(b) J 0 = lim. x k (x + 1) 2 = 1. ( 1) k 1 I k = k=1 1/5

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1 ÉCS Un Coigé de l épeuve EDHEC 5 S 5 mai 5 Poposition de coigé pou le seveu de l APHEC, pa Nicolas Maillad (colasmaillad@fee.f. Eecice. n ( + est continue et positive su [ ; [ et n. Comme ( + n+ n +, l intégale de Riemann d convege. Le citèe des équivalents n+ pou les fonctions positives pemet de conclue que I n convege pou tout n de N.. (a De a b (a b + a + ( + R \, }, (b Pou tout A de [ ; [, Comme n ( + d lim ln A on tie ( + +. [ ln + d A A + et ln ln, I ln. ] A ln + 3. (a Soit n. On a :, n ( + n. Pa coissance de l intégale (où toutes ces intégales eistent!, n d ( + n d. [ ] A O n d lim A ( n n (n. (b Comme 4. (a lim n, I n (n. A A + ln., le théoème d encadement pemet de conclue que (n lim I n eiste et vaut. n ( + + n+ ( + + n+ ( +, donc pa un calcul de l intégale n+ de Riemann analogue à 3.(a et pa linéaité de l intégale, I n + I n+ n+ d n (b Soit n N., n ( + n+ ( + ca n n+. Pa coissance de l intégale, I n I n+. La suite (I n n N est décoissante. (c Pa (b, pou tout n, I n + I n I n I n + I n+, donc pa (a, n I n n, et en multipliant pa n, n Pa encadement, lim ni n, autement dit, I n n. n ni n. Pa la ègle des équivalents pou les séies à teme généal positif, et puisque la séie de Riemann n divege, n la séie de teme généal I n divege. 5. (a Le même aisonnement qu en., avec n ( + J n convege pou tout n de N. [ ] A (b J lim A +. J /., monte que n+ 6. (a Soit k N. Pou tout, k ( + + k ( + + k ( + k, d où pa linéaité, ( + J k + J k I k. (b Soit n N. ( k I k k ( k I k k ( k (J k + J k k ( k J k + k ( k J k k n ( k J k ( k J k ( n J n + J pa télescopage. k n N, k ( k I k ( n J n +. k (c Soit n. On a :, n ( + 4 n. Le même aisonnement qu en 3.(a & (b pemet de conclue que /5

2 ÉCS Un Coigé de l épeuve EDHEC 5 S 5 mai 5 n, J n, et lim 4(n J n. (d En passant à la limite dans la elation de 6.(b, on a lim ( k I k ( n +. k La séie de teme généal ( n I n convege, sa somme vaut /. 7. n input( entez une valeu de n supéieue ou égale à : I log( ; J / ; J I+J fo k :n I /(k- - I ; J I + J ; end disp(i, la valeu de I est : disp(j, la valeu de J est : Eecice. (a Soit [ ; [. F Y ( P(Y P( X P( X Φ( Φ( Φ( ( Φ( Φ(. De plus, pou <, F Y ( P( X ca X. Comme Φ est de classe C su R, F Y est de classe C su R (au moins. De plus, lim Y ( F Y ( lim Y ( puisque Φ( /, F Y + est continue su R. Y est une vaiable à densité. Et pa déivation su R, une densité de Y est ϕ( e / si, f Y : sinon. (b Soit A. Donc pa linéaité, e / d [ e ] A / Y admet une espéance, égale à e A / + A.. (c Remaquons que Y X X. O pa la fomule de Huygens, E(X eiste et vaut V(X + E(X +. Toujous pa la fomule de Huygen, Y possède une vaiance, égale à.. (a t t est de classe C et stictement coissante su ] ; [, c est donc une bijection de classe C : le changement de vaiable est pemis. Comme t u / /, dt udu et g(tdt e u u / udu / e u du. Enfin, pou t, u, et pou t, u. Le théoème du changement de vaiable assue alos que g(tdt est de même natue que / du, et que ces intégales sont égales en cas d eistence. ϕ étant une densité, e u g(tdt (b ϕ est une densité paie, donc : g(tdt e u / du eiste. Donc les deu intégales eistent. e u / du ϕ(udu ϕ(udu. ϕ(udu. De plus, g est positive su R et continue su R, donc g peut ête considéée comme une densité. 3. (a Comme Z(Ω [ ; [, T (Ω [ ; [, donc pou <, F T (. Pou, F T ( P( Z P(Z / ca Z est positive. G( / si, F T ( sinon. G étant de classe C su ] ; [, pa composition F T est de classe C su R, et une densité de T est donnée pa g( f T : / / e si, sinon. Les densités f Y et f T étant identiques, T suit la même loi que Y. (b T Z induit Z T /, o T admet une espéance, égale à E(Y, valant d apès.(c. Pa linéaité, Z possède une espéance égale à /. 4. gand(,, nom,, pemet de simule X. y abs( pemet de simule Y, donc T qui suit la même loi. z yˆ/ pemet de simule Z. La valeu absolue ne set à ien, puisqu on élève au caé, on peut popose : z (gand(,, nom,,ˆ/ /5

3 ÉCS Un Coigé de l épeuve EDHEC 5 S 5 mai 5 Essai : j ai eécuté mean(gand(,, no,,ˆ/ et j ai obtenu ce qui cooboe 3.(b, non? 5. (a L algoithme poposé simule n vaiables (W i i n indépendantes de loi eponentielle de paamète, et calcule la moyenne des vaiables (W i i n définies pa Wi W i W i. On sait que (d apès la loi faible des gands nombes, en emaquant qu elles possèdent une vaiance ca les lois eponentielles possèdent des moments de tout ode, cette moyenne s appoche de leu espéance commune m E(W i. Donc pou n gand, ( s contient une valeu poche de m. O pa tansfet : Wi Wi m E e g(dd. Pou n gand, s pend une valeu poche de g(d. (b Pa tansfet, puis d apès les questions pécédentes, ( ( ( T g(d E(Z 4 Y 4 X 4 E E E E(X Eecice 3 g(d E(Z C est un ésultat du cous : f est un endomophisme symétique de l espace euclidien R n donc il est diagonalisable et il eiste une base othonomale B de R n fomée de vecteus popes de f.. (a Soit un vecteu de R n. Écivons i u i, décomposition de dans B. i Notons λ k la valeu pope associée à u k, ainsi pou tout k de [[ ; n]], f(u k λ k uk. n, f( i u i, k f(u k i k λ k u i, u k, pa bilinéaité. i k i k O u i, u k si k i et sinon. Donc, f( i, λ i >. R n,, f(. i λ i puisque pou tout (b En epenant les notations pécédentes, (, f( ( i [[ ; n]], i λ i ( i [[ ; n]], i (ca i, λ i i Donc, f(. La écipoque est évidente puisque,., f( si, et seulement si,. (c, y et z désignent des vecteus de R n, un éel. ϕ est symétique ca ϕ(y, y, f( f(, y pa symétie de.,., ϕ(y,, f(y ϕ(, y ca f est symétique. ϕ est linéaie à gauche ca ϕ( + y, z + y, f(z, f(z + y, f(z ϕ(, z + ϕ(y, z. Pa symétie, ϕ est aussi linéaie à doite. ϕ est positive pa.(a et définie pa.(b. ϕ est un poduit scalaie su R n. 3. (a Souvenons-nous que, pa linéaité, on définit complétement un endomophisme en le définissant su une base. Soit g l endomophisme défini pa i [[ ; n]], g(u i ( λ i ui. Pemièe vesion - Pou tout (i, j de [[ ; n]], u i, g(u j λi si j i λ j u i, u j ; sinon g(u i, u j λi } si j i λ i u i, u j u i, g(u j sinon Ainsi g est symétique «su la base B». Ce ésultat s étend à R n pa bilinéaité. Seconde vesion - Pou tout (i, j de [[ ; n]], u i, g(u j λi si j i, λ j u i, u j sinon. Ainsi la matice M epésentant g dans la base othonomale B est M ( u i, g(u j i,j n diag( λ,..., λ n. M est diagonale donc symétique, et puisque B est othonomale pou.,., cela signifie que g est un endomophisme symétique. Les deu vesions pécédentes montent que B est une base othonomale fomée de vecteus popes de g, et que ses valeus popes sont les λ i, stictement positives. De plus, pou tout i de [[ ; n]], g (u i g( λ i u i λ i g(u i λ i u i f(u i. Les endomophismes g et f coïncident su la base B, donc ils sont égau. Il eiste un endomophisme g, symétique, tel que Sp(g ] ; [ et g f. (b Remaque : nous n avons pas démonté que g est unique, et cette question b fait éféence à un g convenable. Nous continuons donc avec le «g pécédent»... 3/5

4 ÉCS Un Coigé de l épeuve EDHEC 5 S 5 mai 5 g n admettant pas pou valeu pope, g est injectif. Et comme g est un endomophisme d un espace de dimension finie, g est bijectif. (c Soit (i, j dans [[ ; n]]. ϕ(g (e i, g (e j g (e i, f(g (e j g (e i, g(e j ca f g g, ϕ(g (e i, g (e j g(g (e i, e j ca g est symétique, ϕ(g (e i, g si i j, (e j e i, e j puisque la base canonique est othonomale pou le poduit scalaie canonique.,.. sinon, Ainsi, ϕ(g (e i, g si i j, (e j sinon. ( g (e,..., g (e n est une base othonomale pou le poduit scalaie ϕ. Poblème Patie ( n n! n(n... (n +. Pou n,,!(n!! o n(n... (n + n ( facteus équivalents à n. Donc ( n n!.. (a Puisque ] ; [, les coissances compaées assuent que (b n 3. (a S n Comme n n (b ( S + n +! lim n+ n., donc n o ( n en. est une séie de Riemann convegente, la ègle de négligeabilité assue n n ( n n est convegente. n... et on econnaît la séie géométique. n+ + S. n n+ ( n n+ + ( S + ( S + O ( n + + ( n + ( n n+ n+ + + n+ [( ( ] ( n + n n + +, ( n pa la fomule de Pascal, et n n + ( S + S. (c Pa une itéation immédiate (ou une écuence su, S ( S ( ( S ] ; [, N, (d Et en divisant pa ( >, Patie ] ; [, N, n n n ( ( ( +. ( n n ( +. (, d où + S, ainsi. (a Comme le joueu peut ne jamais joue, X(Ω N. P(X P(D, et pou k N, P(X k P(D D D k D k+, et pa la fomule des pobabilités composées, P(X k P(D P D (D P D D (D 3... P D D D k (D k+ P(X k ( k, fomule encoe valable si k. X(Ω N, et k N, P(X k ( k. Remaque : la définition des D k montent qu ils ne sont pas indépendants. La ègle stipule que la disqualification est définitive donc D k D k+ pa eemple. Le ecous à la fomule des pobabilités composées s avèe nécessaie, même si le calcul invoquant une pétendue indépendance aboutit au même ésultat... (b Comme X(Ω N, T (Ω N, et pou tout k de N, P(T k P(X + k P(X k ( k, donc T suit la loi géométique de paamète. Comme X T et E(T, on a, pa linéaité, X possède une espéance, et E(X. 4/5

5 ÉCS Un Coigé de l épeuve EDHEC 5 S 5 mai 5 (c De même, X T entaîne V(X eiste et V(X V(T.. (a Si n, l événement [X n] entaîne [Y ] puisque le joueu ne joue jamais (% des gagnants ont tenté leu chance... Sachant [X ], Y est constante (ou dégénéée, égale à. Si n N, l événement [X n] entaîne que le joueu paticipe à n patie(s indépendante(s avec une même pobabilité de succès p. Son nombe de succès Y suit alos la loi binomiale de paamètes n et p. Sachant [X n] avec n N, la loi conditionnelle de Y est B(n, p. (b Y (Ω N, et le système complet d événements ([X n] n N pemet d écie, à l aide de la fomule des pobabilités totales, pou tout k de N, ( n P(Y k P(X np [Xn] (Y k + ( n p k ( p n k k n nk ( k p ( n P(Y k [( ( p] n, soit, en econnaissant S k de la p k nk patie avec ( ( p ] ; [, ( k p [( ( p] k P(Y k p [ ( ( p] k+ pk ( k ( + p p k+ ( k p p P(Y k + p p + p p Soit β p p + p p p + p. Alos β + p p + p p + p p. Y (Ω N, et, k N, P(Y k β k p( ( β avec β + p p. 3. En s inspiant de la démache de.(b, Y + suit la loi géométique de paamète β, E(Y eiste et vaut β p(. β p( ( + p p Et de même, V(Y V(Y + ( β. p( ( + p p V(Y. 4. (a Le joueu gagnant Y paties et en pedant X Y, G Y (X Y Y X. p( (b Pa linéaité, E(G E(Y E(X ( (p. ( (p E(G. Remaque : on notea que, confomément à l intuition, E(G est positive pou p /, c est-à-die losque le jeu est favoable au joueu... (c Tant qu à faie, pouvons aussi l eistence de E(XY. Soit n N. Sachant [X n], Y suit B(n, p donc E(Y [X n] eiste et vaut np. Pa linéaité, E(XY [X n] eiste et vaut n p puisque XY ny. Notons que, pou n, on a encoe E(XY [X n] n p... P(X ne(xy [X n] pn P(X n est le teme généal d une séie (absolument convegente puisque X admet un moment d ode. D apès le théoème de l espéance totale, avec le système complet d événements ([X n] n N, XY possède une espéance et E(XY n P(X ne(xy [X n]. Cette somme se calcule alos apidement pa tansfet : E(XY p E(XY p n n P(X n pe(x p(v(x + E(X ( + ( E(XY eiste et vaut p( ( +, d où p( (. (d V(G V(Y X 4V(Y + V(X 4Cov(X, Y, et p( ( Cov(X, Y E(XY E(XE(Y Cov(X, Y p( ( p( ( ( p( V(G ( 4p(p + + p + 4p ( (4p ( + + 4p( +. V(G ( (4p ( + + 4p( (a alpha input( entez la valeu de alpha : p input( entez la valeu de p : X gand(,, geom,alpha - Y gand(,, bin,x,p disp(x ; disp(y (b Que l on peut compléte pa : G *Y - X disp(g 5/5

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