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1 Générlité de l Trnsformtion de Fourier 3. Trnsformée de Fourier, diffrction et interférences : l eemple des ondes lumineuses Sons (ou phénomène dépendnts du temps) : temps t et fréquence (ou fréquence ngulire " = 2 # ) ˆf () = 1 +$ 2" % f (t) e #it dt #$ f (t) = 1 2" #$ Espce (éqution de l chleur, équtions d onde) : position et «fréquence sptile» k = 2 # / $ % +$ ˆf () e it d +# f ˆ (k) = 1 2 $ f () e "ik d "# +# f () = 1 $ f ˆ (k) e ik dk 2 "# Les ondes lumineuses : de Huygens à Fresnel Concours pour le Grnd Pri de l Acdémie des Sciences (1819) r z y Ecrn dns le pln (, y) Huygens, Trité de l Lumière (1690) - Un «front d onde» peut se décomposer en sources secondires émettnt des ondes sphériques (ondelettes) - Le front d onde se propge comme l enveloppe de ces ondelettes Principe de Huygens-Fresnel (1818) - L mplitude de vibrtion d une source secondire est proportionnelle à son ire - Si S n est ps une surfce d onde, il fut tenir compte de l phse des sources secondires : da( r ) = A 0 ( r ) e i( r ) d 2 r Frnçois Argo ( ) Le Président Disque opque Augustin Fresnel ( ) Le Cndidt Denis Poisson ( ) Un eminteur Triomphe du modèle ondultoire

2 k i Diffrction et Trnsformtion de Fourier Phénomène étudié : diffrction à l infini (Frunhoffer) y r z - source et écrn d observtion à l infini : mplitude diffrctée dns l direction k d - principe de Huygens-Fresnel : * somme d ondes prtielles * pproimtion sclire : E -> A k d * Ecrn dns le pln (, y) * Trnsmission T(r) = T(,y) % &(r) ' &(0) = r. (k i - k d ) = r. (k A(k d ) = A i " d 2 r T(r) ep (- i r. (k d - k i )) = A i " d dy T(,y) ep (- i #k - i y #k y ) Amplitude diffrctée = TF à deu dimensions de T(, y) Diffrction et Trnsformtion de Fourier Nottions : k i (0, 0, k = 2 # / $) k d () k, * k, + k), ), * << 1 A(), *) = A i " d dy T(,y) ep (- i k () + * y ) ) = A i " d dy T(,y) ep (- 2 i # () + * y ) / $) Vribles conjuguées de (, y) : ngles de diffrction ), * << 1 vecteur d onde trnsverse k = ) k, k y = * k k i y r z k d k y k ) * Diffrction et Trnsformtion de Fourier : eemples Ouverture rectngulire de côtés (, b) : /2 b/2 A(), *) = A i " - /2 d " - b/2 dy ep (-2 i # () + * y ) / $) = A i b sinc (# ) / $) sinc (# * b / $) A(k) 2 = A i b 2 sinc 2 (# ) / $) sinc 2 (# * b / $) sinc() = sin( ) Pupille rectngulire A(k, ky) 2 = sinc 2 (k /2) sinc 2 (ky b/2) b Pupille circulire A(kr) 2 = J 1 (kr /2) / (kr /2) 2 J 1 () : fonction de Bessel Une dimension : une fente de lrgeur sinc 2 (u) u = #) /$ = k /2

3 Diffrction et Trnsformtion de Fourier : eemples Deu fentes de lrgeur (inchngée) séprées de d : (pour une fente l longueur b est très grnde : * = 0) A()) = A i b sinc (# ) / $) ( 1 + ep (-2 i # ) d / $) ) A()) 2 = A i b 2 sinc 2 (# ) / $) ( 2 cos (# ) d / $) ) 2 Fentes d Young 2 fentes séprées de d = 4 A 2 (u) u = #) /$ = k /2 Diffrction et Trnsformtion de Fourier : eemples N fentes de lrgeur (inchngée) séprées de d : série géométrique de rison q = ep (-2 i # ) d / $) A()) = A i b sinc (# ) / $) 1 ' ep (-2 i # N ) d / $) 1 ' ep (-2 i # ) d / $) A()) 2 = A i b 2 sinc 2 (# ) / $) sin 2 (N # ) d / $) sin 2 ( # ) d / $) Réseu (ou mille cristlline) 4 fentes séprées de d = 4 A 2 (u) u = #) /$ = k /2 Diffrction pr des fentes : résumé Diffrction et Trnsformtion de Fourier Ecrn Figure de diffrction Lrgeur d une fente : tille du lobe de diffrction Distnce entre les fentes : interfrnge Résultts très généru : - dépendent peu de l «forme du trou» (objet diffringent) - vlbles pour des ondes lumineuses et pour des ondes de mtière : p = k = h/$ - rôle crucil de l longueur d onde : tche de diffrction (ngulire) :, $ / interfrnge (ngulire) :, $ / d Nombre de fentes : lrgeur des pics d intensité Eemples : longueur d onde (électromgnétique) des ryons X, longueur d onde (de de Broglie) des électrons, quelques Angström (dizièmes de nm) -> diffrction d électrons ou de ryons X pr des cristu * Dvisson et Germer (1927) * Anlyse structurelle (e : lliges, ADN...)

4 Lrgeur d une fonction et lrgeur de s TF : formlistion Fonction () quelconque et s trnsformée de Fourier â (k) 4. Les inéglités de Heisenberg Isométrie : " d () 2 = " dk â (k) 2 = 1 (convention) () 2 et â (k) 2 peuvent lors être considérées comme des densités de probbilité pour les vribles létoires et k. dp() = () 2 d " dp() = 1 dp(k) = â (k) 2 dk " dp(k) = 1 () 2 dp(u) : probbilité pour que l vrible létoire â (k) 2 soit entre u et u + du k Lrgeur d une fonction et lrgeur de s TF : formlistion On peut lors définir les vleurs moyennes -. et - k. : -. = " dp() = " d () 2 - k. = " k dp(k) = " dk k â (k) 2 et les dispersions # et #k : # 2 = " ( - -. ) 2 dp() = #k 2 = " ( k - - k. ) 2 dp(k) = - k k. 2 En utilisnt ces équtions on montre que : k " 1/2 (inéglités de Cuchy-Schwrz) Pour les vribles temps-fréquence on : t " " 1/2 Lrgeur d une fonction et lrgeur de s TF : formlistion Principe de l démonstrtion : * On considère les vribles létoires centrées : = - -., k = k - - k. et ( = (, (k = (k * On définit un polynome du second degré de l vrible réelle $ : I() = $ +# "# d () + d d 2 = % 2 " + %k 2 2 & 0 I($) doit être positif ou nul pour tout $, donc le discriminnt (b 2-4 c) doit être négtif ou nul : 1 4" 2 "k 2 # 0 $ " "k % 1 / 2 cqfd Ces inéglités sont des propriétés inhérentes à l TF

5 Lrgeur d une fonction et lrgeur de s TF : eemple de l diffrction Plus une fonction () (fente) est "étroite", plus s trnsformée de Fourier â (k) (lobe de diffrction) est "lrge", et réciproquement. () 2 â (k) 2 () 2 â (k) 2 () 2 â (k) 2 k k k Des ondes lumineuses u ondes de mtière Eqution de Schrödinger pour une prticule libre : i " (" r,t) = # 2 t 2m $" (" r,t) Solutions en ondes plnes (non normlisbles) : ( r,t) = " k e i( k. r #$t ) = % p e i( p. r #Et )/" = 2 k 2 2m = E = p2 2m Pquet d ondes (superposition de solutions : solution générle ) ( r,t) = " = " d 3 k $( k ) e i( (2# ) 3/2 k. r %& t ) d 3 p '( p) e i( p. r %Et )/" (2# ") 3/2 Trnsformées de Fourier (inverses) de ( k ) e "i# t ( p) e "iet/" Trnsformée de Fourier et ondes de mtière Remrque sur les constntes ( r,t) = " = " d 3 k $( k ) e i( (2# ) 3/2 k. r %& t ) d 3 p '( p) e i( p. r %Et )/" (2# ") 3/2 * Le 2 devient ( 2 ) 3 cr on 3 dimensions * On fit le chngement de vrible p = " k et on pose ussi ( k) = " 3/2 "(" k) pour normliser toutes les fonctions : ( r,t) 2 d 3 r = # "( k,t) 2 d 3 k = $( p,t) # # 2 d 3 p = 1 Inéglités de Heisenberg Les fonctions ( r,t) et ˆ ( p,t) étnt reliées pr TF, on : p " 2 y p y " 2 z p z " 2 * Conséquences directes de l TF (cf. # #k $ 1/2 ) * Propriétés intrinsèques de l fonction d onde : * indépendntes de toute mesure * mis vérifibles en effectunt des mesures sur des prticules toutes préprées dns le même étt. * Importnce fondmentle (cohérence de l théorie)

6 Les ondes de De Broglie : une limite des pquets d ondes On considère le pquet d ondes et s trnsformée de Fourier dns le cs limite () = A e " ( " 0 ) 2 # 2 2 e i p 0 ( p) = A " 2 e# ( p# p 0 ) " 2 e #i 0 ( p# p 0 ) 5. Diffrction et Trnsformée de Fourier : quelques epériences... L onde de de Broglie correspond u cs qui est non physique à strictement prler (onde plne non normlisble) «#Mnipultions hologrphiques d ondes de mtière#» (Moring et l., 1996)

7 Amplitude représentée en 3 dimensions

8 Le "vri" msque... Episodes suivnts... * Jusqu à présent : éqution de Schrödinger dns le vide Que devient l éqution de Schrödinger si des forces s eercent sur l prticule? * On vu des eemples de mesures (position, impulsion ), mis comment décrire de fçon générle le processus de mesure en mécnique quntique? Quel est l objet mthémtique ssocié à une quntité physique?

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