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1 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page sur 9 Exercice : (4 points) Commun à tous les candidats. Vrai. Sur ] ; + [, g admet un maximum en 4 qui vaut 5. Donc, pour tout réel x ] ; + [, g(x) Vrai. Sur ] 5 ; 4], g est croissante donc g (x) 0. Pour tout réel x ] 5 ; 4], g (x) Faux. D après le tableau de variations, lim g(x) =. x + Donc la droite d équation y = est asymptote à la courbe ( C ) en +. La droite d'équation x = n est pas asymptote à la courbe (C) en Les informations données ne permettent pas de répondre. D après le tableau de variations, lim g(x) = donc g n admet pas d asymptote horizontale x en. Les informations du tableau ne permettent pas de conclure quand à une éventuelle asymptote oblique. 5. a. Vrai. Sur [4 ; + [, g est décroissante à valeur dans [ ; 5]. Sur [ ; 5], la fonction logarithme népérien est croissante. Par composition, f est strictement décroissante sur [4 ; + [. lim g(x) = x + lim ln x = 0 donc par composition, lim f(x) = 0 x + x Pour tout réel x [4 ; + [, f(x) 0. b. Vrai. Sur [4 ; + [, g est décroissante à valeur dans [ ; 5]. Sur [ ; 5], la fonction logarithme népérien est croissante. Par composition, f est strictement décroissante sur [4 ; + [. c. Faux. D après 5a., lim x + f(x) = 0 d. Vrai. lim x x> g(x) = 0 + lim ln x = donc par composition lim f(x) =. x x 0 x>

2 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 2 sur 9 Exercice 2 : (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité. Montant (en milliers d euros ) de la facture de gaz Rang de l'année 2. a. Par la méthode des moindres carrés une équation de la droite (D) de régression de y en x est : y = 5,8 x + 04,2 b. L année 202 correspond ici à x = 2 Donc y = 5, ,2 y = 73,8 En 202, le montant de la facture de gaz sera de euros 3. Soit x le pourcentage annuel moyen d'augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 et X le pourcentage d augmentation de cette facture entre 2000 et On cherche x tel que : ( + x) = + X avec X = 05 x = 7 + X x = x = 5 % Le pourcentage annuel d augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 est de 5 %.

3 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 3 sur a. u = u 0 + u 0 00 u = u 0 ( + 0,05) u = 48,05 u = 55,4 b. Chaque année, la facture de gaz augmente de 5%, donc u n+ =,05 u n (pour tout naturel n) Donc ( u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 = 48 et de raison,05. c. u n est une suite géométrique de premier terme u 0 = 48 et de raison,05 alors elle peut s écrire u n = 48 (,05) n d. L'année 202 correspond à n = 5. On cherche à calculer u 5 u 5 = 48 (,05) 5 u 5 = 89 au millier d euros près. Le montant de la facture de gaz pour l année 202 sera de euros

4 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 4 sur 9 Exercice 2 : (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité. a. u 2 = , u 2 = 00 (,05) + 20 u 2 = 25 b. Le jeu offre 5 % de plus que la veille ainsi qu une somme fixe de 20 euros Soit u n+ =,05u n + 20 (pour tout entier naturel n) 2. a. v = u Or u = 00 Donc v = 500 b. v n+ = u n v n+ =,05 u n v n+ =,05 u n v n+ =,05 (u n + 400) v n+ =,05 v n Donc ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v = 500 et de raison q =,05. c. ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v = 500 et de raison,05 alors elle peut s écrire : v n = 500,05 n. De plus, v n = u n + 400, donc u n = v n 400 Soit u n = 500,05 n 400 d. Soit S n = v l + v v n nb termes q Par définition, S n = v q Alors S n = 500,05n,05 S n = 500,05n 0,05,05 n S n = ( ) {}S n = (,05 n ) avec v = 500 ; q =,05 et le nombre de terme étant n 3. Il faut répondre à la question : au bout de combien de jours aurez-vous gagné 0 000? Il faut donc résoudre u + u u n = Or u + u u n = v v v n 400 = v + v v n 400 n = S n 400 n = (,05 n ) 400n Il faut donc résoudre = (,05 n ) 400n 00 = 00 (,05 n ) 4n (,05 n ) + 4n = 0

5 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 5 sur 9 A l aide de la calculatrice, graphiquement ou à l aide d un tableau de valeur ou en tâtonnant, on trouve que cette équation s annule entre 2 et 22. Donc Marc doit répondre : «vous aurez gagné au bout de 22 jours»

6 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 6 sur 9 Exercice 3 : (5 points) Commun à tous les candidats On note : A l'évènement «Roger réussit son premier service», B l'évènement «Roger réussit son second service», l'évènement «Roger gagne le point».. 0,92 0,75 A 0,08 0,70 0,96 B 0,25 A 0,30 0,04 B D après l énoncé, P(A) = 0,75, P A () = 0,92, P A (B) = 0,96 et P B () = 0,70 Donc P( A ) = P(A) P( A ) = 0,75 = 0,25 De même P A ( ) = 0,92 = 0,08 ; P A ( B ) = 0,96 = 0,04 et P B ( ) = 0,70 = 0,30 2. Une double faute signifie que Roger perd les deux essais de son service. On cherche donc à calculer P( A B ) P( A B ) = 0,25 0,04 P( A B ) = 0,0 La probabilité que Roger fasse une double faute est de 0,0 3. Probabilité que Roger rate son premier service ( A ), réussisse le second (B) et gagne le point () : On cherche à calculer P ( A B ) = 0,25 0,96 0,7 = 0,68 La probabilité que Roger rate son premier service, réussisse le second et gagne le point est de 0,68 4. On cherche à calculer P() : P() = P(A ) + P( A B ) P() = 0,75 0,92 + 0, 68 P() = 0,858 La probabilité que Roger gagne le point est de 0,858.

7 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 7 sur 9 5. On cherche P (A) P(A ) Par définition, P (A) = P() 0,75 0,92 P (A) = 0,858 P (A) = 0,804 Sachant que Roger a gagné le point joué, la probabilité qu'il ait réussi son premier service est 0, Les deux joueurs disputent quatre points de suite (Roger servant à chaque fois) et on admet que chaque point joué est indépendant des points joués précédemment. L expérience a deux issues : soit Roger gagne avec une probabilité de 0,858, soit il ne gagne pas. On fait 4 fois cette expérience donc on obtient un schéma de Bernoulli : 0,858 L événement «Roger ne gagne pas la totalité des points» est l événement contraire de «Roger gagne la totalité des points». P () = (0,858) 4 = 0,542 au millième près La probabilité cherchée vaut : 0,542 = 0,458. La probabilité que Roger ne gagne pas la totalité des points est de 0,458.

8 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 8 sur 9 Exercice 4 : (6 points) Commun à tous les candidats B(x) = (x 5)e u(x) + 2 avec u(x) = 0,02x 2 + 0,2x 0,5.. a. u est dérivable sur [ ; 5] en tant que somme de fonctions dérivables : u (x) = 0,02 2 x + 0,2 u (x) = 0,04x + 0,2 B est dérivable sur [ ; 5] en tant que produit et composée de fonctions dérivables. On utilise les formules de dérivées suivantes : (uv) = u v + v u et (e u ) = u e u B (x) = e u(x) + (x 5) ( 0,04x + 0,2) e u(x) B (x) = [ + (x 5)( 0,04x + 0,2)] e u(x) B (x) = ( 0,04x² + 0,2x + 0,2x ) e u(x) B (x) = ( 0,04x² + 0,4x) e u(x) b. Signe de B (x) sur l'intervalle [ ; 5] : B (x) = ( 0,04x² + 0,4x) e u(x) B (x) = 0,4x ( 0,x + ) e u(x) Sur [ ; 5], 0,4x > 0, De plus e u(x) > 0, donc étudier le signe de B (x), revient à étudier le signe de 0,x +. 0,x + 0 0,x x 0, x 0 Sur l intervalle [ ; 0], B (x) 0 Sur l intervalle [0 ; 5], B (x) 0 Dressons le tableau de variations de la fonction B x B' B(x) 0, ,03 5 3,35 avec B() = ( 5) e ( 0,02 + 0,2 0,5) + 2 B() = 0,90 De même : B(0) = 5,032 B(5) = 3,35 Sur l intervalle [ ; 0], B est croissante Sur l intervalle [0 ; 5], B est décroissante

9 Nouvelle Calédonie Corrigés Série ES Page 9 sur 9 2. On cherche à calculer B(x) 0 Montrons d abord que sur l intervalle [ ; 5], il existe une unique solution α telle que B(α) = 0 B est continue et strictement croissante sur l intervalle [ ; 0], de plus B() = 0,90 et B(0) = 5,03 Alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α telle que B(α) = 0 D après la calculatrice, 2,79 < α < 2,80 Etudions le signe de B(x) d après le tableau de variations Sur [, α], B(x) 0 Sur [ α ; 5], B(x) 0 On peut donc en conclure que l entreprise doit vendre au minimum 280 objets pour réaliser un bénéfice. D après le tableau de variations, B atteint un maximum en 0 qui vaut 5,03, ce qui signifie que le bénéfice est maximal lorsque l entreprise a vendu 000 objets et ce bénéfice vaut euros. 3. a. On sait d après la question.a. que u (x) = 0,04x + 0,2 Donc 25 u (x)e u(x) + 2 = 25 ( 0,04x + 0,2) e u(x) u (x)e u(x) + 2 = (( 25 ) ( 0,04x ) 25 0,2 ) e u(x) u (x)e u(x) + 2 = (x 5) e u(x) + 2 = B(x) On a bien B(x) = 25 u (x)e u(x) + 2. b. Valeur moyenne de B sur [ ; 5] : m = 5 5 B(x)dx m = 4 5 ( 25 u (x)e u(x) + 2) dx m = 4 5 ( 25 u (x)e u(x) ) dx dx m = u (x)e u(x) dx dx m = 25 eu(x) 5 x 5 4 [ ] + 7 [ ] m = 25 4 (eu(5) e u() ) + (5 ) 7 m = 25 4 (e 2 e 0,32 ) m = 3,055 c. Dans cette entreprise, le résultat moyen mensuel réalisé en vendant entre 00 et 500 objets est de euros.