IV. Ondes équatoriales

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1 IV. Ondes équatoriales Observations Conditions propres aux tropiques Variabilité tropicale Ondes tropicales Ondes stationnaires réponse au chauffage Oscillation de Madden Julian Propagation verticale des ondes tropicales Mécanisme de l'oscillation quasi biennale UE GEAT53, Université de La Réunion Bernard Legras IV.1 B. Legras 009

2 Observations (1) Distribution en latitude du vent et de la température renforcement des jets hivernaux vent d'est sur l'équateur transport vers l'hémisphère d'été faible gradient de température dans la zone tropicale IV. Trait plein: vent zonal Pointillé: vent méridien à 50 hpa Tireté: température à 500 hpa Webster B. Legras 009

3 Observations () Coupe méridienne du gradient de température Le gradient est très faible dans la zone tropicale Peixoto & Oort, fig7.7 IV.3 B. Legras 009

4 Observations (3) Coupe méridienne de la variance de la température Faibles variations dans la zone tropicale Peixoto & Oort, fig7.8 IV.4 B. Legras 009

5 Les conditions particulières dans la zone tropicale (15S 15N) (1) f 10 5 s 1 Échelle des mouvements verticaux= échelle de l'atmosphère (H) L'humidité joue un rôle essentiel dans l'énergétique Echelles déplacement vertical déplacement horizontal vitesse horizontale vitesse verticale nombre de Rossby rayon de déformation IV.5 D H 10 4 m L 1000 km U 10 ms 1 W DU / L Ro 1 H N km f Les équations du mouvement (en log-pression) t v h w z v f k v = h z =RT / H h V z w w / H =0 w N H c p t v h T =J où J est le chauffage total (radiatif + condensation) Les fluctuations du géopotentiel sont du même ordre que le terme d'advection U 100m s Selon la relation hydrostatique, les fluctuations de température sont / R U / R 0,3 K Le terme de chauffage, qui peut être de l'ordre de J / c p 1K/ jour est contrebalancé par le transport vertical et 1 déterminew d'où W 0,3cm s pour N H / R 3 K km 1 B. Legras 009

6 Les conditions particulières dans la zone tropicale (15S 15N) () Faibles variations de température horizontales Les fluctuations de géopotentiel et les vitesses verticales (hors systèmes convectifs) sont un ordre de grandeur plus faibles qu'aux latitudes tempérées Forte interaction convection / mésoéchelle / circulation de grande échelle Dans les zones convectives, précipitations de l'ordre de cm/jour soit 0 kg au m, ou encore (avec L=,5 106 J kg 1 ), un chauffage de la colonne de J m jour 1. En supposant cette chaleur uniformément distribuée dans la colonne de masse p0/g 104 kg m, le chauffage par unité de masse d'air est J/cp 5 K jour 1. En pratique, ce chauffage inégalement réparti est de à 4 fois plus grand, entraînant des vitesses moyennes de l'ordre de 3 à 5 cm s 1, bien plus fortes qu'en dehors de systèmes convectifs. Convergence de l'humidité dans la zone de convection (les précipitations excèdent largement l'évaporation locale ) IV.6 B. Legras 009

7 Circulation verticale dans les tropiques et convection Evaporative cooling Folkins et Martin, JAS, 005 IV.7 B. Legras 009

8 Folkins et Martin, JAS, 005 Divergence radiative, évaporative et convective Flux de masses radiatif évaporatif et (sur 0S 0N) convectif (sur 0S 0N) Q L e r = r e = c r e =0 = c p p Q r : chauffage radiatif e : évaporation T 1 : stabilité statique = d = = c T g z B. Legras 009 p cp p p IV.8 g

9 Variabilité tropicale (1) Circulation de Hadley Walker Holton IV.9 B. Legras 009

10 Variabilité tropicale () Perturbations tropicales: propagation vers l'ouest dans la zone convective diagramme temps longitude entre 5S et 10N à partir d'images satellite dans le visible IV.10 Webster, fig9.6 B. Legras 009

11 Variabilité tropicale (3) Fluctuations des pluies de la mousson indienne Webster, fig9.5 IV.11 B. Legras 009

12 Variabilité tropicale (4) Cependant, les fluctuations de la pression au sol restent faibles (dominées par la marée semi diurne) Webster, fig9.10 IV.1 B. Legras 009

13 Les modes de la variabilité tropicale (version eau peu profonde, pas de dépendance verticale) Les équations de base linéarisées Approxim ation du plan équatorial t u y v= g x t v y u= g y G t H 1 x u y v= H+η 1 Justification du forçage dans l'équation de continuité 1 L'équation de l'entropie est T ds=c p dt dp= Q où Q rend compte du chauffage total d S d dt d p d d p Q (radiatif et dû à la condensation). On a donc = = 1 =, cp T p p cp T 1 B RT g soit D t =D t D t p= avec cs = et B= Dt Q. g 1 c T cs p u =0, d'où 1 D p u= B. Par ailleurs, l'équation de continuité est D t t g cs u= B d'où après intégration verticale de 0Hà : Si on se place dans la limite c s, alors 1 g H1 IV.13 t H 1 x u y v= 0 B g dz. B. Legras 009

14 Modes libres: cas particulier, l'onde de Kelvin (pas de vitesse en y: v=0) Dans le cas de l'onde de Kelvin, les équations se ramènent à t u= g x t H 1 x u=0 y u= g y En posant u=u y expi k x t et = y expi k x t On obtient u= g k et k H 1 u=0 d'où =c k (avec) c =g H 1 Le signe de/ k est fixé par la troisième relation y k y = /k doit être positif pour que l'onde reste confinée sous la forme k y 0 exp = y = 0 exp c IV.14 B. Legras 009

15 Modes libres: cas général Après quelques manipulations, on obtient une équation pour la seule variable v 1 t { t v y v x v y v} x v=0 c En posant encorev= v yexpi k x t, on obtient k y d y v k v =0 c² c On connaît les solutions de cette équation sous la forme 1/ y v =H n y exp c c où H n est un polynôme de Hermite et on vérifie k k =n 1 c c IV.15 B. Legras 009

16 Ondes tropicales (1) Mode de Kelvin: v 0 Les équations de base linéarisées Approximation du plan équatorial t u y v= x t v y u= y t z N w=0 {J } w x u y v z w =0 H0 z H0 On suppose u, w, = u, w, y e e i k x m z t d'où k u =0, y u y = 0 i 1 i m N w = 0, i k u i m 1 w = 0 H0 H0 k 1 1 Eliminant u et w : N i m i m =0 H0 H0 N k La relation de dispersion est donc : = 1 m 4 H 0 Le signe de / k est fixé par l'équation du moment en y qui fixe aussi la structure méridienne. y k =0 y. Ainsi / k doit être positif pour que l'onde reste confinée près de l'équateur k y sous la forme = y = 0 exp 0 exp c IV.16 B. Legras 009

17 Ondes tropicales () Mode de Kelvin Relation de dispersion : = Nk 1 m 4 H0 1/ y z = 0 exp i kx m z t c H0 L'onde de Kelvin se propage vers l'est de part et d'autre de l'équateur. Pour c 30 m s 1, la largeur de l'onde est environ c/ 1/ 1600 km Dans l'océan, c est bien plus petit, c 0,5 3 m s 1, d'où une largeur de km IV.17 Note: Dans la limite m 0, la relation de dispersion devient = N H 0 k et la vitesse de phase c = N H 0 qu'il faut comparer à la vitesse pour une onde de gravité ou de Kelvin barotrope g H 1 Si on se base sur un profil isotherme, g g g on a N = z, soit c = H 0 H1 H1 Il suffit donc d'adopter H 1= H 0 pour établir la concordance du calcul hydrostatique avec le calcul en eau peu profonde. B. Legras 009

18 Ondes tropicales (3) Les équations de base linéarisées Approximation du plan équatorial u y v = t x t v y u = y t z N w=0 { J } w u v w =0 x y z H0 Problème complet z H0 i k x m z t ye e On suppose u, v, w, = u, v, w, d'où i u y v i k =0, y u i v y =0 1 1 N w=0, i i m i k u y v i m w=0 H0 H0 Il est ici plus intéressant de se ramener à une équation en v 1 1 k Eliminant u et w : N i m i m =0 H0 H0 im Eliminant w entre les deux dernières équations, on a i k u y y =0 N 1/ 1 avec m (on convient que m et m =± m ont le même signe). 4 H 0 et u en fonction de v Avec la première équation, ceci permet d'exprimer m i i u = m y v k v, = y k v v, avec D= y y k D N D N Après remplacement dans l'équation pour v m k 0= yy v y k v N IV.18 B. Legras 009

19 Ondes tropicales (4) m k L'équation0= yy v y k v N m est transformable par la substitution = N N m k et M = k m N en M v =0 1/ y On connaît les solutions de cette équations sous la forme v =H n exp v 0 où M =n 1 avec n entier positif eth n est un polynôme de Hermite H 0 =1, H 1=, H =4, H n = n H n 1, H n 1 = H n n H n 1 1/ m m y On peut donc écrirev = v 0 exp Hn y N N m m k avec k = n 1 N N ; on obtient : En utilisant les relations entre u, v, 1 1 / H n H n 1 / m n 1 v 0 m u =i v 0 e, =i N m N N k m N k IV.19 1/ Noter: même relation que pour le cas barotrope N avec c= = g he m h e : hauteur équivalente de 9 à 80m 1 H n H n 1 / n 1 e m N k m N k B. Legras 009

20 Ondes tropicales (5) 1/ N Les ondes sont piégées près de l'équateur avec une longueur d'échelle m Pour une longueur d'onde verticale de 10 km, la largeur est 1660 km. La transition 1/ N 1 / entre mode propagatif et évanescent a lieu pour =±M, soit y=± n 1 m Bien que n 0 sorte des valeurs admises, on retrouve la relation de dispersion de l'onde de Kelvin pourn =-1. Avec n=0, on obtient le mode de Rossby-gravité, dit de Yanai, pour lequel N m k N m k N = N Puisque m m =k N est propre à l'onde de Kelvin, on obtient = k, ce qui 1 3 ±N m m implique que m = = = k, c= et c gz= k m N k m k 3 Comme on veut quec gz 0, ceci implique que si / k 0, alors c gz = / N alors que si 0, alors c gz=3 /. Ainsi m = signe k i m y m y v 0 et puisque H 0 =1, u, v, =,1,i y exp N N IV.0 B. Legras 009

21 Ondes tropicales (6) Pour chaque n 1 et k, il existe trois solutions: une onde de Rossby de basse fréquence et deux modes de gravité-inertie. Modes de gravité Modes de gravité inertie Relation de dispersion des ondes équatoriales libres ~ pour m=0 Mode de Yanai Modes de Rossby IV.1 B. Legras 009

22 Ondes tropicales (7) Mode de Kelvin équatorial Mode de Rossby gravité IV. Webster, fig9.13 B. Legras 009

23 Modes tropicaux et stationnarité Webster IV.3 a E= g H1 B. Legras 009

24 Ondes forcées, réponse stationnaire On doit ajouter un amortissement pour limiter l'amplitude de la réponse. Cet amortissement peut être interprété comme une friction pour u et v. On peut aussi l'interpréter comme une relaxation thermique pour l'équation de continuité. On prend le même coefficient pour simplifier Les équations se ramènent à: u y v= g x v y u= g y G H x u y v= Résolution pour un forçage centré sur l'équateur IV.4 Gill, 1980, fig.1 B. Legras 009

25 Résolution pour un forçage combinant forçages à l'équateur et à 10N Gill, 1980, fig.3 IV.5 B. Legras 009

26 geopotentiel et vents à 100 hpa anticyclones Convection (heating) observations théorie 6 IV.6 B. Legras 009

27 Cyclones jumeaux IV.7 B. Legras 009

28 Coup de vent d'ouest IV.8 B. Legras 009

29 EOF 1 et de la divergence à 150 hpa en DJF IV.9 B. Legras 009

30 Cycle d'une oscillation de Madden et Julian Composantes des EOF 1 et IV.30 B. Legras 009

31 Relation de dispersion pour les ondes se propageant vers le haut Kelvin m*=k * Yanai m *=k * 1 1 * 1 gravité m =N k nn 1 k * k * * Rossby m n 1 * * * * n 1: m n 1 m =k k rappel: m k k = n 1 m N N * k *= m= m N k k = m m= N * IV.31 k Gill,1980 B. Legras 009

32 Ondes tropicales dans les observations satellitates (à 0 km) Ern et al, ACP, 008 IV.3 B. Legras 009

33 Oscillation quasi biennale IV.33 B. Legras 009

34 Mécanisme de l'oscillation quasi biennale IV.34 B. Legras 009

35 Mécanisme de la QBO (suite) IV.35 Les ondes se propageant vers l'est sont fournies par le mode de Kelvin et les ondes se propageant vers l'ouest sont fournies par le mode de Rossby gravité (+ autres ondes de gravité). B. Legras 009

36 Sources des figures: Webster in Hoskins & Pearce, Large Scale Dynamical Processes in the Atmosphere, Academic Press, 1983 Peixoto and Oort, Physics of Climate, American Institute of Physics, 199 Holton, An introduction to dynamic meteorology, third edition, Academic Press, 199 Gill, Atmosphere Ocean Dynamics, Academic Press, 1980 Folkins & Martin, J. Atmos. Sci. 6, , 005 Ern et al., Atmos Chem. Phys., 8, , 008 IV.36 B. Legras 009