Lois normales et autres lois dérivées

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1 Lois ormales et autres lois dérivées - Lois ormales a) - Défiitio O dit qu'ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale (ou gaussiee) de paramètres et, otée N ( ; ), si elle admet pour desité la foctio f défiie sur IR par f(t) e t. Si 0 et, o dit que X suit la loi ormale cetrée, réduite. Remarque Les lois ormales itervieet très souvet et e particulier lorsque le phéomèe étudié est la résultate de ombreuses composates aléatoires (commerce : fluctuatio des vetes, idustrie : diamètres de pièces usiées qui sot la résultate de la qualité des matières premières, du réglage de la machie, de l'usure de l'outil, de la température...). b) - Propriétés Si ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale de paramètres et, alors l'espérace mathématique de X est E(X). Sa variace est V(X) et doc so écart-type est. c) - Théorème Soit X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates suivat les lois ormales N (. X, X ) et N (. Y, Y ) respectivemet et soit a et b deux réels. a X + b Y est ue variable aléatoire suivat la loi ormale N ( a X + b. Y, a X + b Y ). d) - Théorème Si ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale de paramètres et, alors X suit la loi ormale cetrée réduite. Ce résultat est importat car il déduit l'étude des lois ormales de celle de la loi ormale cetrée, réduite. e) - Théorème 3 Soit X et Y deux variables aléatoires réelles suivat des lois ormales. X et Y sot idépedates si et seulemet si la covariace Cov(X, Y) de X et Y est ulle. Remarque La coditio Cov(X, Y) 0 est écessaire mais o suffisate das le cas de variables aléatoires quelcoques. - Vecteurs gaussies a) - Défiitio Soit IN* et X ( X, X,..., X ) u -uplet de variables aléatoires. X est u vecteur aléatoire ormal ou gaussie si pour tout -uplets de réels (,,..., ), i i X i est ue variable aléatoire ormale. Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois ormales et autres lois dérivées

2 b) - Propriété Soit X ( X, X,..., X ) u vecteur aléatoire ormal, chacue des X i est ue variable aléatoire ormale. c) - Théorème 4 Soit X ( X, X,..., X ) u vecteur aléatoire ormal, il est caractérisé par le -uplet m(x) des espéraces des X i et sa matrice de dispersio D(X) de terme gééral Cov(X i, X j ) pour i et j. d) - Théorème 5 Soit X u vecteur aléatoire ormal et A ue trasformatio affie de IR, alors le vecteur aléatoire A (X) est ormal. e) - Théorème 6 Soit X u vecteur aléatoire ormal d'espérace m(x) IR et de matrice de dispersio D(X). Soit ue applicatio liéaire de IR de matrice M, alors le vecteur aléatoire (X) est ormal et a pour espérace ( m(x) ) IR et pour matrice de dispersio M D(X) t M. f) - Théorème 7 : Idépedace de lois ormales Soit IN*. Pour que variables aléatoires ormales X, X,..., X soiet idépedates, il faut et il suffit que pour i < j, Cov(X i, X j ) soit ulle. Doc il faut et suffit que la matrice de dispersio du vecteur aléatoire ( X, X,..., X ) soit diagoale. Remarques La coditio est toujours écessaire. U vecteur ormal de variables aléatoires, idépedates, cetrées, réduites est caractérisé par u vecteur des espéraces ul et ue matrice de dispersio égale à ue matrice Idetité. 3 - Lois du Khi-deux (de Pearso) a) - Défiitio Soit cetrée réduite. IN* et X, X,..., X variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées selo la loi ormale La variable Y X i i suit la loi du Khi-deux à degrés de liberté. b) - Propriétés L'espérace de Y est et sa variace est. c) - Théorème 8 de Fisher Si variables aléatoires idépedates suivet des lois de, alors leur somme suit la loi de ombre de degrés de liberté, la somme des ombres de degrés de liberté des variables aléatoires. avec comme 4 - Lois de Studet a) - Défiitio IN*. Soit les variables aléatoires X de loi ormale cetrée réduite et Y de loi du Khi-deux à degrés de liberté. Si X et Y sot idépedates, T X Y suit la loi de Studet à degrés de liberté. Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois ormales et autres lois dérivées

3 b) - Propriétés L'espérace de T est 0 et sa variace est c) - Théorème 9 lorsque >. Soit IN*et X, X,..., X variables aléatoires idépedates suivat la même loi, ormale N (, ). Posos X X k et S ( Xk X ), variace corrigée d'échatillo. alors ( ) S ( Xk X ) suit la loi du Khi-deux à degré de liberté. Démostratio Posos Y k X k. Les Y k sot des variables aléatoires idépedates distribuées selo la loi ormale cetrée réduite (th. ). O pose Y Y k alors X k Y k + et X Y +. O e déduit que Or ( Y k Y) ( ) S ( Xk X ) Y k Y Y k + Y [( Y k + µ ) Y + µ ] Y k Y Y + Y Y k Y. Costruisos à partir des Y k les variables aléatoires gaussiees Z, Z,..., Z obteues par : Z. Z P Y. où P Y M ( Y k - Y). avec M matrice telle que P soit orthogoale (ses liges (et ses coloes) sot orthogoales et de orme ), alors P est ue matrice de chagemet de bases orthoormales (elle coserve la orme euclidiee) et P t P, P t P I, la matrice idetité d'ordre. La première lige de P permet de dire que Z Y k Y. P état orthogoale, o a Y k Z k. Comme de plus les Y k sot idépedates et suivet la loi ormale cetrée réduite, les Z k suivet la loi ormale cetrée réduite et sot idépedates E effet, la matrice de dispersio des Y k est I, doc celle des Z k est ormal de variables aléatoires idépedates de loi ormale cetrée réduite (th. 6 et 7). Alors Y k Y Z k Z Z k k suit la loi du variables aléatoires idépedates de loi ormale cetrée réduite, aisi t P P I t P I ce qui caractérise u vecteur à degrés de liberté e tat que somme de ( ) S. Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois ormales et autres lois dérivées 3

4 d) - Théorème 0 Soit IN*et X, X,..., X variables aléatoires idépedates suivat la même loi, ormale N (, ). Posos X X k et S ( Xk X ), variace corrigée d'échatillo. X S/ suit la loi de Studet à degrés de liberté Démostratio D'après la démostratio du théorème 9, X / Y Z et Comme les Z k sot idépedates, X / ( ) S k Z k. ( ) S et sot idépedates, aisi X S/ X / ( ) S suit la loi de Studet à degrés de liberté e tat que quotiet de deux variables idépedates, ue suivat la loi ormale cetrée réduite et l'autre état la racie carrée du quotiet d'ue variable de loi du Khi-deux à degrés de liberté par so ombre de degrés de liberté. 5 - Lois de Fisher-Sédécor a) - Défiitio et désiget des etiers aturels o uls. Soit Z et Z deux variables aléatoires idépedates suivat des lois du Khi-deux à et degrés de liberté respectivemet, alors F Z Z suit la loi de Fisher-Sédécor à et degrés de liberté b) - Théorème et désiget des etiers aturels o uls. Soit X, X,..., X, Y, Y,..., Y + variables aléatoires idépedates distribuées selo les lois ormales N ( X, X) pour les X i ( i ) et N ( Y, Y) pour les Y j, ( j ) où X et Y sot des réels et X et Y des réels strictemet positifs. F S X S Y Y X suit la loi de Fisher-Sédécor à et degrés de liberté où S X et S Y sot les variables aléatoires égales aux écarts-types corrigés des X i, i, et des Y j respectivemet, j. Démostratio La démostratio repose sur le résultat du théorème 9. Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois ormales et autres lois dérivées 4

5 Exercice Exercices Sachat que la variable aléatoire X suit la loi ormale N (0, ), calculer : a) P[X < 3,] d) P[X >,5] g) P[X,55] j) P[ 3 < X < ] b) P[X <,7] e) P[X,79] h) P[0,3 < X <,6] k) P[ X < ] c) P[X >,] f) P[X - 0,54] i) P[ < X,] l) P[ X 3] Exercice Sachat que la variable aléatoire X suit la loi ormale N (4 ; 6,5), calculer : a) P[X 7] b) P[X > 0] c) P[8 < X 0] d) P[ X > 7]. Exercice 3 La variable aléatoire X suit la loi ormale N (0, ). Détermier le ombre réel a tel que : a) P[X a] 0,99 b) P[ X < a] 0,99 c) P[X > a] 0,05 d) P[X < a] 0,. Exercice 4 Ue étude de marché a permis d'admettre que le chiffre d'affaires mesuel d'ue société est distribué selo la loi ormale de moyee 0 kilo-euros et d'écart-type 5 k. Le seuil de retabilité de l'etreprise est fixé à 85 k. O choisit u mois au hasard. ) - Quelle est la probabilité de l'évéemet : "le chiffre d'affaires de l'etreprise est supérieur ou égal à 85 k "? ) - Détermier le réel a tel que la probabilité que le chiffre d'affaires soit situé etre 0 a et 0 + a soit 8 %. Exercice 5 Das ue etreprise qui exploite u parc de 500 taxis, o admet que la distace e km parcourue e ue jourée par les taxis est distribuée selo la loi ormale de moyee 5 et d'écart-type 5. O choisit u taxi sur ue jourée au hasard Détermier la probabilité de l'évéemet : "la distace parcourue par le taxi durat la jourée est comprise etre 9,5 km et 55,5 km". Exercice 6 Ue etreprise produit des rodelles. O admet que le diamètre e mm des rodelles est distribué selo la loi ormale de moyee 6 et d'écart-type 0,. O cosidère qu'ue rodelle est défectueuse si so diamètre est iférieur à 5,80 mm ou supérieur à 6,5 mm. O choisit ue rodelle au hasard das la productio, quelle est la probabilité de l'évéemet "la rodelle choisie est défectueuse"? Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois ormales et autres lois dérivées 5

6 Exercice 7 Ue etreprise fabrique des roulemets à billes dot le diamètre est distribué suivat la loi ormale de moyee 0,64 cm et d'écart-type 0,005 cm. Détermier le pourcetage de roulemets ayat u diamètre : ) - compris etre 0,60 et 0,68 cm ; ) - plus grad que 0,67 cm ; Exercice 8 3 ) - plus petit que 0,608 cm ; 4 ) - égal à 0,65 cm. ) - Pour redre visite à so ami Alexis, Bejami va empruter ue avette maritime qui effectue ue liaiso etre so île de résidece et le cotiet. La variable aléatoire mesurat la durée du trajet suit la loi ormale de moyee 5 heures 0 miutes et d'écart-type 4 miutes. Quelle est la probabilité que le trajet dure plus de 5 heures? ) - Alexis va chercher so ami au port et predra sa voiture. La variable aléatoire mesurat la durée du trajet suit la loi ormale de moyee 3 miutes et d'écart-type miutes. Quelle est la probabilité que le trajet dure etre 8 et 35 miutes? 3 ) - Bejami quitte so île à heures 30 et Alexis quitte so domicile à 7 heures 0. E supposat que les durées des trajets des deux amis sot idépedates, quelle est la probabilité qu'alexis costate à 7 heures 50 que so ami 'est toujours pas arrivé au port? Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois ormales et autres lois dérivées 6

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