Probabilité variables aléatoires

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1 Probabilité variables aléatoires Variable aléatoire et loi de probabilté Definiton Lorsqu'a chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on dit que l on définit une variable aléatoire. Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule X, Y, Z... Lorsque a l, a 2..., a n sont les valeurs prises par une variablealéatoire X, onnote (X =a j )l'évenement «X prend la valeur a j» (avec 1 j n). Definition Lorsqu'a chaque valeur a j (avec 1 j n).prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité de l'événement (X = a j ) ondit que l'on définit la loi de probabilité de X. Esperance mathematiques variance ; ecart type Considérons une variable aléatoire X qui prend les valeurs a l,...,a n, L'espérance mathématique de X est le nombre noté E(X) défini par: E(X)=a 1 P(X=a 1 )+a 2 P(X=a 2 )+a 3 P(X=a 3 )+ a n P(X=a n ) Remarque L'espérance mathématique peut être Interprétée comme une valeur moyenne dans le cas d'un grand nombre de répétitions Variance V(X)= n i 1 ( a E( X ))² p i Ecart type de : X = V(X) Remarque : V(X)=E(X²)-(E(X))² QUELQUES CAS PARTICULIER DE V.A. i Definition VA centrée réduite Lorsque l esperance mathématique d une VA est nulle, on dit que cette variable est centree. Lorsque l ecart type de VA vaut 1 ; on dit qu elle est reduite.

2 Repetitions d experiences arbres ponderes Il est commode de représenter une répétition d'expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré. On peut alors appliquer la règle suivante : La probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.

3 VARIABLE ALÉATOIRE ax + b Lors d'une campagne de promotion, la société de vente par correspondance consent à ses clients privilégiés une réduction de 10 % sur l'ensemble des montres décrites dans le paragraphe précédent. Par ailleurs, l' envoi d' une montre coûte 2 euros. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque montre, associe le prix payé par un client privilégié. X étant toujours la variable aléatoire qui, à chaque montre associe son prix marqué sur le catalogue, on a Y = 0,9X + 2. Les valeurs prises par X et Y sont données dans le tableau ci-dessous : X Y La loi de probabilité de Y est : k P(Y.k) 0,5 0,3 0,2 Les espérances mathématiques et les variances de X et de Y sont : E(X) = 17 ; V(X) = 61 ; E(Y) = 17,3 ; V(Y) = 49,41. O n peut r em arquer que : Ce résultat est général : E (Y) = 0, 9 E(X ) + 2 et V ( Y) = 0,9 2 V(X) THÉORÈME X étant une variable aléatoire discrète et a et b deux réels, on a : (1) E(aX + b) = ae(x) + b et (2) V(aX + b) = a 2 V(X) Démontrons la formule (1). La formule (2) s'explique par le fait que la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire ne change pas lorsqu'on ajoute un même nombre à toutes ces valeurs. C'est pourquoi la variance de ax + b ne dépend pas de bune conséquence immédiate, utile dans un prochain chapitre : THÉORÈME Si X est une variable aléatoire d esperance mathématique m et d'écart réduite. X m t y pe a non nul, al o r s l a v a r i able al é a to i re e s t ce n t rée

4 COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES Indépendance de deux variables aléatoires Reprenons les 10 montres proposées par le catalogue : 2 montres qui coûtent 30 euros, 3 montres qui coûtent 20 euros et 5 montres qui coûtent 10 euros. Supposons que l'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard 2 montres différentes et que la seconde montre choisie soit cédée avec 10 % de réduction. Il s'agit d'un tirage sans remise, car la première montre choisie ne participe plus au second choix. Soit X 1 la variable aléatoire qui, à chaque double tirage, associe le prix de la première montre choisie. Les valeurs prises par X 1 sont 10, 20 et 30. Soit X2 la variable aléatoire qui, à chaque double tirage, associe le prix de la deuxième montre choisie. Les valeurs prises par X2 sont 19, 18 et 27. L arbre des probabilités est le suivant : Probabilité conditionnelle = 27

5 On remarque que la probabilité des résultats obtenus au second tirage est conditionnée par les événements réalisés au premier tirage : les deux variables aléatoires X 1 et X2 sont dépendantes. Supposons maintenant que l'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard et avec remise 2 montres du catalogue, la seconde montre bénéficiant toujours de 10 % de réduction et pouvant être identique à la première montre. Soit Y 1 la variable aléatoire qui, à chaque double tirage, associe le prix de la première montre choisie. Soit Y2 la variable aléatoire qui, à chaque double tirage, associe le prix de la deuxième montre choisie. L'arbre des probabilités est le suivant : Probabilité 5 5 P((Y i = 10) n (Y 2 = 9 )) = x = 0, P((Y i = 10) n (Y 2 = 18)) = 7) x = 0,15 P((Y 1 = 10) n (Y 2 = 27 )) = 5 x = 0,10 P((Y i = 20) n (Y 2 = 9)) = 3 x 5 = 0, P((Y i = 20) n (Y 2 = 18)) = - 117) x = 0, P((Y i = 20) n (Y 2 = 27)) = 7) x To - = 0, P((Y 1 = 30) n (Y 2 = 9 )) = x = 0, P((Y i = 30) n (Y 2 = 18)) = To - x = 0, P((Y i = 30) n (Y 2 = 27)) = 7) x = 0,04 Dans le cas du tirage avec remise, on dit que les deux variables aléatoires Y 1 et Y 2 sont indépendantes car la probabilité d'un événement réalisé au deuxième tirage ne dépend pas du résultat obtenu au premier tirage. Définition: VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si, pour toute valeur a prise par X et toute valeur b prise par Y, les événements (X = a) et (Y = b) sont indépendants.2. Somme de deux variables aléatoires Reprenons l'expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard et avec remise 2 montres dans le catalogue décrit précédemment. On s'intéresse à la variable

6 aléatoire Z qui, à chaque double tirage avec remise, associe la somme des prix ces 2 montres tirées. C.,-)mme Z = Y 1 + Y2, la loi de probabilité de Z s'obtient immédiatement à partir de l'arbre ci-dessus : k k) P(Z=k 0,25 0,15 0,15 0,10 0,09 0,10 0,06 0,06 0,04 1 D après ce tableau, l'espérance mathématique et la variance de Z sont : E ( Z ) = 3 2, 3 e t V ( Z ) = 1 1 0, 4 1. Cr. la loi de probabilité de la variable aléatoire Y 1 est : k P(Y 1 =k) 0,50 0,30 0,20 1 D après ce tableau, l'espérance mathématique et la variance de Y 1 sont : E ( Y 1 ) = 1 7 e t V ( Y 1 ) = 6 1. même, la loi de probabilité de la variable aléatoire Y2 est : P(Y 2 =k) k ,50 0,30 0,20 1 D après ce tableau, l'espérance mathématique et la variance de Y2 sont : P(Y 2) = 15,3 et V(Y 2 ) = 49,41. On remarque immédiatement que : E ( Z ) = E ( Y 1 ) + E ( Y 2 ) e t V ( Z ) = V ( V 1 ) + V ( Y 2 ). THEOREME Pour deux variables aléatoires X et Y quelconques : On ae(x + Y) = E(X) + E(Y) Pour deux variables aléatoires X et Y indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y) Dans certains exemples, on aura besoin d'étudier la différence de deux variables toires : X - Y. On aura alors : Pour deux variables aléatoires X et Y quelconques E(X -Y) = E(X)-E(Y) Pour deux variables aléatoires X et Y indépendantes : V(X -Y) = V(X) + V(Y) En effet, les formules obtenues pour la variable aléatoire a X + b donnent, dans cas où a = - 1 et b = 0 : - E ( - Y ) = - 1 E ( Y ) = - E ( Y ) e t V ( - Y ) = ( - 1 ) 2. V ( Y ) = V ( Y ).

7 3. Somme de n variables aléatoires Un grand magasin reçoit des colis en grande quantité. Le poids en kilogrammes des colis est une variable aléatoire d'espérance mathématique 300 kg et d'écart type 50 kg. Ces colis sont transportés dans un monte-charge sur lequel on en place en général 25. Analysons la variable aléatoire P qui, à chaque groupe de 25 colis, associe leur poids total. Soit P 1 la variable aléatoire qui, à chaque groupe de 25 colis, associe le poids du premier colis. Soit P2 la variable aléatoire qui, à chaque groupe de 25 colis, associe le poids du deuxième colis. D'une manière générale, pour tout entier i tel que 1 i 25, soit P i la variable aléatoire qui, à chaque groupe de 25 colis, associe le poids du i-ème colis. On a alors : P = P 1 + P P 2 5 Les variables aléatoires P i ont toutes la même espérance mathématique 300 kg. Donc : E(P) = E(P 1 ) + E(P 2 )+ + E(P 2 5 ) = 25 X 300 = Pour calculer la variance de P, peut-on faire l'hypothèse que les variables aléatoires P, sont indépendantes? Autrement dit, la probabilité de choisir un colis d'un certain poids change-t-elle au cours du remplissage du monte-charge? Le nombre des colis à transporter dans ce grand magasin étant très important, la suppression de 3, 10 ou 25 colis ne change pas ou très peu cette probabilité. On considère donc ici, dans le modèle probabiliste retenu, que les variables aléatoires P 1 sont indépendantes. Et puisqu'elles ont toutes la même variance 50 2, on a : V(P) = V(P 1 ) + V(P 2 ) + + V(P 2 5 ) = 25 x 50 2 d'où : a p = 50,I25 = 250. On démontre aisément le résultat général : THÉORÈME Soit X1, X2,...X n, n variables aléatoires indépendantes de même espérance mathématique m et même écart type. Soit S la variable aléatoire définie Par : S = X 1 + X X n Alors : E(S) = nm et s = n Remarques : Bien que les variables aléatoires P i, aient toutes la même loi de probabilité, les variables aléatoires P' = 25P 1 et P = P 1 + P2 + P25 ne sont pas identiques. Certes, elles ont la même espérance mathématique puisque : E(P') = 25 E(P i ) = 25 X 300 = Mais elles n'ont pas le même écart type puisque : V(P') = 25 2 V(P i ) = 25 2 x 50 2 d'où : G p, = 25 x 50 =

8 Loi BINOMIALE 1. Schéma de Bernoulli 1.1) Épreuve de Bernoulli Lorsque, dans une expérience aléatoire, on s'intéresse uniquement à la réalisation d'un certain événement S (appelé «succès») ou à sa nonréalisation S (appelé «échec»), on dit que cette expérience est une épreuve de Bernoulli. Notons X la variable aléatoire prenant la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec. On dit que X suit une loi de Bernoulli. Exemple. Un jeu de dé est tel que le joueur gagne lorsque le 6 sort et perd dans le cas contraire. Appelons «succès» l'événement S «Sortie du 6»; l'échec S est donc l'événement «Le 6 ne sort pan. Si le dé n'est pas pipé :p(s) =1/6 et p( S )= 1--p(S) = 5/6 La variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si le 6 sort et la valeur 0 dans les cinq autres cas suit une loi de Bernoulli Schéma de Bernoulli Lorsqu'on effectue plusieurs épreuves de Bernoulli successives, indépendantes les unes des autres, on dit qu il s'agit d'un schéma de Bernoulli. Exemple. L'expérience qui consite à effectuer trois fois de suite l'épreuve de Bernoulli de l'exemple précédent est un schéma de Bernoulli.

9 2. Loi binomiale 2.1 Loi binomiale de paramètres n et p On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques. Pour chacune d'elles, on note p la probabilité d'obtenir un succès S. La loi de probabilité de la variable aléatoire X comptant le nombre de succès est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On note cette loi : B(n, p). 2.2 Coefficients binomiaux Exemple. Considérons un schéma de Bernoulli constitué par quatre épreuves de Bernoulli identiques. On pose : p = Prob(S). X est le variable aléatoire comptant le nombre de succès. Cette situation peut être représentée par l'arbre ci-après.

10 Theoreme On considère l'arbre associéà un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n expériences on note n k le nombre de chemins de l'arbre réalisant succès. Les nombres n k sont appelés les coefficients binomiaux. En pratique. Les calculatrices usuelles permettent d'obtenir ces nombres Pour les petites valeurs de n, ces nombres peuvent être calculés directement à l'aide d'un arbre 2.3 Formule de la loi binomiale Theoreme Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale B (n,p), alors : pour tout entier k = 0, 1, 2,..., n, Prob(X = k) = n k pk (1 p) n- k 2.4 Espérance de la loi binomiale Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale B (n,p), alors E(X) = np. Résultat admis