Variables aléatoires. Loi binomiale. Indépendance de variables aléatoires. [ édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1

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1 [ édité le 28 décembre 2016 Eocés 1 Variables aléatoires Loi biomiale Exercice 1 [ ] [Correctio] Ue variable aléatoire réelle X suit ue loi biomiale de taille et de paramètre p ]0 ; 1[. Pour quelle valeur de, la probabilité p PX est-elle maximale? Exercice 2 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire biomiale de paramètres et p avec p ]0 ; 1[. O ote b,, p PX a Pour quelle valeur m de, le coefficiet b,, p est-il maximal? b Étudier la mootoie de la foctio f : x x m 1 x m sur [0 ; 1]. c Vérifier que si m [p ; + 1p] alors m b m,, bm,, p b m,, m + 1 d Proposer e ecadremet aalogue pour m [ + 1p 1 ; p]. e O doe la formule de Stirlig! 2π e Doer u équivalet simple de bm,, p. Exercice 3 [ ] [Correctio] Ue variable aléatoire X suit ue loi biomiale de taille et de paramètre p. Quelle est la loi suivie par la variable Y X? Exercice 4 [ ] [Correctio] U étudiat résout u QCM costitué de questios offrat chacue quatre réposes possibles. Pour chaque questio, et idépedammet les ues des autres, il a la probabilité p de savoir résoudre celle-ci. Das ce cas il produit la boe répose. Si e revache, il e sait pas résoudre la questio, il choisit arbitrairemet l ue des quatre réposes possibles. O ote X la variable aléatoire détermiat le ombre de questios qu il savait résoudre et Y le ombre de questios qu il a correctemet résolues parmi celles où il a répodu «au hasard». a Recoaître la loi de Z X + Y. b Calculer espérace et variace de Z. Exercice 5 [ ] [Correctio] U archer tire sur cibles. À chaque tir, il a la probabilité p de toucher la cible et les tirs sot supposés idépedats. Il tire ue première fois sur chaque cible et o ote X le ombre de cibles atteites lors de ce premier jet. L archer tire esuite ue secode fois sur les cibles restates et l o ote Y le ombre de cibles touchés lors de cette tetative. Détermier la loi de la variable Z X + Y. Exercice 6 [ ] [Correctio] a Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat des lois de Beroulli de paramètres p et q. Détermier la loi de la variable Z maxx, Y. Deux archers tiret idépedemmet sur cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité p de toucher, le secod la probabilité q. b Quelle est la loi suivie par le ombre de cibles touchées au mois ue fois? c Quelle est la loi suivie par le ombre de cibles épargées? Idépedace de variables aléatoires Exercice 7 [ ] [Correctio] Soiet X et Y deux variables aléatoires fiies sur u espace Ω. O suppose x, y XΩ YΩ, PX x, Y y PX x PY y Motrer que les variables X et Y sot idépedates. Exercice 8 [ ] [Correctio] Motrer que deux évèemets sot idépedats si, et seulemet si, leurs foctios idicatrices défiisset des variables aléatoires idépedates. Exercice 9 [ ] [Correctio] Deux variables aléatoires idépedates X et Y suivet des lois biomiales de tailles et m et de même paramètre p. Peut-o idetifier la loi suivie par la variable aléatoire Z X + Y? Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 28 décembre 2016 Eocés 2 Exercice 10 [ ] [Correctio] Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates. Les variables aléatoires X + Y et X Y sot-elles idépedates? Exercice 11 [ ] [Correctio] Soiet X et Y deux variables aléatoires preat pour valeurs a 1,..., a avec PX a i PY a i p i O suppose que les variables X et Y sot idépedates. Motrer que PX Y p i 1 p i Exercice 12 [ ] [Correctio] Soiet X ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé fii Ω, P et f ue applicatio défiie sur XΩ. À quelle coditio les variables aléatoires X et f X sot-elles idépedates? Espérace Exercice 13 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire réelle sur u espace probabilisé fii. Établir E X 2 E X 2 Exercice 14 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire preat ses valeurs das {0, 1,..., N}. Établir N 1 EX PX > 0 Exercice 15 [ ] [Correctio] O se propose d aalyser le sag d ue populatio de N idividus pour y déceler l évetuelle présece d u virus dot o sait qu il affecte ue persoe doée avec la probabilité p idépedammet des autres. O dispose pour cela de deux protocoles : Protocole 1 : O aalyse le sag de chacu des N idividus. Protocole 2 : O regroupe les idividus par groupe de o suppose N divisible par. O rassemble la collecte de sag des idividus d u même groupe et o teste l échatillo. Si le résultat est positif, o aalyse alors le sag de chacu des idividus du groupe. a Préciser la loi de la variable aléatoire X égale au ombre de groupes positifs. b Soit Y la variable aléatoire détermiat le ombre d aalyses effectuées das le deuxième protocole. Exprimer l espérace de Y e foctio de, N et p. c Comparer les deux protocoles pour les valeurs N 1 000, 10 et p 0,01. Exercice 16 [ ] [Correctio] Das cet exercice, les variables aléatoires sot toutes supposées predre leurs valeurs das Z. O appelle foctio caractéristique d ue variable aléatoire X l applicatio ϕ X : R C défiie par ϕ X u E e iux a Vérifier que ϕ X est 2π-périodique et de classe C. Calculer ϕ X 0. Commet iterpréter ϕ X 0 et ϕ X 0? b Calculer la foctio caractéristique d ue variable X suivat ue loi de Beroulli de paramètre p. Même questio avec ue loi biomiale de paramètres et p. c Soiet X ue variable aléatoire réelle et x 0 u etier. Vérifier E déduire PX x 0 1 2π ϕ X ϕ Y 2π 0 ϕ X ue iux 0 du X Y d Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates. Vérifier ϕ X+Y ϕ X ϕ Y e Exploiter ce résultat pour retrouver la foctio caractéristique d ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 28 décembre 2016 Eocés 3 Exercice 17 [ ] [Correctio] Soit p ]0 ; 1[ et X N ue suite de variables aléatoires mutuellemet idépedates vérifiat PX 1 p et PX 1 1 p a Calculer l espérace de X. b O pose Y E calculat de deux faços l espérace de Y, détermier p PY 1. c Quelle est la limite de p quad +. Exercice 18 [ ] [Correctio] Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates à valeurs das 1 ;. a Exprimer EX e foctio de PX. b O suppose les variables X et Y uiformes. Détermier l espérace de mix, Y puis de maxx, Y. Détermier aussi l espérace de X Y. Exercice 19 [ ] [Correctio] Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles sur u espace probabilisé fii Ω, P. O suppose N, EX EY Motrer que X et Y suivet les mêmes lois. 1 Calcul d espéraces et de variaces Exercice 20 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire à valeurs das {0, 1,..., } telle qu il existe a R vérifiat PX a Calculer l espérace et la variace de X. X Exercice 21 [ ] [Correctio] Ue ure cotiet boules blaches et boules rouges. O tire simultaémet boules das celle-ci et o ote X le ombre de boules rouges obteues lors de ce tirage. Quelle est la loi de X, so espérace, sa variace? Exercice 22 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire biomiale de taille et de paramètre p ]0 ; 1[. Calculer l espérace de la variable 1 Y X + 1 Exercice 23 [ ] [Correctio] Das ue ure coteat boules blaches et boules rouges, o prélève successivemet et sas remise les boules. O ote X le ombre de tirages juste écessaire à l obtetio de toutes les boules rouges. a Détermier la loi de X. b Calculer so espérace et sa variace Exercice 24 [ ] [Correctio] O muit l esemble S des permutatios de 1 ; de la probabilité uiforme. Pour chaque s S, o pose Xs le ombre de poits fixes de s. Calculer l espérace et la variace de X. Exercice 25 [ ] [Correctio] Soiet X 1,..., X des variables mutuellemet idépedates suivat ue même loi d espérace m et de variace σ 2. a O pose Calculer espérace et variace de X. b O pose Calculer l espérace de V. X 1 V 1 1 X i 2 Xi X Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 28 décembre 2016 Eocés 4 Exercice 26 [ ] [Correctio] U fumeur a u paquet de N cigarettes das chacue de ses deux poches. Chaque fois qu il veut fumer, il choisit ue poche au hasard pour predre ue cigarette. Il répète cela jusqu à ce qu il tombe sur u paquet vide. Soit X N la variable aléatoire qui doe le ombre de cigarettes restat das l autre paquet à ce momet-là. a Écrire ue foctio Pytho qui simule l expériece et retoure X N. Faire la moyee pour tests. b Proposer u espace probabilisé Ω, T, P qui modélise l expériece. c Exprimer la loi de X N. d Motrer que, pour 1 ; N 2N 1PX N + 1 2N PX N e Calculer l espérace de X N puis doer u équivalet de EX N. Covariace Exercice 27 [ ] [Correctio] Soit X et Y deux variables aléatoires réelles sur l espace probabilisé Ω, P. Motrer CovX, Y VX VY Exercice 28 [ ] [Correctio] Soit X et Y deux variables aléatoires réelles sur l espace probabilisé Ω, P avec VX > 0. Détermier a, b R tels que la quatité soit miimale. E [Y ax + b] 2 Exercice 29 [ ] [Correctio] À u péage autoroutier voitures frachisset au hasard et idépedammet l ue des trois barrières de péage mises à leur dispositio. O ote X 1, X 2, X 3 les variables aléatoires déombrat les voitures ayat frachi ces barrières. a Détermier la loi de X 1. b Calculer les variaces de X 1, X 2 et de X 1 + X 2. c E déduire la covariace de X 1 et X 2. Iégalités de Marov et de Bieaymé-Tchebychev Exercice 30 [ ] [Correctio] Soiet X ue variable aléatoire réelle et g: R + R + ue foctio strictemet croissate. Motrer que a 0, P X a E g X ga Exercice 31 [ ] [Correctio] Ue variable aléatoire X suit ue loi du biôme de paramètre p et de taille. Établir pour ε > 0, X P p p1 p ε ε Exercice 32 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale de taille et de paramètre p. Motrer que pour tout λ, ε > 0 P X p > ε E expλx p ε Exercice 33 [ ] [Correctio] [Sodage] Ue populatio de persoes présete ue propriété doée avec ue proportio icoue p ]0 ; 1[. O choisit u échatillo de persoes et l o pose X i 1 si le i-ème idividu présete la propriété étudiée, 0 sio. O cosidère que les variables aléatoires X i aisi défiies sot idépedates et suivet toute ue loi de Beroulli de paramètre p. a Quelle est la loi suivie par S X X? b Détermier espérace et variace de S /. c Soit ε > 0. Établir S P p > ε 1 4ε 2 d Pour ε 0, 05, quelle valeur de choisir pour que S / soit voisi de p à ε près avec ue probabilité supérieure à 95 %? Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 28 décembre 2016 Eocés 5 Exercice 34 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire de loi biomiale de paramètres et p. Soit N. Établir PX + 0 Exercice 35 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire d espérace µ et de variace σ 2. Motrer P µ ασ < X < µ + ασ 1 1 α 2 Exercice 36 [ ] [Correctio] Soit X ue variable aléatoire de moyee µ et de variace σ 2. E itroduisat la variable aléatoire Motrer que pour tout α > 0 Y [ αx µ + σ ] 2 P X µ + ασ α 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 6 Correctios Exercice 1 : [éocé] Par défiitio d ue loi biomiale et doc pour 1 O e déduit p p 1 p p + 1 p 1 p 1 p p p p E otat 0 la partie etière de + 1p. La suite p 0 0 est croissate et la suite p 0 est décroissate. Le maximum de p est doc atteit e 0. Exercice 2 : [éocé] Rappelos a Pour 1 ;, o a doc b,, p p 1 p b,, p b 1,, p + 1 p 1 p b,, p 1 + 1p b 1,, p La suite fiie b,, p 0 est doc croissate jusqu au plus grad etier m iférieur à + 1p puis deviet décroissate esuite. O peut doc affirmer b La foctio f est dérivable avec m + 1p f x m xx m 1 1 x m 1 La foctio f est doc croissate sur [0 ; m/] et décroissate sur [m/ ; 1]. c Si m [p ; + 1p] alors m/ + 1 p m/ et puisque f est croissate sur [0 ; m/] f m/ + 1 f p f m/ ce qui coduit à l ecadremet demadé. d Si m [ + 1p 1 ; p] alors m/ p m + 1/ + 1 et par décroissace de f sur [m/ ; 1], o obtiet b m,, m + 1 bm,, p b m,, m + 1 e Quad +, o a m + 1p p + et m 1 p + ce qui permet d écrire simultaémet! 2π e, m! 2πmm m e m et m! 2π m m m e m O e déduit après calcul b m,, m 2πm m 1 2πp1 p O obtiet les mêmes équivalets pour m b m,, + 1 et l o peut doc coclure par ecadremet b m,, p Exercice 3 : [éocé] XΩ YΩ 0 ;. Pour 0 ;, doc PX PY PX et b m,, m πp1 p p 1 p p 1 p La variable aléatoire Y suit ue loi biomiale de taille et de paramètre q 1 p. Exercice 4 : [éocé] Compte teu de l expériece modélisée, o peut affirmer que la variable X suit ue loi biomiale de paramètres et p. PX p 1 p Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 7 De plus, pour 0 ;, si l évéemet X est réalisé, il y a questios pour lesquelles l étudiat répod au hasard avec ue probabilité 1/4 de réussir : P Y j X j 1 4 j j 3 avec j 0 ; 4 a La variable Z pred ses valeurs das 0 ;. Pour 0 ;, l évéemet Z peut être décomposé e la réuio disjoite des évéemets X j, Y j avec j {0, 1,..., } Aisi Par probabilité composées Aisi Or O e déduit P Z PX j, Y j j0 PX j, Y j P Y j X j PX j PZ PZ Par la formule du biôme O simplifie b O a alors j0 j j j PZ PZ EZ j j p 4 j 3 4! j!! j! j0 p j 1 p j j j j 1 1 p p j j p 1 p + p 4 4 3p q 1 q avec q p et VZ 33p + 11 p 16 Exercice 5 : [éocé] La modélisatio etraîe que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale de paramètres et p : PX p 1 p avec 0 ; La variable aléatoire Y est quat à elle bie coue que lorsque le ombre X de cibles restat l est, elle suit alors ue loi de Beroulli P Y l X p l l 1 p l avec l Par probabilités totales Par probabilités composées Ceci doe Or et doc Par la formule du biôme PZ m PZ m PZ m m PX, Y m 0 m PX P Y m X 0 m PZ m PZ m avec q p2 p. La variable Z suit ue loi biomiale. Exercice 6 : [éocé] m p m 1 p 2 m m 0!!m! m! p m 1 p 2 m m m 0 p m 2 m 2 pm 1 p m 1 p m m m m 1 1 p q m 1 q m m Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 8 a ZΩ {0, 1} et PZ 0 PX 0, Y 0. Par idépedace PZ 0 PX 0 PY 0 1 p1 q. O e déduit que Z suit ue loi de Beroulli de paramètre r 1 1 p1 q p + q pq b Numérotos les cibles de 1 à et défiissos les variables aléatoires X i et Y i détermiat si la cible i est touchée par l u ou l autre des deux archers. Ces variables sot idépedates, X i suit ue loi de Beroulli de paramètre p et Y i de paramètre q. La variable Z i maxx i, Y i détermie si ue cible a été touchée au mois ue fois. Le ombre de cibles touchées au mois ue fois est doc N Les variables Z i état idépedates, la variable N suit ue loi biomiale de paramètres et r p + q pq. c Le ombre M de cibles épargées et M N. La loi suivie est biomiale de paramètre et 1 r 1 p1 q. Exercice 7 : [éocé] Soiet A {x 1,..., x } et B {y 1,... y m }. O a X A Y B X x Y y E développat Cette réuio état disjoite et doc Fialemet X A Y B PX A, Y B x A x,y A B x,y A B Z i y B X x Y y PX x PY y PX A, Y B PX x PY y x A y B PX A, Y B PX A PY B Les variables aléatoires X et Y sot doc bie idépedates. Exercice 8 : [éocé] Soiet A, B deux évèemets de l espace probabilisé Ω, P. Supposos les foctios idicatrices 1 A et 1 B idépedates. O a ce qui se relit P1 A 1, 1 B 1 P1 A 1 P1 B 1 PA B PA PB Iversemet, supposos les évèemets A et B idépedats. O sait qu alors Ceci se relit PA B PA PB, PĀ B PĀ PB, PA B PA P B et PĀ B PĀ P B P1 A 1, 1 B 1 P1 A 1 P1 B 1, P1 A 0, 1 B 1 P1 A 0 P1 B 1, P1 A 1, 1 B 0 P1 A 1 P1 B 0 et P1 A 0, 1 B 0 P1 A 0 P1 B 0 O e déduit que les variables aléatoires 1 A et 1 B sot idépedates. Exercice 9 : [éocé] La variable Z pred ses valeurs das {0, 1,..., + m}. L évéemet Z l est la réuio des évéemets X, Y l et doc Par idépedace et doc PZ l l PX, Y l 0 PX, Y l PX PY l PZ l l 0 m p l 1 p +m l l Or, e cosidérat le coefficiet de X l das le développemet des deux membres de l idetité 1 + X +m 1 + X 1 + X m Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 9 o obtiet et fialemet l 0 m l + m + m PZ l p l 1 p +m l l La variable aléatoire Z suit ue loi biomiale de taille + m et de paramètre p. Exercice 10 : [éocé] La répose est égative e gééral. Supposos que X et Y suivet des lois de Beroulli de paramètre 1/2. O a PX + Y 2 PX 1 PY 1 1/4 et PX Y 0 PX 0 PY 0 + PX 1 PY 1 1/2 Or l évéemet X + Y 2 est iclus das l évéemet X Y 0 doc et l o costate PX + Y 2 X Y 0 PX + Y 2 PX + Y 2 X Y 0 PX + Y 2 PX Y 0 Exercice 11 : [éocé] L évéemet {X Y} se décompose e les évéemets icompatibles {X a i Y a i }. Par hypothèse d idépedace doc puis par complémetatio Efi, o coclut sachat P {X a i Y a i } P {X a i } P {Y a i } p 2 i P {X Y} P {X Y} 1 1 p i l p 2 i p 2 i Exercice 12 : [éocé] Supposos les variables aléatoires X et f X idépedates. Soiet ω Ω vérifiat P{ω} > 0. Posos x Xω et y f x. O a P f X y X x P f X y X x PX x Or {X x} { f X y}, doc P f X y X x 1 Cepedat, les variables X et f X état supposées idépedates P f X y X x P f X y Aisi f X y presque sûremet. La réciproque est immédiate et doc X et f X sot idépedates si, et seulemet si, f X est presque sûremet costate. Exercice 13 : [éocé] Par la formule de Huyges Exercice 14 : [éocé] Notos p PX. O a par défiitio VX E X EX 2 EX 2 EX 2 0 EX Or {X } {X > 1} \ {X > } doc doc EX N p 0 N p 1 p PX > 1 PX > N N PX > 1 PX > 1 Par décalage d idice das la première somme 0 1 N 1 N EX + 1 PX > PX > 1 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 10 E supprimat le derier terme assurémet ul de la deuxième somme et e y ajoutat u terme ul correspodat à l idice 0 N 1 N 1 EX + 1 PX > PX > 0 Efi, e combiat ces sommes Exercice 15 : [éocé] 0 N 1 EX PX > 0 a Das u groupe doé, le ombre Z d idividus ifectés suit ue loi biomiale de taille et de paramètre p. L échatillo du groupe sera positif si Z 1. La probabilité qu u échatillo de groupe soit positif est doc q PZ 1 PZ p 1 L ifectio ou o d u groupe suit ue loi de Beroulli de probabilité q. Les groupes pouvat être cosidérés comme idépedats, le ombre X de groupes ifectés suit ue loi biomiale de taille N/ et de paramètre q. b Le ombre Y d aalyses se déduit du ombre X de groupes ifectés par la relatio L espérace de Y est Y N + X EY N + EX N 1 + q N p c Le premier protocole coduit à 1000 aalyses alors que le secod e demade qu e moyee 196 Exercice 16 : [éocé] a Notos x 1,..., x les valeurs etières prises par X. O a ϕ X u e iux PX x 1 La foctio ϕ X est alors combiaiso liéaire de foctios 2π-périodiques car x Z et de classe C. ϕ X 0 E1 1, ϕ X 0 1 b Si X suit ue loi de Beroulli de paramètre p ix PX x iex et ϕ X 0 EX2 ϕ X u 1 p + pe iu Si X suit ue loi biomiale de paramètres et p ϕ X u 0 c Avec les otatios qui précèdet 2π 0 ϕ X ue iux 0 du p 1 p e iu 1 p + pe iu PX x 0 2π Puisque x x 0 est u etier 2π e iux x 0 0 si x x 0 du 0 2π si x x 0 et doc Si ϕ X ϕ Y alors et doc X Y. 2π 0 ϕ X ue iux 0 du 2π PX x 0 x 0 Z, PX x 0 PY x 0 d Notos que X + Y pred ses valeurs das Z comme X et Y. 0 e iux x 0 du ϕ X+Y u E e iux+y E e iux e iuy E e iux E e iuy ϕ X uϕ Y u car les variables X et Y sot supposées idépedates. e Ue loi biomiale de paramètres et p peut se compredre comme la somme de loi de Beroulli idépedates de paramètre p. Avec cet exercice, o perçoit la trace das ue situatio particulière de résultats beaucoup plus gééraux. Il est assez fréquet d étudier ue variable aléatoire par la foctio caractéristique associée. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 11 Exercice 17 : [éocé] a EX 1 p p 2p 1. b Par l idépedace des variables Aussi Y {1, 1} et O e déduit c Puisque p < 1, p 1/2. Exercice 18 : [éocé] a E écrivat o obtiet b Par la propriété au-dessus Puisque o obtiet Aussi doc E mix, Y EY EX 2p 1 1 EY 1 p p 2p 1 p 1 + 2p 1 2 PX PX PX + 1 EX PX 1 PX 1 PX et Y 1 E mix, Y 1 2 PX PY 1 PX PY E maxx, Y mix, Y + maxx, Y X + Y Ecore doc mix, Y 1 X + Y X Y 2 E X Y + 1 Exercice 19 : [éocé] Notos x 1,..., x les élémets de XΩ YΩ. O peut écrire N, EX x i PX x i Soit j 1 ;. Cosidéros maiteat u polyôme L j preat la valeur 1 e x j et la valeur 0 e les x i avec i j. E otat N le degré de L j, o peut écrire et alors Parallèlemet et doc a 0 + a 1 EX + + a N EX N a 0 + a 1 EY + + a N EY N Exercice 20 : [éocé] La valeur de a se déduit de l idetité et l o obtiet a 1/2. L espérace de X est EX a L j x a 0 + a 1 x + + a N x N L j x i PX x i PX x j L j x i PY x i PY x j PX x j PY y j PX 1 0 a a Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 12 et la variace est Or doc puis EXX 1 a VX EX 2 EX 2 1 a 1 2 EX 2 EXX 1 + EX 2 VX Exercice 21 : [éocé] E distiguat les boules, il y a 2 tirages possibles et, pour 0, exactemet tirages coduisat à l obtetio de boules rouges. O e déduit L espérace de X est avec O a EX PX e cosidérat le coefficiet de X 1 das le développemet de et doc 1 + X X 1 + X EX 1 2 O calcule la variace VX par la relatio VX EX 2 EX 2 e commeçat par calculer EXX 1. EXX et e cosidérat le coefficiet de X 2 das le développemet de o obtiet puis et efi Exercice 22 : [éocé] Puisque l espérace de Y est doée par 1 + X X 1 + X EXX EX 2 VX PX EY p 1 p 1 p 1 p + 1 Or doc puis par glissemet d idice EY EY p p 1 p p 1 p +1 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 13 et efi par la formule du biôme avec u terme maquat Exercice 23 : [éocé] EY 1 1 p+1 p + 1 a Les valeurs prises pas X sot les élémets de {, + 1,..., 2}. Distiguos les boules. Le ombre de tirages possibles est 2! Les tirages de + boules coteat toutes les boules rouges sas pour autat termier par ue boule rouge sot au ombre de +!! E effet, o choisit emplacemets pour les boules blaches parmi les + correspodat au début du tirage extrayat les rouges. O positioe esuite les boules rouges das les emplacemets restats et les boules blaches das les emplacemets réservés et sur la fi du tirage. O a doc PX +!2 + 2! O e déduit b L espérace de X est Or doc PX +!2 2! EX EX!2 2! [ + ] + 1! ! + P X ! ! Pour calculer la variace, commeços par calculer EXX + 1. EXX P X + 0 Or puis doc et efi EXX + 1! ! EX 2 EX 2 + X EX VX EX 2 EX Exercice 24 : [éocé] Notos S le sous-esemble de S costitué des permutatios possédat exactemet 0 ; poits fixes. Cosidéros alors O observe EX PX 1! 0 Card S 0 Ω S 1 ; {s, x s S et x 1 ; } Card S Card {s, x Ω sx x} 0 Puisqu il y a autat de permutatios das S vérifiat sx a que de permutatio vérifiat sx b, et doc Aussi Cosidéros alors Card {s, x Ω sx x} 1 Card Ω! EXX 1 1! EX 1 1 Card S 0 Ω {s, x, y s S et x, y 1 ;, x y} Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 14 O observe 1 Card S Card { s, x, y Ω sx x et sy y } 0 U argumet d uiformité aalogue au précédet fourit et doc O e déduit Exercice 25 : [éocé] a Par liéarité de l espérace Card { s, x, y Ω sx x et sy y }! EXX 1 1 VX EXX 1 + EX EX 2 1 E X 1 EX i m Puisque de surcroît les variables sot mutuellemet idépedates b E développat V 1 1 V X 1 2 Xi 2 2 X Par liéarité de l espérace puis et efi EV 1 1 EV 1 1 VX i σ2 X i + X 2 1 Xi 2 1 E Xi 2 1 E X 2 σ 2 + m 2 σ m2 EV σ 2 1 X 2 Exercice 26 : [éocé] a from radom import radom def simuln: P1,P2 N,N while P1 * P2 > 0: if radom < 0.5: P1 P1-1 else: P2 P2-1 retur P1 + P2 N 20 C 0 for i i rage1000: C C + simuln pritc/1000 b O peut predre Ω {1, 2} 2N mui de la tribu discrète et de la probabilité uiforme pour modéliser la successio de 2N choix de l u ou l autre paquet. c La variable X N pred ses valeurs das 1 ; N. Pour 1 ; N, o a X N lorsque N fois le paquet 1 a été choisi et N fois le paquet 2, le derier choix état fait das le paquet 1. O a aussi X N das la situatio symétrique. O e déduit : 2N + 1 PX 2 1 N 1 2 2N le coefficiet biomial correspod au positioemet des N 1 valeurs 1 das les 2N + 1 positios possibles le derier 1 état e positio 2N. d La formule se vérifie e exprimat les coefficiets biomiaux sous forme factorielle le cas N état traité à part. e O somme la formule qui précède et o simplifie sachat O coclut N N PX N 1, PX N PX N 1 1 et 1 N + 1 PX N + 1 EX N PX N 1 1 EX N 2N 1 PX N 1 2N 1 2 2N 2 2N 2 N 1 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 15 Par la formule de Stirlig EX N N + 2 N π Exercice 27 : [éocé] Pour λ R, itroduisos Z λx + Y. O a VZ 0 avec VZ λ 2 VX + 2λ CovX, Y + VY Si VX 0, o a écessairemet CovX, Y 0 pour que VZ soit positif pour tout λ R. Si VX 0, o a écessairemet 4CovX, Y 2 4VX VY 0 pour que VZ soit positif pour tout λ R. Das les deux cas, o obtiet CovX, Y VX VY Exercice 28 : [éocé] O a E [Y ax + b] 2 V Y ax + b + E Y ax + b 2 D ue part et doc D autre part V Y ax + b VY ax a 2 VX 2a CovX, Y + VY V Y ax + b VY ax 2 CovX, Y a VX + VX O e déduit que est miimale pour a VX VY CovX, Y2 VX E Y ax + b 2 0 pour b EY a EX CovX, Y VX E [Y ax + b] 2 et b VX EY CovX, Y EX VX Ces valeurs de a et b réaliset ue régressio liéaire : elles doet la meilleure expressio liéaire de Y e foctio de X. Exercice 29 : [éocé] a Chacue des voitures a la probabilité p 1/3 de choisir le premier péage. Dès lors, la variable aléatoire X 1 peut se compredre comme état le ombre de succès das ue série de épreuves idépedates ayat chacue la probabilité p de réussir. La variable X 1 suit ue loi biomiale de paramètres et p 1/3. b VX 1 p1 p 2/9 et VX 2 2/9 car X 1, X 2, X 3 suivet les mêmes lois. Puisque X 1 + X 2 X 3, VX 1 + X 2 V X 3 VX 3 2/9. c Sachat o obtiet VX 1 + X 2 VX 1 + 2CovX 1, X 2 + VX 2 CovX 1, X 2 /9 Exercice 30 : [éocé] Puisque la foctio g est strictemet croissate, les évéemet X a et g X ga sot idetiques. Or l iégalité de Marov doe et doc Exercice 31 : [éocé] Rappelos Cosidéros la variable aléatoire Par l iégalité de Marov doc E g X ga P g X ga P X a E g X ga EX p et VX p1 p Y X p X EX P Y a E Y ε X P p ε E Y ε Or E Y EY 2 avec EY 2 VX p1 p doc X P p p1 p ε ε Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [ édité le 28 décembre 2016 Correctios 16 Exercice 32 : [éocé] Par stricte croissace de l expoetiel, l évéemet X p > ε équivaut à l évéemet exp λx p ε 1 L iégalité de Marov appliquée à la variable Y exp λx p ε permet alors de coclure P exp λx p ε 1 E exp λx p ε Exercice 33 : [éocé] a S soit ue loi biomiale de paramètres et p. b Puisque S suit ue loi biomiale, ES p et VS p1 p. Par coséquet S S p1 p E p et V c Par l iégalité de Bieaymé-Tchebychev P S S E > ε 1 VS / ε 2 et doc S P p > ε p1 p ε 2 Efi, l iégalité classique p1 p 1/4 permet de coclure. d O choisit de sorte que La valeur 2000 est coveable. 1/4ε 2 0, 05 Exercice 35 : [éocé] Par l iégalité de Bieaymé-Tchebychev P X µ ασ < σ2 ασ 2 1 α 2 O coclut par cosidératio d évèemet complémetaire. Exercice 36 : [éocé] O a EY α 2 E X µ 2 + 2α EX µ + σ 2 α 2 + 1σ 2 L iégalité de Marov appliquée à la variable positive Y doe Pour a σ 2 α , Or et doc puis PY a EY a PY a α 2 X µ + ασ αx µ + σ α 2 + 1σ X µ + ασ Y a P X µ + ασ α 2 Exercice 34 : [éocé] Par l iégalité de Bieaymé-Tchebychev Choisissos ε > 0 pour que P X p ε p1 p ε 2 X X p ε La valeur ε p coviet et est strictemet positive pour assez grad. O a alors P X p1 p p Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

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