Fonction exponentielle

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1 Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle et se note exp En conséquence, et pour tout, Démonstration L existence d une telle fonction est admise, on va prouver l unicité Pour cela on suppose qu il existe deux fonctions et qui vérifient les hypothèses du théorème, c est-à-dire,, et et on doit montrer que Démontrons d abord que (ou ) ne peut pas s annuler Soit la fonction définie sur par Cette fonction est dérivable sur et Or pour tout, donc ce qui prouve que est une fonction constante Or, donc finalement pour tout, on a S il existait un réel tel que, on aurait, contrairement à ce qui vient d être montré Ainsi la fonction ne s annule par sur, ce qui nous autorise à considérer la fonction Elle est définie et dérivable sur avec La fonction est donc constante Comme, on a donc pour tout,, d où, ce qui prouve bien que Théorème La fonction exponentielle est strictement positive sur Démonstration On a vu dans la démonstration du théorème précédent que la fonction exponentielle ne s annule par sur Raisonnons par l absurde en supposant qu il existe tel que La fonction exponentielle étant dérivable sur, elle y est continue Comme, le réel est compris entre et, donc d après le théorème de valeurs intermédiaires, il existe un réel tel que, ce qui contredit le fait que exp ne s annule pas Par conséquent tout pour, on a bien Théorème La fonction exponentielle est strictement croissante sur Démonstration Pour tout,, donc est strictement croissante sur La représentation graphique de est donnée ci-contre Fonction exponentielle Classe de Terminale S Page 1

2 Corollaire Pour tout réel et on a et Démonstration Si, alors Réciproquement, supposons Si, on a soit, soit et donc par croissante stricte de l exponentielle, on a ou, contrairement à l hypothèse Finalement on en déduit que La deuxième assertion résulte de la croissance stricte de l exponentielle Résoudre les équations suivantes a b c Réponse a, donc b Comme, on a, d où c, donc Proposition Pour tout réel, on a Remarquons que cette inégalité traduit le fait que la courbe de la fonction exponentielle est située au-dessus de sa tangente au point d abscisse En effet l équation de cette tangente est, soit Démonstration Soit la fonction définie par Elle est dérivable sur et On a donc est strictement croissante sur et strictement décroissante sur, elle atteint son minimum en et il vaut Par suite pour tout, on a et donc Relation fonctionnelle et corollaire Théorème (relation fonctionnelle) Pour tous réels et, on a Démonstration Soit un réel fixé et considérons la fonction définie sur par On a et Donc par le théorème d unicité de la fonction exponentielle, on a que, c est-à-dire, donc finalement Corollaire Pour tous réels et et tout entier relatif, on a Fonction exponentielle Classe de Terminale S Page 2

3 Démonstration 1 En prenant dans la relation fonctionnelle, on obtient Comme la fonction exponentielle ne s annule par sur annoncée 2 D après la relation fonctionnelle et le 1 on a, on en déduit donc la formule 3 Démontrons déjà la propriété pour par récurrence Pour, on a et, donc la propriété est vraie au rang Supposons la propriété vraie au rang Alors Mais par hypothèse de récurrence, donc ce qui montre que la propriété est héréditaire Soit maintenant, avec Posons On a donc en utilisant 1 ainsi que ce qui vient d être prouvé sur, 4 On a, donc Notation Définition L image de par la fonction exponentielle est notée, ainsi À l aide de la calculatrice, Grâce au corollaire, on peut écrire, ce qui incite à introduire la notation suivante : pour tout réel, La relation fonctionnelle et son corollaire se reformulent alors de la façon suivante en prolongeant naturellement les propriétés connues sur les puissances Corollaire Pour tous réels et et tout entier relatif, on a ; ; ; Montrer les égalités suivantes a b Réponse a b Commençons par multiplier le numérateur et le dénominateur par On obtient donc Par ailleurs, ce qui prouve l égalité Fonction exponentielle Classe de Terminale S Page 3

4 Dérivée de Théorème (admis) Soit une fonction dérivable sur un intervalle de Alors la fonction est dérivable sur et sa dérivée est Soit la fonction Cette fonction est dérivable sur et 2 Limites liées à la fonction exponentielle Limites de la fonction exponentielle Théorème On a les limites remarquables suivantes Démonstration On a démontré dans le premier paragraphe que Étant donné que, d après un théorème de comparaison il en résulte que Enfin pour montrer que, on écrit que On a donc par composition puis Le tableau de variation complet de la fonction exponentielle est donc le suivant Croissance comparée Théorème On a les résultats suivants et Démonstration On sait que pour tout on a, d où et donc En supposant et en élevant au carré, il vient, donc en divisant par, on a Comme, il vient donc Effectuons le changement de variable On peut écrire Comme et, on a Fonction exponentielle Classe de Terminale S Page 4

5 Soit la fonction définie sur par 1 Étudier les variations de 2 Calculer les limites aux bornes de l ensemble de définition de 3 Montrer que le point appartient à la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse Réponse 1 La fonction est dérivable sur, donc est dérivable sur de dérivée Il en résulte que est dérivable là où elle est définie On a Pour tout réel, et, donc est du signe de, d où le tableau de variation suivant Le minimum de sur est 2 Limite en On a et donc par composition De plus Il en résulte par quotient Limite en On a et, on en déduit par quotient, Limite en On se ramène à ce qu il faut On peut écrire De même en mettant en facteur La limite du second facteur ne pose pas de problème lorsque : le numérateur tend vers et le dénominateur vers, donc le second facteur tend vers Finalement 3 Quelques calculs montrent que et, donc la tangente a pour équation, soit encore On vérifie alors immédiatement que le point appartient à Fonction exponentielle Classe de Terminale S Page 5

6 Une autre limite Théorème On a Démonstration La fonction exponentielle est dérivable en et son nombre dérivé en est, donc, ce qui est bien la limite annoncée Cela signifie que pour des valeurs proches de, Soit la fonction définie sur par On a Comme et, on obtient par composition Soit la fonction définie sur par La détermination des limites aux bornes de l ensemble de définition ne pose pas de difficulté On a Le discriminant de est strictement négatif, la fonction est donc strictement croissante sur les intervalles et Lorsque tend vers, la fraction tend vers si bien que et donc On constate d ailleurs que les courbes représentatives de et sont très proches lorsque tend vers En remarquant que on voit que lorsque tend vers on a Finalement Graphiquement cela montre que la droite d équation est asymptote à la courbe de en Montrons cela proprement Il s agit de prouver que Posons Comme on a par composition d après le cours, Par définition de, on peut écrire, d où donc On a et, donc par produit On a bien sûr un résultat identique en Fonction exponentielle Classe de Terminale S Page 6