EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES TRANSFORMATIONS EXERCICES

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1 EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES TRANSFORMATIONS EXERCICES EXERCICE N 1 : Pour chacun des neuf cas ci-après, préciser s il existe une transformation qui permette de passer de la figure a à la figure b. Si oui, caractériser cette transformation. Transformations : exercices 1 7

2 EXERCICE N 2 : On considère la transformation du plan qui à tout point M de la droite (D) associe le point M qui est un point de la demi-droite [OM) et tel que OM OM = 8. Prendre trois points de la droite (D) et placer leurs images. Les images sont-elles alignées? EXERCICE N 3 : Tracer un triangle ABC, tel que AB = 6cm, BC = 4cm et AC = 5cm. Tracer le symétrique A de A par rapport à (BC). Tracer le symétrique B de B par rapport à A. Tracer C = ra, 40 (C) Tracer B = hc, ½(B). EXERCICE N 4 : Sur le dessin ci-contre, trouver des points et leurs images par des transformations que l on précisera (on utilisera uniquement les points nommés en faisant des constats ; aucune démonstration n est demandée). EXERCICE N 5 : Soit (d) une droite, A un point de (d) et B un point non situé sur (d). Tracer B le symétrique de B par rapport à (d). Démontrer que ABB est un triangle isocèle. EXERCICE N 6 : Soit DEF un triangle quelconque. Soit K un point quelconque sur [DF]. Tracer D et F les symétriques de D et F par rapport à E. Tracer uniquement avec une règle non graduée le symétrique K de K par rapport à E. Justifier cette construction. Transformations : exercices 2 7

3 EXERCICE N 7 : En utilisant la figure ci-contre, indiquer pour chaque cas la transformation telle que : 1. Le triangle AIC a pour image le triangle AIB 2. Le triangle ACF a pour image le triangle EAF 3. Le triangle ACF a pour image le triangle CAI (sommets correspondants) EXERCICE N 8 : Tracer, le cas échéant, le (ou les) axe(s) et centres de symétrie des figures usuelles suivantes : Droite, segment, triangle quelconque, triangle isocèle, triangle rectangle, triangle équilatéral, trapèze, trapèze isocèle, parallélogramme, rectangle, losange, carré, hexagone régulier, cercle. EXERCICE N 9 : L image du point A ci-contre par une symétrie axiale est A. Tracer le symétrique B de B par cette même symétrie. EXERCICE N 10 : L image du point A ci-contre par une symétrie centrale est A. Tracer le symétrique B de B par cette même symétrie. EXERCICE N 11 : L image du point A ci-contre par une rotation de centre C est A. Tracer l image de B par cette rotation. EXERCICE N 12 : Soient deux points A et A. Par une rotation, l image du point A est le point A. Où peut se situer le centre de cette rotation? Y a-t-il plusieurs rotations possibles? Transformations : exercices 3 7

4 EXERCICE N 13 : Agrandir la figure ci-contre, sachant que le côté [AB] aura dans l agrandissement la même longueur que le segment ci-dessous. Pour ce faire, vous disposez uniquement d un compas, d une règle non graduée, d une équerre et d un papier calque. Préciser les propriétés géométriques que vous avez utilisées. Transformations : exercices 4 7

5 6 problèmes de type concours : Problème n 1 : Soient A et B deux points quelconque. Soit C l image de B par R (A, +30 ) et C le symétrique de C par rapport à la droite (AB). Démontrer que ACC est un triangle équilatéral. Problème n 2 : Dans la figure ci-dessous, les cercles de centres A et O ont même rayon et se coupent en E et F. La droite (AO) recoupe le cercle de centre O en C. 1. Montrer que (AC) est axe de symétrie de la figure. 2. On complète la figure ci-dessus en traçant le carré ABCD, le point B étant du même côté que E par rapport à (AC). a. Construire la figure complète (les cercles et le carré) à la règle non graduée et au compas en indiquant les différentes étapes de la construction et en laissant les traits de construction apparents. On prendra pour longueur de [AB], la longueur L cidessous : b. Quelle est la droite symétrique de (AB) par rapport à (AC)? c. Soit G l intersection des droites (AB) et(ce) et H l intersection des droites (AD) et (CF). Montrer que le point G est le symétrique du point H par rapport à la droite (AC) d. Démontrer que le triangle CGH est équilatéral. Transformations : exercices 5 7

6 Problème n 3 : Deux villes A et B se situent du même côté d une voie ferrée rectiligne (CD), comme l indique le schéma ci-dessous. On cherche où construire une gare G pour que le trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G soit le plus court possible. 1. Représenter les points A, B, C et D sur une figure pour laquelle 1cm correspond à 1km. Quelle est l échelle de cette représentation? Justifier la réponse. 2. Construire le point E symétrique du point B par rapport à la droite (CD). 3. On appelle F le point d intersection des droites (AE) et (CD). Soit M un point quelconque du segment [DC] distinct du point F. Démontrer que AM + MB > AF + FB 4. En déduire l endroit où l on doit construire la gare G. 5. Démontrer que FD = FC. 6. En déduire que FC = 5,6km. 7. Calculer, au mètre près, la longueur du trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G. Problème n 4 : Soient A et A deux points distincts du plan. On considère la médiatrice (d) du segment [AA ]. Soit B un point du plan n appartenant ni à la droite (d) ni à la droite (AA ). 1. Faire une figure avec les données suivantes : AA = 4cm ; AB = 3cm ; A B = 4cm. 2. Sur cette figure, construire à la règle seule, non graduée, le symétrique B de B par rapport à la droite (d). Justifier cette construction. 3. Cette dernière construction est-elle valable dans tous les cas de figure? Préciser. Problème n 5 : 1. Tracer une figure ressemblant à celle de l annexe 1. Il ne s agit pas de reproduire exactement cette figure, mais d en respecter la forme et la disposition. Construire à la règle et au compas les symétriques A, B et C des points A, B et C par rapport à la droite (OI) en laissant apparents les traits de construction. Construire à la règle et au compas les symétriques A, B et C des points A, B et C par rapport à la droite (OJ) en laissant apparents les traits de construction. Transformations : exercices 6 7

7 2. A partir de l observation de la figure obtenue, donner un argument montrant qu il n existe pas de symétrie axiale qui transforme les points A, B et C en A, B et C. 3. Montrer que l angle vaut le double de l angle. 4. Quelle est la transformation du plan qui transforme le triangle ABC en A B C? Justifier la réponse. Problème n 6 : Le but des trois premières questions est de trouver une méthode pour construire un carré «inscrit» dans un triangle, c est-à-dire tel que le carré ait deux sommets sur un même côté du triangle et que les deux autres sommets soient sur chacun des deux autres côtés. Par exemple le carré EFGD ci-contre est inscrit dans le triangle ABC. 1. a) Tracer un triangle ABC. Placer un point M sur [AB]. Tracer la perpendiculaire à (BC) qui passe par M, elle coupe (BC) en P. Tracer le carré MPQR. b) Justifier que Q est un point de (BC). 2. a) Tracer la demi-droite [BR), elle coupe (AC) en F. Tracer la droite parallèle à (QR) qui passe par F, elle coupe (BC) en G. Tracer la parallèle à (MR) qui passe par F, elle coupe (AB) en E. Tracer la droite parallèle à (MP) qui passe par E, elle coupe (BC) en D. b) Quel est le rapport de l homothétie de centre B dont l image de R est F. c) Démontrer que l image de Q par cette homothétie est G, que l image de M est E et que l image de P est D. d) En déduire que DGFE est un carré «inscrit» dans le triangle ABC. Transformations : exercices 7 7

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