IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1

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1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Variables aléatoires Philippe Jamig Istitut Mathématique de Bordeaux pjamig/ X variable aléatoire de moyee µ de variace σ But : obteir des iformatios sur X à partir d iformatios partielles : u échatillo Defiitio X 1, X 2,, X variables aléatoires U échatillo de taille est ue réalisatio (x 1,, x ) de ces variables La faço d obteir cet échatillo est appelé échatilloage Applicatios aux statistiques IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 1 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 2 / 1 Exemple 1 Ue chaîe de fabricatio produit fours dot 2% sot défectueux, o ote D u four défectueux, M u four qui foctioe Le service de cotrôle-qualitée qui e coaît pas ces chiffres, teste aléatoiremet 100 fours pour estimer la qualitée de l esemble de la fabricatioil obtiet l échatillo (M, M, D, M, M, M, M, D, M, M,, M, D, M ) X variable aléatoire : état d u fouro a P[X = D] = 002 et P[X = M] = 098 Doc X suit ue loi de Berouilli p = 002 L échatillo est la réalisatio de (X 1,, X 100 ) où chaque X i est ue copie idépedate de X Exemple 2 O cosidère ue ure coteat des boules (umérotées, de couleurs distictes,) O souhaite obteir des iformatios sur sa coteace par échatilloage Pour cela, o va piocher boules das l ure X 1 sera la variable aléatoire coteat le résultat du premier tirage, X 2 celle coteat le résultat du deuxième tirage etc Le choix est aléatoire : pas plus de raiso de choisir ue boule qu ue autre (pas le cas, par ex pour les sodages) 2 possibilités : soit o remet la boule après chaque tirage les X i sot tous de même loi et idépedates o dit que l échatilloage est o exhaustif ou o e remet pas la boule : l échatilloage est exhaustif IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 3 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1

2 X variable aléatoire de moyee µ de variace σ X 1, X 2,, X, copies idépedates de X (même loi, doc même moyee et variace) x 1, x 2,, x u échatillo de taille associé Defiitio la moyee empirique de l échatillo est la quatité µ = x 1 + x x la variace empirique de l échatillo est la quatité σ 2 σ 2 = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x µ) 2 Exemple Soit ue ure coteat 10 boules umérotées de 1 à 10 Soit X la variable aléatoire coteat le résultat d u tirage O cosidère u échatillo aléatoire oexhaustif de taille 5 : (1, 4, 7, 9, 4) La moyee empirique de l échatillo est : µ = La variace empirique de l échatillo est : σ 2 = = = 7, 6 σ 2 = x x x 2 µ 2 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 5 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 6 / 1 Rappelos que pour X, l espérece est et la variace µ = = 5, 5 Iterprétatio : µ est ue réalisatio de la variable aléatoire X X La variace empirique est la réalisatio de la variable aléatoire σ 2 = (55) 2 = 825 X X 2 µ 2 doc µ µ et σ 2 σ 2 R la variable aléatoire (discrète) telle que P[R = x i ] = 1/ (loi uiforme sur l échatillo x 1,, x ) Alors E[R] = µ et Var(R) = σ 2 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 7 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 8 / 1

3 Loi forte des grads ombres Soit (X ) ue suite de variables aléatoires de même moyee µ Alors presque sûremet X 1 + X X µ Iterprétatio : pour assez grad, presque toute réalisatio de X 1 +X 2 + +X µ E particulier, µ µ et σ 2 σ 2 quad est assez grad Exercice Soit X la variable aléatoire mesurat le temps d attete avat d être mis e relatio avec u service après vete O souhaite évaluer le temps d attete moye aisi que la probabilité d attedre ciq miutes ou plus Pour cela o mesure aléatoiremet 20 temps d attete, o a doc u échatillo aléatoire o-exhaustif (x 1,, x 20 ) de taille 20 de la durée d attete X : i x i i x i IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 9 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 10 / 1 Itervalle de Cofiace Exercice 1 Doez ue estimatio du temps d attete moye 2 Doez ue estimatio de la probabilité d attete supérieure à 5 miutes Idicatio : itroduire y i qui vaut 1 si x i 5 et 0 sio Pourquoi la probabilité cherchée est-elle la moyee de y Répose : moyee 7, 85 miutes, proba 0, 8 Théorème cetral limite (TCL) Soiet X 1,, X des variables aléatoires idépedates de même moyee µ et même variace σ 2 Soit S = X 1 + X X et Z = S µ σ Alors Z N (0, 1) e loi, c est-à-dire, pour tous a < b, quad + P(Z [a, b]) b a 1 exp ( x 2 ) dx 2π 2 0 Ceci dit que la moyee de S est µ, sa variace σ et, pour assez grad, S se comporte comme la variable aléatoire gaussiee de moyee µ et de variace σ Das la pratique, o l utilise pour 30 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 11 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 12 / 1

4 Itervalle de Cofiace Itervalle de Cofiace Applicatio à l échatilloage : approche par itervalle de cofiace X ue variable aléatoire d espérace µ icoue et de variace σ 2 coue ou oet soit (x 1, x 2,, x ) u échatillo aléatoire o-exhaustif de taille correspodat à des variables aléatoires idépedates X 1, X 2,, X de même loi que X O e déduit la moyee empirique µ = x x O cherche maiteat u itervalle I α = [ µ η α, µ + η α ] tel que P[µ I α ] 1 α (e gééral, α = 005 voire 001) o veut doc que P[ µ µ > η α ] α O itroduit deux ouvelles variables aléatoires : Y = X X Z = (X 1 µ) + (X 2 µ) + + (X µ) σ µ est ue réalisatio de Y et (TCL) Z suit N (0, 1) σz = Y µ IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 13 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 14 / 1 Itervalle de Cofiace Statistiques bi-dimesioelles µ est ue réalisatio de Y et E[Y ] = [ µ doc ] σz P[ µ µ > η α ] =P[ Y µ > η α ]= P > η α ] ηα = P[ Z > σ Mais Z suit N (0, 1) pour le quel o a des tables (de loi ormale) et o lit u α tel que P[ Z > u α ] = α Par exemple pour α = 001, u α = et pour α = 005, u α = 196 µ a 99% de chaces de se trouver das l itervalle [ µ 25758σ, µ σ ] O e cherche plus à obteir des iformatios sur ue seule variable aléatoire, mais Objectif Détermier si deux variables aléatoires sot reliées Exemples : taille et poids d ue populatio iveau de reveu et espérece de vie Moyee au bac et durée totale des études Si σ est pas cou, o pred σ IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 15 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 16 / 1

5 Statistiques bi-dimesioelles Statistiques bi-dimesioelles O a 2 variables aléatoires X et Y : o pred u échatillo de la variable aléatoire (X, Y ) ( ) x1 x 2 x y 1 y 1 y doc x 1,, x échatillo de X, y 1,, y échatillo de Y Objectif Décider s il existe ue relatio liéaire etre X et Y :a, b tels que Y = ax + b µ X = x x moyee empirique de X σx 2 = x 1 2++x 2 µ 2 X variace empirique de X µ Y moyee empirique de Y, σ Y variace empirique de Y Defiitio La covariace empirique de X et Y est doée par σ X,Y = 1 (x j µ X )(y j µ Y ) j=1 Le coefficiet de corrélatio empirique de X et Y est doée par ρ X,Y = σ X,Y σ X σ Y IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 17 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 18 / 1 Propriétés 1 ρ X,Y 1 ; Statistiques bi-dimesioelles si ρ X,Y = ±1 alors il existe a, b tels que Y = ax + b (ou X = ay + b) Coclusio : si ρ X,Y est trop loi de 1 alors X et Y e sot pas liés µ ax+b = aµ X + b, σ ax+b = aσ X σ ax+b,cy +d = acσ X,Y ρ ax+b,cy +d = ac ac ρ X,Y Statistiques bi-dimesioelles Lorsque ρ X,Y est assez proche de 1, o veut de plus trouver la relatio liéaire O cherche à trouver a, b tq D(a, b) = j=1 (y j ax j b) 2 soit miimal Théorème Il existe u et u seul couple (a, b) tel que D(a, b) soit miimalla droite y = ax + b est doée par 1 Elle passe par le poit (µ X, µ Y ) 2 Elle a pour pete a = σ XY σ σx 2 = ρ Y XY σ X 3 σ doc b = µ Y µ XY σ X = µ σx 2 Y ρ Y XY σ X µ X Defiitio La droite y = ax + b est appelée droite de régressio de l échatillo (x 1,, x ), (y 1,, y ) IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 19 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 20 / 1

6 Statistiques bi-dimesioelles Statistiques bi-dimesioelles Exemple O cherche à savoir s il y a ue corrélatio liéaire etre le ombre de machies à laver et le ombre de déficiets visuels das ue populatio Pour cela, o a l échatillo suivat relevé das u pays d Europe : Aée Machies (e millier) Déficiets (pour 1000 hab) Aée Machies (e millier) Déficiets (pour 1000 hab) Calculos le coefficiet de corrélatio de ces échatillos X le ombre de machies, Y la proportio de déficiets visuels µ X = = 46, 5 µ Y = = 1486 x i µ X -33,5-26,5-23, y i µ Y (x i µ X )(y i µ Y ) x i µ X y i µ Y (x i µ X )(y i µ Y ) σx 2 = 1 14 (xi µ X ) 2 = σy 2 = 1 14 (yi µ Y ) 2 = 3075 σ X,Y = 1 14 (xj µ X )(y j µ Y ) = ρ X,Y = σ X,Y σ X σ Y = 092 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 21 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Applicatios Variables aux statistiques aléatoires 22 / 1

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