Cours sur les lois usuelles

Transcription

1 Cours sur les lois usuelles. Lois de probabilités discrètes Loi de Berouilli Cotexte d applicatio : ue expériece dot le résultat est succès ou échec, u idividu qui possède ou pas ue caractéristique Défiitio : loi d ue var X preat les valeurs 0 et avec les probabilités : P(X=) = p et P(X=0) = -p = q Notatio : X Be(p) Caractéristiques : E(X) = p et V(X) = pq Illustratios : Le jeu de dé : l expériece cosiste à jeter u dé, le résultat du lacer est u chiffre compris etre et 6. La variable aléatoire X= «le résultat du lacé de dé est le chiffre 6» est défiie par : X : W ={Vrai,Faux} 3 {0,} ω X(ω) = 0 si ω = Faux si ω = Vrai O affecte toujours la valeur au résultat de l expériece qui ous itéresse, das cet exemple le chiffre 6. Si le dé est pas faussé, la loi de X est P(X=)=p=/6 et P(X=0)=q=5/6. La var X suit ue loi de Berouilli de paramètre p = /6, ce qui s écrit mathématiquemet : X Be(p=/6). Das le cas des pois de Medel, chaque pois suit ue loi de Berouilli de paramètre p=/4 : X= «la taille d ue plate» X : W ={G,N} 3 {0,} ω X(ω) = 0 si ω = G si ω = N O affecte toujours la valeur à la caractéristique qui ous itéresse, das cet exemple ue taille aie. D après les résultats de Medel, la loi de X est P(X=)=p=/4 et P(X=0)=q=3/4. Loi Biomiale Cotexte d applicatio : o répète fois ue même expériece, les expérieces sot idépedates les ues des autres (ie le résultat de l ue iflue pas l autre expériece). Das ue populatio de idividus, o compte ou déombre le ombre d idividus ayat ue caractéristique. Défiitio : loi d ue var X qui compte le ombre de réalisatios d u évèemet das ue suite de expérieces idépedates où l évèemet à la probabilité p de se produire. X est aussi défii comme la somme de variables aléatoires de Berouilli idépedates et de même probabilité p. D X = {0,,2,,} et pour k D X, P(X=k) = C k p k q -k Notatio : X B(, p) Caractéristiques : E(X) = p et V(X) = p q

2 Illustratios: L exemple classique est le tirage d ue boule das ue ure coteat deux couleurs, avec remise de la boule. E effet, si o e remet pas la boule, la compositio de l ure chage modifiat les proportios de chaque couleur et doc la probabilité d avoir ue boule d ue couleur spécifique. Preos l exemple d ue ure de 2 boules dot 5 blaches. Calculos la probabilité d avoir ue boule blache et ue boule grise quad o tire deux boules à la suite avec remise : D après la règle d équiprobabilité, o sait que P(blache) = 7/2 et P(grise) = 5/2. Que vaut la probabilité d avoir ue boule blache et ue boule grise? O doit teir compte de toutes les possibilités, soit : P([ er tirage = blac et 2 d tirage = gris] ou [ er tirage = blac et 2 d tirage = gris]) =(7/2) (5/2) + (5/2) (7/2) = 0,486 car les deux possibilités sot icompatibles et les tirages sot idépedats. Plus simplemet, o peut recoaître le cotexte d applicatio de la loi biomiale : o répète deux fois la même expériece. A chaque expériece, o a la même probabilité p=5/2 d avoir ue boule grise. Soit X= «ombre de boules grises parmi les deux boules tirées», X respecte bie la défiitio d ue loi biomiale et X B(=2, p=5/2). P(X=) = C2 (5/2) (7/2) 2- = 2 (5/2) (7/2) = 0,486. Remarque : si o tire sas remise, la probabilité est différete : Au er tirage o a ue boule blache, la compositio de l ure chage et les proportios de blaches et de grises devieet respectivemet 6/ et 5/. Iversemet, au er tirage o a ue boule grise, la compositio de l ure chage et les proportios de blaches et de grises devieet respectivemet 7/ et 4/. La probabilité d avoir ue boule blache et ue boule grise deviet : P([ er tirage = blac et 2 d tirage = gris] ou [ er tirage = blac et 2 d tirage = gris]) =(7/2) (5/) + (5/2) (7/) = 0,530 O est plus das u cotexte de loi biomiale car la probabilité chage d ue expériece à l autre. Autre exemple : les pois de Medel. O ote Y= «ombre de plates aies parmi u lot de trois graies». Pour chaque graie o défiit ue variable aléatoire X qui suit ue loi de Berouilli de paramètre p=/4. Par défiitio, Y= Xgraie + Xgraie 2 + Xgraie 3 est la somme des résultats de chaque graie. Aisi, si Y =3, o a 3 plates aies et les var X pour chaque graie valet, Y=++.Si Y= 2, o a 2 plates aies et ue var X vaut 0, les deux autres, Y=++0 ou Y=+0+ ou Y=0++. Y : {G,N} 3 {0,,2,3} ω Y(ω) = Xgraie + Xgraie 2 + Xgraie 3 = 0 si aucue plate aie si ue plate aie 2 si deux plates aies 3 si trois plates aies k Y B(=3,p=/4) et P(Y=k) = C3 (/4) k (3/4) 3-k. La structure géérale de la probabilité pour 3 graies compred deux termes : - (/4) k (3/4) 3-k la probabilité d observer k plates aies et 3-k plates grades. k - C3 le ombre de combiaisos possibles pour k plates aies parmi 3. 2

3 2. Loi de probabilités cotius : cas de la loi Normale Loi Normale ou de Gauss ou de Laplace Gauss Cotexte d applicatio : la loi Normale joue u rôle importat e statistique, elle correspod à de ombreux cas cocret comme coséquece du théorème cetral limite, que ous préseteros au paragraphe 3, ou comme approximatio pour la loi Biomiale. Défiitio : X est ue variable aléatoire absolumet cotiue, défiie sur D X =]-, + [, dot la foctio de desité,, est uimodale et symétrique par rapport à so espérace (ou moyee) otée m : = e σ 2π x m 2 σ 2 σ désige l écart-type de X. Observos so impact sur la desité : N(m=, σ = 2,4) N(m=, σ = 0,4) Plus l écart-type est élevé, plus la courbe de desité est évasée et plus la plage des valeurs probables pour X est large. La foctio de desité e s itègre pas aalytiquemet, aussi, o a recours à des tables pour calculer la foctio de répartitio F(x) : x F(x) = σ t m 2 σ 2π X e 2 dt Notatio : O ote idifféremmet X N(m, σ 2 ), ou X N(m, σ ). Selo les persoes, le deuxième terme désige la variace ou l écart-type. Caractéristiques : E(X) = m et le mode et la médiae sot cofodues avec l espérace et valet elles aussi m. V(X) = σ 2 X 3

4 Propriétés : Soit X N(m, σ 2 ) et X 2 N(m 2, σ 2 2 ) deux variables aléatoires idépedates, alors : X + X 2 N(m + m 2, σ 2 + σ 2 2 ) X - X 2 N(m - m 2, σ 2 + σ 2 2 ) les variaces se sommet toujours Illustratio très importate : la loi Normale cetrée réduite N(0,) Foctio de desité F(X 2 ) F(x) F(X ) Foctio de répartitio x X X 2 X X 2 Le calcul de la probabilité e cotiu se raisoe e aire sous la courbe de desité : P(X X 2 ) = F(X 2 ) = aire sous la courbe de la foctio de desité jusqu à X 2. P(X < X X 2 ) = F(X 2 ) F(X ) = aire hachurée sur le graphique de la foctio de desité. La loi Normale N(0,) est cetrée sur 0, elle est doc symétrique par rapport à 0. Cette propriété implique que : F(-u) = F(u) F(u) = F(-u) x u x u L aire de - jusqu à u est égale par symétrie à l aire à partir de u jusqu à +. Or l aire au delà de u correspod à P(X u) = P(X u) = F(u). Rappel : par défiitio l aire totale sous la courbe vaut. Rappel 2 : e cotiue P(X< X 2 ) = P(X X 2 ) car la probabilité e u poit est ulle. 4

5 Utilisatio de la table de loi Normale cetrée réduite. Toute variable aléatoire X N(m,σ) se ramèe par chagemet de variable (X-m)/σ à ue loi cetrée réduite. O otera par la suite U = (X-m)/σ la variable trasformée telle que U N(0,). E soustrayat m à X, o cetre toutes les valeurs sur 0 et esuite o réduit la variabilité e divisat toutes les valeurs par l écart-type pour rameer la variace à. Illustratio : passage de X N(m=,5 ; σ=2,4) à U = (X-,5)/2,4 où U N(0,) f(u) ,5 2, O costate que la courbe de desité est cetrée et symétrique par rapport à,5 et qu elle est plus évasée. E soustrayat,5, o décale toutes les valeurs de,5 vers la gauche, et f(u) est cetrée et symétrique par rapport à 0. Comme o a divisé les valeurs (x-,5) par 2,4, o costate que la courbe est d autat plus resserrée autour de 0. O semble atteidre l asymptote horizotale pour X=8 avec la foctio soit u écart à la moyee de 8-,5=6,5. Si o traspose pour U, alors la distace pour atteidre l asymptote e sera plus que de 6,5/2,4 = 2,7. Remarquez que l échelle des ordoées a chagé, e réduisat (=e divisat par σ), o cocetre la surface (= aire) de sur ue plus petite plage de valeurs. Seule la loi Normale cetrée réduite N(0,) est tabulée. Par la suite, U désigera ue var qui suit la loi N(0,) et F(u) sa foctio de répartitio. Pour calculer les probabilités d ue loi Normale N(m,σ), o pratique le chagemet de variable U = (X-m)/σ et comme l aire e chage pas, les probabilités sot idetiques : P(X X 2 ) = P(U (X 2 m) /σ ) =Φ((X 2 m) /σ) P(X < X X 2 ) =. P((X m) /σ < U (X 2 m) /σ) = =Φ((X 2 m) /σ) - Φ((X m) /σ) Présetatio et lecture de la table : X La première coloe de la table idique la valeur de u jusqu à la première décimale. Pour plus de précisio, la secode décimale de u est idiquée sur la première lige. Aisi, u=2,45 correspod à la lige 25 de la première coloe où o lit 2,4 et, sur la première lige, à la coloe 6 où o lit 0,05. O a bie aisi formé la valeur 2,45. Le cœur de la table idique les probabilités associées à u. Aisi, la valeur de P(U 2,45) = Φ(2,45) se lit à l itersectio de la lige 25 et de la coloe 6, où o lit 0,993. U 5

6 Remarquez bie que la table e cocere que les valeurs positives de u. Pour les valeurs égatives, o utilise la propriété de symétrie P(U -2,45) = Φ(-2,45)= - Φ(2,45) = 0,0069. E résumé, pour ue valeur égative -u, o lit das la table la probabilité associée à u et o calcule mois cette probabilité pour avoir le résultat fial. O peut aussi lire la table e ses iverse, par exemple, o cherche la valeur de u associée à la probabilité 0,975, soit P(U u) = Φ(u) = 0,975. O cherche das le cœur de la table la valeur 0,975, elle est située à l itersectio de la lige 20 et de la coloe 7. Doc u pred la valeur,96, formée à partir de la valeur,9 située au début de la lige 20 (das la coloe u) et de la valeur 0,06 située e début de coloe 7 (das la lige u). Remarquez à ouveau que les probabilités vot de 0,5 à 0, E dessous de 0,5, les valeurs de u sot toutes égatives. Aussi, pour les probabilités iférieures à 0,5 o utilise la propriété de symétrie. Exemple : pour ue probabilité de 0,025, o cherche ue valeur égative que l o ote u tel que P(U -u) = Φ(-u) = 0,025. O lit das la table la valeur de u associée à la probabilité complémetaire Φ(u)= - Φ(-u) = -0,025 = 0,975. Das ce cas, u=,96, la valeur recherchée est doc,96. Remarque : Si vous cherchez u tel que P(U u) = Φ(u) = 0,95. Vous e trouverez pas la valeur exacte mais lige 7 vous trouverez deux valeurs très proches 0,9495 (u =,64) et 0,9505 (u =,65) qui ecadret la valeur 0,95. Quad vous avez pas de valeurs exactes vous pouvez soit choisir la valeur la plus proche soit réaliser ue iterpolatio liéaire de u. Exemple, 0,95 est situé à la moitié etre 0,9495 et 0,9505, doc u sera situé à la moitié de,64 et de,65 soit u =,645. La formule géérale pour l iterpolatio de u etre deux valeurs u et u 2 telles que Φ(u ) et Φ(u 2 ) ecadret au plus près Φ(u) : φ( u) φ( u) u= u + ( u2 u ) φ( u ) φ( u ) 2 idique la positio de Φ(u) par rapport à Φ(u ) et Φ(u 2 ). Das otre exemple, ce terme valait /2 et doc u d après la formule d iterpolatio est bie aussi à la moitié etre u et u 2. O raisoe proportioellemet. Le terme ( φ( u) φ( u ))/( φ( u2) φ( u )) Utilisatios de la table. X N(m,σ), où m et σ sot cous. O coaît la valeur de x et o veut calculer la probabilité associée à x : P(X x). Alors o calcule u = (x-m)/ σ et o cherche la probabilité das la table. 2. X N(m,σ), où m et σ sot cous. O coaît la valeur de la probabilité P(X x) et o cherche la valeur de x. Comme P(X x) = P(U (x-m)/σ), o ote u = (x-m)/ σ et o lit das la table la valeur de u la plus proche de la probabilité coue, ou pour plus de précisio o calcule la valeur de u par iterpolatio liéaire. O déduit esuite la valeur de x = u σ + m Illustratios : X N(m = 2,σ = 2). Calculos P(8,5 < X 2) : P(8,5 < X 2) = P((8,5-2)/2 < U (2-2)/2) = P(-,75< U 0) = Φ(0) - Φ(-,75) = 0,5 (- Φ(,75)) = 0,5 (-0,9599) = 0,4599 Détermios x tel que P(X x) = 0,83. P(X x) = P(U (x-2)/2) = Φ((x-2)/2) = 0,83. O ote u = (x-2)/2. Lige 0, o trouve coloe 6 et 7 les probabilités et qui ecadret Par iterpolatio liéaire u = 0,95 + (0,00/0,0026) (0,96-0,95) = 0,95 + 0,004=0,954 et x = = u 2+ 2 = 3,9. 6

7 Cherchos l itervalle cetré sur m, [m-x,m+x] tel que P(m-x X m+x) = 0,95 : P(m-x X m+x) = P(-x/σ U x/σ) = Φ( x/σ) - Φ(- x/σ) = Φ( x/σ) (-Φ(x/σ)) = 2 Φ( x/σ) Doc 2 Φ( x/σ) = P(m-x X m+x) = 0,95 d où Φ( x/σ) = (+0,95)/2 =0,975. O lit das la table,96 et doc tout le terme x/σ etre les parethèses de Φ est égal à,96. D où x =,96 σ =,96 2= 3,92. Reteez bie le calcul de l itervalle cetré, c est u calcul classique à savoir faire rapidemet et qui sera réutilisé par la suite das les cours sur l estimatio et les tests.. 3. Covergeces e loi Le théorème cetral limite (TCL) Théorème : Soit X, X 2,, X ue suite de var idépedates et idetiquemet distribuées (iid) de moyee m et de variace σ 2 fiie. Alors ( = X ) i i m N(0,) Coverge e distributio quad + Applicatios : Moyee de var iid : Soit X la moyee arithmétique des X i, X = i = X i, d après le TCL, X ted asymptotiquemet (= quad deviet grad) vers la loi Normale N(m, σ / ). X + X X m 2 Somme de var iid : ted asymptotiquemet d après le TCL σ vers la loi Normale N(0,). O cosidérera que est suffisammet grad pour l utilisatio de la loi Normale das les applicatios et 2 quad 30. Das le cas 2, si les X i sot des var discrètes, o peut appliquer ue correctio de cotiuité qui cosiste à rajouter ue correctio de 0,5 : a+ 0,5 m P( X a) = P( X < a+ ) = i= i i= i φ σ O lit das la table N(0,) la valeur de la probabilité pour a+0,5 (cetré e elevat m et réduit e divisat par σ / ), e positio itermédiaire etre a et a+. La probabilité avec ue loi discrète est la même pour a jusqu à a+ (exclu), alors qu e cotiue la probabilité varie cotiuellemet etre a et a+, pour e pas commettre trop d erreur d approximatio avec la loi Normale o pred la valeur itermédiaire de a+ 0,5. Attetio si vous calculez la probabilité pour la somme des X i strictemet iférieur à a, la positio itermédiaire deviet a-0,5 au lieu de a+0,5 : a 0,5 m P( X < a) = P( X a ) = i= i i= i φ σ Illustratio : O lace 00 fois u dé à 6 faces o pipé. O ote X= «somme des poits obteus». Défiissos la var X puis calculos P(320 X 380). Les lacés du dé sot idépedats et idetiquemet distribués, soit Xi = «résultat du dé au lacé i» alors : Xi : Ω {,2,3,4,5,6} 7

8 ω Xi(ω) = si la face du dé affiche etc. jusqu à 6. P(Xi =a) = /6, la probabilité d obteir ue face est la même quelque soit le uméro k dessié sur la face. E(Xi) = ( )/6 = 3,5 et V(Xi) = ( )/6 3,5 2 = 2,9 Comme X = i Xi, et que = 00, o peut utiliser l applicatio 2 du TCL : P(320 X 380) = P(X 380) P(X 320) Das otre cas : m = 00 3,5 = 350 et σ = 2, 9 0 = 7 D où : P(320 X 380) = P(X 380) P(X 320) = P(U (380+0,5-350)/7) P(U ( ,5 350)/7) = Φ(30,5/7)- Φ(-30,5/7) = Φ(,79)- Φ(-,79) = Φ(,79)- (-Φ(,79)) = 2 Φ(,79)- o lit das la table à,79 la probabilité 0,9633, d où P(320 X 380) = 2 0,9633- = 0,9266. O a 92,66% de chace que la somme des poits soit comprises etre 320 et 380. Applicatio à la loi Biomiale La loi Biomiale est défiie comme ue somme de var X i iid où X i Be(p). O peut doc utiliser l applicatio 2 du TCL quad les effectifs sot suffisammet grads. Si Y B(,p), alors Y p ted asymptotiquemet vers ue loi Normale N(0,) pq Das la pratique, o peut utiliser les critères suivats : si 30 et si p 5 et si q 5, o peut remplacer les calculs cocerat la loi biomiale B(,p) par des calculs utilisat la loi Normale. Illustratio : Das u lot de 300 graies de Pois, qui peuvet être soit aies avec ue probabilité p = ¼ soit grades avec ue probabilité q=3/4, das quelles limites peut varier le ombre de plates aies? O cosidérera u itervalle cetré sur le ombre moye de plates aies valable das 95% des cas. O ote Y= «ombre de plates aies parmi u lot de trois cets graies». Pour chaque graie i o défiit ue variable aléatoire Xi qui suit ue loi de Berouilli de paramètre p=/4. Par défiitio, Y est la somme des 300 var Xi idépedates et de même loi, doc Y B(=300,p=/4) de moyee (ou espérace) = p = 300 /4 = 75 et de variace p q = 75 3/4 = 56,25 et d écart-type 56, 25 =7,5. O cherche l itervalle [75-a,75+a] tel que P(75-a Y 75+a) = 0,95. D après le TCL, (Y 75)/7,5 suit approximativemet ue loi Normale N(0,) si =300 30, p =75 5 et q = D où o cetre et o réduit Y comme das le cadre d ue loi Normale et P(75-a Y 75+a) = P(-a/ 7,5 U a/ 7,5) = Φ( a/7,5) - Φ(- a/7,5) = Φ( a/7,5) (-Φ(a/7,5)) = 2 Φ(a/7,5), d où Φ( a/7,5) = (+0,95)/2 =0,975. O lit das la table,96 et doc tout le terme a/7,5 etre les parethèses de Φ est égal à,96. D où a =,96 7,5 = 4,625 et l itervalle vaut [60.375, 89,625]. Remarque : das ce calcul, o a égligé les correctios de cotiuité. Pour les puristes, P(75-a Y 75+a) = P(Y 75+a) - P(Y< 75-a) = P(U (75+a+0,5-75)/7,5) P(U (75 a - 0,5 75)/7,5) =Φ( (a+0,5)/7,5) - Φ((- a-0,5)/7,5) d où e appliquat le même raisoemet que précédemmet, Φ( a+0,5/7,5) = (+0,95)/2 =0,975 et a = 0,5 +,96 7,5 = 5,25 et l itervalle vaut [59.875, 90,25]. Ce qui doe u itervalle u peu plus large. Par la suite, das le cas de la loi Biomiale, o simplifiera toujours les calculs e égligeat les correctios de cotiuité et e appliquat uiquemet le résultat Y p N(0,) si 30 et si p 5 et si q 5. pq 8

9 COURS SUR LES LOIS USUELLES.... Lois de probabilités discrètes... Loi de Berouilli... Loi Biomiale Loi de probabilités cotius : cas de la loi Normale...3 Loi Normale ou de Gauss ou de Laplace Gauss...3 Utilisatio de la table de loi Normale cetrée réduite Covergeces e loi...7 Le théorème cetral limite (TCL)...7 Applicatio à la loi Biomiale...8 9