Composition vendredi 6 juillet de 14h à 16h : * Ne pas oublier vos calculatrices!

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1 Composition vendredi 6 juillet de 14h à 16h : * Les détails matériels (et les énoncés des années antérieures) sont sur le site web : * Documents autorisés : cours, recueil de problèmes, copies des diapositives d amphi, énoncés et corrigés de PC, notes personnelles. * Ne pas oublier vos calculatrices! * Pour les élèves EV2 la durée de l'épreuve sera de 2:30 (14h-16h30), suivant la recommandation des Présidents de Département. L énoncé sera en français : poser des questions en cas de doute!

2 DES INEGALITES DE HEISENBERG A LA CRYPTOGRAPHIE QUANTIQUE "QUELQUES APPLICATIONS DES PROPRIETES QUANTIQUES DE LA POLARISATION DU PHOTON" 1. Les inégalités de Heisenberg Non-commutation des observables 2. Un exemple physique : diffractions et interférences La diffraction des ondes lumineuses Quelques expériences 3. La cryptographie quantique Retour sur la polarisation du photon (expérience!) Les codes à clé secrète Le photon comme vecteur d'information

3 1. Les inégalités de Heisenberg

4 Peut-on prédire «simultanément» la valeur de deux grandeurs physiques? On considère 2N systèmes préparés dans le même état ψ Mesure de A sur N systèmes a Δa Mesure de B sur N systèmes b Δb Peut-on avoir simultanément Δa = Δb = 0? Il faut que ψ soit simultanément état propre des observables A et B De tels état existent-ils?

5 Observables qui commutent Commutateur de deux observables : [A, B] = AB BA Si deux observables commutent : [ A, B] = 0 ou AB = BA alors il existe une base formée de vecteurs propres communs à ces deux observables : { ψ i } tels que A ψ i = α i ψ i Β ψ i = β i ψ i Pour un système préparé dans l état ψ i, le résultat des mesures est certain : α i pour A et β i pour B Ce résultat se généralise à plus de deux observables

6 Observables qui ne commutent pas Si deux observables ne commutent pas : [ A, B] 0 ou AB BA il n est en général pas possible de préparer le système dans un état où les quantités A et B sont simultanément bien déterminées. Plus précisément : Δa Δb 1 2 ψ [ A, B ] ψ (exercice ) Exemple : le couple position-impulsion suivant un même axe [x, p x ] = i ħ donc x p ħ / 2 x k 1 / 2 Cette relation a déjà été démontrée à partir de la transformée de Fourier, elle apparaît ici de manière plus générale.

7 Inégalités de Heisenberg : cas général Principe de la démonstration : * On suppose que les variables aléatoires sont centrées : a = b = 0 (sinon on les centre par un décalage de l origine) * On définit un polynome du second degré de la variable réelle λ : Ι(λ) = (A+ i λ B) ψ 2 = ψ (A - i λ B)(A+ i λ B) ψ = A 2 + λ i [A, B] + λ 2 B 2 * Remarque : l opérateur i [A, B] est hermitien donc i [A, B] est réel I(λ) est un module carré et doit être positif ou nul pour tout λ, donc le discriminant (b 2-4 a c) doit être négatif ou nul : i [A, B] 2 4 A 2 B 2 0 donc Δa Δb [A, B] / 2 cqfd

8 2. Transformée de Fourier, diffraction et interférences : l exemple des ondes lumineuses

9 Généralité de la Transformation de Fourier Sons (ou phénomène dépendants du temps) : temps t et fréquence ν (ou fréquence angulaire ω = 2 π ν) + ˆf (ω) = 1 2π + f (t) = 1 2π f (t) e iωt dt ˆf (ω) e iωt dω Espace (équation de la chaleur, équations d onde) : position x et «fréquence spatiale» k = 2 π / λ f ˆ (k) = 1 + 2π + f (x) = 1 2π f (x) e ikx dx ˆ f (k) e ikx dk

10 Largeur d une fonction et largeur de sa TF Plus une fonction a (x) est "étroite", plus sa transformée de Fourier â (k) est "large", et réciproquement : x k 1/2 a (x) 2 â (k) 2 x k a (x) 2 â (k) 2 x k a (x) 2 â (k) 2 x k

11 Les ondes lumineuses : de Huygens à Fresnel x r z y Ecran dans le plan (x, y) Huygens, Traité de la Lumière (1690) - Un «front d onde» peut se décomposer en sources secondaires émettant des ondes sphériques (ondelettes) - Le front d onde se propage comme l enveloppe de ces ondelettes Principe de Huygens-Fresnel (1818) - L amplitude de vibration d une source secondaire est proportionnelle à son aire - Si S n est pas une surface d onde, il faut tenir compte de la phase des sources secondaires : da( r ) = A 0 ( r ) e iφ( r ) d 2 r

12 Concours pour le Grand Prix de l Académie des Sciences (1819) François Arago ( ) Le Président Augustin Fresnel ( ) Le Candidat Denis Poisson ( ) Un examinateur Disque opaque Triomphe du modèle ondulatoire!

13 Diffraction et Transformation de Fourier Phénomène étudié : diffraction à l infini (Fraunhoffer) x r - source et écran d observation à l infini : amplitude diffractée dans la direction k d - principe de Huygens-Fresnel : * somme d ondes partielles * approximation scalaire : E -> A k i y z k d * Ecran dans le plan (x, y) * Transmission T(r) = T(x,y) ϕ(r) ϕ(0) = r. (k i - k d ) = r. Δk A(k d ) = A i d 2 r T(r) exp (- i r. (k d - k i )) = A i dx dy T(x,y) exp (- i x k x - i y k y ) Amplitude diffractée = TF à deux dimensions de T(x, y)!

14 Diffraction et Transformation de Fourier Notations : k i (0, 0, k = 2 π / λ) k d (α k, β k, γ k), α, β << 1 A(α, β) = A i dx dy T(x,y) exp (- i k (α x + β y ) ) = A i dx dy T(x,y) exp (- 2 i π (α x + β y ) / λ) Variables conjuguées de (x, y) : angles de diffraction α, β << 1 vecteur d onde transverse x k x = α k, k y = β k k i y r z k d k y k x α β

15 Diffraction et Transformation de Fourier : exemples Ouverture rectangulaire de côtés (a, b) : sinc( x) = a/2 b/2 A(α, β) = A i - a/2 dx - b/2 dy exp (-2 i π (α x + β y ) / λ) sin( x) x = A i a b sinc (π α a / λ) sinc (π β b / λ) A(k) 2 = A i a b 2 sinc 2 (π α a / λ) sinc 2 (π β b / λ) Une dimension : une fente de largeur a sinc 2 (u) u = πα a/λ = k x a /2 a

16 Diffraction et Transformation de Fourier : exemples Deux fentes de largeur a (inchangée) séparées de d : (pour une fente la longueur b est très grande : β = 0) A(α) = A i a b sinc (π α a / λ) ( 1 + exp (-2 i π α d / λ) ) A(α) 2 = A i a b 2 sinc 2 (π α a / λ) ( 2 cos (π α d / λ) ) 2 Fentes d Young! 2 fentes séparées de d = 4 a A 2 (u) u = πα a/λ = k x a /2 a a

17 Diffraction et Transformation de Fourier : exemples N fentes de largeur a (inchangée) séparées de d : série géométrique de raison q = exp (-2 i π α d / λ) A(α) = A i a b sinc (π α a / λ) 1 exp (-2 i π N α d / λ) 1 exp (-2 i π α d / λ) A(α) 2 = A i a b 2 sinc 2 (π α a / λ) sin 2 (N π α d / λ) sin 2 ( π α d / λ) Réseau (ou maille cristalline)! 4 fentes séparées de d = 4 a A 2 (u) u = πα a/λ = k x a /2

18 Diffraction par des fentes : résumé Ecran Figure de diffraction Largeur d une fente : taille du lobe de diffraction Distance entre les fentes : interfrange Nombre de fentes : largeur des pics d intensité

19 Diffraction et Transformation de Fourier Résultats très généraux : - dépendent peu de la «forme du trou» (objet diffringent) - valables pour des ondes lumineuses et pour des ondes de matière : p = k = h/λ - rôle crucial de la longueur d onde : tache de diffraction (angulaire) : λ / a interfrange (angulaire) : λ / d Exemples : longueur d onde (électromagnétique) des rayons X longueur d onde (de de Broglie) des électrons quelques Angström (dizièmes de nm) -> diffraction d électrons ou de rayons X par des cristaux! * Davisson et Germer (1927) * Analyse structurelle (ex : alliages, ADN...)

20 Diffraction et Transformée de Fourier : quelques expériences...

21 Pupille rectangulaire A(k x, k y ) 2 = sinc 2 (k x a/2) sinc 2 (k y b/2) a b Pupille circulaire A(k r ) 2 = J 1 (k r a /2) / (k r a /2) 2 J 1 (x) : fonction de Bessel a

22 «Manipulations holographiques d ondes de matière» (Morinaga et al., 1996)

23 y k y 0 x 0 k x y k y 0 x 0 k x

24 y k y 0 x 0 k x y Amplitude représentée en 3 dimensions x

25 y k y y x k y k x x k x

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28 Le "vrai" masque...

29 «Hologramme synthétique» Merci à l Institut d Optique Graduate School!

30 3. De la polarisation du photon à la cryptographie quantique

31 POLARISATION DE LA LUMIERE Equations de Maxwell : * vibration transverse, linéaire ou circulaire * si on met un polariseur, direction de polarisation imposée * 2e polariseur (analyseur) faisant un angle θ avec l'analyseur : Φtransmis = Φincident cos 2 ( θ ) (Loi de Malus) (transmission nulle si le polariseur et l'analyseur sont orthogonaux) Polariseur à une voie ("polaroïd") : une polarisation est absorbée Polariseur à 2 voies : pas d'absorption, toute la lumière ressort

32 POLARISATION DE LA LUMIERE Equations de Maxwell : * vibration transverse, linéaire ou circulaire * si on met un polariseur, direction de polarisation imposée * 2e polariseur (analyseur) faisant un angle θ avec l'analyseur : Φtransmis = Φincident cos 2 ( θ ) (Loi de Malus) (transmission nulle si le polariseur et l'analyseur sont orthogonaux) Polariseur à une voie ("polaroïd") : une polarisation est absorbée Polariseur à 2 voies : pas d'absorption, toute la lumière ressort θ θ cos 2 θ sin 2 θ cos 2 θ Toujours 2 sorties dont les intensités varient en cos 2 (θ) et sin 2 (θ)

33 POLARISATION D'UN PHOTON Photon : "grain" d'énergie lumineuse, E = h ν J Flux lumineux émis par une lampe 200 W : photons/seconde Comment définir l'état de polarisation d'un seul photon? θ sin 2 θ cos 2 θ Si on détecte un photon unique après le polariseur, on ne peut obtenir qu'un des deux résultats (mutuellement exclusifs) "transmis" ou "dévié" On dira alors que la polarisation du photon est "horizontale" ou "verticale" Si la polarisation initiale du photon est orientée suivant un angle θ, les probabilités pour que le photon soit transmis ou dévié seront cos 2 θ et sin 2 θ Pour un grand nombre de photons, on retrouve bien la loi de Malus!

34 POLARISATION D'UN PHOTON Photon : "grain" d'énergie lumineuse, E = h ν J Flux lumineux émis par une lampe 200 W : photons/seconde On a déjà défini l'état quantique de polarisation d'un seul photon θ sin 2 θ cos 2 θ Différence cruciale entre les comportements classiques et quantiques : Un champ classique incident E est projeté sur les deux axes du polariseur, et se partage en deux composantes : transmise E cosθ, et déviée E sinθ Le «champ électrique» d un photon unique ne se partage pas, mais le photon est transmis ou dévié, avec des probabilités cos 2 θ et sin 2 θ Pour un grand nombre de photons, le flux obéit bien à la loi de Malus!

35 POLARISATION D'UN PHOTON Photon : "grain" d'énergie lumineuse, E = h ν J Flux lumineux émis par une lampe 200 W : photons/seconde On a déjà défini l'état quantique de polarisation d'un seul photon Expérience de "tri" par la polarisation : * orientations 0 ou 90 : 2 sortes de photons (mutuellement exclusifs) "vertical" : v et "horizontal" : h * mais on a aussi 45 et 135 : 2 sortes de photons (mutuellement exclusifs) "oblique droit" : d et "oblique gauche" : g Raisonnement "classique" : 2 propriétés différentes, par exemple : * homme : h ou femme : v * blond : d ou brun : g Test expérimental?

36 RAISONNEMENT CLASSIQUE : «MELANGE STATISTIQUE» * homme : h ou femme: v * blond : d ou brun : g p = 0 v : femme les femmes ne sont pas des hommes!

37 RAISONNEMENT CLASSIQUE : «MELANGE STATISTIQUE» * homme : h ou femme: v * blond : d ou brun : g p = 0.5 p = 0 v : femme d : blond femme blonde? les femmes blondes ne sont pas brunes!

38 RAISONNEMENT CLASSIQUE : «MELANGE STATISTIQUE» * homme : h ou femme: v * blond : d ou brun : g p = 0.5 p = 0.5 v : femme d : blond femme blonde? Raisonnement classique ("mélange statistique") : On trie en 4 catégories v&d, v&g, h&d, h&g 50% des femmes blondes sont en fait des hommes! Test : on prépare v, puis d -> tri des photons v&d? Mesure de h : la moitié des photons v&d sont devenus h! La préparation de d a fait "oublier" celle de v! Le "mélange statistique" est en conflit avec l'expérience!

39 MODELE QUANTIQUE DE LA POLARISATION DU PHOTON Mesures de polarisation : on prépare h (ou v) et on mesure h (ou v) : tous les photons passent on prépare h (ou v) et on mesure v (ou h) : aucun photon ne passe > états propres orthogonaux h ou v même raisonnement avec g et d > états propres orthogonaux g ou d on prépare h (ou v) et on mesure g : la moitié passe > état g on prépare h (ou v) et on mesure d : la moitié passe > état d on prépare g (ou d) et on mesure v : la moitié passe > état v on prépare g (ou d) et on mesure h : la moitié passe > état h Comment relier les états h, v et les états g, d?

40 MELANGE STATISTIQUE ET SUPERPOSITION LINEAIRE Raisonnement quantique ("superposition linéaire") : d = ( v + h ) / 2, v = ( d + g ) / 2 g = ( v - h ) / 2, h = ( d - g ) / 2 Test : on prépare v = ( d + g )/ 2, puis projection sur l état propre! d = ( v + h ) / 2 Pour l'état d : P(d) = 1 P(g) = 0 d et g orthogonaux Mesure : P(h) = 1/2 P(v) = 1/2 ça marche! Il FAUT UNE SUPERPOSITION LINEAIRE D ETATS!

41 GENERALITE DE LA NOTION DE SYSTEME A DEUX ETATS Molécule d'ammoniac : d = ( s + a ) / 2, s = ( d + g ) / 2 g = ( s - a ) / 2, a = ( d - g ) / 2 Polarisation du photon : d = ( v + h ) / 2, v = ( d + g ) / 2 g = ( v - h ) / 2, h = ( d - g ) / 2 Pour la molécule d ammoniac, mouvement d inversion : si ψ (0) = { α s + β a } / 2, alors ψ (t) = { α exp(-i E s t / ) s + β exp(-i E a t / ) a } / 2 Pour le photon les états de polarisation sont dégénérés (E v = E h ) : -> dans le vide la direction de polarisation de change pas au cours du temps -> mais elle change en présence de biréfringence ou de pouvoir rotatoire!

42 ϕ -

43 POUVOIR ROTATOIRE DE L'EAU SUCREE : LA SPIRALE DE LUMIERE Dans de l eau l'eau sucrée, la polarisation de la lumière tourne en spirale hélice. On ne voit plus la lumière quand la direction de la polarisation pointe dans la direction d'observation. Remarque : on «voit» en fait seulement une très faible fraction des photons, ceux qui sont diffusés par le liquide. Direction de propagation Direction de polarisation Lumière diffusée

44 QUE PEUT-ON EN CONCLURE? * La polarisation du photon se décrit dans un espace des états de dimension 2 ψ = α v + β h α 2 + β = 1 α, β réels : polarisations linéaires α, β complexes : polarisations circulaires ou elliptiques 2 * Si la polarisation est bien définie dans la base { v, h } ( base +), elle est totalement aléatoire dans la base { d, g } ( base ). On dit souvent que ces deux bases sont «incompatibles» * Nous verrons plus loin que ceci a des conséquences très importantes si on veut utiliser la polarisation du photon pour transmettre une information.

45 «RELATIONS DE HEISENBERG» POUR LA POLARISATION? Variances peu adaptées (nulles si états propres), on définit : C hv = p h - p v C gd = p g - p d C hv = 1 si on on est certain du résultat h ou v C gd = 1 si on on est certain du résultat g ou d α β Pour ψ = quelconque, on a : C hv = h ψ 2 - v ψ 2 = ψ h h ψ ψ v v ψ = ψ Α ψ C gd = g ψ 2 - d ψ 2 = ψ g g ψ ψ d d ψ = ψ Β ψ avec : A = 1 0 B = = [ A, B ] 0 : relation de Heisenberg?

46 «RELATIONS DE HEISENBERG» POUR LA POLARISATION? Variances peu adaptées (nulles si états propres), on définit : C hv = p h - p v C hv = 1 si on on est certain du résultat h ou v C gd = p g - p d C gd = 1 si on on est certain du résultat g ou d C hv 2 + C gd 2 = ( α 2 β 2 ) 2 + (α * β + α β * ) 2 ( α 2 β 2 ) αβ 2 = 1 Donc C hv 2 + C gd 2 1 Si on connaît avec certitude le résultat dans une base, on ignore totalement le résultat dans l autre! Equivalent aux inégalités de Heisenberg pour une v.a. binaire Un photon polarisé est un «Bit Quantique» (ou «qubit»)

47 Information Quantique

48 Les personnages Eve Alice Bob Méthode la plus courante (internet ) : cryptographie à «clé publique» Il n est pas nécessaire pour Alice et Bob de partager un secret initial, mais la sécurité dépend de la puissance de calcul de l espion Méthode potentiellement plus sûre : cryptographie «à clé secrète» Il faut un secret partagé, la «clé secrète», qui ne contient pas de message.

49 Cryptographie à clé secrète : one-time pad (G. Vernam, 1917) Alice Eve = Canal secret Canal public Sécurité démontrable si la clé est : aléatoire aussi longue que le message utilisée une seule fois (Shannon) = Bob

50 = Cryptographie Quantique à clé secrète : Bennett-Brassard (1984) Canal quantique Canal public Sécurité démontrable si la clé est : aléatoire aussi longue que le message utilisée une seule fois (Shannon) inconnue d Eve : Lois Quantiques! =

51 1 0 Codage de bits (0 ou 1) sur la polarisation d un photon 50 % 50 % Résultat déterminé On extrait une information si et seulement si la base de l'émetteur (codage) et du récepteur (détection) sont identiques! Résultat aléatoire Changement de base Résultat déterminé

52 Base de codage Valeur du bit Base lecture Bit lu Discussion Clé retenue

53 Base de codage Valeur du bit Base lecture Bit lu Discussion Clé retenue

54 LA CRYPTOGRAPHIE QUANTIQUE : PRINCIPE (Charles Bennett et Gilles Brassard, 1984) Point fondamental («avantage quantique») : plus Eve acquiert d information, plus elle crée d erreurs dans la transmission. On peut montrer qu en mesurant le taux d erreurs (ce qui se fait en comparant publiquement une fraction de la clé) Alice et Bob peuvent borner supérieurement la quantité d information connue d Eve. - Alice et Bob peuvent alors utiliser des algorithmes classiques pour corriger les erreurs, et pour produire une clé (plus petite) totalement inconnue d'eve. La longueur de la clé produite est d'autant plus petite que le taux d'erreur initial est plus grand (maximum tolérable : 11%!). -> Alice et Bob disposent d'une clé sans erreurs et totalement sûre

55 CRYPTOGRAPHIE QUANTIQUE : QUESTIONS... (C. Bennett et G. Brassard, 1984) 1. Si Bob révèle la base qu il a utilisée, pourquoi Eve a-t-elle moins d information que Bob? Parce qu elle doit faire une mesure «au moment où le photon passe», et qu à ce moment là elle ne connaît pas la base commune utilisée par Alice et Bob (cette information arrive trop tard pour elle! ). Dans ces conditions, plus Eve acquiert d information, plus elle crée d erreurs dans la ligne! 2. Comment Alice et Bob évaluent-ils les erreurs? Après l échange initial, Alice and Bob mesurent le taux d erreur en comparant publiquement une partie (choisie aléatoirement) des bits échangés -> Borne supérieure de l information connue d Eve (essentiel!) 3. Quel est le rôle des erreurs? (il y a toujours des erreurs!) Alice et Bob «traitent» leur données avant utilisation, et la clé finale est toujours sans erreur et parfaitement sûre. Les erreurs réduisent la taille de clé, mais n affectent pas sa confidentialité : plus il y a d erreurs, plus la clé finale est petite, mais sa sécurité n est jamais compromise.

56 Questions...

57 IMPULSIONS LUMINEUSES ET PHOTONS INDIVIDUELS Impulsion lumineuse - la polarisation d une impulsion peut être mesurée facilement (avec une lame séparatrice R = T = 50%) 0 p(bon résultat) = 1 Photon unique - un seul photon est détecté une seule fois, et la polarisation initiale n est pas mesurable avec certitude p(bon résultat) = 0.5 p = 0.5 p = 0 p = 0.25 p = 0.25

58 PHOTON UNIQUE ET IMPULSION Question : Peut-on dupliquer ou "cloner" l'état de polarisation du photon? etc... Réponse : Non! Deux arguments : - démonstration formelle... - conséquences physiquement inacceptables

59 THEOREME DE NON-CLONAGE Imaginons une "machine cloneuse", capable de dupliquer un état entrant : ψ 1 ψ 1 ψ 2 ψ 2 ψ 1 ψ 2 L'évolution sous la l'action du Hamiltonien de la "machine" doit conserver les produits scalaires, donc ψ 1 ψ 2 = ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 (attention, la multiplication à droite n'est pas évidente : admise!) Il en résulte que : - soit ψ 1 ψ 2 = 0 : les états sont orthogonaux, clonage possible - soit ψ 1 ψ 2 = 1, donc ψ 1 - ψ 2 2 = 0 et ψ 1 = ψ 2 : les états sont identiques, la copie ne dépend pas de l'entrée. On ne peut pas "cloner" un ensemble d'états non orthogonaux entre eux.

60 QU EST-CE QUI EST QUANTIQUE DANS LA CRYPTOGRAPHIE QUANTIQUE? - Il est impossible de copier un état quantique arbitraire choisi parmi un ensemble d états non-orthogonaux : «théorème de non-clonage» (démonstration générale : reliée à la linéarité de la MQ) - Au delà de conséquences pour la securité de la cryptographie quantique, le clonage aurait d autres conséquences inacceptables : - violation des inégalité de Heisenberg... - conflit entre la Mécanique Quantique et la Relativité restreinte... La sécurité de la cryptographie quantique est garantie par les principes de base de la Mécanique Quantique!

61 Questions...

62 Cryptographie quantique aux Canaries Free-Space distribution of entanglement and single photons over 144 km, R. Ursin et al, Nature Physics 3, (2007)

63 Potentiel industriel à moyen et long terme? *Actuellement 2 startups commercialisent des systèmes (fibres optiques, 50 km) The key to future-proof confidentiality IdQuantique (Genève) MagiQ Technologies (New York) * Intense activité aux USA (surtout militaire) et au Japon (NEC, Fujitsu ) * «Projet Intégré» Européen SECOQC : «Secure Communication based on Quantum Cryptography». démonstration de réseaux quantiques cryptés (Vienne : octobre 2008, Tokyo : octobre 2010)

64 Conclusion