9 0 6 Variables aléatoires discrètes

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1 BCPST Variables aléatoires discrètes Exercice 1: Loi de Poisso 1 ) Soit X ue variable aléatoire discrète. O ote XΩ) = {x ; N}. O pose, pour tout de N : p = PX = x ) et s = p k. O découpe l'itervalle [0 ; 1] e u certai ombre d'itervalles de la faço suivate : k=0 0 s 0 s 1 s 2 s p 0 p 1 p 2 p 3 Pour simuler la variable X, o se doe u réel u choisi aléatoiremet das [0 ; 1[. si 0 u < p 0 = s 0 : das ce cas, o pose X = x 0 sio, o cherche N tel que s 1 u < s : das ce cas, o pose X = x. E utilisat cette méthode, écrire ue foctio poissol) qui simule la loi de Poisso de paramètre l. 2 ) Écrire ue foctio frequecel) qui, état doée ue liste d'etiers aturels L, revoie la liste F où, pour tout k de 0 ; maxl), l'élémet F [k] est égal à la fréquece d'apparitio de la valeur k das la liste L. 3 ) Écrire ue foctio represete_poissol,m) qui simule m fois la loi de Poisso de paramètre l et qui revoie le diagramme des fréqueces des valeurs obteues. O pourra utiliser la foctio bar). Comparer les hauteurs des bâtos avec les valeurs théoriques. 4 ) U résultat que l'o verra plus tard) ous dit que lorsque est grad et λ pas trop grad, la loi biomiale de paramètre, λ ) est proche de la loi de Poisso de paramètre λ. E preat λ = 5 et = 10, 30, 100, simuler 5000 fois ue loi biomiale de paramètre des valeurs obteues et comparer ces fréqueces avec celles d'ue loi de Poisso de paramètre λ., λ ), dessier le diagramme des fréqueces Ce résultat ous doe ue autre faço de simuler ue loi de Poisso : o peut cosidérer qu'e simulat ue loi biomiale de paramètre, λ ) avec grad, o obtiet ue simulatio d'ue loi de Poisso de paramètre λ. Solutio: Les écarts avec la vraie valeur vieet essetiellemet du fait qu'o a simuler la loi biomiale sur 5000 simulatios) et o pris les vraies valeurs), et o de la valeurs de page 1 sur 6 TSVP

2 Solutio: from radom import radom d e f poisso l ) : u =radom ) S = exp l ) F = 0 i = 0 w h i l e F < u : i += 1 F += S S = l/ i r e t u r i 1 d e f frequece L ) : m = max L ) F = [ 0 ] m+1) f o r x i L : F [ x ] += 1 f o r i i rage m+1) : r e t u r F F [ i ] = F [ i ] / l e L ) d e f represete_poisso l, m ) : L = [ poisso l ) f o r k i rage m ) ] F = frequece L ) = l e F ) Th = [ exp l ) f l o a t l i ) / factorial i ) f o r i i rage ) ] plt. bar rage l e F ) ), F, label= ' v a l e u r s s i m u l é e s ' ) plt. plot [. 4 +k f o r k i rage ) ], Th, color= ' red ', liestyle= ' ', marker= ' o ', ms =10, label= ' v a l e u r s th é o r i q u e s ' ) plt. leged ) d e f biomial, p ) : S = 0 f o r k i rage ) : r e t u r S d e f comparaiso l ) : u = radom ) i f u<p : S +=1 valeur = [ 1 0, 3 0, 100, ] couleur = [ ' red ', ' b l u e ', ' y e l l o w ', ' g r e e ' ] m=0 f o r i i rage l e valeur ) ) : = valeur [ i ] L= [ biomial, f l o a t l ) / ) f o r k i rage ) ] F= frequece L ) m = max m, l e F ) ) plt. leged ) plt. bar [ 0. 2 i 1) + k f o r k i rage l e F ) ) ], F, width =.2, color=couleur [ i ], label= ' = '+s t r ) ) Th = [ exp l ) f l o a t l i ) / factorial i ) f o r i i rage m +1) ] f o r i i rage m+1) : plt. plot [ i 0.2, i ], [ Th [ i ], Th [ i ] ], color= ' b l a c k ', liewidth =3) page 2 sur 6 TSVP

3 Exercice 2: Valeur moyee et itervalle de uctuatio O lace u dé équilibré à 6 faces et l'o ote X le uméro de la face obteue. 1 ) Écrire ue foctio simulex) qui simule la variable aléatoire X. 2 ) Écrire ue foctio moyee) qui, état doé u etier de N, simule fois la variable aléatoire X et qui revoie la valeur moyee obteue. Tester pour diéretes valeur de et commeter les résultats obteus. Représeter l'évolutio de la moyee obteue e foctio de. 3 ) Le théorème cetral limite à veir) ous dit que, lorsque est grad e pratique, 30) la moyee obteue est proche de l'espérace X, et qu'avec ue grade probabilité, cette moyee se situe das l'itervalle [ Ex) 2σX) ; EX) + 2σX) ] Plus précisemet, si l'o ote M la variable aléatoire égale à la moyee obteue après lacers, o a : [ P M EX) 2σX) ; EX) + 2σX) ]) 0.95 Visualiser ce résultat e ajoutat sur le graphe précédet les courbes d'équatios y = EX) ± 2σX) x. Solutio: from radom import radom from radom import radit d e f simulex ) : r e t u r radit 1, 6 ) d e f moyee ) : m = 0 f o r k i rage ) : m = m/ r e t u r m m += simulex ) d e f graphique_moyee ) : ListeM = [ moyee k ) f o r k i rage 1, +1) ] Liste = rage 1, +1) plt. plot Liste, ListeM ) sigma = sqrt / 1 2 ) ) ListeY1 = [ sigma / sqrt x ) f o r x i Liste ] ListeY2 = [3.5 2 sigma / sqrt x ) f o r x i Liste ] plt. plot Liste, ListeY1 ) plt. plot Liste, ListeY2 ) page 3 sur 6 TSVP

4 Exercice 3: Paradoxe de Walter Peey 1 ) O cosidère ue suite iie de lacers d'ue pièce équilibrée. U calcul mathématique ous motre qu'o est presque sûr d'obteir au mois ue fois la coguratio pile, pile, face das la suite de lacers ; même chose pour la coguratio face, pile, pile. O s'itéresse das cette questio au rag moye d'apparitio de ces deux coguratios. 1.a Écrire ue foctio qui, état doée ue coguratio, simule des lacers de la pièce jusqu'à l'obtetio de cette coguratio et qui revoie so rag d'apparitio. O représetera pile par 1 et face par 0 1.b Écrire ue foctio qui estime le rag moye d'apparitio de la coguratio pile, pile, face et celui de la coguratio face, pile, pile. Commeter les résultats obteus. 1.c Retrouver par le calcul le résultat. Solutio: from radom import radom from radom import radit pile=1 face=0 d e f lace ) : i f radom ) <.5: r e t u r face e l s e : r e t u r pile d e f apparitio_cofiguratio C ) : #C e s t l a c o f i g u r a t i o à r e c h e r c h e r #L e s t l a l i s t e des d e r i e r s l a c e s = l e C ) L = [ lace ) f o r k i rage ) ] b = l e C ) w h i l e L!= C : r e t u r b L. pop 0 ) #o supprime l e p r e m i e r l a c e L. apped lace ) ) #o f a i t u l a c e s u p p l é m e t a i r e b += 1 d e f moyee_apparitio C, N ) : S = 0 f o r k i rage N ) : S +=apparitio_cofiguratio C ) S = f l o a t S ) / N r e t u r S ) Par le calcul, o trouve 8 pour chacue des coguratios. 2 ) Igor et Willow s'arotet das u jeu dot les règles sot les suivates : Igor est gagat si la coguratio pile, pile, face apparaît das la suite des résultats des lacers, avat que la coguratio 'apparaisse face,pile, pile ; Willow est gagat si la coguratio face,pile, pile apparaît das la suite des résultats des lacers, avat que la coguratiopile, pile, face 'apparaisse. 2.a Écrire ue foctio qui simule ue partie et qui revoie le om du gagat. 2.b À l'aide de la foctio précédete, estimer la probabilité qu'a chacu des joueurs de gager. 2.c retrouver par le calcul le résulat page 4 sur 6 TSVP

5 Solutio: Par le calcul, o trouve 1 4 pour Igor et 3 4 pour Willow. d e f ue_partie ) : C1 = [ 1, 1, 0 ] C0 = [ 0, 1, 1 ] L = [ lace ) f o r k i rage 3 ) ] w h i l e L!= C1 ad L!= C0 : L. pop 0 ) L. apped lace ) ) i f L==C1 : r e t u r 1 e l s e : r e t u r 0 d e f moyee_partie N ) : S = [ 0, 0 ] f o r k i rage N ) : x = ue_partie ) S [ x ] += 1 f o r x i rage 2 ) : S [ x ] = S [ x ] / N r e t u r S ) 3 ) Commeter les diérets résultats obteus et e déduire le paradoxe de Walter Peey page 5 sur 6 TSVP