Correction du Concours blanc type EDHEC

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1 Lycée Louis Pegaud DS7 Coection du Concous blanc type EDHEC Eecice (EDHEC 6. (a f est déivable su R + comme quotient de deu fonctions déivables dont le dénominateu ne s annule pas su R +, et on a : f ( e ( + < su R + Donc f est stictement décoissante su R +. De plus, lim f( + et lim + + (b Pa écuence immédiate de la popiété : f( (pas des fomes indéteminées + f( + P(n : u n est bien défini et u n >. Les scipt calculent les temes successifs de la suite, mais le pemie scipt s aête losque u<. et le second losque u>, n set de compteu, il indique l indice du denie teme calculé. Conclusion : u 5, et u 6 et ce sont les pemies temes de la suite à véifie ces inégalités. De telles écats peuvent nous faie conjectue que la suite n admet pas de limite (et même que la suite des temes de ang pai tend ves + et celle des temes de ang impai tend ves. 3. (a g est évidemment déivable su R + et g ( e < su R +. La fonction g est donc continue et stictement décoissante su R +, elle éalise alos une bijection de R + su g(r + ], ] (b Su R +, f( ssi e ssi e ssi g(. O d apès la question pécédente possède un unique antécédent dans R + pa g. On le note alos R +. (c Déteminons le signe de g ( e et g( : On a : g ( e e /e e e /e e, o e < donc pa coissance de la fonction eponentielle e /e < e, donc en invesant > e /e e et donc g ( e >. Plus simplement, g( e <, puisque e >. En conclusion : g( < g( < g ( e, o comme g est stictement décoissante on a donc : > > e. 4. (a On peut calcule : u, u e et u f ( e e /e /e e e e. O pou cette denièe, e e > donc e e e > et on a alos bien u f(u > donc u > u. Pou l aute inégalité, il suffit de emaque que f est décoissante de : u > u on tie : soit f(u < f(u u 3 < u (b Montons que (u n n N est coissante. Pou cela, on peut monte pa écuence que, pou tout n N : u n+ > u n. L initialisation a été faite en (a. Supposons que u n+ > u n pou un cetain ang n N fié, on a alos en composant pa f (décoissante : u n+3 < u n+ et en composant encoe une fois pa f (décoissante : u n+4 > u n+

2 Lycée Louis Pegaud La popiété est alos initialisée pou n et elle est hééditaie, elle est donc vaie pou tout n N. Conclusion : (u n n N est coissante. Pou (u n+ n N c est plus simple : comme (u n n N est coissante on a pou tout n N : u n+ > u n en composant pa f (décoissante, on a alos, pou tout n N : et (u n+ n N est alos bien décoissante. 5. (a Pou >, h( f(f( e f( f( u n+3 < u n+ e e e e e e e e e f( De plus, d apès., on a : lim f( + et lim f(, donc pa composition de limite : + + lim f(f( h(, donc h est bien continue en. + (b Soit R +. On a : h( ssi e f( ssi ou en divisant pa f( L équation h( n admet donc que deu solutions su R + : et. (c (u n+ n N est décoissante et minoée (pa donc elle convege ves une limite l < u e < (d apès 3.(c, de plus u n+3 h(u n+, donc l véifie h(l l. Donc, compte tenu de ce qui pécède et du fait que l < on a nécessaiement l. (d Si lim u n l u alos gâce à f continue su R + on auait lim f(u n f(l, ou n + n + encoe lim u n+ f(l, d apès la question pécédente. Ceci est absude puisque n a pas n + d antécédent pa f d apès.(a. Conclusion : (u n n N divege, de plus, étant coissante, sa limite ne peut ête que +. Eecice (EDHEC 4. (a On cheche la fonction de épatition de la vaiable aléatoie T U F T ( P (T P (U P (X Si <, on a P (X. Supposons, alos : F T ( P (X P ( X P (X P (X < : pou tout R, on a P (X P (X ca X est une vaiable aléatoie continue Φ( Φ( Φ( ( Φ( Φ( où Φ est la fonction de épatition de la loi nomale centée éduite (on notea ϕ sa densité. Ainsi on a : { Φ( si F T ( sinon. F T est une fonction continue su ], [ et su [, + [, et on a bien F T ( Φ( (/ lim F T (. Donc la fonction est continue en. Elle est de plus de classe C su R sauf éventuellement en. Donc T est une vaiable aléatoie à densité, dont une densité f T est donnée pa : f T ( ϕ( π e Γ(/ e si >, sinon.

3 Lycée Louis Pegaud la valeu en étant abitaiement pise égale à. On en déduit que U (et de même pou V ( suit la loi γ. Chechons maintenant une densité de U : pou tout R, on a F U ( P (U P (T F T (. On obtient alos que U est une vaiable à densité (ca F U est continue su R et C sauf peut-ête en comme composée de fonctions qui le sont, et une densité de U est : f U ( f T (/ e si > π si Une densité de V est f V f U (puisque X et Y suivent la même loi. (b On a E(U E(V et V (U V (V. L espéance et la vaiancede la loi γ E(U E( U, ( étant connue, on a : V (U 4V ( U 4.. On pose W U + V et on appelle que W est une vaiable aléatoie, définie, elle aussi, su l espace pobabilisé (Ω, A, P. (a On a W U + V. Il s agit d une somme de deu vaiables aléatoies indépendantes (ca X et Y ( sont indépendantes, et U fonction de X, V fonction de Y suivant toutes deu une loi γ. Pa le cous (théoème de stabilité pa somme de la loi γ, on en déduit que : W γ ( + γ( E(. Ainsi W suit une loi eponentielle de paamète. Toujous pa le cous, on sait alos que W (W/ suit une loi eponentielle E(. Rappel. X E( X E(λ λ On connait alos l espéance et la vaiance d une loi eponentielle : E(W λ / ; V (W λ 4. (b On admet (c est en fait du cous... qu une densité de W est la fonction f W, nulle su ], [, et définie su [, + [ pa : f W ( + f U (tf V ( tdt O on a f U (t si t et de même f V ( t si t, soit si t. On en déduit que f U (tf V ( t si t / [, ] et donc :, f W ( + f U (tf V ( tdt f U (tf V ( tdt. (c Repenons l intégale pécédente, qui pa hypothèse convege pou tout > : f W ( f U (tf V ( tdt. 3

4 Lycée Louis Pegaud Epimons cette intégale : f W ( π e f U (tf V ( tdt π t e t π e I( e t dt π t t t dt On en déduit donc que l intégale I( convege bien pou tout >. De plus, on sait que W E(. On a donc : >, f W ( e. On en déduit finalement que : >, I( π e / f W ( π e e π. Eecice 3 (EDHEC 3. Comme g(f g(m, Imf est un hypeplan de R 3. De plus, on a Imf Vect(f((,,, f(,,, f(,, Vect((,,, (, 3, Vect((,,, (,,. O f((,, (,, Imf et f((,, (,, Imf. Donc Imf est stable pa f. Imf est un hypeplan de R stable pa f.. (a La somme des coefficients su chaque ligne de M valant 4, on a f((,, (4, 4, 4 4(,,. Donc 4 est une valeu pope de f. g(m I 3, donc est une valeu pope de f et dim E 3. Comme les sous-espaces sont en somme diecte, il n y a pas d aute valeu pope puisque nous avons déjà dim E 4 + dim E 3. Nous pouvons même affime que dim E 4 eactement. Les valeus popes de f sont et 4. Remaque. On peut aussi détemine g(m λi 3 pa la méthode de Gauss pou touve ces valeus popes. (b Ke(f id E donc dim Ke(f id et Ke(f id est stable pa f, comme tout sous-espace pope de f. Ke(f id est un hypeplan de R 3 stable pa f. 3. (a Remaque péliminaie. Comme B est une base othonomale de E, on appelle que : ou E, (, y E,, e k e k k avec X M B ( M n, (R et Y M B (y M n, (R., y t XY Soit (, y E, X M B ( M n, (R et Y M B (y M n, (R. Soit M M B (f M n (R. On a : f(, y t (MXY t X t MY t X( t MY, f (y. 4

5 Lycée Louis Pegaud (, y E, f(, y, f (y. (b Soit g un endomophisme de E véifiant aussi la popiété pécédente. Alos, pou tout de E, f ( g( f (, e k e k g(, e k e k, f(e k e k, f(e k e k. k k k k f est l unique endomophisme de E véifiant (, y E, f(, y, f (y. Remaque. f s appelle l endomophisme adjoint de f, notion hos pogamme. 4. (a Toujous en notant M la matice epésentant f dans B, on a : λ Spec(f g(m λi n < n g( t (M λi n < n g( t M λi n < n g(f λid < n λ Spec(f. λ est une valeu pope de f. (b Comme u, dim(vect(u et dim ( (Vect(u dim E dim(vect(u n. Soit v ( Vect(u. On a : f(v, u v, f (u v, λu λ v, u, donc f(v ( Vect(u. ( Vect(u est un hypeplan de E stable pa f. Poblème. (EDHEC 5 Patie. Pou n, n!!(n! n(n... (n +,! o n(n... (n + n + n ( facteus équivalents à n. Donc n n +!.. (a Puisque ], [, les coissances compaées assuent que (b n n n + n +, donc! Comme n lim n + n+ n. n o ( n en +. est une séie de Riemann convegente, la ègle de négligeabilité assue que : n n n est convegente. 3. (a S + n n, et on econnaît la séie géométique. S. 5

6 Lycée Louis Pegaud (b O ( S n+ n + + [ + + n n+ + n+ + ] ( n + + n + + n+ + ( ( n pa la fomule de Pascal, et, d où + n+ n+ + ( S + S. (c Pa une itéation immédiate (ou une écuence su, ( S ( S ( ( S S. ( Ainsi on a ], [, N, + n n ( +. (d Et en divisant pa ( >, on obtient : ], [, N, + n n ( +. Patie. (a Comme le joueu peut ne jamais joue, X(Ω N. On a P(X P (D, et pou k N, Pa la fomule des pobabilités composées, P (X k P (D D D k D k+. P (X k P (D P D (D P D D (D 3... P D D D k (D k+ On a donc P (X k ( k, fomule encoe valable si k. X(Ω N, et k N, P (X k ( k. Remaque. La définition des D k montent qu ils ne sont pas indépendants. La ègle stipule que la disqualification est définitive donc D k D k+ pa eemple. Le ecous à la fomule des pobabilités composées s avèe nécessaie, même si le calcul invoquant une pétendue indépendance aboutit au même ésultat... (b Comme X(Ω N, T (Ω N, et pou tout k de N, Ainsi, P (T k P (X + k P (X k ( k T suit la loi géométique de paamète. Comme X T et E(T, on a, pa linéaité, (c De même, X T entaîne X possède une espéance, et E(X. V (X eiste et V (X V (T. 6

7 Lycée Louis Pegaud. (a Si n, l événement [X n] entaîne [Y ] puisque le joueu ne joue jamais (% des gagnants ont tenté leu chance... Sachant [X ], Y est constante égale à. Si n N, l événement [X n] entaîne que le joueu paticipe à n patie(s indépendante(s avec une même pobabilité de succès p. Son nombe de succès Y suit alos la loi binomiale de paamètes n et p. Sachant [X n] avec n N, la loi conditionnelle de Y est B(n, p. (b Y (Ω N, et le système complet d événements ([X n] n N pemet d écie, à l aide de la fomule des pobabilités totales, pou tout k de N, P (Y k n ( n p k ( p n k k nk [( ( p] n k P (X np [Xn] (Y k + ( k p p En econnaissant S k de la patie avec ( ( p ], [, on a : Soit β ( p P (Y k nk k [( ( p] k p [ ( ( p] k+ pk ( k ( + p p k+ k + p p ( p p + p p p p + p p p + p. Alos β + p p + p p + p p. Y (Ω N, et, k N, P (Y k β k ( β avec β p( + p p. 3. En s inspiant de la démache de.(b, Y + suit la loi géométique de paamète β, Et de même, V (Y V (Y + E(Y eiste et vaut β p(. β p( ( + p p ( β. V (Y 4. (a Le joueu gagnant Y paties et en pedant X Y, p( ( + p p. G Y (X Y Y X. p( (b Pa linéaité, E(G E(Y E(X ( (p E(G ( (p. Remaque. On notea que, confomément à l intuition, E(G est positive pou p /, c est-à-die losque le jeu est favoable au joueu... (c Tant qu à faie, pouvons aussi l eistence de E(XY. Soit n N. Sachant [X n], Y suit B(n, p donc E(Y [X n] eiste et vaut np. Pa linéaité, E(XY [X n] eiste et vaut n p puisque XY ny. Notons que, pou n, on a encoe E(XY [X n] n p... 7

8 Lycée Louis Pegaud P (X ne(xy [X n] pn P (X n est le teme généal d une séie (absolument convegente puisque X admet un moment d ode. D apès le théoème de l espéance totale, avec le système complet d événements ([X n] n N, XY possède une espéance et E(XY n Cette somme se calcule alos apidement pa tansfet : Ainsi, on a : P (X ne(xy [X n]. E(XY p n P (X n pe(x p(v (X + E(X p n ( + E(XY eiste et vaut (d V (G V (Y X 4V (Y + V (X 4cov(X, Y, et cov(x, Y E(XY E(XE(Y On a donc ( p( ( + p( ( p( (. p( V (G ( 4p(p + + p + 4p ( (4p ( + + 4p( +. Ainsi on a la fomule : V (G ( (4p ( + + 4p( (a alpha input( entez la valeu de alpha : p input( entez la valeu de p : X gand(,, geom,alpha - Y gand(,, bin,x,p disp(x ; disp(y (b Que l on peut compléte pa : G *Y - X disp(g p( ( p( ( ( 8