Principe des Travaux Virtuels

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1 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV Prncpe des Trvux Vrtuels Le prncpe fondmentl présenté dns le chptre précédent fournt des reltons vectorelles entre le torseur des efforts extéreurs pplqués u système et s quntté d ccélérton pr rpport à un repère supposé glléen. L prncple dffculté d pplcton du PF est de détermner les systèmes et les drectons prvlégés qu condusent ux équtons prncples du problème. Pour un système mtérel complexe l est dffcle d obtenr les équtons du mouvement cr l fut fre pprître un nombre mportnt d nconnues secondres correspondnts ux efforts de lson. L mécnque nlytque, que nous llons border dns ce chptre permet d obtenr de fçon systémtque les équtons prncples du problème. Bsée sur des prncpes vrtonnels elle utlse les grndeurs sclres que sont l énerge cnétque, l énerge potentelle, et le trvl de tous les efforts ntéreurs et extéreurs) pplqués u système. ns l lttérture vous trouverez deux présenttons de l mécnque nlytque Prncpe de d Alembert- Lgrnge : c est un prncpe dfférentel, l étt du système à un nstnt donné est prs comme référence et on consdère l nfluence des vrtons des prmètres de confgurton q. Prncpe d Hmlton : l repose sur une fonctonnelle, en mécnque l énerge du système. C'est un prncpe ntégrl. ns ce cours nous n étudons que le Prncpe des trvux vrtuels ou Prncpe de d Alembert. Il fut svor qu l y équvlence formelle entre les tros prncpes Newton, d Alembert, et Hmlton), ls condusent ux mêmes équtons, ce n est que le pont de vue pont de déprt de l formulton) qu dffère. Ben entendu nous restons dns le cdre de l mécnque clssque dmettnt : que les proprétés du référentel espce-temps sont dentques pour tout observteur, qu'à tout corps mtérel on peut ssocer une msse nombre postf), et que les ctons mécnques peuvent être modélsées pr un chmp de vecteur lés. Avnt d border l étude en profondeur de ce chptre, l peut être utle de revor les notons d énerge, de pussnce, de trvl vrtuel présentées dns le chptre III de ce cours Quelques rppels : L espce de confgurton du système dscret est l ensemble des n vleurs des prmètres q à un nstnt τ!!! P Σ OP= f q, t) prmétrge OP Le déplcement vrtuel d un pont P est défn pr δ P = δq q Un chmp de déplcement vrtuel δ P est dt comptble ou cnémtquement dmssble s l stsft toutes les lsons cnémtques telles quelles exstent à l nstnt τ. Le trvl vrtuel d un chmp de force f P) défn sur un domne est défn pr : hervé Oudn 00 95

2 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV!!!!!!! OP δw = f. δp dv= φ δq φ = f. dv q P) vec P) 1 Énoncé du PTV Pour ben ncrer l équvlence qu exste entre les prncpes, nous retenons une énoncée smlre à celle du prncpe fondmentl. Énoncé : Quelque sot le système mtérel consdéré, l exste des référentels prvlégés dts référentels glléens, tels que à tout nstnt et pour tout déplcement vrtuel, le trvl vrtuel des efforts ntéreurs et extéreurs pplqués à ce système est égl u trvl vrtuel des qunttés d ccélérton du système. à tout nstnt δq δw = δa Σ) Σ/ Rg) Équvlence PTV - PF Cette équvlence est bsée sur le théorème mthémtque suvnt : P 0 PA. = PB. A= B µ = dm centré en P subssnt des ctons Prtons du PF pplqué à un élément de mtère mécnques de résultnte df P). Le PF! P ) g P ). P df = dm γ δp δp df ) = δp. γg P ) dm P ) Intégrons cette dernère relton sur le domne occupé pr l mtère Nous obtenons :!!!! δw Σ) = f P). δp dv δp δw Σ) = δa Σ/ Rg) vec!!!! δa Σ / Rg) = γ P). δp dm C est le Théorème de d Alembert ou Prncpe des Trvux Vrtuels Rppelons que ce prncpe posé comme pont de déprt peut être pplqué à des soldes, des lqudes ou des gz, l reste à svor clculer les dfférents termes. Conséquence : le Théorème de l énerge Applquons le PTV en prennt comme chmp de déplcement vrtuel prtculer, le chmp des vtesses réelles des ponts du système mécnque consdéré. Pour δ P = V g P ) le PTV! f P). Vg P) dv= γ P). Vg P) dm Sot Pf = γ P). V ) nt ext g P dm + hervé Oudn 00 96

3 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV dg Pf = V )). ) nt ext g P Vg P dm + dt le système étnt à msse conservtve nous pouvons permuter l ntégrton et l dérvton. d 1 P = V dm = E nt ext dt dt d P) ) / )) f + g c Σ Rg Nous retrouvons l expresson du Théorème de l énerge que nous vons démontré à prtr du prncpe fondmentl de l dynmque dns le chptre précédent. Nous le voyons c comme un cs prtculer du prncpe des trvux vrtuels. Équtons de Lgrnge : Les équtons de Lgrnge sont l trducton du Prncpe des Trvux Vrtuels dns le cs d un système mécnque dscret. Rppel : Un système mécnque est dt dscret ou dscrétsé) lorsque les mouvements du système sont représentés pr un nombre fn de prmètres c est le cs de l mécnque des soldes ndéformbles). L hypothèse de solde ndéformble revent à néglger les déformtons du solde, ce qu du pont de vue énergétque revent à consdérer que le trvl vrtuel des efforts ntéreurs pour tout chmp de déplcements vrtuels rgdfnt* est nul. *Un chmp de déplcements vrtuels rgdfnt sur S) est un torseur c est à dre :!!!!!!!!!!! AB S A B BA, ) ) δ = δ + δθλ En mécnque, nous utlserons des chmps rgdfnt pr sous domnes, chque sous domne étnt un solde du système mécnque Équtons de Lgrnge : Pour tout système mtérel dscret dont les mouvements pr rpport à un référentel glléen sont défns pr ''n'' prmètres q, le PTV est équvlent à écrre :!!! d Ec E c OP 1, n) φ = vec φ = f P). dv dt q# q q!!!! Nous rppelons que : δw = f P). δp dv= φ δ q émonstrton : L démonstrton est bsée sur l dentté de Lgrnge, qu consste à exprmer le trvl vrtuel des qunttés d ccélérton en foncton de l énerge cnétque du système.!!!! P δa Σ / Rg) = γg P). δp dm= γg P). δq dm q P sot δa Σ / Rg) = A δq vec A ). = γg P dm q hervé Oudn 00 97

4 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV Or où sot P d P A dm V dm P ) g = γ g P). = g ). q dt q le système étnt à msse conservtve nous pouvons permuter l ntégrton et l dérvton. dg P dg P = g P). g P). dt q dt q P P P Vg P) ) Vg P) = q# + = q t q q# dg P dgp = dt q q dt Ce n est ps uss évdent que cel lors prenez le temps de comprendre les dérvtons prtelles. d Vg P) ) Vg P) ) = g P). g P). dt q# q A V dm V dm A V dm V dm d 1 1 A = Vg P) ) dm Vg P) ) dm dt q# q d Ec Σ/ Rg) Ec Σ/ Rg) A = dt q# q δa δw En écrvnt Σ / Rg) = nous obtenons les équtons de Lgrnge. Nous llons mntennt étuder le second terme qu correspond u trvl vrtuel des efforts ntéreurs et extéreurs pplqués u système. Forme prtque des équtons de Lgrnge e fçon à fre pprître explctement les nconnues dns les équtons, nous regroupons clssquement les efforts, en efforts donnés, et en efforts nconnus lsons). e plus pour smplfer les clculs, nous utlserons l énerge potentelle ssocée u trvl vrtuel des efforts donnés dont on connît l expresson pods et ressort). δw = δw + δw vec On pose : d où l forme développée des équtons de Lgrnge : d Ec Ec Ep + = + L dt q# q q!!!! Ep δw = f. δp dv= δq!!!! δw = f P). δp dv= L δq d d P) q C est cette forme qu l fut connître, en se rppelnt de l orgne de chque terme. hervé Oudn 00 98

5 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV Rppels sur les énerges potentelles chmp de pesnteur : pmg ). ressort trcton k -torson C) :!!! E = Mg OG z + Cte E 1 o 1 p k ) = k λ λo) Ep C) = C α αo) Trvl vrtuel des efforts pplqués à un solde rgde S)!!!!!!!!!!!! δw = f P). δp dv= f P). δa+ δθ sλap) dv A S S S!!!!!!!!!!!!! δw = δa. f P) dv + δθs. APΛ f P) dv= δar. f + δθs. M f A) S S Le clcul prtque du trvl vrtuel se ft donc à prtr des éléments de réducton des torseurs des efforts pplqués u soldes. Trvl vrtuel des efforts de lson Conséquence Le trvl vrtuel des efforts de lson entre deux soldes S 1 et S est défn pr : 1 1.!!! δws S = FS S δa/1+ MS1 S A ).!! δθ/1 Le trvl vrtuel d une lson est ndépendnt du repère d observton S le chmp des déplcements vrtuels respecte une lson géométrque prfte, lors le trvl vrtuel des efforts de lson est nul lson prfte δwlson 0 s dép. vrtuels comptbles = Cette proprété est utlsée comme défnton mthémtque d une lson prfte. Elle d écoule drectement des proprétés physques des lsons prftes, pusque à chque moblté de l lson correspond une composnte nulle du torseur des efforts de lson. S le chmp des déplcements vrtuels respecte toutes les lsons du système mécnque, et que ces lsons sont supposées prftes. Alors d Ec Ec Ep + = dt q# q q Corollre Les ''n'' équtons de Lgrnge correspondnt ux ''n'' prmètres du problème réel) sont les ''n'' équtons du mouvement. Vous rélsez sûrement tout l ntérêt de cette conséquence du pont de vue prtque, l méthode de Lgrnge peut condure drectement ux équtons du mouvement. Pour toute lson non prfte, ou non respectée pr le prmétrge, les équtons de Lgrnge font pprître sous forme d nconnues supplémentres termes en L ) les efforts de lson ssocés. Pour pouvor résoudre, l fut ssocer à ces nconnues supplémentres, sot les équtons des lsons non respectées, sot des los permettnt de modélser le comportement non prft de l lson exemple : les los de frottement). hervé Oudn 00 99

6 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV Nous vons tous les éléments mthémtques permettnt d'pplquer le Prncpe des Trvux Vrtuel. Voyons mntennt l méthodologe à pplquer pour border un problème de mécnque ndustrelle. 3 Anlyse d un problème pr les équtons de Lgrnge Avnt tout, l fut que les objectfs de l étude et l nture du problème sot ben défns et ben comprs lors de l nlyse du problème. Le chox de prmétrge qu découle de l'nlyse défnt lors un problème vrtuel qu permet d obtenr de fçon systémtque les équtons prncples du problème pr l méthode de Lgrnge. Cs ou les lsons sont toutes supposées prftes : - pour obtenr les n équtons du mouvement! on utlse un prmétrge qu respecte toutes les lsons. «le problème vrtuel trté est équvlent u problème réel» b- pour obtenr les n équtons du mouvement et p composntes d efforts de lson! on utlse un prmétrge qu ne respecte ps les lsons dns l drectons des p composntes cherchées forces ou moments). «on trte un problème vrtuel dfférent du problème réel» ux n+p prmètres du problème vrtuel, vennent s jouter p nconnues efforts de lson. Pour n+p équtons de Lgrnge et p équtons de lson qu l fudr respecter pour trter le problème réel. S certnes lsons ne sont ps prftes : Les n équtons du mouvement feront pprître des efforts de lson nconnus qu seront ssocés à des modèles donnnt un nombre dentque de reltons. Cependnt pour résoudre de tels problèmes dns une pproche de type Lgrnge l est générlement nécessre de fre pprître dns les équtons de Lgrnge les composntes d effort utles à l écrture de ces reltons. Nous sommes donc rmené u cs b précédent. «pplcton : problèmes de frottement» S certnes lsons condusent à un prmétrge trop complexe. Pour l étude de mécnsmes possédnt une ou pluseurs boucles fermées chînes cnémtques complexes) l prse en compte des lsons cnémtques de fermeture peut rendre nextrcble les clculs de cnémtque et de cnétque. Il est lors ntéressnt de ne ps tenr compte de ces équtons lors du prmétrge. «on trte un problème vrtuel dfférent du problème réel» L méthode des multplcteurs de Lgrnge permet d exprmer drectement le trvl vrtuel de ces lsons à prtr des équtons de fermeture sns fre pprître de bln d efforts. Les équtons de Lgrnge et les équtons de lson fournssent un système dont on peut élmner les nconnues multplcteurs pour obtenr les équtons du mouvement. Méthodologe 1. Anlyse : chox du prmétrge en foncton des objectfs du problème. Problème réel! n équtons du mouvement toutes les lsons sont respectées) Problème vrtuel! n+p équtons de Lgrnge pour n+p nconnues hervé Oudn

7 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV p nconnues sont des multplcteurs ou efforts de lson. Clcul des Énerges E c et E p ) et du trvl vrtuel des utres efforts Prse en compte des ctonneurs Prse en compte des p nconnues ssocées ux lsons non respectées Prse en compte des lsons non prftes 3. Écrture des équtons de Lgrnge 4. Mse en forme et résoluton Écrture des p équtons de lsons cnémtques Écrture des los modélsnt les lsons non prftes frottement) Mse en forme et résoluton 4 Applcton Reprenons le texte de l exemple 3 proposé dns le chptre précédent Texte du PB Le système mécnque Σ) que l'on veut étuder est consttué de soldes - une tge T) de longueur, de msse 3m et de centre de msse G T, - un dsque ) de ryon, de msse 4m et de centre de msse C. A O z o ψ T) g d 3 G T ϕ représentton du système dns le pln n, le repère A, n, u, z ) est lé à T) θ I C ) P) u o L tge T) horzontle est lée à l'xe vertcl pr une lson pvot glssnt supposée prfte. L lson entre T) et ) permet d'ssurer : - d'une prt, l'nclnson de ) pr rpport à l vertcle rotton θ utour de C, n ) ) ; - d'utre prt, l rotton propre ϕ du dsque utour de son xe de révoluton C, d ). 3 Le dsque reste en contct en I vec un plteu horzontl stué dns le pln O, x o, y ), le contct à o leu sns frottement. Le repère d'observton Ro O, xo, yo, zo) est supposé glléen, et le système est soums à l'cton du chmp de pesnteur défn pr g = g. z o Recherche des équtons du mouvement Anlyse : Pour obtenr les équtons du mouvement nous devons utlser un chmp de déplcements vrtuels qu respecte toutes les lsons du système, sot : en A : pvot glssnt: mobltés : z A, ψ ), en C : rotule à dogt: mobltés : θ, ϕ ), en I : contct ponctuel fermeture de boucle cnémtque) 1 équton de fermeture, bln : 4-1 = 3 prmètres nous conserverons les ngles d Euler ψ, θ, ϕ ) llustrton Le chmp des déplcements vrtuels bsé sur ce prmétrge est un chmp hervé Oudn

8 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV rgdfnt pr morceu qu respecte toutes les lsons. «le problème vrtuel trté est équvlent u problème réel» Le déplcement vrtuel du pont A!!!!!! OA = sn θ zo δa = cos θ δθ z!!!!!!!!!!!!! δc = δa+ δθt ΛAC = cos θδθzo + δψzoλ u = cos θδθ z δψ n Le déplcement vrtuel du pont C o remrque : ce clcul est dentque à celu d une vtesse, et c est logque vor l défnton des déplcements vrtuels) L rotton vrtuelle du dsque δθ!!!! δθd = δψ zo + δθ n+ δϕ z = δψ snθ δψ cosθ + δϕ v remrque : résultt dentque à l vtesse de rotton nstntnée du dsque. Attenton en I l fut consdérer dfférents déplcements vrtuels, celu du pont I lé u dsque, celu du pont I géométrque ou celu du pont I lé u plteu. A vous de les clculer. o Énerges et trvl vrtuel des efforts Pour le système consdéré, nous vons déjà clculé les énerges cnétque et potentelle, on obtent : # θ θ ψ# θ ψ# θ # ϕ ) Ec Σ / Ro ) = m 1+ 7cos ) + 0+ sn ) + cos + ) Ep pods) = 7mgsnθ + Cte Il n y ps d effort donné utre que le pods! «A vous de vérfer ces résultts» Trvl vrtuel des lsons, toutes les lsons sont supposées prftes, elles sont respectées pr le prmétrge! L llustrton Clculons le trvl vrtuel de l lson en A : Pr défnton le trvl vrtuelle de l lson en A est :!!!!! δw = R. δa+ M ). δθt LsonA A A Or les déplcements vrtuels respectent l lson :!!! δ A= cos θ δθ zo!!!! δθ = δψ z et T o et le torseur des efforts de lson en A pvot glssnt supposé prft) : δw = cos θ δθ R. z + δψ M. z! A) LsonA A o o RA. zo M A. zo Clculons le trvl vrtuel de l lson en C : Pr défnton le trvl vrtuelle de l lson en C est : δw R!!!!!! =. δc + M!!. δθ LsonC T T T C / ) / T hervé Oudn 00 10

9 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV Or les déplcements vrtuels respectent l lson :!!!!!!!!!!!!!!!! δc = δct δc/ T!!!! δθ = δψ zo + δθ n+ δϕ z!!!!!!!!!!! δθ/ T= δθ n+ δϕ z δθt = δψ zo RC qcq MC = MC v! δ W LsonC et le torseur des efforts de lson en C rotule à dogt prfte) : e même clculez le trvl vrtuel de l lson en I et vérfer qu l est nul, dns les deux cs suvnts : Lson prfte sns frottement. Roulement sns glssement du dsque sur le plteu. Équtons de Lgrnge Nous vons tros équtons de Lgrnge à écrre en ψ, θ, ϕ ). Avnt de vous lncer tête bssée dns les clcul commencez pr regrder l expresson des énerges et écrvez les équtons de l plus smple à l plus complquée. Ic ϕψ,, θ ) Ec ϕ d Ec Ec = cte Ep dt ϕ ϕ 0 # # = ϕ 1 Ec r = r = r r = cte m # ϕ # ϕ c est une ntégrle premère du mouvement c est l ntégrle premère d Euler Ec ψ d Ec Ec = cte c est une ntégrle premère du mouvement Ep dt ψ ψ # # ψ 1 Ec r = ψ# 0 + sn θ) + r ψ# 0 + sn θ) + r cos o θ = cte m ψ# ψ# # θ1 7 cos θ) ) Ec = m + # θ Ep = m 7 # θ cosθsnθ + ψ# snθcosθ roψ# snθ) θ c est l ntégrle premère des res ## g θ1 + 7cos θ) 7 # θ cosθsnθ ψ# snθcosθ + roψ# snθ + 7 cosθ Nous obtenons drectement les tros équtons du mouvement du système. hervé Oudn

10 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV llustrton Vérfons que les équtons dédutes du PF sont ben équvlentes à celle que nous venons d obtenr : Pour l équton en ϕ et l équton ψ l équvlence est mmédte ce sont les mêmes. Pour l équton en θ le plus smple est de prtr de l équton prncple en θ obtenue à prtr des ntégrles premère du mouvement et de l dérver. [ ] # g k ro cosθ θ 1+ 7 cos θ) = h 14 snθ 0 + sn θ près dérvton : 3 ### θθ cos θ ) 14 # θ cosθ snθ g 4rosnθθ# [ k rocosθ ] [ k rocosθ ] = 14 cosθθ# + cosθ snθθ# 0 + sn θ [0 + sn θ] smplfons pr θ # k ro cosθ et fsons pprître ψ# = 0 + sn θ ## g θ1 + 7 cos θ) 7 # θ cosθsnθ + 7 cosθ = ro snθψ# + ψ# cosθ snθ nous retrouvons notre équton en θ : ## g θ1 + 7cos θ) 7 # θ cosθsnθ ψ# snθcosθ + roψ# snθ + 7 cosθ Clcul d un couple moteur Un moteur monté sur le bât mpose à l tge T) une vtesse de rotton constnte Anlyse : Les objectfs d un tel problème sont de détermner les équtons du mouvement en, de clculer l vleur du couple moteur Γ permettnt d ssurer l lson #. θ ϕ ), et ψ = ω = cte Pour obtenr le couple moteur nous devons utlser un prmétrge qu ne respecte ps l lson ψ# = ω. Nous trtons donc un problème vrtuel à 3 prmètres ψ, θ, ϕ ). Énerges et trvl vrtuel des efforts Les énerges sont nchngées : Ec Σ / Ro ) = m 1+ 7cos ) + 0+ sn ) + cos + ) Ep pods) = 7mgsnθ + Cte # θ θ ψ# θ ψ# θ # ϕ ) Il n y ps d effort donné utre que le pods! Le trvl vrtuel de l seule lson non respectée est Équtons de Lgrnge Les équtons en, θ ϕ ) sont nchngées : r = r o δwγ =Γ δψ! L ψ =Γ hervé Oudn

11 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV ## g θ1 + 7cos θ) 7 # θ cosθsnθ ψ# snθcosθ + roψ# snθ + 7 cosθ L équton en ψ ) devent : d m # 0 sn ) ro cos ) dt ψ + θ + θ =Γ Nous obtenons tros équtons pour 4 nconnues ψ, θ, ϕ et Γ ). C est norml nous sommes encore dns le problème vrtuel, l fut tenr compte de l équton de lson qu n ps été respectée jusqu c : ψ# = ω. où : Les équtons du mouvement : r = r o ## g θ1 + 7cos θ) 7 # θ cosθsnθ ω snθ cosθ + roωsnθ + 7 cosθ et le couple moteur : r ) Γ= m # θ sn θ ω cos θ o Clcul d un effort de lson Nous voulons mntennt détermner l composnte N de l effort de lson en I. Anlyse : Pour obtenr l effort de contct en I nous devons lbérer le déplcement vertcl pour permettre le décollement du dsque. Nous trtons donc un problème vrtuel à 4 prmètres ψ, θ, ϕ,z ).!!! OA = z z o! l lson z = snθ n est ps respectée. Énerges # θ ψ# θ ψ# θ # ϕ ) Ec Σ / Ro ) = 7 mgz# + m + 0+ sn ) + cos + ) p pods) 7 E = mgz+ Cte trvl vrtuel des efforts Il n y ps d effort donné utre que le pods! L seule lson non respectée est le contct en I, le torseur des efforts de lson en I est : RI = Nzo M I δψ!!!!!!!! v δwlsoni = RI. δi = N δi. zo!!!!!!!!!!!!! δi = δc+ δθ ΛCI d où δw = N δz cos θ δθ) LsonI vec δθ 0 δψ cos θ + δϕ) snθ Λ = 0 δψ cosθ + δϕ 0 δθ Remrque : s l lson est respectée δz = cos θδθ δw I hervé Oudn

12 Cours de Mécnque Chptre 7 : PTV Équtons de Lgrnge Les équtons en ψϕ, ) sont nchngées : r = ro ψ # 0+ sn θ) + r cosθ = cte o Les équton en z, θ ) sont : Nous obtenons 4 équtons pour 5 nconnues ψ, θ, ϕ, z et N de l équton de lson z= snθ, ce qu nous donne : L effort de contct : N = 7mg+ 7m cosθθ## snθθ# ) Et l équton du mouvement en θ 7mz ## + 7mg = N m ## θ ψ# snθcosθ + roψ # snθ) = N cosθ ). Pour résoudre l fut tenr compte ## g θ1 + 7cos θ) 7 # θ cosθsnθ ω snθ cosθ + roωsnθ + 7 cosθ llustrton Utlsons un multplcteur de Lgrnge pour clculer le trvl vrtuel de l lson non respectée. Sot l équton de lson L : z snθ, nous lu ssocons un multplcteur de Lgrnge λ I I Pr défnton le trvl vrtuel de l lson est : Sot : δw = λ δz cos θ δθ) LI I δw = λ δl LI I I Nous pouvons dentfer le multplcteur de Lgrnge à l effort norml, l ntérêt de cette méthode dte méthode des multplcteur est qu elle ne nécesste ps d nlyse physque du système mécnque, c est une méthode purement mthémtque bsée sur un clcul de vrton pour les équtons de lson. ns le cdre de ce cours nous prvlégerons l nlyse physque des lsons, l est préférble que l ngéneur sche ce qu l clcule. Cependnt connître l nlyse mthémtque n est ps nutle cr elle permet souvent de trouver les résultts à mondre coût. hervé Oudn

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