J.F.C. p. 1. Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route. EDHEC 2014 EXERCICE 1. Φ ( x) + Φ ( x) ).

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1 3-- 4 JFC p JF COSSUTTA jean-francoiscossutta@wanadoofr Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route EDHEC 4 EXERCICE a U est une variable aléatoire réelle sur Ω, A, P comme produit de deux variables aléatoires réelles sur Ω, A, P! Déterminons la fonction de répartition F U de U Soit Φ la fonction de répartition de X Rappelons que Φ est de classe C sur R et que x R, Φ x = π e x x ], [, F U x = P U x = P = x [, + [, F U x = P U x = P X x = P x X x = P x < X x x [, + [, F U x = Φ x Φ x { Φ x Φ x si x [, + [ On a donc F U x = sinon { Φ x Φ x si x [, + [ Notons que l on a encore : F U x = si x ], ] car F U = Φ Φ = x x et x x sont continues sur [, + [ et de classes C sur ], + [ De plus Φ est de classe C sur R Alors par composition x Φ x et x Φ x sont continues sur [, + [ et de classes C sur ], + [ Par différence F U est continue sur [, + [ et de C classe sur ], + [ Rappelons que F U est nulle sur ], ] Alors F U est continue sur ], ] et sur [, + [, et elle est C sur ], ] et sur ], + [ Cela permet de dire que F U est continue sur R et au moins de classe C sur R donc sur R privé d un nombre fini de points Alors U est une variable aléatoire à densité x ], [, F U x = x ], + [, F Ux = x Φ x x ], + [, F Ux = x Posons x R, l U x = Φ x = x Φ x + Φ x x e x = e x = e x x π x π π e x + π e x x π sinon si x ], + [ l U est est application de R dans R positive ou nulle, qui coïncide avec F U sur R donc sur R privé d un nombre fini de points Donc l U est une densité de U Remarque J aurais pu aller un peu plus vite en écrivant x [, + [, F U X = Φ x Mais j ai préféré être au plus près de la gestion du carré d une variable aléatoire à densité

2 Concluons en deux versions Version On admet que Γ Alors x R, l U x = = π Γ JFC p e x x si x ], + [ Donc U suit la loi Gamma de paramètres et sinon Version On n admet pas que Γ = π et on le retrouve Posons x R, hx = Γ e x x si x ], + [ sinon Donc h est une densité d une variable aléatoire réelle à densité qui suit la loi Gamma de paramètres et + Alors : = ht dt = ht dt = Γ e t t π + dt = Γ e t t dt π Ainsi = π Γ l U t dt = π Γ On retrouve donc le résultat de la version l U t dt = π Γ = Comme Y a même loi que X, V = Y a même loi que U = X Ainsi : π Γ Ainsi π = Γ Alors l U = h U et V suivent la loi gamma de paramètres et Exercice Retrouver la valeur de Γ en faisante un changement de variable u = t b Le cours indique encore que EU existe et vaut donc et V U existe et vaut donc Il en est de même pour V car V a même loi que U U et V possède une espérance commune qui vaut U et V possède une variance commune qui vaut a X et Y sont indépendantes donc U = X et V = Y sont indépendantes De plus U et V suivent la loi gamma de paramètres et Le cours montre alors que U + V suit la loi gamma de paramètres et + Ainsi U + V suit la loi gamma de paramètres et donc la loi exponentielle de paramètre W suit la loi exponentielle de paramètre b Rappelons que nous avons posé plus haut x R, l U x = une densité de U et de V e x x π sinon si x ], + [ et dit que l U est Notons que rien n indique que f U resp f V coïncide avec l U!! De même rien n indique que f U resp f V soit définie sur R f U resp f V et l U sont deux densités de U resp V Alors f U resp f V et l U coïncident sur R privé d un nombre fini de points

3 Or l U est nulle sur ], ] donc f U resp f V est nulle sur ], ] privé d un ensemble fini de points Soit x est un élément de [, + [ Rappelons que F W x = f U t f V x t dt Or f U est nulle sur ], ] privé d un ensemble fini de points Il en est de même pour t f U t f V x t Ainsi f U t f V x t dt = Alors F W x = f U t f V x t dt JFC p 3 Or f V est nulle sur ], ] privé d un ensemble fini de points Alors t f V x t est nulle sur [x, + [ privé d un ensemble fini de points Il en est de même pour t f U t f V x t Ainsi Pour tout élément x de [, + [, f W x = x f U t f V x t dt = Donc F W x = c Posons x R, gx = e x si x [, + [ g est une densité de W sinon Notons F W la fonction de répartition de W f U t f V x t dt f U t f V x t dt g est en particulier continue sur ], + [ donc F W est de classe C sur ], + [ et x ], + [, F W x = gx Appliquons le résultat de Q l u est une densité de U et de V Considérons la fonction g W nulle sur ], [ et définie sur [, + [ par g W x = Q, g W est une densité de W De plus x [, + [, g W x = Alors x ], + [, g W x = Soit x un élément de ], + [ l U t l U x t dt t e t x t π π dt t x t converge d après ce qui a été admis e x t dt = e x π dt t x t = e x π Ix l U t l U x t dt D après t t x est une bijection strictement croissante de ], x[ sur ], [ de classe C et On peut donc faire le changement y = t x dans cette intégrale en récupérant une intégrale convergente Ix = dt = t x t x dy = x y x x y dy y y = I Ix = I et ceci pour tout x dans ], + [ Alors x ], + [, g W x = e x π Ix = e x π I Ceci permet de dire que g W est continue sur ], + [, de redire que F W est de classes C sur ], + [, et d écrire que x ], + [, F W x = g W x = e x π Ix Ainsi x ], + [, e x = gx = F W x = g W x = e x π Ix et e x Alors x ], + [, = Ix et donc x ], + [, Ix = π π Pour tout réel x strictement positif Ix = dt t x t converge et vaut π

4 JFC p 4 Remarque Évidemment cet exercice laisse sans voix lorsque l on sait que Ix se calcule en deux lignes avec le changement de variable t = x sin u

5 JFC p 5 EXERCICE Soit M est un élément de M n R TrA et TrM sont deux réels et M et A sont deux éléments du R-espace vectoriel M n R Alors TrA M TrM A est un élément de M n R Donc M M n R, fm M n R f est une application de M n R dans M n R Soit λ un réel Soient M et N deux éléments de M n R fλ M +N = TrA λ M +N Trλ M +N A = λ TrA M +TrA N λ TrM+TrN A la trace est linéaire fλ M + N = λ TrA M TrM A + TrA N TrN A = λ fm + fn λ R, M, N M n R M n R, fλ M + N = λ fm + fn f est linéaire Finalement : f est un endomorphisme de M n R Supposons que la trace de A est nulle Alors fi n = TrI n A = n A Or A n est pas la matrice nulle de M n R donc fi n n est pas la matrice nulle de M n R Ainsi f n est pas l endomorphisme nul de M n R Supposons que la trace de A n est pas nulle Soit E, l élément de M n R dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l intersection de la première ligne et de la deuxième colonne qui vaut TrE, = donc fe, = TrA E, Or TrA n est pas le réel nul et E, n est pas la matrice nulle de M n R Ainsi fe, n est pas la matrice nulle de M n R Donc f n est pas l endomorphisme nul de M n R Dans tous les cas f n est pas l endomorphisme nul de M n R 3 a Soit M un élément de M n R f fm = f TrA M TrM A = TrA fm TrA fa par linéarité de f De plus fa = TrA A TrA A = MnR Donc f fm = TrA fm Pour toute matrice M de M n R, on a : f fm = TrA fm b M M n R, f fm = TrA fm Donc M M n R, f f TrA f M = f fm TrA fm = Mn R Ainsi f f TrA f = LMn R Alors X TrA X est un polynôme annulateur de f dont les zéros dans R sont et TrA Comme les valeurs propres de f sont contenues dans l ensemble des zéros de X TrA X dans R : les valeurs propres possibles de f sont et TrA 4 fa = TrA A TrA A = MnR et A MnR, donc est valeur propre de f et A est un vecteur propre associé est valeur propre de f

6 JFC p 6 5 Ici on suppose que la trace de A est nulle Nous avons vu que les valeurs propres possibles de f sont et TrA, et que est valeur propre de f Alors est la seule valeur propre de f La question a montré que f n est pas l endomorphisme nul de M n R donc Ker f est différent de E Alors SEP f, est différent de E, donc f n est pas diagonalisable car est sa seule valeur propre Si la trace de A est nulle f n est pas diagonalisable 6 Ici on suppose que la trace de A n est pas nulle a Tr est une application linéraire de M n R dans R et dim R = Alors l image de Tr est de dimension ou Or TrI n = n donc n est un élément non nul de Im Tr Alors Im Tr est de dimension Le théorème du rang montre alors que dim Ker Tr = dim M n R dim Im Tr = n dim KerTr = n b Montrons que TrA est valeur propre de f Soit M un élément de M n R fm = TrA M TrA M TrM A = TrA M TrM A = Mn R Or A n est pas la matrice nulle de M n R Donc fm = TrA M TrM = M KerTr Ainsi dim Ker f TrA Id Mn R = dim KerTr = n > Donc TrA est une valeur propre de f et le sous-espace propre associé est de dimension n Sp f = {, TrA}, TrA et dim SEP f, TrA = n Donc dim SEP f, + dim SEP f, TrA = dim SEP f, + n + n = n = dim M n R Sp f = {, TrA} donc dim SEP f, + dim SEP f, TrA dim M n R Ainsi Sp f = {, TrA} et dim SEP f, + dim SEP f, TrA = dim M n R Alors f est diagonalisable Si la trace de A n est pas nulle f est diagonalisable

7 JFC p 7 EXERCICE 3 Partie I : méthode utilisant un produit scalaire Remarque Notons que = Inf x,y R t 3 x t y e t dt existe car { est une partie non vide et minorée par zéro! de R Un peu plus tard il deviendra un Min a Le cours indique que la fonctions Γ : x Il dit aussi que x ], + [, Γx + = x Γx et n N, Γn = n! Alors n N, t n e t dt = n! donc k N, Pour tout élément k de N, b Montrons que <, > est un produit scalaire sur E } t 3 x t y e t dt ; x, y R R t x e t dt a pour domaine de définition ], + [ t k e t dt = k! t k e t dt converge et vaut k! Soit A un élément de R[X] Il existe un élément r de N et un élément a, a,, a r de R r+ tels que : r x R, Ax = a k x k k= Pour tout élément k de N, x k e x dx converge donc linéaire de r + intégrales convergentes Ainsi l intégrale Pour tout élément A de R[X], l intégrale r a k x k e x dx converge comme combinaison k= Ax e x dx est convergente Ax e x dx est convergente Remarque On pouvait obtenir l absolue convergence, donc la convergence, de Ax e x dx en montrant que Ax e x = o x + x par croissance comparée ou en utilisant un équivalent de x Ax e x en + Soit P, Q un couple d éléments de E P Q appartient à R[X] donc Ainsi < P, Q > existe et est réel! P Qx e x dx converge donc <, > est bien une application de E E dans R Soit λ un réel et soient P, Q, R trois éléments de E < λ P + Q, R >= < λ P + Q, R >= P x Qx e x dx converge! + λ P + Q x Rx e x dx = λ P x Rx + Qx Rx e x dx λ P x Rx e x + Qx Rx e x dx = λ P x Rx e x dx + car toutes les intégrales convergent Alors < λ P + Q, R >= λ < P, R > + < Q, R > λ R, P, Q, R E 3, < λ P + Q, R >= λ < P, R > + < Q, R > <, > est linéaire à gauche Qx Rx e x dx

8 Soit P, Q un couple d éléments de E < P, Q >= P x Qx e x dx = P, Q E, < P, Q >=< Q, P > <, > est symétrique Soit P un élément de E x R, P x e x et +! donc < P, P >= P E, < P, P > <, > est positive Soit P un élément de E tel que < P, P >= P x e x dx = JFC p 8 Qx P x e x dx =< Q, P > P x e x dx x P x e x est positive sur [, + [ x P x e x est continue sur [, + [ +! Alors x P x e x est nulle sur [, + [ Comme x e x ne s annule pas sur [, + [ : x [, + [, P x = Ainsi x [, + [, P x = Le polynôme P admet alors une infinité de zéroz c est donc le polynôme nul P = E P E, < P, P > P = E <, > est définie Les cinq points précédents permettent de dire que : P E, P =< P, P >= <, > est un produit scalaire sur E P t P t e t dt = P t e t dt Alors si Q est un polynôme de F défini par Q = x X + y, où x et y sont deux réels : X 3 Q = X 3 x X y = t 3 x t y e t dt Si Q est un polynôme de F défini par Q = x X + y, où x et y sont deux réels : X 3 Q = t 3 x t y e t dt 3 a E, <, > est un espace vectoriel euclidien, F est un sous espace vectoriel de E et X 3 est un élément de E Le théorème de meilleur approximation indique que : { X 3 Q, Q F } possède un minimum donc { X 3 Q, Q F } possède également un minimum Il existe un élément Q de F et un seul qui réalise ces deux minimums 3 Q est la projection orthogonale de X 3 sur F 4 dx 3, F = Min{ X 3 Q, Q F } = X 3 Q = X 3 Q = X 3 < X 3, Q > 3 b Q est la projection orthogonale de X 3 sur F et F = Vect, X Ainsi X 3 Q appartient à l orthogonal de F Alors X 3 Q est orthogonal à et à X < X 3 Q, >= et < X 3 Q, X >=

9 JFC p 9 3 c Q appartient à F donc il existe deux réels x et y tels que Q = x X + y De plus < X 3 Q, >=< X 3 Q, X >= Alors =< X 3 Q, >=< X 3 x X y, >= Donc = Ainsi : x + y = 6 t 3 x t y e t dt t 3 e t dt x t e t dt y e t dt = 3!! x! y = 6 x y On a aussi =< X 3 Q, X >=< X 3 x X y, X >= Donc = t 4 x t y t e t dt = Alors = 4! x y ou x + y = 4! = 4 t 3 x t y t e t dt t 4 e t dt x t e t dt y t e t dt = 4!! x! y { x + y = 6 Si Q = x X + y réalise le minimum de { X 3 Q Q F } et réciproquement : x + y = 4 3 d = Inf x,y R Alors = Inf Q F t 3 x t y e t dt t 3 Q e t dt = Inf Q F X3 Q = Min Q F X3 Q Donc = X 3 Q = X 3 Q = X 3 < X 3, Q > { x + y = 6 Calculons Q Cela revient à trouver x, y vérifiant : x + y = 4 En retranchant à la deuxième ligne la première ligne il vient x = 8 En remplaçant x par 8 dans la première ligne il vient y = = X 3 < X 3, Q >= t 6 e t dt t 3 8 t e t dt = 6! 8 = 7 8 4! + 3! = = = 36 La valeur de est 36 Remarque 8, est l unique élément de R qui réalise Inf x,y R t 4 e t dt + t 3 x t y e t dt t 3 e t dt Partie II : méthode utilisant une fonction de deux variables 4 Soit x, y un élément de R R fx, y = fx, y = t 3 x t y e t dt = t 6 dt x t 4 dt y t 6 + x t + y x t 4 y t 3 + x y t e t dt t 3 dt + x t dt + x y t dt + y t dt car toutes les intégrales convergent fx, y = 6! x 4! y 3! + x! + x y! + y! = x + y + x y 48 x y + 7

10 JFC p x, y R R, fx, y = x + y + x y 48 x y Notons que f est une fonction polynôme sur R R donc f est de classe C sur R R f f Soit x, y un élément de R R x, y = 4 x + y 48 et x, y = y + x x y { f f 4 x + y 48 = { x + y = 4 { x = 4 6 { x = 8 x, y = x, y = x y x + y = x + y = 6 x + y = 6 y = 6 8 { f f x = 8 x, y = x, y = x y y = f admet un point critique et un seul x, y sur R R x, y = 8, 6 f est de classe C sur l ouvert R R donc si f possède un extremum local en un point de R R, ce point est un point critique de f Ainsi x, y est le seul point de R R où f peut admettre un extremum local Étudions alors si f admet un extremum local en x, y en utilisant le cours f est de classe C sur R R comme fonction polynôme f x, y R R, x x, y = 4, f f x, y = et x, y = y y x Alors f x x, y f y x f, y y x x, y = 4 = 4 > et f x x, y = 4 > Le cours permet de dire alors que : f admet en x, y un minimum local fx, y = = fx, y = = = 36 f admet en x, y un minimum local qui vaut 36 7 Montrons que ce minimum est global Pour cela établissons que : x, y R R, fx, y fx, y Soit x, y un élément de R Posons α = x x et β = y y Alors fx, y = fx + α, y + β fx, y = x + α + y + β + x + α y + β 48 x + α y + β + 7 fx, y = x + α + 4 x α + y + β + y β + x y + x β + α y + α β 48 x 48 α y β + 7 fx, y = x + y + x y 48 x y α + β + α β + α 4 x + y 48 + β x + y Notons que x + y + x y 48 x y + 7 = fx, y De plus 4 x + y 48 = f x x, y = et x + y = f y x, y = Alors fx, y = fx, y + α + β + α β Donc fx, y fx, y = α + β + α β = α + α + β Ainsi x, y R R, fx, y fx, y ou x, y R R, fx, y fx, y Donc f admet un minimum global en x, y

11 JFC p f admet un minimum global en x, y Remarque Remarque f admet en x, y un minimum global strict On peut montrer que f est convexe sur R R Alors la question 6 donne la question 7, non?

12 JFC p PROBLÈME Question préliminaire a Soit x un réel quelconque Posons t R, M x t = Maxx, t t ], x], M x t = Maxx, t = x et t [x, + [, M x t = Maxx, t = t t x et t t sont continues sur R Ainsi M x est continue sur ], x] et sur [x, + [ Cela suffit à dire que M x est continue sur R Pour tout réel x la fonction t Maxx, t est continue sur R b Soit x un réel quelconque Si x appartient à ], ], y = Si x appartient à ], [, y = Si x appartient à [, + [, y = Maxx, t dt = Maxx, t dt = Maxx, t dt = si x est un réel quelconque et si y = x dt + [ t t dt = x x dt = x ] t dt = x = [ t dt + ] dt = x Finalement : Maxx, t dt, y = x + x = x x + x = x + si x ], ] si x ], [ x si x [ + [ Partie : étude de plusieurs cas où X est discrète XΩ = N Soit ω un élément de Ω Il existe un unique élément k de N tel que Xω = k k donc Y ω = Max Xw, t dt = Y = X 3 a XΩ = {,, } donc P X = + P X = + P X = = Alors P X = = P X = P X = = 4 4 = = Max k, t dt = k = Xω Ainsi ω Ω, Y ω = Xω Alors : P X = = b Soit ω un élément de Ω Si Xω = ou si Xω =, Y ω = Max Xω, t dt = car et sont dans ], ]

13 JFC p 3 Si Xω =, Y ω = MaxX ω, t dt = car [, + [ Alors Y ne prend que deux valeurs : et Donc : Y Ω = { }, Y prend la valeur si et seulement si X prend la valeur Donc P Y = = P X = = 4 Alors P Y = = P Y = = 4 = 3 4 P Y = = 3 4 et P Y = = 4 Y est une variable aléatoire réelle finie donc elle possède une espérance et une variance EY = P Y = + P Y = = = 5 8 EY = P Y = + P Y = = = 7 6 V Y = EY EY = = = Y possède une espérance et une variance EY = 5 8 et V Y = 3 64 c Notons que si l on tire un nombre au hasard dans [[, 3]], la probabilité que cela soit est 4 et la probabilité que ce ne soit pas et 3 4 Complétons! Function y:real; var u:integer; 3 Begin 4 u:=random4; 5 if u= then y:= else y:=5; 6 End; 4 a XΩ = N Soit ω un élément de Ω Si Xω =, Y ω = Max Xω, t dt = Si k est un élément de N et si Xω = k, Y ω = car ], ] Y Ω = Max Xω, t dt = k car k [, + [ Ainsi : { } N Notons que Y prend la valeur si et seulement si X prend la valeur Ainsi P Y = = P X = = e λ Si k appartient à N, Y prend la valeur k si et seulement si X prend la valeur k Alors k N, P Y = k = P X = k = λk k! e λ

14 JFC p 4 Y ω = { } N, P Y = = e λ et k N, P Y = k = λk k! e λ b X posséde un moment d ordre donc la série de terme général k P X = k est absolument convergente { } Or Y ω = N, P Y = = e λ et k N, P Y = k = P X = k Ainsi la série de terme général k P Y = k est absolument convergente Alors Y possède un moment d ordre Donc : EY = P Y = + + k= Y possède une espérance et une variance k P Y = k = + e λ + k= Alors EY = e λ + EX = e λ + λ = λ + e λ EY = P Y = + + EY = 4 e λ + EX Alors : k= k P Y = k = + 4 e λ + k P X = k = + e λ + k= k= k P X = k = + 4 e λ + k P X = k = e λ + EX k= k P X = k V Y = EY EY = 4 e λ + EX e λ + EX = 4 e λ + EX 4 e λ e λ EX EX V Y = 4 e λ + V X 4 e λ e λ EX = 4 e λ + V X 4 e λ e λ λ V Y = 4 e λ + λ 4 e λ e λ λ = 4 e λ e λ + λ e λ = e λ EY = λ + e λ et V Y = e λ λ + 4 e λ λ + 4 e λ Partie : étude de plusieurs cas où X est à densité 5 a Soit ω un élément de Ω Rappelons que XΩ = [, [ Supposons que Xω = Y ω = Si Xω appartient à ], [, Y ω = Finalement : ω Ω, Y ω = X ω + MaxX ω, t dt = car ], ] Donc Y ω = + MaxX ω, t dt = X ω + = X + ω Ainsi : Y = X + b XΩ = [, [ donc X Ω = [, [ puisque z z définie une bijection de [, [ sur [, [ Alors X + [ [ Ω = [, [ Ainsi X + Ω =, Donc : = X ω +

15 JFC p 5 c Soit x un élément de Y Ω = [ [, [ [ X, + F Y x = P Y x = P x = P X x X ne prend que des valeurs positives ou nulles et x est un réel positif ou nul Alors F Y x = P X x = F X x Or [ [ x appartient à [, [ car x, et z [, [, F X z = z donc F Y x = x Pour tout réel x appartenant à [ [,, on a : F Y x = x [ [ ] d Y Ω =, Ainsi x, [, F Y x = et x [, + [, F Y x = ] si x, [ [ [ Ainsi x R, F Y x = x si x, si x [, + [ En remarquant que F Y = = et que F Y = = on peut encore écrire que : ] si x, ] [ ] x R, F Y x = x si x, x est de classe C sur classe C sur [, + [ Alors F Y est continue sur si x [, + [ ], ], x [ ] ] ] x est continue sur, et de classe C sur, et x est de ], ] [ ] ],,, [, + [ et de classe C sur, ] ] ],,, [, + [ Ceci suffit pour dire que F Y est continue sur R et de classe C au moins sur R {, } donc sur R privé d un ensemble fini de points Alors : e Rappelons que Y = X + Y est une variable aléatoire à densité = X + X possède un moment d ordre, donc X possède une espérance Alors Y, qui est une fonction affine de X, possède une espérance De plus EY = EX + = V X + EX + = V X + EX + Rappelons que EX = + = et V X = =

16 Alors EY = = 4 + = 3 + = 4 3 = 3 EY = 3 JFC p 6 Exercice Utilisez une densité de Y pour retrouver l existence et la valeur de EY f Il suffit de remarquer que Y = X + Function y:real; Begin 3 y:=5*sqrrandom+; 4 End; et que l on peut simuler la variable aléatoire X par la fonction random Q6 a X suit la loi exponentielle de paramètre λ Alors X Ω = [, + [ donc XΩ = [, + [ ω Ω, Xω [, + [ donc ω Ω, Y ω = Max Xω, t dt = Xω Alors : Y = X b X suit la loi exponentielle de paramètre λ Donc X possède une espérance qui vaut λ et une variance qui vaut λ Or X = X +, ainsi X possède une espérance qui vaut EX + donc +, et une variance qui λ vaut V X donc λ X possède une espérance qui vaut λ + et une variance qui vaut λ c UΩ = [, [ et W = λ ln U Donc W Ω = [, + [ Alors x ], [, F W x = Soit x dans [, + [ F W x = P W x = P λ ln U x = P ln U λ x = P U e λ x F W x = P U e λ x Notons que e λ x [, [ car x [, + [ De plus z [, [, F U z = z Ainsi F W x = e λ x et ceci pour tout x dans [, + [ { Finalement F W x = e λ x si x [, + [ donc : sinon W = λ ln U suit la loi exponentielle de paramètre λ La loi de X est la même que celle de W + ou que λ ln U+ Pour simuler X il suffit de simuler λ ln U+ Cela se fait sans difficulté avec random Function ylambda:real:real; Begin 3 y:=-ln-random/lambda+; 4 End;

17 Q7 a XΩ = R Soit ω un élément de Ω Si Xω ], ], Y ω = Si Xω ], [, Y ω = Si Xω [, + [, Y ω = Max Xω, t dt = Max Xω, t dt = X ω + Max Xω, t dt = Xω Notons que x x + définit une bijection de ], [ sur { } ] [ [ [ Ainsi Y Ω =, [, + [=, + Y Ω = JFC p 7 ] [, et x x définit une bijection de [, + [ sur [, + [ [ [, + b Comme nous l avons vu plus haut : ω Ω, Y ω = Xω ], ] Ainsi P Y = = P X = Φ = P Y = = c Rappelons que l on a : ω Ω, Y ω = On peut aussi écrire : ω Ω, Y ω = X ω + X ω + si Xω si < Xω < Xω si Xω si Xω si Xω Xω si Xω [ [ ] Y Ω =, + Ainsi x, [, F Y x = [ [ Soit x un élément de, + {X }, { < X }, { < X} est un système complet d événements La formule des probabilités totales donne : F Y x = P Y x = P {Y x} {X } + P {Y x} { < X } + P {Y x} { < X} { {Y x} {X } = {Y x} {X } Y = } { = {X } Y = } = {X } Ainsi F Y x = P X + P {Y x} { < X } + P {Y x} { < X} [ ] Supposons que x appartienne à, P {Y x} { < X } { X } + = P x { < X } = P {X x } { < X } P {Y x} { < X } = P {X x } { < X } = P < X x car x [, ]

18 JFC p 8 P {Y x} { < X} = P {X x} { < X} = car x Ainsi F Y x = P X + P < X x = P X x = Φ x Supposons que x appartienne à ], + [ P {Y x} { < X } { X + = P } x { < X } = P {X x } { < X } P {Y x} { < X } = P {X x } { < X } = P < X car x ], + [ P {Y x} { < X} = P {X x} { < X} = P < X x Ainsi F Y x = P X + P < X + P < X x = P X x = Φx Finalement : ] si x, [ x R, F Y x = Φ [ ] x si x, Φx si x ], + [ d P Y = = donc Y n est pas une variable aléatoire à densité [ [ Y Ω =, + n est pas dénombrable car équipotent à R donc Y n est pas une variable aléatoire discrète La variable aléatoire réelle Y n est ni à densité ni discrète e Soit V n n N une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes sur Ω, A, P qui suivent toutes la loi uniforme sur [, [ Les variables aléatoires de cette suite sont mutuellement indépendantes, ont même loi, ont une espérance commune égale à et une variance commune non nulle égale à Posons n N, V n = V + V + + V n Le théorème de la limite centrée montre alors que la suite de terme général n V n EV n converge en loi vers une variable aléatoire réelle suivant la loi normale centée réduite V V n n N, EV n = n EV + EV + + EV n = n n = n N, V V n = V V n + V V + + V V n = n n = n car les variables de la suite V n n N sont indépendantes Alors n N, Donc n N, V n EV n V V n V n EV n V V n = = V +V + +V n n n n = n n V + V + + V n n V + V + + V n n La suite de terme générale V + V + + V n n n suivant la loi normale centrée réduite converge en loi vers une variable aléatoire réelle

19 Donc pour n assez grand on pourra approcher la loi de la variable aléatoire loi normale centrée réduite n On considérera que pour n = 48 on peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale centrée réduite Notons que si n = 48, V + V + + V n n n = k= V k 48 JFC p 9 V + V + + V n n par la n = V + V + + V n n 48 k= V k 4 Si U, U,, U 48 sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes sur Ω, A, P suivant toutes la loi uniforme sur [, [, le théorème de la limite centrée qdoit pouvoir permettre d approcher la loi de la variable aléatoire 48 V k 4 par la loi normale centrée réduite k= On simule X par 48 k= V k 4 et on utilise la définition de Y Function ylambda:real:real; Var k:integer;aux:real; 3 Begin 4 aux:=; 5 For k:= to 48 aux:=aux+random; 6 x:=aux-4/; 7 if x<= then y:=5 else 8 If x< then y:=x*x+/ else y:=x; 9 End;