Bernoulli = variable aléatoire binomiale

5 5 Variable aléatoire binomiale Dans une série de n essais indépendants, chacun ayant seulement deux issues possibles (appelé "succès" et "échec"), avec la probabilité p succès et la probabilité q=1-p d'échec, la probabilité de succès en n essais est P(X) = avec n = nombre d'essais, X = résultats positifs (X n) avex n! = n factorielle avec p X = probabilité d'obtenir X succès indépendants avec (1 p) (n - X) = probabilité d'obtenir (n X) échecs avec probabilité (1 p) n! X!(n X)! " n % $ ' # X& = = coefficient binomial Pourquoi y at-il un X!? n! X!(n X)! px (1 p) n X Après

6 6 Fonction de distribution de probabilité Fonction de distribution de probabilité: fonction qui fournit la probabilité de chaque résultat possible en Ω! obtenue pour chaque X avec P (X). Histogramme: en général, un graphique de résumer le nombre d'essais résultant en un résultat particulier (TP1)

7 7 Distribution de probabilité Distribution de probabilité: assigne des probabilités pour toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire calculé avec P(X)! Exigences: toutes les probabilités doit être comprise entre 0 et 1 inclus; la somme des probabilités des résultats doit être 1. Densité de probabilité Distribution cumulative

8 8 Variable aléatoire de Poisson Utilisé lorsque le cas le plus fréquent est égal à 0! Le nombre d'occurrences d'un événement enregistré dans une zone fixe de l'échantillon ou au cours d'un intervalle de temps fixe (variable aléatoire de Poisson X) X ~ Poisson(λ) avec λ = rate parameter (valeur moyenne d'occurrence) avec X = observations P(X) = λ x avec e = base du logarithme naturel ( ) x! e λ (λ)

9 9 Espérance E(X): discrète E(X) = n i=1 a 1 p 1 = a 1 p 1 + a 2 p a n p n avec a i = valeurs d'une variable aléatoire discrète avec p i = probabilités de a i aucune idée de la variation

10 σ 2 ( X) 10 Variance : discrète σ 2 [ ( )] 2 = p i ' a i a i p i ( X) = E X E X n i=1 % & n i=1 ( * ) 2 une mesure de base de la quantité de chaque valeur X se distingue E(X). Pourquoi à la puissance de 2?

11 11 Résumé: distributions discrètes " " "

12 12 Variable aléatoire continue Variable aléatoire continue: une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En règle générale, toutes les variables qui résultent d une mesure sont de type continu. Défi 1: infinité de résultats possibles (au sein de précision de la mesure!) Défi 2: probabilité d'une valeur particulière

13 13 Variable aléatoire uniforme f (x) = " $ # $ % 1 a b when a x b 0 when x < a or x > b avec a = limite inférieure avec b = limite supérieure

14 14 PDF et CDF f(x) = fonction de distribution de probabilité (PDF): PDF d'une variable aléatoire continue est l'attribution de probabilités qu'une variable aléatoire continue X se produit dans un intervalle I [a, b] Non-negative integrable g pdf f Normalize by integral of g F(x) = fonction de distribution cumulative (CDF): CDF d une variable continue X est F(x) = P(X < x) Integrate CDF F Differentiate! Cumulative probabilities provide, for each value x, the probability of a result less than or equal to X PDF is the derivative (i.e., rate of change) of the CDF.

15 15 Variable aléatoire normale (Gaussian) La distribution de probabilité la plus familière Constitue le fondement théorique de la régression linéaire et analyse de la variance (ANOVA)! séances 9 & 10 Defined by two parameters (µ, σ):! E(X) = µ! central tendency! σ 2 (X) = σ 2! spread around the central tendency Variable aléatoire normale ( variable aléatoire de Gauss ): X ~ N(µ, σ) Standard normal distribution: µ = 0 et σ = 1! Variable aléatoire normale standard (Z): E(Z) = 0, σ 2 = 1

16 16 PDF et CDF de la distribution normale Densité de probabilité Distribution cumulative f (x) = f (µ,σ ) = σ 1" X µ % $ ' 2π e 2# σ & 1 2 F(x) = X f (x)dx Pas de solution analytique existe, dans R: intégration numérique!

17 17 Propriétés de la distribution normale Three important properties:! Somme: E(X+Y) = E(X) + E(Y); σ 2 (X + Y) = σ 2 (X) + σ 2 (Y)! Shift and change of scale: X ~ N(µ, σ); Y = ax +b! E(X) = aµ +b; σ 2 (Y) = a 2 σ 2! Transformability: a = 1/σ and b = -1(µ/ σ)! E(Y) = 0; σ 2 (Y)=1!!! All operations applicable to a standard normal random variable can be applied to an normal random variable after transformation!!!!!

18 18 Variable aléatoire log-normale Variable aléatoire log-normale: variable aléatoire X avec ln(x) = variable aléatoire normale X ~ lnn(µ, σ): µ+σ 2 2 E(X) = e Densité de probabilité µ+σ 2 σ 2 (X) = e 2 *e σ 2 Qu'advient-il de l'asymétrie lorsqu'elle est tracée sur une échelle logarithmique? Distribution cumulative

19 19 D'autres importantes variables aléatoires exponentielle student-t Chi-square F gamma inverse gamma beta Densité de probabilité: beta. tous utilisés plus tard dans le cours! Densité de probabilité: exponentielle Densité de probabilité: student-t Densité de probabilité: gamma

20 20 Résumé: distributions continues

21 21 Comment travailler aves les distributions dans R? R a les fonctions de densité et de distribution intégré pendant environ 20 distributions de probabilité, comprenant " " " d : PDF p : CDF q : quantiles r : nombres aléatoires " Voir aussi

22 22 Exemple: R pour les distribution normales Voir aussi

23 23 Exemple: distribution binomiale PROBLÈME: Supposez qu'il ya douze questions à choix multiples dans un quiz d un cours d'anglais. Chaque question comporte cinq réponses possibles, et un seul d'entre eux est correcte. Trouver la probabilité d'avoir quatre ou moins réponses correctes si un étudiant tente de répondre à toutes les questions au hasard. SOLUTION: Étant donné que seule une personne sur cinq réponses possibles est correcte, la probabilité de répondre correctement à une question par hasard est de 1/5 = 0,2. Nous pouvons trouver la probabilité d'avoir exactement 4 bonnes réponses par des tentatives aléatoires comme suit. Voir aussi

24 24 Exemple: distribution de Poisson PROBLÈME: S il ya douze voitures traversant un pont par minute en moyenne, trouver la probabilité d'avoir dix-sept ou plus de voitures qui traversent le pont en une minute particulière. SOLUTION: S il ya douze voitures traversant un pont par minute en moyenne, la probabilité d'avoir dix-sept ou plus de voitures de traverser le pont en une minute particulière est 10,1%. Voir aussi

25 25 Exemple: distribution uniforme PROBLÈME: Sélectionnez dix nombres aléatoires entre un et trois. SOLUTION: Il suffit d'appliquer la fonction runif pour générer des nombres aléatoires entre un et trois. Voir aussi

26 26 Exemple: distribution normale PROBLÈME: Supposez que les résultats d'un examen d'entrée au collège correspond une distribution normale. Par ailleurs, le score du test moyenne est 72 et l'écart-type est 15,2. Quel est le pourcentage d'étudiants obtenant 84 ou plus à l'examen? SOLUTION: Le pourcentage d'étudiants obtenant 84 ou plus à l'examen d'entrée au collège est 21,5%. Voir aussi

27 27 Exemple: distribution exponentielle PROBLÈME: Supposez que la moyenne check-out d'un caissier de supermarché est trois minutes. Trouver la probabilité d'une check-out étant complété par le caissier en moins de deux minutes. Solution: La probabilité de terminer une check-out en moins de deux minutes par le caissier est 48,7%. Voir aussi

28 28 Lectures Lectures obligatoires Gotelli, N.J. and Ellison, A.M. (2004): A Primer of Ecological Statistics. Sinauer Associates Inc., Sunderland, MA, USA.! chaptre 2 Lectures complémentaires Lafaye de Micheaux, P., Drouilhet, R. Liquet, B. (2011): Le logiciel R Maîtriser le langange, effectuer des analyses statistiques.! Chapitre 10 Quinn, G.P, Keough, M.J. (2002) Experimental design and data analysis for biologists. Cambridge University Press.! Chapitre 1.4 Séance 4: 8 octobre 2012